中考数学专题复习及练习:最值(二)
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2020中考数学复习微专题:最值(“胡不归”问题)
突破与提升策略
【故事介绍】
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?…”(“胡”同“何”)
而如果先沿着驿道AC 先走一段,再走砂石地,会不会更早些到家?
【模型建立】
如图,一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1,在直线MN 上运动的速度为V 2,且V 1 AC BC V V + 的值最小. 【问题分析】 121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛ ⎫++ ⎪⎝⎭ ,记12V k V =, 2 驿道 2 M 即求BC +kAC 的最小值. 【问题解决】 构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ,CH /AC =k ,CH =kAC . 将问题转化为求BC +CH 最小值,过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ,交AD 于H 点,此时BC +CH 取到最小值,即BC +kAC 最小. 【模型总结】 在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB 相等的线段,将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型. 而这里的PB 必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段. M M 1.如图,△ABC 中,AB =AC =10,tan A =2,BE ⊥AC 于点E ,D 是线段BE 上的一 个动点,则CD + 的最小值是_______. 【分析】本题关键在于处理 ”,考虑tan A =2,△ABE 三边之比为1:2 sin ∠,故作DH ⊥AB 交AB 于H 点,则DH =. 问题转化为CD +DH 最小值,故C 、D 、H 共线时值最小,此 时 CD DH CH BE +===. 【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来,只需分析角度的三角函数值,作出垂线DH ,即可解决问题,若稍作改变,将图形改造如下: 则需自行构造α,如下图,这一步正是解决“胡不归”问题关键所在. A B C D E H E D C B A A B C D E H E D C B 2.如图,平行四边形ABCD 中,∠DAB =60°,AB =6,BC =2,P 为边CD 上的一 动点,则PB + 的最小值等于________. 【分析】考虑如何构造 ”,已知∠A =60°,且 ,故延长AD ,作PH ⊥AD 延长线于H 点, 即可得PH = ,将问题转化为:求PB +PH 最小值. 当B 、P 、H 三点共线时,可得PB +PH 取到最小值,即BH 的长,解直角△ABH 即可得BH 长. αsin α 5 H E D C B A E D C B A B C D P M H P D C B A A B C D P H M 3.如图,已知抛物线()()248 k y x x =+-(k 为常数,且k >0)与x 轴从左至右依次交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,经过点B 的直线y b =+与抛物线的另一交点为D . (1)若点D 的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式; (2)在(1)的条件下,设F 为线段BD 上一点(不含端点),连接AF ,一动点 M 从点A 出发,沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ,再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止,当点F 的坐标是多少时,点M 在整个运动过程中用时最少? 【分析】第一小问代点坐标,求解析式即可,此处我们直接写答案:A (-2,0),B (4,0) ,直线解析式为y =,D 点坐标为(-,故抛物线解析式 为)()24y x x = +- ,化简为:2y x =处略去了该题的第二小问. 点M 运动的时间为12AF DF ⎛⎫+ ⎪⎝ ⎭ ,即求1 2 AF DF ⎛⎫ + ⎪⎝ ⎭ 的最小值. 接下来问题便是如何构造 2 DF ,考虑BD 与x 轴夹角为30°,且DF 方向不变,故过点D 作DM ∥x 轴,过点F 作FH ⊥DM 交DM 于H 点,则任意位置均有FH = 2 DF . 当A 、F 、H 共线时取到最小值,根据A 、D 两点坐标可得结果. 4. 抛物线2y x =+x 轴交于点A ,B (点A 在点B 的左边) ,与y 轴交于点C .点P 是直线AC 上方抛物线上一点,PF ⊥x 轴于点F ,PF 与线段AC 交于点E ;将线段OB 沿x 轴左右平移,线段OB 的对应线段是O 1B 1,当 1 2 PE EC +的值最大时,求四边形PO 1B 1C 周长的最小值,并求出对应的点O 1 的坐标.(为突出问题,删去了两个小问) 【分析】根据抛物线解析式得 A ()-、 B )、 C (,直线AC 的解析 式为:y AC 与x 轴夹角为30°. 根据题意考虑,P 在何处时,PE +2 EC 取到最大值.过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于 H 点,则∠CEH =30°,故CH = 2 EC ,问题转化为PE +CH 何时取到最小值.