第2讲函数与映射的概念复习.docx

映射与函数知识点总结一、映射与函数的概念1.映射的定义：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素的规律称为映射。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有一个元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的映射。

记作f：A→B。

2.函数的定义：函数是一种特殊的映射，它满足每个元素a∈A只能对应一个元素b∈B的规律。

对于给定的两个集合A和B，如果每个元素a∈A都有唯一的元素b∈B与之对应，那么就称集合A到集合B的函数。

记作f：A→B。

3.定义域和值域：函数f的定义域是指所有可能作为函数输入的数的集合，通常用符号D(f)表示；函数f的值域是指函数所有可能的输出的数的集合，通常用符号R(f)表示。

二、映射与函数的性质1.单射：也称为一一对应，指当对于集合A中的不同元素a1和a2，它们在集合B中的对应元素f(a1)和f(a2)也不相同。

换句话说，每个元素a∈A都对应着集合B中唯一的元素。

2.满射：也称为映满函数，指函数的值域与集合B相同，即函数的所有可能的输出都在集合B中。

3.双射：即同时满足单射和满射的函数，也称为一一映射。

4.奇函数和偶函数：如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f是奇函数；如果对于函数f的定义域中的每一个实数x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f是偶函数。

5.反函数：如果函数f的定义域和值域都是实数集，且对于函数f中的每一对实数(x,y)，都有y=f(x)，则存在一个函数g，使得对于函数g中的每一对实数(y,x)，都有x=g(y)。

这样的函数g称为函数f的反函数。

三、映射与函数的应用1.函数关系式：映射与函数可以描述实际问题中的各种关系，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

通过分析函数关系式，我们可以了解函数的性质和特点，从而应用到各种实际问题中。

2.函数的图像：通过绘制函数的图像，可以直观地表达函数的变化规律，了解函数的增减性、奇偶性、周期性等。

中考数学复习如何理解函数与映射的概念函数与映射是中学数学中重要的概念之一，很多同学在学习数学时往往对这两个概念感到困惑。

为了帮助大家更好地理解函数与映射，本文将从概念定义、特性以及实际应用等方面进行探讨。

一、函数的概念与特性在数学中，函数是指两个数集之间的一种对应关系，其中每个输入都对应唯一的一个输出。

具体地说，对于一个函数 f，输入集合中的每个元素 x，都对应唯一的输出 y。

函数通常用 f(x) 来表示，其中 x 是自变量，y 是因变量。

函数可以用多种形式来表示，比如集合表示法、符号表示法、图像表示法等。

符号表示法最为常用，通常采用 f(x) = ... 的形式来表示。

函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，值域是指所有可能的因变量的取值。

函数具有以下特性：1. 唯一性：每个自变量的取值只能对应一个输出。

2. 定义域与值域：函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或自然数集等。

3. 单调性：函数可以是递增的或递减的。

4. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数，具有一定的对称性。

5. 周期性：有些函数具有周期性，即在一定的周期内重复。

二、映射的概念与特性映射是函数的一种特殊形式，也是一个集合与集合之间的对应关系。

映射从一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，通常用f: A →B (读作“映射 f 从集合 A 到集合B”) 来表示。

A 称为原集合，B 称为目标集合。

映射的特性包括：1. 确定性：映射中的每个元素在原集合中只能有一个对应元素。

2. 全射性：如果目标集合中的每个元素都有在原集合中的对应元素，则称映射是满射的。

3. 单射性：如果原集合中的每个元素在目标集合中都有唯一的对应元素，则称映射是单射的。

4. 满射性：如果映射同时具有全射性和单射性，则称映射是双射的。

三、函数与映射的实际应用函数与映射在数学中具有广泛的应用，也在实际生活中起到重要作用。

下面以几个实际例子来说明：1. 财务管理中的函数：在企业财务管理中，成本与产量之间的关系可以用函数来表示。

第二讲 函数－映射映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象 辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；一、例题讲解例1判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f （2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f → （3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f → （4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →: 二、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 （B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 （C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射（B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =119求出x 即可.同理可求1311的原象.函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)(（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（一）已学函数的定义域和值域1．一次函数 2．反比例函3． 二次函数 （二 ）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（三）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(108642-2-4-6-10-5510Q'P'O'N'M'L'K'G'GQP ONML K 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 三、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(. 强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.例2 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1). 例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =解：⑴()2x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同） 函数的表示法 例一作出函数xx y 1+=的图象 列表描点：补充：8642-2-4-6-10-5510654321-1-2-3-4-6-4-224681．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时，即x-2＜0时，49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y22<≥x x 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出2． 作出函数|32|2--=x x y 的函数图像解：⎩⎨⎧<-----≥----=032)32(032322222x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2x -2x -3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|2x -2x -3|的图象。

第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得 ⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u 同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能： （Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.图Ⅰ－1－2－1【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C 例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决.（2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；（iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 )()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1→2→3→5→8→13→21→… ①链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链.对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(([由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。

课次教学计划（教案）一引入课题复习初中已经遇到过的对应：1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．二新课教学1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2；3．什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？函数的概念（Ⅰ）引入问题问题1 初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数） 问题2 初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x 和y ，，如果给定了一个x 的值，相应地确定唯一的一个y 值，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量）。

映射的概念和函数的概念映射的概念和函数的概念都涉及了数学中的一种关系，在数学中常被用来描述元素之间的对应关系。

虽然映射和函数都描述了元素之间的关系，但在不同的数学领域和语境中，这两个术语的使用可能略有不同。

下面将分别对映射和函数这两个概念进行较为详细的解释。

映射是数学中的一个概念，它描述了元素之间的一种对应关系。

简单来说，映射就是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素，其中每个元素在映射中只能被对应一次。

映射通常用箭头“→”或者表示，例如“f: A →B”，表示把集合A中的元素映射到集合B中的元素。

其中，A称为映射的定义域或者输入域，B称为映射的值域或者输出域。

映射的定义可以相当灵活，可以是任意类型的元素之间的对应关系，不仅局限在数字之间的对应关系。

例如，我们可以定义一个映射f，把一个人的名字对应到他的年龄上。

在这个例子中，映射的定义域是人的名字的集合，值域是人的年龄的集合。

我们可以通过查找映射f来找到某个人的年龄。

函数是映射的一种特殊情况，它在数学中具有更为具体严格的定义。

函数是一种关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用一种常见的表示法“y = f(x)”来展示，其中y是函数的输出，x是函数的输入。

函数的定义域是所有可能的输入，而值域则是所有可能的输出。

函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或者其他类型的集合，取决于问题的具体上下文，而函数的定义域和值域通常具有一定的关系。

例如，我们可以定义一个函数f(x) = x²，其中定义域和值域都是实数集。

这个函数接受一个实数作为输入，并将其平方作为输出。

函数在数学中有很多重要的属性和性质。

比如，函数可以是线性的、非线性的、一一对应的、多对一的、单射的、满射的等等。

函数之间可以进行运算，比如函数的加法、减法、乘法和除法。

函数还可以进行复合，即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在计算机科学中，函数被广泛应用于编程和算法设计中。

第2讲函数与映射的概念★知识梳理1.函数的概念(1)函数的定义：设4、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则对于集合A中的每一个数兀, 在集合B 中都有唯•确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y = f(x)9x G A(2)函数的定义域、值域在函数y = 屮，x叫做H变量，兀的取值范围A叫做y = /(兀)的定义域; 与兀的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛门力卜丘力｝称为函数)/(朗的值域。

(2)函数的三要索：泄义域、值域和对应法则2.映射的概念设A、3是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合A中的任意元素,在集合3 中都冇唯二确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到3的映射，通常记为★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1.关于抽象函数的定义域求抽彖函数的定义域，如果没有弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为［Q,b\,求y = /(x + 2)的定义域［误解］因为函数y = f(x)的定义域为［a, b］,所以a<x<b f从而a + 2 5 x +2 5 b + 2故y = /(兀+ 2)的定义域是［a + 2,b + 2］［正解］因为y = /(x)的定义域为［a, bl，所以在函数y = /(x +2)屮，a<x + 2<b fM\ia-2<x<b-2f故歹=/(x + 2)的定义域是［a-2,b-2］即本题的实质是求a<x + 2<h中x的范围问题2：已知y = f(兀+ 2)的定义域是［a, b］,求函数y = f (x)的定义域［误解］因为两数y = /(x + 2)的定义域是［a, bl，所以得到a<x + 2<b,从而a-2<x<b-2,所以函数)，=/(x)的定义域是\a-2.b-2] [正解]因为隊I 数y = /(x + 2)的定义域是[s b],则a<x<b,从而a + 2 W x +2 W b + 2所以函数y = f(x )的定义域是[a + 2,6 + 2]即本题的实质是由。

【高三】2021届高考数学映射与函数的概念知识归纳复习教案一、映射（1）映射的概念：设a和B是两个集合。

如果根据某种对应定律，对于集合a中的任何元素，集合B中有一个唯一的元素对应于它。

这种对应关系称为集合a到集合B的映射，它被记录为（２）象和原象：给定一个集合ａ到ｂ的映射，且，，如果元素和元素对应，那么，我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．二、功能（１）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对应，那么就是的函数，记为．（2）现代定义：函数是从一组非空数到另一组非空数的映射（３）函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射．（4）函数表示法：解析法、列表法、图像法理解好函数概念还必须注意以下几点：① 函数是一种特殊的映射。

集合a和B是非空的数字集合②确定函数的映射是从定义域ａ到值域ｃ上的映射，允许ａ中的不同元素在ｃ中有相同的象，但不允许ｃ中的元素在ａ中没有原象．③ 只有定义字段、值字段和对应规则相同时，两个函数才相同④函数的定义域、值域、对应法则统称为函数的三要素，其中对应法则是核心，是使对应得以实现的方法和途径，是联系与的纽带．定义域是自变量的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．⑤ 函数的图像可以是一条或多条光滑曲线、一些离散点、一些线段等⑥的含义与的含义不同．表示自变量时所得的函数值，它是一个常量；是的函数，通常它是一个变量．定义方法用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．【例1】已知函数f（x）的定义域为[-1,5]。

在同一直角坐标系下，函数y=f（x）的图像与直线x=1的交点数为（）a．0个b．1个c．2个d．0个或1个分析：∵ f（x）的域为[-1,5]，而∈ [- 1,5]∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上点（1，f（1））在直线x=1上∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象必有一个交点(1，f(1))根据函数的定义，函数是一种特殊的映射，即对于定义域[-1,5]中的任何元素，在其值域中有一个唯一确定的元素f（1）对应于它，因此直线x=1和y=f（x）的图像有且只有一个交点三、典型例题问题类型1映射和函数的概念[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．分析：（1）函数的定义域和相应的规律是相同的，所以它是相同的函数(2)y＝＝x＋1，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．（3）函数f（x）=？域的定义是{XX≥ 0}而g(x)＝的定义域为{xx≤－1或x≥0}，它们有不同的域，所以它们的功能不同(4)去掉绝对值号可知f(x)与g(x)是同一函数．总结和评论：当一个函数的对应规律和定义域确定时，它的值域也确定了，因此函数的三个元素（定义域、值域和对应规律）可以简化为两个元素（定义域和对应规律），所以这两个函数是同一个函数，当且仅当定义域和相应定律相同时练习：下列各组函数中，表示相同函数的是（d）例2。

高三数学函数、映射的概念知识点(一)函数定义1定义(传统)：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的值域。

显然值域是集合B的子集。

构成函数的三要素定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

函数的表示方法：1解析法：如果在函数y=f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法;2列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法。

3图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：注函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

映射：通常情况下，映射一词有照射的含义，是一个动词。

在数学上，映射则是个术语，指两个元素集之间元素相互“对应”的关系，名词;也指“形成对应关系”这一个动作，动词。

(1)设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

(2)像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

映射与函数【知识目标】1． 了解映射的概念及表示方法，能识别集合A 与B 之间的一种对应是不是从集合A 到集合B 的映射；了解一一映射的概念。

2． 理解函数的概念，明确确定函数的三个要素；掌握函数的三种表示方法；理解函数的定义域、函数值和值域的意义，会求某些函数的定义域；掌握同一函数、复合函数、分段函数（定义域和值域）.知识梳理.1.理解映射与函数的概念中要注意的几点：①映射的定义涉及两个集合A ，B ，它们可以是数集，也可以是点集或其他集合；这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；在映射B A f →:之下，集合A 中的任何一个元素在B 中都有象，并且象是唯一的，否则，不能构成映射。

例如：设A ={0，1，2}，B ={0，1，1/2}，对应关系“f ”是“取倒数”，这时由于集合A 中的元素0，在集合B 中无象，所以集合A ，B 与对应关系f 不能构成映射；②在构成函数的“定义域”，“值域”以及“定义域到值域上的对应关系”这三者中，最重要的是对应关系；函数符号y =f (x )中，f 即表示对应关系。

这个符号不表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定是解析式；2.已知函数解析式求函数定义域的主要根据：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等 于1；⑤零次幂的底数不为零；⑥三角函数中要注意正切、余切函数的定义域； ⑦如果函数是由一些基本函数通过四则运算组合而成的，则它的定义域为各基本函数的定义域的交集.3.求函数解析式几种常用的方法：换元法、配凑法、待定系数法.例授：例1. 下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A ．A =R ，B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x |B ．A =N ，B =N ＋，x ∈A ，f ：x →|x －1|C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2D ．A =Q ，B =Q ，f ：x →x1 例2.下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是（ ） A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2 B ．f (x )=1，g(x )=x 0C ．f (x )=|x |，g(x )=2xD ．f (x )=|x |，g(x )=⎧⎨⎩x,x ∈(0,+≦)-x,x ∈(-≦,0). 例3. （1）求函数y =1122---x x 的定义域. （2）已知函数f (x 2)的定义域为［1，2］，求f (x 2log )的定义域.（3）已知函数y =()[]1)1(1lg 22+++-x a x a 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.例4.（1）已知函数f (x ＋1)=x ＋1，求函数f (x )的解析式.（2）已知y =f (x )是一次函数，且有f [f (x )]=9x ＋8，求此一次函数的解析式.（3）已知函数f (x )=2x-1,g (x )=()()⎩⎨⎧<-≥0102x x x ,求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式。

《必修1》 第二章 函数一、函数与映射的概念 1、函数定义：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数. 记作：y=f(x),x A ∈自变量x 的取值范围（即数集A ）叫做函数的定义域 自变量x 取某一特殊值a 时，对应的y 的值叫做函数在x=a 处的函数值，记作： y=f(a)，或ax y=所有函数值构成的集合{A x x f y y ∈=),(}叫做函数的值域.【注】函数y=f(x)也常记作：函数f(x)或函数f.2. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. ,从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素. 3. 区间的概念4.映射的定义：设非空集合A ，B ，若按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，x →f(x)其中，x 叫做原象，y 叫做在映射f 下的象，即有y=f(x). 若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应, 则称从A 到B 的映射为一一映射。

若B 中任何元素都有原象，则称映射为满射.【注】(1) 三要素：A → B(2) A 中元素的任意性，B 中元素的唯一性(3)可以“多对一”，不可以“一对多”. 5. 函数与映射的关系函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C ={f (x )|x ∈A }为值域。

B C ⊆。

因此函数是一种特殊的映射。

练习1：函数的概念1、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出f则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．2、设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有 （ ）A .0个B .1个C .2个D .3个注： 同样的抛物线由于开口方向不同，有的是函数，而有的就不是。