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函数、映射的概念•1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x ∈A}叫做函数f（x）的值域。
显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。
值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。
•映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。
映射与函数的概念1.映射的概念设A ，B 为非空集合，在某种对应关系f 的作用下，使集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
2.函数的概念从非空数集A 到非空数集B 的映射叫做函数，其中A 是定义域，C 是值域（C ⊆B ）。
函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
定义域和对应关系确定，则值域确定，函数确定。
（1）求定义域①分式：分母不能为0。
②根式：偶次根式的被开方数大于等于0。
③指数：底数大于0且不等于1。
④对数：底数大于0且不等于1，真数大于0。
⑤x 0中x ≠0。
⑥tanx 中的x ≠k π＋π/2。
（2）求值域①观察法：求函数y =x+1+1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞].∵√x +1≥0，∴√x +1+1≥1，∴0＜√x+1+1≤1. 该原函数的值域为(0,1].②换元法：求函数y =x ＋√x −1的值域。
解：该函数的定义域为[﹣1，+∞). 令√x −1＝t （t ≥0），则x ＝t ²－1.∴y=t ²＋t ＋1.（t ≥0）求得y=t ²＋t ＋1值域为[1,﹢∞)，即原函数的值域.③分离常数法：求函数y =﹣x²x²+1的值域。
解：该函数的定义域为R.该函数＝﹣(x 2+1)−1x²+1＝﹣1＋1x²+1.∵x ²+1≥1，∴0＜1x²+1.≤1，∴﹣1＜﹣1＋1x²+1≤0.该函数的值域为(﹣1，0]. 归纳：形如y ＝Cx+D Ax+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）或y ＝Cx²+DAx²+B （A,B,C,D 为常数且A ≠0）的函数可以采用分离常数法，分离到y ＝c ax+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）或y ＝c ax²+b ＋d （a,b,c,d 为常数且a ≠0）,前者的值域为y ≠d ，求后者的值域是y =c ax²+b 的值域加上d 。
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
高一数学映射人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：映射二. 学习目标：1. 了解映射的概念，了解象、原象的概念。
2. 了解一一映射的概念。
三. 知识讲解：1. 映射的概念：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应的法则，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，则这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →：。
映射是由集合A 、B 及从A 到B 的对应法则f 确定的，取元的任意性和成象的惟一性刻划了映射的本质属性，即集合A 中的任一元素在集合B 中都有惟一的象。
2. 一一映射：设A 、B 是两个集合，B A f →：是集合A 到B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射B A f →：叫做从A 到B 上的一一映射。
一一映射是一种特殊的映射，它要求对A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象；并且集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
【典型例题】[例1] 已知B A f →：是集合A 到集合B 的一个映射，B b ∈，则以下列命题的个数是（ ）。
（1）存在A a ∈，B c ∈，且c b ≠，使得b a f =)(，且C a f =)(；（2）存在A a ∈，使B a f ∉)(；（3）有且仅有A a ∈，使b a f =)(；（4）至少有一个A a ∈，使b a f =)(。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解：依据映射的定义逐个进行判断，（1）不符合映射概念中象的惟一性；（2）不符合映射概念中取元的任意性，即A 中的任何一个元素在B 中都有象；（3）映射的概念中允许B 中元素没有原象或B 中一个元素同时有多个原象，故（3）也是假命题，（4）B 中元素可以在A 中无原象，故（4）也是假命题，因此本题给出的四个命题都是假命题，应选D 。
[例2] 已知集合A 到集体}1,21,0,1{-=B 的映射112-→x x f ：，那么集合A 中的元素最多是几个，并求出此时的集合A 。
映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。
虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。
下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。
映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。
简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。
映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。
其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。
映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。
例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。
在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。
我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。
函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。
函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。
函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。
例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。
这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。
函数在数学中有很多重要的属性和性质。
比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。
函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。
函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。
第5讲映射、函数的概念1.函数的定义（1）传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
（2）近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
（3）两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。
这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
2.函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。
如函数y {x|x≥0}，圆半径r与圆面积S的函数关系为S=πr2的定义域为{r|r＞0}。
求函数定义域的一般原则是：①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；③如果f(x)是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤f(x)=x0的定义域是{x∈R|x≠0}。
求函数定义域除上述所列外，还应注意以下几点：①如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义；②如果不给出解析式：已知f(x)的定义域为x∈A，则f[g(x)]的定义域是求使g(x)∈A 的x的取值范围；已知f[g(x)]的定义域为A，则f(x)的定义域是求g(x)在A上的值域。
3.函数的对应法则对应关系f是函数关系的本质特征，y=f(x)的意义是：y就是x在关系f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。
如f(x)=2x+6，f表示2倍的自变量加上6，如f(3)=2×3+6=12。
f(a)与f(x)的区别与联系：f(a)表示当x=a时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。
如一次函数f(x)=3x+4，当x=8时，f(8)=3×8+4=28是一常量。
当法则所实施的对象与解析式中所表述的对象不一致时，该解析式不能正确施加法则，比如f(x)=x2+1，左端是对x施加法则，右端也是关于x的解析式，此时此式是以x为自变量的函数解析式；而对于f(x+1)=3x2+2x+1，左端表示对x+1施加法则，右端是关于x的解析式，二者并不统一，这时此式既不是关于x的函数解析式，也不是关于x+1的函数解析式。
4.函数的值域对于函数y=f(x)，x∈A，与x的值相对应的y值叫做函数值。
如函数y=x2+5x+3，当x=3时，y=32+5×3+3=27，叫做x=3时的函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
函数的值域是由对应法则f对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合。
关于求函数值域的问题，是可用初等手段来解决的问题，只要根据函数的对应规律，把握值域的概念，运用不同的数学手段就能得其解。
5.同一函数的判定一般的，考查、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。
两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明：①定义域不同，两个函数也就不同；②对应关系不同，两个函数也是不同的；③即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。
6.区间设a ，b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：①满足不等式a x b ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[],a b 。
②满足不等式a x b ＜＜的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作(),a b 。
③满足不等式a x b ≤＜或a x b ≤＜的全体实数集合都叫做半开半闭区间，分别记作[),a b 或(],a b 。
④满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的全体实数x 的集合分别记作[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,a]，(-∞,a)。
注意：①区间左端点值要小于区间右端点值，常作为隐藏条件使用；②区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；③“∞”无穷大，是一个符号，不是一个数。
7.映射定义：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对A 内任一元素x ，在B中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。
这时，称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作f(x)。
于是y=f(x)，x 称作y 的原象。
映射f 也可记作f ：A →B 。
其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域。
注意：映射的概念可以概括为“取元任意性、成象唯一性”，即：①映射的三要素：原象、象、对应关系；②A 中元素不可剩余，B 中元素可剩余；③多对一行，一对多不行；④映射具有方向性：f ：A →B 与f ：B →A 一般是不同的映射。
映射与函数的关系：①联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义）的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此，要善于用映射的语言来叙述和解决函数问题。
②区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对映射而言，A 和B 不一定是数集。
一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原象，那么这时我们就说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。
注意：一一映射就是一个特殊的映射，它不仅要求对于A 中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应；而且还要求对于B 中的每一个元素，在A 中有且只有一个原象，也就是只能是一对一的对应。
如何确定象与原象：对于一个从集合A 到集合B 的映射f 而言，A 中的每个元素x ，在f 的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y ，则y 称为象，而x 叫做原象。
对于给出原象求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象。
对于给出象求原象的问题，若可先假设原象，再代入对应关系中得到象，若它与已知的象是同一个元素，则求出了原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象。
函数的定义、对应法则、定义域、值域、区间、同一函数的判定例1 有下列式子能否确定y 是x 的函数？（1）2x +2y =2；（2）1-x +1-y =1；（3）y=2-x +x -1。
解析 （1）由2x +2y =2，得y =y 是x 的函数，如当x=1时，由它所确定的y 值有两个，即y=±1。
（2）1=，得2(11y =-+，所以当x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数。
（3）由2010x x -≥⎧⎨-≥⎩得x∈∅，故由它不能确定y 是x 的函数。
例2 下列图形（横轴表示x 轴，纵轴表示y 轴）表示y 是x 的函数的是（）解析 根据函数定义，对于非空数集A 中每一个确定的x 值，非空数集B 中都有唯一确定的y 值与之对应，只有D 符合函数定义。
例3 求下列函数的定义域：（1）y=2+2-x 3； （2）y=x -3·1-x ；（3）y=(x-1)0+1x 2+2} （2）要使函数有意义，则当且仅当3010x x -≥⎧⎨-≥⎩时成立，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x ≤3}（3）要使函数有意义，则当且仅当1010x x -≠⎧⎨+⎩＞时成立，解得x ＞-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|＞-1且x ≠1}例4 求下列函数的值域：（1）f(x)=(x-1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；（2）f(x)=(x-1)2+1解析 （1）∵f(-1)=5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，∴这个函数的值域为{1，2，5}。
（2）∵(x-1)2+1≥1，∴这个函数的值域为{y|y ≥1}。
例5 下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组是（）A.f(x)=|x|，)2B.f(x)=1x ·1-x ，g(x)=1-x 2C.f(x)=0x ，g(x)=xx D.f(x)=x ，g(x)=2x 解析 A 中f(x)和g(x)的定义域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)；B 中f(x)和g(x)的定义域也不相同，分别为[1,+∞)、(-∞,-1]∪[1,+∞)；D 中f(x)和g(x)的值域不相同，分别为(-∞,+∞)、[0,+∞)，故均不表示相同的函数，仅C 中两函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞)、对应法则、值域（{1}）均相同，表示相同的函数。
例6 如图所示的对应：其中构成映射的个数是（）A.3B.4C.5D.6解析 ①②③这三个图所示的对应都符合映射的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，B 中都有唯一的元素与之对应。
对于④⑤，A 中的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。
对于⑥，A 中的元素a3、a4在B 中没有元素与之对应，所以不是A 到B 的映射。
综上可知，能够成映射的个数为3，选A 。
例7 设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n 2+n ，则在映射f 下，象20的原象是（）A.2B.3C.4D.5 解析 ∵2n+n=20，∴将n=2，3，4，5代入检验可知n=4时成立。
故选CA1.设M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，给出图中四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（B ）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数y=f(x)（x ∈[a ，b]），那么集合{（x ，y ）|y=f(x)，x ∈[a ，b]}∩{（x ，y ）|x=2}中所含元素的个数是（C ）A.1B.0C.0或1D.1或23.若函数y=f(x)的定义域是{x|0﹤x ﹤1}，则y=f(2x )的定义域是（B ）A.（-1，0）B.（-1，0）∪（0，1）C.（0，1）D.[0，1] 4.设f(x)=22x -1x 1 ，则f(21)+f(31)+f(-2)+f(-3)=（D ） A.1235 B.-1235 C.1 D.0 5.已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=-2x +2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的范围是（A ）A.k ﹥1B.k ≥1C.k ﹤1D.k ≤1B6.下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是（D ）A.M=N=R ，f ：x →y=-x1，x ∈M ，y ∈N B.M=N=R ，f ：x →y=2x ，x ∈M ，y ∈N C.M=N=R ，f ：x →y=x |x |1+，x ∈M ，y ∈N D.M=N=R ，f ：x →y=3x ，x ∈M ，y ∈N 7.求下列函数定义域（1）y=1x 2-x 2x ++；（2）y=-1|x |2x + 解：（1）210112210201x x x x x x x x x +≠⎧≠-≠-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨≠-≠-≠+-≠⎩⎩⎪+⎩且， ∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)（2）202||101x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠±⎩⎩，∴定义域为[-2,-1）∪（-1,1）∪(1,+∞)。
