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中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
题型二 选择压轴题之几何图形最值问题类型一线段最值问题1. 如图，在△ ABC 中，/ BAC = 90° AB = 3, AC =4,P 为边 BC 上一动点，PE 丄AB 于 E ,PF 丄AC于F , M 为EF 的中点，贝U PM 的最小值为（）和AC 上的动点，贝U PC + PQ 的最小值是（3.如图，在 Rt A ABC 中，/ B = 90° AB = 3, BC = 4，点D 在BC 上，以 AC 为对角线的所有 ？ADCE 中，DE 的最小值是（）点，贝U PC + PD 的最小值为（）A.1.2D. 2.42.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°12 A ・5B. 424 C.24D. 5A.3B. 2C.4D. 54.如图，菱形 值是（）ABCD 中，/ ABC = 60° 边长为13, P 是对角线BD 上的一个动点，则2PB + PC 的最小C.3D. 2 + ；35. 如图，在△ ABC 中，AC = BC , / ACB = 90° 点D 在BC 上，BD = 3, DC = 1，点P 是AB 上的动A.4C.1.4AC = 6,若P , Q 分别是AD第3题图第4题图C.6第5题图 第6题图6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE = CF ,连接BF 、 DE ，贝U BF + DE 的最小值为（）边BC , CD 上，则△ AMN 周长的最小值为（）1BP ,贝U AP + 2BP 的最小值为A.2 .'5B. 4 ,'57. 如图，在四边形 ABCD 中，/ BAD = 120° / C.2 /3D. 4 ! 3B =Z D = 90° AB = 2, AD = 4，点 M ，点 N 分别在A.3 ：7D. 118.如图，在直角坐标系中，点 （1，5）和（4，0），点C 是y 轴上的一个动点，且 B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（）A.(0，1)B. (0， 2)C.(0， 3)D. (0，4)9.如图，矩形ABCD 中，AB = 8, BC = 6，点 E , F , G , H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE = CG ,BF = DH ，则四边形 A.4 .'3EFGH 周长的最小值为（）C.8 .' 7B. 10li10.如图，在 Rt △ ABC中，/ ACB = 90° CB = 4, CA = 6, O C 半径为2, P 为圆上一动点，连接 AP ,A. 37B. 6C.2 . 17D. 411.如图，在 Rt △ ABC中, / ACB = 90° AC = 8, BC = 6，动点F 在边BC 上运动，连接 AF ，过点C作CD 丄AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为 （）A.2B. 4C.2 . 13-3D. 2 . 13-4A 、B 的坐标分别为 \II I ）第9题图第11题图 第12题图12.如图，在等边△ ABC 中，BF 是AC 边上中线, 点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ ADE ,接AE 、BF ，交于点 G ,连接DG ,则DG 的最小值为（）16.在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° AC = 8, BC = 6,点D 是以点 A 为圆心，4为半径的圆上一点，连 接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为（）类型二面积最值问题（拓展）1.如图，点E 为边长为4的等边△ ABC 的BC 边上一动点（点E 不与B 、C 重合），以AE 为边作等边△ AEF ，则△ AEF 面积的最小值是（）2. （2017合肥蜀山区模拟）如图，O O 的半径是2,直线 两个动点，且在直线I 的异侧，若/ AMB = 45°,则四边形 MANB 面积的最大值是（）3. 如图，在矩形 ABCD 中，AD >AB ,点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且 CE + CF = 8，若sin / ABD连接EF ，当△ AEF 周长最小时，/ CFE 的大小是A.30B. 45C.60D. 9013.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点, 占 八A 、B 、C 的坐标分别为 A （ .3, 0）、B （3.'3, 0）、C （0,5），点D 在第一象限内，且/ ADB = 60 °则线段 CD 的长的最小值是（ ）C.2 .'7 — 2D. 2 . 10 — 214.如图, 在 Rt A ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2, 点E 为边BC上的动点，将△ CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（A.33C.315.如图, 第14题图第15题图正方形 ABCD 的边长为2,点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且CE =DF ，连A. .;3 — 1B. ,'5 — 1C. ；'3A.8B. 7C.6D. 5A.2l 与O O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O O 上的A.2B. 4C.2 .2D. 4 2第1题图C. 34=4，BD = 20,则厶AEF 的面积的最小值为（ ）5+ Z CBP = 90°连接DP ,。
专题一：“最值问题”专题复习——平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
（2）运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
例2、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？分析: 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．例3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？例4、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？分析因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A 重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．例5、如图，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．例6、如图．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证明：设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则 P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其它位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．例7、设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值．解如图，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．例8、如图．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即 AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为专题复习——几何的定值与最值几何中的定值问题，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D′，DQ ⊥CC′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们⌒的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．。
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+12BD的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+32.如图，在ΔABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则22AP+PB的最小值是( )A.52B.53C.1033 D.83.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+34.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.355.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.46.在ΔABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则2BP+AP的最小值为( )A.5B.10C.52D.1027.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 ．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 ．11.如图，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 ．12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 ．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 ；17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？19.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(-1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D 处，且DD =2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN⎳y轴交直线OD 于点N，连结CN．当55D N+CN的值最小时，求MN的长．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
专题09 几何最值问题目录热点题型归纳题型01 将军饮马模型题型02 费马点模型题型03 阿氏圆模型题型04 隐圆模型题型05 瓜豆圆模型中考练场题型01 将军饮马模型【解题策略】两定一动模型一定两动模型（同侧）（异侧）两线段相减的最大值模型（三点共线）【典例分析】例．（2022·黑龙江·中考真题）1．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD Ð=°，3AD =，AH 是BAC Ð的平分线，CE AH ^于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是 ．【变式演练】（2022·山东枣庄·二模）2．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是 ．（2023广东广州·模拟预测）3．如图，四边形ABCD 中，AB CD P ，AC BC ^，60DAB Ð= ，4AD CD ==，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足90AMD Ð= ，则MBC V 面积的最小值为 ．题型02 费马点模型【解题策略】将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°，得到AQE ，连接PQ ，则△APQ 为等边三角形，PA =PQ ．即PA +PB +PC =PQ +PB +PC ，当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE ．【典例分析】例．（2023全国·中考模拟预测）4．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：①12AP BP +，②2+AP BP ，③13AP BP +，④3+AP BP 的最小值．【变式演练】（2022·广东广州·一模）5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 是AB 边上一动点，作PD ⊥BC 于点D ，线段AD 上存在一点Q ，当QA +QB +QC 的值取得最小值，且AQ =2时，则PD = ．（2023广东·一模）6．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝6，AC ＝4，P 为平面内一点，求3PC ++最小值（2024湖北中考·二模）7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 是正方形内部一点，求2PA PB +的最小值．题型03 阿氏圆模型【解题策略】问题：在圆上找一点P 使得PA k PB + 的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值．【典例分析】例．（2023·广西·中考真题）8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y轴交于点C ，且3OB OA ==，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H e ，点Q 为H e 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【变式演练】（2023·甘肃天水·一模）9．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD ﹣12PC 的最大值为 ．（2023江苏·二模）10．如图，正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，P 为B e PD -的最大值是 ．题型04 隐圆模型【解题策略】定点定长定弦定角四点共圆最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径；最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径．【典例分析】例．（2023·辽宁·中考真题）11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，点M 为BC 的中点，E 是BM 上的一点，连接AE ，作点B 关于直线AE 的对称点B ¢，连接DB ¢并延长交BC 于点F ．当BF 最大时，点B ¢到BC 的距离是 ．【变式演练】（2024浙江金华·模拟预测）12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC Ð=Ð．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE +的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2（2022·山东泰安·三模）13．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð= ，30BAC Ð= ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是 ．（2022·广东河源·二模）14．如图，已知28AC AO ==，平面内点P 到点O 的距离为2，连接AP ，若60APB Ð=°且12BP AP =，连接AB ，BC ，则线段BC 的最小值为 ．题型05 瓜豆圆模型【解题策略】条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP ：AQ 是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP ：AQ =AO ：AM ，也等于两圆半径之比．【典例分析】例．（2023·江苏·中考真题）15．在四边形ABCD 中，2,120,AB BC ABC BH ==Ð=°为ABC Ð内部的任一条射线（CBH Ð不等于60°），点C 关于BH 的对称点为C ¢，直线AC ¢与BH 交于点F ，连接CC CF ¢、，则CC F ¢△面积的最大值是 ．【变式演练】（2023江苏无锡·二模）16．如图，线段AB 为O e 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，点P 是O e 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD V ，且使60DCP Ð=°，连接OD ，则OD 长的最大值为 ．（2023·安徽·一模）17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4=AD ，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且90BEC Ð=°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD PE +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．10D ．2-（2023·江苏扬州·模拟预测）18．如图，A 是B e 上任意一点，点C 在B e 外，已知24AB BC ACD ==，，△是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（ ）A ．4+B ．4C ．8D ．6（2023·黑龙江绥化·中考真题）19．如图，ABC V 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF V 周长的最小值是 ．（2022·四川成都·中考真题）20．如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE CD ^交对角线AC 于点E ，连接BE ，点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P ¢，点Q 是AC 上一动点，连接P Q ¢，DQ ．若14AE =，18CE =，则DQ P Q ¢-的最大值为 ．（2022·广西柳州·中考真题）21．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，G 是BC 的中点，点E 是正方形内一个动点，且EG ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，则线段CF 长的最小值为 ．（2022·江苏无锡·中考真题）22．△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝°；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是 ．（2022·广西·中考真题）23．如图，在边长为ABCD 中，60C Ð=°，点,E F 分别是,AB AD 上的动点，且,AE DF DE =与BF 交于点P .当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为 ．（2023·新疆·中考真题）24．如图，在Rt ABC V 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的 E F 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是 ．1【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF 的长，∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA =OC ，OB =OD ，AD =AB =3，∵∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =3，∠BAO =30°，∴OB =12AB =32，∴OA ∴点O 关于AB 的对称点F ，∴OF ⊥AB ，OG =FG ，∴OF =2OG =OA ∠AOG =60°，∵CE ⊥AH 于E ，OA =OC ，∴OE =OC =OA ∴∠AEC =∠CAE ，∵AH 平分∠BAC ，∴∠CAE =15°，∴∠AEO =∠CAE =15°，∴∠COE =∠AEO +∠CAE =30°，∴∠COE +∠AOG =30°+60°=90°，∴∠FOE =90°，∴由勾股定理，得EF ==,∴PO +PE 最小值．【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 的长是解题的关键．2．3cm【分析】分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、，当点M 、N 在CD 上时，PMN V 的周长最小．【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∴PM CM OP OC COA POA ==Ð=Ð，，；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN DN OP OD DOB POB ==Ð=Ð，，，∴3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴COD △是等边三角形，∴()3cm CD OC OD ===．∴PMN V 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D 是解题的关键所在．3．4-【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ^交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ^于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，通过计算得出当,,O M E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ^交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ^于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，Q AB CD P ，60DAB Ð= ，4AD CD ==，\120ADC Ð=°，Q AD CD =，\30DAC Ð=°，\30CAB Ð=°，Q AC BC ^，\90ACB Ð=°903060B \Ð=°-°=°，\B DAB Ð=Ð，\四边形ABCD 为等腰梯形，\4BC AD ==，Q 90AMD Ð= ，4=AD ，OA OD =，\122OM AD ==，\点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，Q AB CD ∥，\60GCF B Ð=Ð=°，\30DGO CGF Ð=Ð=°，Q OF BC ^，AC BC ^，\30DOG DAC DGO Ð=Ð=°=Ð，\2DG DO ==，\2cos30OG OD =×°=，GF =，OF =，\2ME OF OM ≥-=，\当,,O M E 三点共线时，ME 有最小值2，\MBC V 面积的最小值为()14242=´´=．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．4．；②④．【分析】①在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．根据作图结合题意易证~V V DCP PCB ，即可得出12PD BP =，从而推出12AP BP AP PD +=+，说明当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．最后在Rt ACD V 中，利用勾股定理求出AD 的长即可；②由122()2+=+AP BP AP BP ，即可求出结果；③在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．根据作图结合题意易证~V V ECP PCA ，即可得出13EP AP =，从而推出13AP BP EP BP +=+，说明当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为BE 长．最后在Rt BCE △中，利用勾股定理求出BE 的长即可；④由133()3+=+AP BP AP BP ，即可求出结果．【详解】解：①如图，在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．∵1CD =，2CP =，4CB =，∴12CD CP CP CB ==．又∵DCP PCB Ð=Ð，∴~V V DCP PCB ，∴12PD BP =，即12PD BP =，∴12AP BP AP PD +=+，∴当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．∵在Rt ACD V 中，===AD∴12AP BP +；②∵122()2+=+AP BP AP BP ，∴2+AP BP 的最小值为2=③如图，在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．∵23CE =，2CP =，6CA =，∴13==CE CP CP CA ．又∵Ð=ÐECP PCA ，∴~V V ECP PCA ，∴13=EP AP ，即13EP AP =，∴13AP BP EP BP +=+，∴当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +长．∵在Rt BCE △中，===BE∴13AP BP +；④∵133()3+=+AP BP AP BP ，∴3+AP BP 的最小值为3=．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．5．【分析】如图1，将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接QN ，当点A ，点Q ，点N ，点M 共线时，QA +QB +QC 值最小，此时，如图2，连接MC ，证明AM 垂直平分BC ，证明AD =BD ，此时P 与D 重合，设PD =x ，则DQ =x -2，构建方程求出x 可得结论．【详解】解：如图1，将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接QN ，∴BQ =BN ，QC =NM ，∠QBN =60°，∴△BQN 是等边三角形，∴BQ =QN ，∴QA +QB +QC =AQ +QN +MN ，∴当点A ，点Q ，点N ，点M 共线时，QA +QB +QC 值最小，此时，如图2，连接MC∵将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，∴BQ =BN ，BC =BM ，∠QBN =60°=∠CBM ，∴△BQN 是等边三角形，△CBM 是等边三角形，∴∠BQN =∠BNQ =60°，BM =CM ，∵BM =CM ，AB =AC ，∴AM 垂直平分BC ，∵AD ⊥BC ，∠BQD =60°，∴BD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，此时P 与D 重合，设PD =x ，则DQ =x -2，∴x =())tan 6022x x °´-=-，∴x∴PD故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．6．【分析】将△APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到△A P ¢C ¢，将△A P ¢C ¢△AP C ¢¢¢¢，当点B 、P 、P ¢¢、C ¢¢在同一直线上时，3PC +=)''''''PB PP P C ++最短，利用勾股定理求出BC ¢¢即可．【详解】解：如图，将△APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到△A ¢C ¢，将△A ¢C ¢扩大，相△AP C ¢¢¢¢，则AP AP ¢¢¢，P C C ¢¢¢¢¢¢，AC AC ¢¢¢，过点P 作PE ⊥A P ¢¢于E ，∴AE=PE AP =，∴P ¢¢E=A P ¢¢AP ，∴P P ¢¢AP =，当点B 、P 、P ¢¢、C ¢¢在同一直线上时，3PC +=)''''''PB PP P C ++最短，此时)''''''PB PP P C ++=C ¢¢，∵∠BA C ¢¢=∠BAC +∠CA C ¢¢=90°，AB =6，4AC AC ¢¢¢=∴BC ¢¢==．∴3PC +=C ¢¢=【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．7．【分析】延长DC 到H ，使得28CH BC ==，则BH =，在CBH Ð的内部作射线BJ ，使得PBJ CBH Ð=Ð，使得BJ ，连接PJ ，JH ，AH ．先证明JBP HBC △∽△，可得2PJ PB =，再证明PBC JBH △∽△，可得：HJ =，从而得到2PA PB PA PJ HJ AH +=++≥，计算出AH 的长度即可．【详解】解：延长DC 到H ，使得28CH BC ==，则BH =，在CBH Ð的内部作射线BJ ，使得PBJ CBH Ð=Ð，使得BJ ，连接PJ ，JH ，AH ．PBJ CBH Ð=ÐQ ，BP BC BJ BH =，\PB BJ BC BH=，JBP HBC \V V ∽，90BPJ BCH \Ð=Ð=°，2PJ PB \===，PBC JBH Ð=ÐQ ，PB BC BJ BH=，PBC JBH \V V ∽，\PC PB JH BJ =HJ \2PA PB PA PJ H J \+=++，PA PJ JH AH ++≥Q ，2PA PB \+≥=2PA PB \+的值最小，最小值为．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造2PB ，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键．8．（1）y 13=x 2x ﹣3；（2）（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt △OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK ∽△AHQ ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A 0），B （﹣0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x （x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2x ﹣3．（2）在Rt △AOC 中，tan ∠OAC OC OA=，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°，∴•tan30°＝1，∴D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2m ﹣3），H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13m 2m ﹣3）解得m =，∴当FH ＝HP 时，m 的值为（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F （0），H （，﹣2）．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC =2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK 14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KH AH HQ =．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．5【详解】分析: 由PD−12PC ＝PD−PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝5．详解: 在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴12PG BG PC PB ==，∴PG ＝12PC ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．10．2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得)PD PC PC PM ö-==-÷÷ø，因为PC PM MC -£，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP MP ，证明BMP V :BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △:BPC △，接着推导PD -，最后证明BMN V :BCD △，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，∴45PDM Ð=，DM PM =，Q 四边形ABCD 正方形\45BDC Ð=°，DB DC=又Q PDM PDB MDB Ð=Ð+，BDC MDB MDCÐ=Ð+\PDB MDCÐ=Ð在BPD △与MPC V 中PDB MDC Ð=Ð，DB DP DC DM==\BPD △:MPCV\PB MC =Q 2BP =\MC =Q )PD PC PC PM ö-=-÷÷øQ PC PM MC-£)2PD PC PM -=-£=故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2\=2BP ，BDQBP BD在BD 上做点M ，使BM BP =BM MP 在BMP V 与BPD △中=MBP PBD ÐÐ，=BP BM BD BP\V BPD\PM PD PD Q 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ÐÐ，=BN BP BP PC\BNP △:BPC△\1=2PN PC ，则=2PC PN \如图所示连接NM)2PD PN PN PM ---Q PN PM NM -£)PD PN PM --£在BMN V 与BCD △中=NBM DBC ÐÐ，BM BC BN BD \=BM BN BC BD\V BCD\MN CD Q CD\MN\2PD -£=故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．11．165【分析】如图，由题意可得：B ¢在A e 上，过B ¢作B H BC ¢^于H ，由点B 关于直线AE 的对称点B ¢，可得AB AB ¢=，BE B E ¢=，AEB AEB ¢Ð=Ð，ABE AB E ¢Ð=Ð，当DE 与A e 切于点B ¢时，BF 最大，此时DF AB ¢^，证明E ，F 重合，可得DAE AEB AEB ¢Ð=Ð=Ð，10AD DE ==，求解4BE B E ¢==，证明EB H EDC ¢V V ∽，可得EB B H ED CD¢¢=，从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：B ¢在A e 上，过B ¢作B H BC ¢^于H ，∵点B 关于直线AE 的对称点B ¢，∴AB AB ¢=，BE B E ¢=，AEB AEB ¢Ð=Ð，ABE AB E ¢Ð=Ð，当DE 与A e 切于点B ¢时，BF 最大，此时DF AB ¢^，∴90ABE AB F ¢Ð=Ð=°，∴E ，F 重合，∴AEB AEB ¢Ð=Ð，∵矩形ABCD ，∴AD BC ∥，90C Ð=°，10AD BC ==，8AB CD ==，∴DAE AEB AEB ¢Ð=Ð=Ð，∴10AD DE ==，∴6CE ==，∴4BE B E ¢==，∵B H BC ¢^，90C Ð=°，∴B H CD ¢∥，∴EB H EDC ¢V V ∽，∴EB B H ED CD¢¢=，∴4108B H ¢=，∴165B H ¢=，∴点B ¢到BC 的距离是165．故答案为：165．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．12．A【分析】先证明90AEB Ð=°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC Ð=°，∴90ABE EBC Ð+Ð=°，∵EAB EBC Ð=Ð，∴90EAB EBA Ð+Ð=°，∴90AEB Ð=°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，E∵90G Ð=°，4FG BG AB ===，∴6OG =，2OA OB OE ===，∴OF ==∴2EF OF OE =-=，故PE PD +的长度最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．13．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴112BD=．由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上12B D长．∵90ACBÐ= ，30BACÐ= ，BC＝2，∴C到BA中点的距离即122AB=，又∵112BD=，∴CE的最大值即11213 22AB BD+=+=．故答案为3．【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．14．【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，∠BAP =30°，以AO 为斜边在AC 下方作Rt △∠MAO =30°，连接CM ，过点M 作MH ⊥AC 于H ，解直角三角形得到AM AB AO AP =△AMB ∽△AOP ，得到BM AB OP AP ==BM =，则点B 在以M M 、B 、C 三点共线时，即点B 在点B ¢的位置时，BC 有最小值，据此求解即可．【详解】解：如图所示，延长PB 到D 使得PB =DB ，∵12BP AP =，∴2AP PD PB ==，又∵∠APB =60°，∴△APD 是等边三角形，∵B 为PD 的中点，∴AB ⊥DP ，即∠ABP =90°，∴∠BAP =30°，以AO 为斜边在AC 下方作Rt △AMO ，使得∠MAO =30°，连接CM ，过点M 作MH ⊥AC 于H ，∴cos OAM ∠同理可得AB AP ∵∠OAM =30°=∠PAB ，∴∠BAM =∠PAO又∵AM AB AO AP =∴△AMB ∽△AOP∴BM AB OP AP ==∵点P 到点O 的距离为2，即OP =2，∴BM =∴点B 在以M连接CM 交圆M B ¢，∴当M 、B 、C 三点共线时，即点B 在点B ¢的位置时，BC 有最小值，∵AC =2AO =8，∴AO =4，∴cos AM AO OAM =×∠∴cos 3AH AM MAH =×Ð=，=sin HM AM MAH ×∠∴5CH =，∴CM ==∴B C CM MB ¢¢=-=，∴BC 的最小值为故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B 在以M15．【分析】连接BC ¢，根据轴对称的性质可得,CB C B CF C F ¢¢==，进而可得,,A C C ¢在半径为2的B e 上，证明CC F ¢△是等边三角形，当CC ¢取得最大值时，CC F ¢△面积最大，根据圆的直径最大，进而得出CC ¢最大值为4，即可求解．【详解】解：如图所示，连接BC ¢，∵点C 关于BH 的对称点为C ¢，∴,CB C B CF C F ¢¢==，∵2AB BC ==，∴,,A C C ¢在半径为2的B e 上，在优弧 AC 上任取一点E ，连接,AE EC ,则1602AEC ABC а=Ð=，∵120ABC Ð=°，∴11801801202AC C AEC ABC ¢Ð=°-Ð=°-Ð=°，∴60CC F ¢Ð=°，∴CC F ¢△是等边三角形，当CC ¢取得最大值时，CC F ¢△面积最大，∵C ¢在B e 上运动，则CC ¢4，则CC F ¢△24=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出CC ¢最大值为4是解题的关键．16．1##1+【分析】作COE V ，使得90CEO Ð=°，60ECO Ð=°，则2CO CE =，OE =OCP ECD Ð=Ð，由COP CED ∽△△，推出2OP CP ED CD==，即112ED OP ==（定长），由点E 是定点，DE 是定长，点D 在半径为1的E e 上，由此即可解决问题．【详解】解：如图，作COE V ，使得90CEO Ð=°，60ECO Ð=°，则2CO CE =，OE =，OCP ECD Ð=Ð，90CDP Ð=°Q ，60DCP Ð=°，2CP CD \=，\2CO CP CE CD==，COP CED \V V ∽，\2OP CP ED CD==，即112ED OP ==（定长），Q 点E 是定点，DE 是定长，\点D 在半径为1的E e 上，1OD OE DE £+=Q ，OD \的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．A【分析】根据90BEC Ð=°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形（半圆'O ），点E 的对称点为1E ，连接1'O E ,则1PE PE =，∴当点D 、P 、1E 、'O 共线时，PD PE +的值最小，最小值为1DE 的长，如图所示，在Rt 'DCO V 中，8CD =，'=6CO ，'10DO \==，又1'2O E =Q ，11''8DE DO O E \=-=，即PD PE +的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．18．A【分析】以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，证明DCM ACB △≌△得到2DM AB ==，分析出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，在求出点D 到线段BC 的最大距离，即可求出面积的最大值．【详解】解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB Ð=Ð=°，∴DCA ACM MCB ACM Ð-Ð=Ð-Ð，即DCM ACB =∠∠，在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DCM ACB △≌△，∴2DM AB ==，∴点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，要使BCD △的面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离，∵BCM V 是边长为4的等边三角形，∴点M 到BC 的距离为∴点D 到BC 的最大距离为2，∴BCD △的面积最大值是()14242´´=，故选A ．【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．19．3+3【分析】根据题意，证明CBE CAF V V ≌，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC а，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=，进而求得C D ¢，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC Ð=Ð=°∵将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．ABC V 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC=Ð=Ð=°=∴CBE CAFV V ≌∴30CAF CBE Ð=Ð=°，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC а在Rt AOC V 中，30CAO Ð=°，则132CO AC ==，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=∵6CC AC ¢==，ACO C CD ¢Ð=Ð，CO CD=∴ACO C CD¢V V ≌∴90C DC AOC ¢Ð=Ð=°在C DC ¢V 中，C D ¢===∴CDF V 周长的最小值为3CD FC CD CD DC ¢++=+=+故答案为：3+【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．20【分析】延长DE ，交AB 于点H ，确定点B 关于直线DE 的对称点F ，由点B ，D 关于直线AC 对称可知QD=QB ，求QD Q P ¢-最大，即求Q B Q P ¢-最大，点Q ，B ，P ¢共线时，Q D Q P Q B Q P B P ¢¢¢-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP ¢最大，当点P ¢与点F 重合时，得到最大值.连接BD ，即可求出CO ，EO ，再说明E OD D O C V :V ，可得DO ，根据勾股定理求出DE ，然后证明E O D B H D V :V ，可求BH ，即可得出答案．【详解】延长DE ，交AB 于点H ，∵AB CD P ，ED ⊥CD ，∴DH ⊥AB ．取FH=BH ，∴点P 的对称点在EF 上．由点B ，D 关于直线AC 对称，∴QD=QB ．要求QD Q P ¢-最大，即求Q B Q P ¢-最大，点Q ，B ，P ¢共线时，Q D Q P Q B Q P B P ¢¢¢-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP ¢最大，当点P ¢与点F 重合时，得到最大值BF ．连接BD ，与AC 交于点O ．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴E O D D O CV:V，∴E O D O D O C O=，即221632D O=´=，解得DO=∴2B D D O==．在Rt△DEO中，6D E==．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴E O D B H DV:V，∴E O D EB H B D=，即2B H=解得B H∴B F=．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．21．2【分析】如图，由EG＝2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明ADE CDF V V ≌（SAS ）， 可得，AE CF =可得当，，A E G 三点共线时，AE 最短，则CF 最短，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，由EG ＝2，可得E 在以G 为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE ，∵正方形ABCD ，∴,90，AD CD ADC =Ð=° 90，ADC EDF \Ð=Ð=°∴，ADE CDF Ð=Ð ∵DE =DF ，∴ADE CDF V V ≌（SAS ），∴，AE CF =∴当，，A E G 三点共线时，AE 最短，则CF 最短，∵G 位BC 中点，4，BC AB == ∴2，BG =此时AG ===此时2，AE =所以CF 的最小值为： 2.故答案为：2【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．22． 80 44【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACE ≌△BCD （ SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H ，如图：∵△ACE ≌△BCD∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD =4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32，∴FE =DF =cos30DG °∴AF =AE -FE故答案为：80；【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．43p 【分析】根据题意证得BFD DEA ≌V V ，推出∠BPE =60°，∠BPD =120°，得到C 、B 、P 、D 四点共圆，知点P 的运动路径长为BD n的长，利用弧长公式即可求解．【详解】连接BD ，∵菱形ABCD 中，60C Ð=°，∴∠C=∠A=60°，AB=BC=CD=AD ，∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形，∴BD=AD ，∠BDF=∠DAE=60°，∵DF=AE ，∴BFD DEA ≌V V ，∴∠DBF=∠ADE ，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60°，∴∠BPD=180°-∠BPE=120°，∵∠C=60°，∴∠C+∠BPD =180°，∴C 、B 、P 、D 四点共圆，即⊙O 是CBD △的外接圆，∴当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为BD n 的长，∴∠BOD =2∠BCD =120°，作OG ⊥BD 于G ，根据垂径定理得：BG=GD=12∠BOG =12∠BOD =60°，∵sin BOG BG OB Ð=，即sin 60°=，∴2OB =，从而P 点的路径长为212041801803n R p p p ´°×==°°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．24【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．证明PAT BAP V V ∽，推出PT PB ＝AP AB ＝12，推出PT ＝12PB ，推出12PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴PA 2＝4=AT •AB ，∴PA AT ＝AB PA ，∵∠PAT ＝∠PAB ，∴PAT BAPV V∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTV中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．。
定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。
2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 ．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题 第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。
