高中数学第二章函数2.3映射的概念学案无答案苏教版必修(1)

2。

3 映射的概念名师导航知识梳理1.映射的概念映射f:A→B的定义是：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的__________一个元素，在集合B中都有__________的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作__________。

2.象与原象在映射f:A→B中，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，元素b叫做元素a的__________，元素a叫做元素b的__________，记作__________.3.一一映射如果映射f:A→B再满足_________________，那么这个映射叫做A到B上的一一映射.4.用映射的概念定义函数，函数的定义域、值域如果A、B都是__________,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)(x∈A，y∈B）.原象的集合A叫做函数y=f（x)的__________;象的集合C(C B）叫做函数y=f(x)的__________.__________、__________和__________,通常称为函数的三要素.疑难突破怎样理解映射概念？(1）映射是一种特殊的对应。

教科书上介绍了一些不同的对应，如一对多、一对一、多对一等，而且集合A、B中元素个数也注意了多样化，集合B中有的元素没有得到对应。

（2)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的.(3）映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的.（4）在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b,b叫a(在f下）的象，并且a的象是唯一的，a叫做b的原象，b的原象不要求唯一。

B中的每一个元素不要求都有原象.(5）记号“f：A→B"表示集合A到集合B的映射,其中对应法则f的具体内容在教材中是用汉字叙述的，如“求正弦”“乘以2再加5”等.在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示。

2．3映射的概念学习目标 1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．预习教材P46－47，完成下面问题：知识点一映射的概念一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B的映射，记为f：A→B.【预习评价】下面各图表示的对应构成映射的有________．解析①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．答案①②③知识点二映射与函数的关系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数函数与映射有何区别与联系？提示函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．题型一映射的判断【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】 设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成从A 到B 的映射的是________． ①f ：x →y ＝x 2 ②f ：x →y ＝3x －2 ③f ：x →y ＝－x ＋4④f ：x →y ＝4－x 2解析 对于①，任一实数x 都有唯一的x 2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x 都有唯一3x －2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x ＝2时，由对应法则y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以④不能构成从A 到B 的映射． 答案 ④题型二 利用对应法则求对应元素【例2】 设集合A 和B 为坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，xy )，那么(1,2)在映射f 作用下的对应元素为________；若在f 作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．解析 根据映射的定义，当x ＝1，y ＝2时，x ＋y ＝3，xy ＝2，则(1,2)在映射f 作用下的对应元素为(3,2)；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－2，xy ＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3， 即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)． 答案 (3,2) (－3,1)或(1，－3)规律方法 求一个映射(f ：A →B )中，A 中元素在B 中的对应元素或B 中元素在A 中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．【训练2】 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．解 将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，可得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素为12. 互动 探究题型三 映射的个数问题【探究(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？从B 到A 呢？(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中满足条件的映射有几个？ 解 (1)从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．从B 到A 可以建立9个映射，如图所示．(2)欲使f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，需a ，b ，c 中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．【探究2】 已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2,3}，映射f ：A →B 满足A 中元素a 在B 中的对应元素是1，问这样的映射有几个． 解 由已知f (a )＝1，所以，①f (b )＝f (c )＝1时有1个； ②f (b )＝f (c )＝2或f (b )＝f (c )＝3时各有1个，共2个； ③f (b )＝1，f (c )＝2时有1个； ④f (b )＝1，f (c )＝3时有1个； ⑤f (c )＝1，f (b )＝2时有1个； ⑥f (c )＝1，f (b )＝3时有1个； ⑦f (b )＝2，f (c )＝3时有1个； ⑧f (b )＝3，f (c )＝2时有1个． 综上可知，共有不同映射9个．【探究3】 已知从集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1|x |－1，则集合A 中的元素最多有几个？ 解 ∵f ：x →1|x |－1是从集合A 到集合B 的映射，∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有对应元素． 令1|x |－1＝0，该方程无解，分别令1|x |－1＝1,2,3， 解得x ＝±2，x ＝±32，x ＝±43， ∴集合A 中的元素最多有6个．【探究4】 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}． (1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．解 (1)M 中元素a 可以对应N 中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M 中元素b ，c 也各有3种对应方法．因此从M 到N 的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射是从M 到N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表).f (a ) f (b ) f (c ) 0 －2 －2 2 －2 －2 2 0 －2 2故符合条件的映射有4个．规律方法 (1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．①如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有n m 个，从B 到A 的映射共有m n 个．②映射带有方向性，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的．课堂达标1．若f ：A 中元素(x ，y )对应B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素________与A 中元素(1,2)对应，A 中元素________与B 中元素(1,2)对应． 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝3，1－2＝－1，得B 中元素(3，－1)与A 中(1,2)对应．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12，所以A 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12与B 中元素(1,2)对应．答案 (3，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－122．设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A 到集合B 的不同映射有________个．解析 每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27. 答案 273．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表： 映射f 的对应法则如下：映射g则f (g (1))＝________. 解析 因为g (1)＝4， 所以f (g (1))＝f (4)＝1. 答案 14．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，若B ＝{1}，则A ∩B ＝________. 解析 由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1}，则A ＝{－1,1}或A ＝{－1}或A ＝{1}，所以A ∩B ＝∅或{1}． 答案 ∅或{1}5．已知B ＝{－1,3,5}，若集合A 使得f ：x →3x －2是A 到B 的映射，求集合A . 解 由f ：x →3x －2，分别令：3x －2＝－1，3x －2＝3,3x －2＝5，得x ＝13，53，73. ∴A 是集合{13，53，73}的非空子集．即A 为：{13}，{53}，{73}，{13，53}，{13，73}，{53，73}，{13，53，73}，共7个．课堂小结对映射定义的理解(1)A 、B 必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；(2)对应关系有“方向性”，即从集合A 到集合B 的对应与从B 到A 的对应关系一般是不同的；(3)集合A 中每一个元素，在集合B 中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的； (4)集合A 中不同元素，在集合B 中对应的元素可以是相同的； (5)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有对应元素.。

第十三课时 映射的概念【学习导航】知识网络映射⎪⎩⎪⎨⎧映射与函数的关系映射的概念对应的概念学习要求1、了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射。

2、通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系。

自学评价1、对应是两个集合元素之间的一种关系，对应关系可用图示或文字描述来表示。

2、一般地设A 、B 两个集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：f:A →B3、由映射的概念可以看出，映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A 、B 为两个非空数集。

【精典范例】一、判断对应是否为映射例1、下列集合M 到P 的对应f 是映射的是( )A.M={－2，0，2}，P={－1，0，4},f ：M 中数的平方B.M={0，1}，P={－1，0，1}，f:M 中数的平方根C.M=Z ，P=Q ，f:M 中数的倒数。

D.M=R ，P=R +，f:M 中数的平方二、映射概念的应用例2、已知集合A=R ，B={(x,y)|x,y ∈R}，f:A →B 是从A 到B 的映射，f:x →(x+1,x 2+1)，求A 中的元素2在B 中的象和B 中元素(23,45)在A 中的原象。

思维分析：将x=2代入对应关系，可求出其在B 中对应元素，(23,45)在A 中对应的元素可通过列方程组解出。

三、映射与函数的关系例3、给出下列四个对应的关系①A=N*,B=Z,f:x →y=2x －3；②A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y ∈N*,y ≤5}，f:x →y=|x －1|；③A={x|x ≥2}，B={y|y=x 2－4x+3}，f:x →y=x －3；④A=N,B={y ∈N*|y=2x －1，x ∈N*}，f:x →y=2x －1。

上述四个对应中是函数的有( )A.①B.①③C.②③D.③④思维分析：判断两个集合之间的对应是否构成函数，首先应判断能否构成映射，且构成映射的两个集合之间对应必须是非空数集之间的对应。

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2.3 映射的概念1．了解映射的概念及表示方法．(重点)2．会判断一个对应是否为映射．(难点)[基础·初探]教材整理映射的概念阅读教材P46至P47“思考”，完成下列问题．1．映射一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f ,对于A中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射,记为f ：A→B。

2．映射与函数的关系由映射的概念可以看出,映射是函数概念的推广，特殊在函数概念中，A，B为两个非空数集．1．判断（正确的打“√" ，错误的打“×")（1)若f 是集合A到集合B的一个映射，则A中每个元素在B中都有象,且象是唯一的．（）（2)映射不一定是函数,但函数一定是映射．（）(3）映射无方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是相同的．( ）（4）已知f 是A到B的一个映射,其中A中含2个元素，B中含3个元素，则这样的映射共有8个．( ）【解析】(1)符合映射的定义，正确．(2）函数是特殊的映射，正确．(3)映射有方向性，从A到B的映射与从B到A建立的映射不同．(4)从A到B可以建立32＝9个映射．【答案】(1)√(2)√（3)×(4)×2．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．（填序号）【解析】①不是映射，因为元素2在B中没有元素与之对应；②是映射，满足单值对应；③不是映射,因为元素3在B中有两个元素与之对应；④是映射，满足单值对应．【答案】②④[小组合作型]映射的判定（1）在如图所示的对应中是A到B的映射的是________．(填序号）（2)在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？①A＝{0,1,2，3}，B＝{1，2,3,4，5}，对应法则f :“加1”；②A＝（0，＋∞)，B＝R，对应法则f :“求平方根”；③A＝N，B＝N，对应法则f ：“3倍”；④A＝R,B＝｛正实数｝，对应法则f ：“求平方的倒数”；⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形｝，对应法则f ：A中的元素对应它的内接矩形．【精彩点拨】紧扣映射的定义进行判断，看A中元素是否均有对应元素且对应形式是多对一或一对一．【自主解答】(1）结合映射的定义,对于①②，集合A的元素在集合B中有的有两个元素与之对应，因而构不成映射，而③,④符合要求,能构成映射．【答案】③④(2）①集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，显然对应关系f 是A到B的映射．②集合A中的每一个元素通过关系f 作用后,在集合B中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A到B的映射．③集合A中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A到B的映射．④当x＝0∈A时，错误!无意义,故关系f 不是从A到B的映射．⑤一个圆可以有多个内接矩形，故f 不是从A到B的映射．1．判断f :A→B是否是A到B的映射,须注意两点：(1）明确集合A，B中的元素；(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．2．映射须满足：A中元素不剩且一对一或多对一．3．若对应f ：A→B不是映射,只需举一个反例，说明A中的元素在B中无对应元素或A 中的元素在B中有两个或两个以上的对应元素即可．［再练一题]1．判断下列对应是否是映射，是否是函数．（1）A＝N，B＝N*,f ：x→|x－1|，x∈A，y∈B；（2）A＝R，B＝｛1,2}，f ：x→y＝错误!(3）A＝{平面M内的三角形}，B＝{平面M内的圆｝，对应法则是“作三角形的外接圆”．【解】（1)∵1∈A，在f 作用下,1→|1－1|＝0∉B，∴不是映射,故也不是函数．（2)对于A中元素x≥0时与B中的元素1对应，而当x<0时与B中的元素2对应，因此能构成映射，又A，B均为数集,因此也能构成函数．(3）由于平面内的三角形都有其外接圆,且外接圆唯一，因此能构成从A到B的映射，但由于A,B都不是数集，因此不能构成函数．映射概念的应用给定从集合A到集合B的映射f ：(x，y）→（x＋2y，2x－y)，集合A,B 都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射f 下，对应到集合B中元素(3,1)的A中的元素是________，若(3，1）在A中,则(3，1)对应的B中元素为________。

§2.3 映射的概念课时目标 1.了解映射的概念.2.了解函数与映射的区别与联系．1．一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的________元素，在B中都有______的元素与之对应，那么，这样的__________叫做集合A到集合B的映射，记作________．2．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________．一、填空题1．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是________．(填序号)①A中的每一个元素在B中必有元素与之对应；②B中每一个元素在A中必有元素与之对应；③A中的一个元素在B中可以有多个元素与之对应；④A中不同元素在B中对应的元素必不同．2．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列能表示从P到Q的映射的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.3．下列集合A到集合B的对应中，不能构成映射的是________．(填序号)4．下列集合A，B及对应法则能构成函数的是________．(填序号)①A＝B＝R，f(x)＝|x|；②A＝B＝R，f(x)＝1 x ；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3；④A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0.5．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．上述四个对应中映射的个数为______，函数的个数为______．6．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．7．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的对应的元素为________．8．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g的对应法则如下：则f[g(1)]的值为________．9．已知f是从集合M到N的映射，其中M＝{a，b，c}，N＝{－3,0,3}，则满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的映射f的个数是________．二、解答题10．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2在B 中的对应元素和B中元素－1在A中的对应元素．11．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应法则f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．能力提升12．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中的对应元素．13．在下列对应法则中，哪些对应法则是集合A 到集合B 的映射？哪些不是．(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应法则f ：“加1”； (2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应法则f ：“求平方根”； (3)A ＝N ，B ＝N ，对应法则f ：“3倍”； (4)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求绝对值”； (5)A ＝R ，B ＝R ，对应法则f ：“求倒数”．1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，若惟一则这个对应就是映射．2．1.4 映射的概念知识梳理1．每一个惟一单值对应f：A→B 2.函数非空数集作业设计1．①2．①②④解析如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应法则f在Q中有惟一元素和它对应，选项③中，当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q.3．①②③解析①、②中的元素2没有对应的元素；③中1的对应有两个；只有④满足映射的定义．4．①③④解析 在②中f(0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．5．4 2解析 ①、②、③、④都是映射；②、③是函数． 6．4解析 由于要求f(3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的对应元素的问题，总共有如图所示的4种可能．7.13解析 A 中元素1在B 中对应的元素为2×1－1＝1，而1在C 中对应的元素为12×1＋1＝13.8．1解析 ∵g(1)＝4，∴f[g(1)]＝f(4)＝1.9．7解析⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 0，fc3，⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 0，fc3，⎩⎪⎨⎪⎧f a 3，f b 3，fc0，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0. 10．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的对应元素是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的对应元素是2. 11．解 由f(1)＝4，f(2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的对应值是n 4或n 2＋3n.若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的对应元素是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的对应元素是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2. 12．解 将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在A 中对应元素为12. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过对应法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故对应法则f 不是从A 到B 的映射．。

2.1.4 映射的概念整体设计教材分析映射与前面学习的集合和函数有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么这样的对应(包括对应法则)叫做集合A到集合B的映射.在刚开始学习映射时，为了能让学生看清映射的构成，可以选择用图形表示映射，并选择能用列举法表示的有限集，法则尽量用语言描述，这样的表示方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再用抽象的数学符号表示映射.关于映射中象和原象的概念以及映射的分类和一一映射、单射、满射等概念，一般不要涉及，对于函数与映射的关系，只需强调若映射中的两个集合A和B均为非空数集时，这个映射就是函数.三维目标1.了解映射的概念，会借助图象帮助理解映射的概念.2.会根据定义判断映射.3.了解映射是函数概念的一般扩展(将数集扩展到任意元素组成的集合)，函数是一类特殊的映射(非空数集到非空数集的映射).4.采用“举例——观察——比较——讨论——总结”的形式，通过实例找共性，给出映射的定义，最后进行小结，教师起到点拨和深化的作用.重点难点教学重点：映射的概念及判断.教学难点：映射的概念.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)1.老师走进教室，只要环顾一下，不点名，就知道今天有没有同学缺课，缺课的同学有多少.大家知道老师是怎么做到的吗？(每个同学都有唯一的座位)2.为了解学生身体健康状况，现对高一年级全体学生的体重进行统计，设高一年级的全体同学组成集合A，正实数集为集合B，让集合A中任一同学与其体重对应，则得到一个从集合A到集合B的对应.(课本引例)用下图来表示这个对应：你还能举出一些类似的例子吗？(由同学们自由发挥)例如：1.中华人民共和国的任何一个公民都有唯一的身份证号码与之对应；2.数轴上的任何一个点都有唯一的实数与之对应；3.坐标平面内的任何一个点都有唯一的有序实数对与之对应；4.平面上任何一个三角形都有唯一的面积与之对应.这些都是从集合A到集合B的对应，这些对应有没有什么共同的特征？设计思路二(事例导入)在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，现在我们重点研究两个集合中元素之间的对应关系，这要先从我们熟悉的对应说起.出示下图(用投影仪打出一些对应关系，共5个)：1.这5个图中，它们有什么共同特点？应该能看出，各个图都反映了两个集合的元素之间的一种对应关系，即对于集合A中的任一个元素，按照某种法则在集合B中都有确定的(一个或几个)元素与它对应.2.进一步观察，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？设计思路三(复习导入)前面学习的集合的有关知识，包括元素与集合的关系，集合之间的包含关系等，两个集合之间的内在联系是通过两个集合中元素与元素的对应关系揭示的.而刚刚学过的函数y=f(x)实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，这里定义域A和值域B都必须是非空数集，如果我们把集合A和集合B扩充为任意非空集合(未必是数集)，则这样的对应就未必是函数，那么这个对应又是什么呢？推进新课新知探究对于设计思路一，教师提出问题：这些对应有什么共同的特征？若学生无法归纳，则鼓励他们讨论，只要有人说出“任一”“都有”“唯一”等关键词，都给予热情鼓励.若经讨论仍然没有同学能够说出这些关键词，则可以提示学生从上面例子的句式结构上观察，它们都有同样的句子结构：“……任何一个……都有唯一的……与之对应”.这些例子都是在说明集合A和集合B的元素之间的对应关系，都有一个共同的特征，就是：(板书)集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.这样的对应就是我们今天要学习的映射.然后教师和学生一起把刚才的板书修改完善：(板书)定义：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作：f:A→B对于设计思路二，紧接上面问题，(1)(2)(4)(5)这4个图中的对应有什么共同特点？(用投影仪将这几个图集中在一起)类似思路一，老师鼓励学生自己得出结论：集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.如果有困难，也采用思路一类似的办法，最后同样得到映射的定义.对于设计思路三，函数实际上是定义域A上的元素x到值域B上的元素y之间的一种对应关系，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这里定义域A和值域B都必须是非空数集.如果我们把函数中定义域A和值域B扩充为任意非空集合，则这样的对应就未必是函数，我们把这样的对应称为映射(板书).然后老师和学生一起把映射的定义叙述并修改完善.记忆技巧：(学生思考、讨论、回答，教师整理、强调)①“任意性”：映射中的两个集合A、B可以是数集、点集或由图形等组成的任意集合，这是映射的“任意性”；②“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,例如A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是“有序的”；③“任一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应，这是映射的“存在性”；④“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的“唯一性”；⑤“在集合B中”：也就是说A中元素的对应元素必在集合B中，这是映射的“封闭性”.(这一点可根据学生的具体学情有选择地教学)映射概念的核心就是“A中之任一对B中之唯一”，这是判断一个对应是不是映射的关键.从形式上看映射有“一对一”和“多对一”，另外，集合A中的元素必须一个不剩，集合B中元素允许剩余，而对应有“一对一”“多对一”“一对多”“多对多”四种情况.三句口诀：1.A中之任一对B中之唯一.2.对一是映射，对多非映射.3.A中一个不剩，B中可以多余.应用示例思路1请同学甲设计一个例题：例题下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？要求：四个对应两个是映射，两个不是映射.两个映射必须分别是“一对一”和“多对一”，两个不是映射的对应必须分别体现没有符合“A中之任一”和“B中之唯一”.同学乙对同学甲编制的题目是否符合老师的要求作出回答，并分析原因，给出正确答案.思路2教师直接给出题目：(用投影仪打出一些对应关系，共4个)例1下面给出的四个对应中，能构成映射的有哪些？分析：一个对应是不是能够构成映射，就看它能不能满足映射定义的要求，即抓住关键：A中之任一对B中之唯一.既然“A中任一”，则A中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B中元素没有这个要求，故B中元素可以允许有多余；既然“B中唯一”，则只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”.解：因为(1)(3)的对应满足映射的定义，而(2)不满足“任意性”，(4)不满足“唯一性”，所以(2)(4)不能构成映射，能构成集合A到B的映射的有：(1)(3).错误解法：本题容易在(1)(2)的判断上出现错误.(1)有两个箭头指向同一元素，易判为“不是映射”，(2)中都是一个箭头在指，所以易判为“是映射”.这时要提醒学生：对于(1)，只要A 中的一个元素射出去的箭头只有一个就可以了，至于有多少个箭头指向B 中同一元素就无所谓了；对于(2)，A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有多余.例2 (用投影仪打出)下列对应，哪些是A 到B 的映射？(1) A={x|x≥0}，B={1}，对应法则f:x→y=x 0.(2) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f ：x→y=31x. (3) A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤y≤1}，对应法则f:x→y=(x -2)2. (4) A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，对应法则f ：x→y=81x 2. 解：因为(2)(4)的对应满足映射的定义，所以能构成集合A 到B 的映射；而(1)(3)不满足“任意性”，所以(1)(3)不能构成映射.错误解法分析：判断(1)时，学生容易忽视元素0，判断(2)时，由于C≠B ，也容易发生错误，判断(3)(4)时，由于都是二对一，在求Ａ中所有元素的对应元素组成的集合时容易出现错误，这些都要一一纠正.例3 (用投影仪打出)设集合A={x|0≤x≤1}，B={y|0≤y≤1}，则下图所示的各图象中，表示从集合Ａ到集合Ｂ的映射的是___________.分析：上图的五个图中，显然所有的x ∈A ，①③④⑤中都有y ∈B ，这一点都符合了“Ａ中任一元素都有Ｂ中元素与之对应”，只有②中当21＜x≤1时对应的y B ，即Ｂ中没有元素与之对应，所以②不是映射.④中除了元素0，Ａ中每个元素都有两个元素与之对应，所以④也不是映射.①③⑤中每一个不同的x 都只有唯一的Ｂ中的元素ｙ与之对应，符合了映射的定义，所以①③⑤是映射.答案：①③⑤.点评：本题是由图象的形式给出映射，由于学生对映射的图象表示还不是太熟悉，所以往往会看不懂题目表示的意思，导致解题时无从下手.这时老师可结合前面学过的函数的图象来指导学生读题，指出图象上每一个点都可以用坐标来表示，其中横坐标ｘ就是映射中集合Ａ中的元素，纵坐标ｙ就是集合Ｂ中的元素，这时映射的定义就可以表示为“以集合Ａ中的数为横坐标的点都在图象上(Ａ中任一元素)，其对应的纵坐标都属于集合Ｂ(都有Ｂ中元素与之对应)，且横坐标不同时对应的纵坐标也不同(与ｘ对应的ｙ是唯一的).具体看图时可以看如下三个方面：①横坐标是否都在定义域内，定义域内的数是否都在图象上；②纵坐标是否都在值域内；③与ｘ轴垂直的直线与图象的公共点是否只有一个.例4 已知集合A={1,2,3,m},(m ∈N ),B={4,7,n 4,n 2+3n},(n ∈N ),设x ∈A,y ∈B,“f:x→y=3x+1”是集合A 到集合B 的映射，求m ，n 的值.分析：根据映射的定义，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，而对应法则是“f:x→y=3x+1”，所以1→4，2→7，3→10，m→3m+1.由于对应法则是一次关系式，所以A 中不同元素对应的B 中元素也必须不同，不可能出现“多对一”的情况.而B={4,7,n 4,n 2+3n}，所以10和3m+1必然等于n 4和n 2+3n ，这里又有两种情况：10=n 4，3m+1=n 2+3n ，或者10=n 2+3n,3m+1=n 4，继续解出m 、n ，问题就解决了.解：∵3×1+1＝4 ，3×2+1＝7，3×3+1＝10，又∵对应法则是“f:x→y=3x+1”，∴3m+1不可能等于4、7、10，∴由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+⨯=,133,1013324m n n n 又m,n ∈N ，∴方程组无解. 由⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯=++=,101333,1324n n m n 又m,n ∈N ，解得⎩⎨⎧==.5,2m n 综上所述m=5,n=2.错误解法：一种错误是没有说明这个映射不可能是多对一.因为在1→4，2→7，3→10的情况下，如果不考虑对应法则，m 完全有可能再和4、7、10中的某一个对应，这样需讨论的情况就太多了.所以应该先考虑对应法则，得到这个映射只能是一对一，这时就仅仅剩下两种情况讨论了.另一种错误是不讨论，这时老师可以画图，用箭头来指出有两种情况.点评：本题中，学生非常容易忽略“多对一”，并且只解第一种情况而忘记解第二种情况.所以不论学生是不是出现错误，都要强调先说明“ 3m+1不可能等于4、7、10”，再对两种可能情况分别求解，解方程组的具体过程可以简略一些.知能训练课本第42页练习1、2、3、4.解答：1.(1)因为对应法则是f ：x→2x ＋1，所以1→3，2→5.(2)因为对应法则是g:x→21-x ，所以3→1，5→2. 两个映射f 和g 是互为逆映射.(见备课资料)2.(1)集合A 中一共有3个元素1，4，9，对应法则是“f ：x→x 的平方根”，所以1→±1，4→±2，9→±3，尽管±1，±2，±3都是集合B 中的元素，但这是“二对一”，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(2)集合A 中存在元素0，由于对应法则是“f ：x→x 的倒数”，所以元素0在集合B 中没有元素与之对应，因而这个对应不符合映射的定义，所以这个对应不是映射.(3)是映射.(4)集合A 是平面内周长为5的所有三角形组成的集合，其中任意一个三角形都有唯一的外心，且外心都是这个平面内的点，由于对应法则为f ：三角形→三角形的外心，所以A 中任一元素都和B 中唯一元素对应，这就符合了映射的定义，因此这个对应是映射.3.(1)根据题目中的对应法则，m→n ，a→b ，t→u ，h→i ，e→f ，i→j ，c→d ，s→t ，所以明文“mathematics”的密文为“nbuifnbujdt”.(2)同上，i→j ，t→u ，s→t ，f→g ，u→v ，n→o ，y→z ，所以密文“ju jt gvooz”的明文是“it is funny”.课堂小结映射是由集合A ，集合B 和对应法则三部分组成的一个整体，判断一个对应是不是映射应该抓住关键：A 中之任一对B 中之唯一.A 中不能有多余的元素，应该一个不剩，而B 中元素没有这个要求，可以允许有剩余；映射只能是“一对一”或“多对一”，而不能是“一对多”或“多对多”，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射.作业1.若集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，f ：x→y=x 2-4x 是从A 到B 的映射，则集合B 中至少有______________个元素.解答：因为集合A ＝｛0，1，2，3，4，5，6｝，对应法则为f ：x→y=x 2-4x ，所以0、4→0，1、3→-3，2→-4，5→5，6→12，而集合B 必须包含这些元素，因此B 中至少有5个元素.2.已知集合A ＝B ＝｛(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ｝，A 到B 的映射f ：(x ，y)→(x+y ，xy).(1)A 中元素(2，-3)对应于B 中哪个元素？(2)B 中元素(2，-3)与A 中哪个元素对应？解答：(1)当x ＝2，y ＝-3时，x ＋y ＝-1，xy ＝-6，所以A 中元素(2，-3)对应于B 中元素(-1，-6).(2)当⎩⎨⎧-==+3,2xy y x 时,得⎩⎨⎧=-=3,1y x 或⎩⎨⎧-==,1,3y x 所以B 中元素(2，-3)与A 中元素(-1，3)和(3，-1)对应.3.阅读课本第44页第12题(阅读题)，找一些生活中与对应和映射有关的实例.设计感想原教材中映射这部分内容是安排在函数这一章的开始，现在苏教版教材安排在函数概念、图象、表示方法、单调性、奇偶性等内容之后.因为映射的概念如果单单从非数学的日常生活方面来看，并不难以理解，但是上升到严格的数学定义和抽象的数学概念就比较深奥.所以教材这样安排一方面是考虑到多数高中学生的认知特点.为了降低难度,教材先让学生对函数有了初步认识，接触了部分具体的函数，在有了一定的体会后，再学习映射，同时对函数的认识也得到进一步加强.另一方面是为了通过循环反复学习，加深了学生对函数概念的理解，有助于他们对函数概念本质的理解，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.本课在教学设计时努力体现新课标的要求.在映射概念引入时，先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后再举一些数学例子，先用图形表示映射，在集合的选择上先选择了能用列举法表示的有限集，对应法则用语言描述，对应形式上分为“一对多”“多对一”“多对一”“一对一”四种情况，让学生认真观察，比较，再引导学生发现其中“一对一”和“多对一”的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识.这样的教学方法可以让学生比较直观地认识映射，而后再选择用抽象的数学符号表示映射.在教学方法上本课采用启发、讨论的形式，让学生在实例中去观察、比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例、计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用.为了使学生更加容易接受抽象的数学概念，也可以多采用一些日常生活的语言，列举一些学生感兴趣的例子.譬如为了让学生对映射可以“一对一”，也可以“多对一”，但不能“一对多”，也不能“多对多”有深刻印象，可以用“射雕”来比喻：可以“一箭一雕”“多箭一雕”但不能“一箭双雕”“一箭多雕”“多箭多雕”；为了让学生对“A 中任一元素在B 中均有唯一的一个元素与之对应，但允许B 中有一些元素没有A 中任何元素与之对应”有深刻印象，仍然可以用“射雕”来比喻：“鞘中的箭必须射完，而且箭箭中雕，但有些雕可以不是瞄准的目标”.习题详解课本第43页习题2.1(3)1.函数Y=kx+b y=xk+bk＞0 k＜0 k＞0 k＜0单调区间(-∞,+∞)(-∞,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)单调性单调递增单调递减单调递减单调递增2.略.3.(1)单调增区间(-∞，0]，单调减区间[0，＋∞)，最大值是1，无最小值；(2)单调减区间[-1，1]，最大值是2，最小值是-2；(3)单调减区间[0，＋∞)，最大值是0，无最小值；(4)单调增区间(-∞，＋∞)，无最大值和最小值.(1) (2)(3) (4)4.因为a2+1-2a=(a-1)2≥0，所以a2+1≥2a，故f(a2+1)≤f(2a).5.(1)当a、b不全为0时，f(x)为偶函数；当a=b=0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；(2)奇函数；(3)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.6.因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，所以f(x)是偶函数.图象如图所示.7.证明：(1)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-2x12+3-(-2x22+3)=2(x1+x2)(x2-x1).因为x1+x2＜0且x2-x1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调增函数；(2)设x1＜x2≤0，则f(x1)-f(x2)=-x13+1-(-x23+1)=x23-x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22).因为x1＜x2≤0且x1x2≥0，x12＞0，x22≥0，x12+x1x2+x22＞0.而x2-x1＞0，所以f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(-∞，0]上是单调减函数；(3)①设x 1＜x 2＜0，则f(x 1)-f(x 2)=213x --2+23x =3(21x 11x -)=2121)(3x x x x -. 因为x 1x 2＞0，x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＜f(x 2)，故f(x)在(-∞，0)上是单调增函数； ②设0＜x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=4343)(3x x x x -.由0＜x 3＜x 4，得x 3x 4＞0,x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(-∞，0)和(0，＋∞)上是单调增函数；(4)①设0＜x 1＜x 2≤1，则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -x 2-21x=x 1-x 2+2112x x x x -=(x 1-x 2)·21121x x x x x -. 因为0＜x 1＜x 2≤1，所以0＜x 1x 2＜1,x 1x 2-1＜0.而x 1-x 2＜0，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(0，1]上是单调减函数；②设1≤x 3＜x 4，则f(x 3)-f(x 4)=(x 3-x 4)·43431x x x x -.因为1≤x 3＜x 4，所以x 3x 4＞1，x 3x 4-1＞0.而x 3-x 4＜0，所以f(x 3)＜f(x 4)，故f(x)在[1，＋∞)上是单调增函数.综上所述，f(x)在(0，1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数.8.因为B ＝｛-1，3，5｝，f ：x→2x -1，要组成A 到B 的映射，只要A 中的任一元素在对应法则f 下的对应元素都在B 中即可.而0→1，2→3，3→5，所以集合A 只要是｛0，2，3｝的非空子集就可以了.本题答案不唯一，共有7个.9.因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，即x 2-mx+1=x 2+mx+1恒成立，所以m=0.10.因为f(x)是R 上的奇函数，所以f(0)=f(-0)=-f(0)，所以f(0)=0.又因为x ＞0时，f(x)=1，所以x ＜0时，-x ＞0，f(-x)=1，f(x)=-f(-x)=-1.综上所述，f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,0,0,1x x x11.函数的单调增区间是(-∞，＋∞)，图象如图所示.12.f(x)g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) 增函数 增函数增函数 增函数13.略.。

§2.3映射的概念一、 学习目标1. 了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射2. 通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系 二、 温故习新在初中我们已学过一些对应的例子：(1)看电影时,电影票与座位之间存在着一一对应的关系； （2)对任意实数a,数轴上都有唯一的一点A 与此相对应;（3）坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对（x,y ）和它对应; (4）任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应； (5）高一(16）班的每一个学生与学号一一对应。

这些例子有什么共同特点呢？1。

一般地，设A ，B 是两个 ，如果按某种 ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有 与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的 .2。

映射与函数有什么区别和联系？三、 释疑拓展题型一:判断是否为映射【例1】判断下列对应是不是映射B A f →:？（1）A={三角形},B={圆｝，对应法则:f 作三角形的外接圆. （2）xx f R B R A 1:,,→==（3）下列对应中，哪些是 从A 到B 的映射．变式跟踪1判断下面的对应是不是集合A 到集合B 的映射？能否建立集合A 到集合B 的函数?（1）),0(,+∞==B R A ，:f 求平方； （2）R B A =+∞=),,0(,:f 求算术平方根; （3）),0(,+∞==B R A ，x x f →:(4) {}3,,,2),(*<+∈∈<=y x N y Z x x y x A ,{}2,1,0=B ,y x y x f +→),(:题型二：元素的问题【例2】设集合{}R y x y x B A ∈==,),(，f 是A 到B 的一个映射，并满足),(),(:y x xy y x f --→.（1） A 中的哪一个元素对应B 中的元素)4,3(？ （2） 试探索B 中哪些元素可以由A 中元素对应而得；（3） 求B 中元素),(b a 在A 中有且只有一个与它对应时，a,b 满足的关系式.变式跟踪2集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-===N n n n m m B N A ,1212,B y A x x x y x f ∈∈+-=→,,1212:，那么在f 作用下,与B 中元素119对应的A 中元素是 。

2.3 映射的概念课标知识与能力目标1.理解映射的概念2. 学会判断什么是映射3. 运用映射解决问题知识点1：映射1.概念：一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射．记作：f：A→B.2.规律方法：判断f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．即映射须满足：A 中元素不剩且一对一或多对一．考点1：映射的判定例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求平方的倒数”．例2 下面各图表示的对应构成映射的有________．例3 下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？(1)A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →x ；(2)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →1x； (3)A ＝N *，B ＝{0,1,2}，f ：除以3得的余数；(4)A ＝{－4，－1,1,4}，B ＝{－2，－1,1,2}，f ：x →x 12.考点2：确定映射中的对应元素例1 已知映射A →B 的对应法则f ：x →2x ＋1，则B 中元素3在A 中的与之对应的元素是________．例2 把题设中“f ：x →2x ＋1”换成“f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )”则A 中元素(3,2)在B 中与之对应的元素是________．考点3：映射的个数问题例1 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}，(1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )>f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．例2 集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，由M 到N 的映射f 满足条件f (a )＋f (b )＝f (c )，求这样的映射有几个．。

映射的概念一、预习练习：1、一般地，设A 、B 是两个____________，如果按某种对应法则f ，对A 中的_______元素，在B 中都有________的元素与之对应，那么，这样的__________对应，叫做集合A 到集合B 的映射，记做_____________.2、一个映射是由__________________________________三部分构成.3、从A 到B 映射和从B 到A 映射是否一样？ 答：________4、下列关于映射的说法正确的有_______________①A 中每一个元素，在B 中都存在元素与之对应； ② A 中可能有一个元素，在B 中没有元素与之对应；③A 中可能有多个元素与B 中的某元素对应；④B 中不可能有元素不被A 中元素对应。

6、集合M={ 1，2，x } N={ 2，5，7 } ，映射f ：a a 2+1 ，则x 的取值可为（ ）A 3 或 -3 ；B 4或 -4 ；C 5 或 -5 ；D 6 或 -6二、课后练习：1、集合A 和B 都是自然数集，映射f ：ab ，把A 中的元素n 映射到B 中的元素2n +n ，则在f 下，A 中的元素______对应B 中的元素3 。

--------------------------------------( )A 、1 ;B 、3 ;C 、 9 ;D 、 11 .2、设A={x/0≤x ≤2 } ，B={y/1≤y ≤2}，在下图中能表示从A 到B 的映射的是----（ ） 3 ） A （1，3）； B （1，3）或（3，1）； C （3，1）； D （-1，-3）或（-3，-1）4、集合P=[-2，2] ，Q=[-1，-1] ，下列对应x y ，不表示从P 到Q 的映射的是（ ）A 2y=x ；B y 2 = 0.5（x+2）;C y=0.5x 2-1 ;D x 2=-4y5、在映射f ：A B 中，下列说法不正确的是------------------------------------------------（ ） ①集合B 中的任一元素，在集合A 中最少有一个元素和它对应；②集合B 中最少存在一元素在集合A 中无原象；③ 集合B 中可能有元素在集合A 中无原象；④集合B 中可能有元素在集合A 中的原象不止一个。

映射的概念
学习目标
1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射；
2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系.
重点：映射的理解
难点：映射与函数的内在联系
三、合作释疑
例 1.设集合{}f R y x y x B A ,,|),(∈==是A 到B 的一个映射，并满足),(),(:y x xy y x f --→. （1）A 中的哪一个元素对应B 中的元素)4,3(？ （2）试探索B 中哪些元素可以由A 中元素对应而得；
（3）求B 中元素),(b a 在A 中有且只有一个与它对应时，b a ,满足的关系式.
例2.已知{}{}1,0,1,,,-==B c b a A .映射B A f →:满足()()()c f b f a f =+ ，求映射B A f →:的个数.
四、当堂达标
1.下列对应关系，是否为从A 到B 的映射？如果是从A 到B 的映射，那么能否建立从A 到B 的函数？
（1）{}，西江苏，山东，山西，江=A {}
昌南京，济南，太原，南=B ，
.:会城市中的每个省对应它的省对于集合A f
（2）{}；，无理数对应有理数对应01:,1,0,f B R A ==
（3）{}:,,|),(f R y R x y x B A ∈∈==),2(),(y x y x y x +-→； （4）,:],1,0[,y x f B R A →==其中y 是x 的小数部分.
2.若{}5,3,1-=B 试找出一个集合A ,使得12:-→x x f 是从A 到B 的映射.
记录与整理
小结与反思。

映射的概念
学习目标
1.了解映射的概念，能够判定一些简单的对应是不是映射；
2.通过对映射特殊化的分析，揭示出映射与函数之间的内在联系.
重点：映射的理解
难点：映射与函数的内在联系
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三、合作释疑
例 1.设集合{}f R y x y x B A ,,|),(∈==是A 到B 的一个映射，并满足),(),(:y x xy y x f --→. （1）A 中的哪一个元素对应B 中的元素)4,3(？ （2）试探索B 中哪些元素可以由A 中元素对应而得；
（3）求B 中元素),(b a 在A 中有且只有一个与它对应时，b a ,满足的关系式.
例2.已知{}{}1,0,1,,,-==B c b a A .映射B A f →:满足()()()c f b f a f =+ ，求映射B A f →:的个数.
四、当堂达标
1.下列对应关系，是否为从A 到B 的映射？如果是从A 到B 的映射，那么能否建立从A 到B 的函数？
（1）{}，西江苏，山东，山西，江=A {}
昌南京，济南，太原，南=B ，
.:会城市中的每个省对应它的省对于集合A f
（2）{}；，无理数对应有理数对应01:,1,0,f B R A ==
（3）{}:,,|),(f R y R x y x B A ∈∈==),2(),(y x y x y x +-→； （4）,:],1,0[,y x f B R A →==其中y 是x 的小数部分.
2.若{}5,3,1-=B 试找出一个集合A ,使得12:-→x x f 是从A 到B 的映射.
记录与整理
小结与反思。

高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 映射学案苏教版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 映射学案苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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映射一、考点突破了解映射的概念及表示方法。

二、重难点提示重点：理解映射的概念；难点：理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.◆ 映射的定义设A ，B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一的．．．元素与之对应，那么这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:。

注意：（1）要理解映射定义中的关键词；（2)A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完,这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多；(3)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫做x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。

◆ 映射的“三性”1. “有序性”：映射是有方向的，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射往往不是同一个映射;2。

“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素,集合B 中都存在元素和它对应;3。

“唯一性":对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中和它对应的元素是唯一的。

例题1 下列对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是？如果不是映射,如何修改可以使其成为映射?（1)A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；（2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆},对应法则f ：作三角形的外接圆。

映射的概念
一、教学重、难点
1．教学重点：映射的概念
2．教学难点：理解映射与函数的区别和联系
二、新课导航
1．问题展示
映射的定义：一般地，设A ，B 是两个非空集合，如果 ，对 于 ， ，那么 叫做 的映射，记为
注：（1）映射与函数的区别与联系：
（2）映射的三要素：
（3）Ａ不同：ＢＢ与：Ａ→→f f
（4）A 中元素无剩余，B 中元素可能有剩余，B 中惟一元素与之对应。

2．基础测评
判断下列对应是否是映射：
①|3|-→x x f ：，Ａ＝Ｎ，Ｂ＝Ｎ＋
②⎩
⎨⎧<≥→0,00,1x x x f ：｝，Ａ＝Ｒ，Ｂ＝｛０，１ 三、合作探究
活动1 P46 例1
活动2 已知B A f →： ,}5,3,1{　-=B 12-→x x f ：，求Ａ
活动3 （1）设集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，从A 到B 的对应法则f 为
①x x f 21→： ；②2-→x x f ： ； ③x x f →： ； ④|2|-→x x f ：； ⑤x x f 32→： ；⑥x x f 31→： ，能构成映射的有 个。

（2） }2,1{},{==B b a A ，从A 到B 的映射不同个数有 个。

活动 4 设B A f →：是从B A 到的一个映射，其中},|),{(R y x y x B A ∈==，),(),(y x y x y x f +-→：，那么A 中元素（－1，2）对应的元素为 ；与B 中元素（－1，2）对应的元素为
四、知识网点。