定积分的概念和性质公式

定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。

定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。

定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。

在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。

很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。

定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。

另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。

在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。

总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。

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定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。

它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。

在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。

下面将介绍一些定积分基本计算公式。

1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。

一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。

牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。

要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。

被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。

定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。

二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。

在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。

定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。

尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。

例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。

可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。

但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。

在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。

后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

DDY整理1. 曲边梯形的面积及曲线、设在区间上，则由直线、所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分成在区间分割求近似：中任意插入若干个分点将n 个小区间DDY整理，小区间的长度，上任取一点作乘积在每个小区间取极限则面积求和取极限：，即小区间长度最大者趋于零。

其中2.变速直线运动的路程，设某物体作变速直线运动，速度的连续函数，且是上求在这段时间内物体所经过的路程。

将其分成分割求近似：在内插入若干分点。

任取，小区间长度，，n 个小区间做取极限则路程求和取极限：DDY整理中任意插入若干个分点设函数在上有界，在定义，在每个小区间，其长度为n 个小区间将分成，作乘积，并求和，上任取一点上的，如果不论对怎样分法，也不论小区间记总趋于确定的极限，则称这个极限点时，和怎样取法，只要当为函数上的定积分，记作，即在区间，（*）叫积分变量，叫积分下限，叫被积函数，其中叫被积表达式，叫积分和式。

叫积分上限，叫积分区间。

说明：可积，下面两类函数在区间在区间）式右边极限存在，称1.如果（*上连续，则在区可积。

（2在区间（可积，1））在上可积。

在间上有界且只有有限个间断点，则2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以DDY整理规定3. ,时两条直线、时 , 表示曲线在上、轴所围成的曲边梯形的面积；与、、两条直线在上时, 表示曲线轴的下方）曲边梯形在轴所围成的曲边梯形的面积（此时，；与DDY整理例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值2））（1（半圆面积）（三角形面积）（DDY整理可积设 1性质2性质，有对任何三个不同的数性质3 （定积分对区间的可加性）性质4，则上，性质5 如果在区间推论上的最大在区间M 设及 m 分别是函数（定积分的估值）性质6值及最小值，则（定积分中值定理）性质7上至少有一点，上连续，则在在区间如果函数成立使DDY整理例2 比较下面两个积分的大小与，设解单调增 0，1）内，在（即有当，时，5由性质，的值3例估计积分设，只需求出在区间上的最大值、最小值即可。

第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。

因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。

数学微积分定积分公式整理微积分是数学中的重要分支，它主要研究函数的变化率和积分运算。

在微积分中，定积分是积分的一种形式，它用来求解曲线与坐标轴所围成的面积或曲线的长度。

定积分公式是定积分计算的基础，下面我将对一些常用的定积分公式进行整理和归纳。

一、基本的定积分公式1. 幂函数的定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中C为常数。

这个公式适用于任意实数n，其中n不等于-1。

2. 指数函数的定积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。

指数函数e^x的定积分就是它自身再加上一个常数C。

3. 三角函数的定积分公式：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C这两个公式是三角函数的定积分公式，其中C为常数。

4. 常数函数的定积分公式：∫k dx = kx + C，其中k为常数。

这个公式表示常数函数的定积分是它自身再乘以x再加上一个常数C。

二、定积分的性质1. 定积分的线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)] dx = a*∫f(x) dx + b*∫g(x) dx这个公式表示定积分具有线性性质，可以将函数的线性组合的积分转化为各个函数的积分之和。

2. 定积分的区间可加性：∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx这个公式表示定积分在不同区间上的结果可以进行相加，得到整个区间的定积分。

三、一些常见的定积分公式1. 正弦函数的定积分公式：∫sin^2 x dx = (1/2) * x - (1/4) * sin 2x + C∫sin^3 x dx = -(1/3) * cos^3 x + C这两个公式可用于计算正弦函数的定积分。

2. 余弦函数的定积分公式：∫cos^2 x dx = (1/2) * x + (1/4) * sin 2x + C∫cos^3 x dx = (1/3) * sin^3 x + C这两个公式可用于计算余弦函数的定积分。