高考数学 一轮复习导的应用教案 苏教版
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.专心. 导 数 的 应 用
【复习目标】
1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；
2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。
3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
【重点难点】
①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。
【知识梳理】
1. 一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果'f)(x0，那么)(xf为增函数；如果'f0)(x，那么)(xf为减函数；如果在某区间内恒有'f0)(x，那么)(xf为常数；
2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3. 一般地，在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。①求函数ƒ)(x在(a，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4. 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.
〔1〕求f〔x〕.
〔2〕确定f〔x〕在〔a，b〕内符号.
〔3〕假设f〔x〕>0在〔a，b〕上恒成立，那么f〔x〕在〔a，b〕上是增函数；
假设f〔x〕<0在〔a，b〕上恒成立，那么f〔x〕在〔a，b〕上是减函数.
【课前预习】
1.函数y=x2〔x－3〕的减区间是
A.〔－∞，0〕 B.〔2，+∞〕
C.〔0，2〕 D.〔－2，2〕
C
2.函数f〔x〕=ax2－b在〔－∞，0〕内是减函数，那么a、b应满足
A.a<0且b=0 B.a>0且b∈R
C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R
3.f〔x〕=〔x－1〕2+2，g〔x〕=x2－1，那么f［g〔x〕］
A.在〔－2，0〕上递增 B.在〔0，2〕上递增
C.在〔－2，0〕上递增 D.在〔0，2〕上递增
4.在〔a，b〕内f〔x〕>0是f〔x〕在〔a，b〕内单调递增的________条件.
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.专心. 5. 函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数
A.〔2π,2π3〕 B.〔π,2π〕
C.〔2π3, 2π5〕 D.〔2π,3π〕
【典型例题】
题型一：借助导数处理单调性、极值和最值
例1．对于R上可导的任意函数f〔x〕，假设满足〔x－1〕fx（）0，那么必有〔 〕
A．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕 B. f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕
C．f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕 D. f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕
例2．〔1〕32()32fxxx在区间1,1上的最大值是〔 〕
(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4
例 3．设函数f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中
〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；
〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。
题型二：导数综合题
例4．设函数3()32fxxx分别在12xx、处取得极小值、极大值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xfx（,、22()xfx（,.
求点AB、的坐标；
题型三：导数实际应用题
例5．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥〔如右图所示〕。试问当帐篷的顶点O到底面中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？
★例6．函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．
〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；
〔Ⅱ〕能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;
〔Ⅲ〕设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意
t∈[－3，3], λ∈A恒成立？假设存在，求m的取值范围；假设不存在，请说明理由． .
.专心.
【巩固练习】
1.a>0，函数f〔x〕=x3－ax在［1，+∞〕上是单调增函数，那么a的最大值是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2. 函数f〔x〕=x4－4x3+10x2，那么方程f〔x〕=0在区间［1，2］上的根有 ( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
3. 假设函数y=－34x3+bx有三个单调区间，那么b的取值范围是________.
4.设f〔x〕=x3－22x－2x+5.
〔1〕求f〔x〕的单调区间；
〔2〕当x∈［1，2］时，f〔x〕
5．设f〔x〕=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，
并求出f〔x〕的单调区间.
6．函数f〔x〕=ax3+3x2－x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
★7．假设函数y=31x3－21ax2+〔a－1〕x+1在区间〔1，4〕内为减函数，在区间〔6，+∞〕内为增函数，试求实数a的取值范围.
★8．设函数f〔x〕=x3－21ax2+3x+5〔a>0〕，求f〔x〕的单调区间.
★9．函数f〔x〕=x3－ax－1.
〔1〕假设f〔x〕在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
〔2〕是否存在实数a，使f〔x〕在〔－1，1〕上单调递减?假设存在，求出a的取值范围，假设不存在，请说明理由；
〔3〕证明f〔x〕=x3－ax－1的图象不可能总在直线y=a的上方.
【本课小结】
【课后作业】
1．函数f〔x〕＝x＋2cosx在区间2,0上的最大值为_________;在区间[0，2π]上最大值为___________．
2．xR，奇函数32()fxxaxbxc在[1,)上单调，那么字母,,abc应满足的条.
.专心. 件是
。
3．设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如下图，且与y=0在原点相切，假设函数的极小值为－4，〔1〕求a、b、c的值；〔2〕求函数的递减区间。
4．是否存在这样的k值，使函数21232)(2342xkxxxkxf在〔1，2〕上递减，在〔2，－∞〕上递增。
5．讨论函数2,0|,27184|23xxxxf的单调性，并确定它在该区间上的最大值最小值．
★6．过函数f〔x〕=123axx的图象上一点B〔1，b〕的切线的斜率为－3。
〔1〕求a、b的值；
〔2〕求A的取值范围，使不等式f〔x〕≤A－2007对于x∈[－1，4]恒成立；
令132txxxfxg。是否存在一个实数t，使得当]1,0(x时，g〔x〕有最大值1？
★7．设函数.10,3231)(223abxaaxxxf
⑴求函数)(xf的单调区间、极值.
⑵假设当]2,1[aax时，恒有axf|)(|，试确定a的取值范围.．
★8．过曲线3:xyC上的点),(111yxP作曲线C的切线l1与曲线C交于),(222yxP，过点P2作曲线C的切线l2与曲线C交于点),(333yxP，依此类推，可得到点列：),(111yxP，2223331(,),(,),,(,),,1nnnPxyPxyPxyx已知
〔1〕求点P2、P3的坐标.
〔2〕求数列}{nx的通项公式.
〔3〕记点nP到直线)(211nnnPPl即直线的距离为nd， .
.专心. 求证：9411121nddd.
§6.2导数的应用〔简答〕
【课前预习】
1.C 2.B 3.C 4.充分 5.C
【典型例题】
例1．C 例2．C
例 3．1)()fx在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。
2) 由1〕知，当1a时，函数()fx没有极值；当1a时，函数()fx在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。
例4．)4,1(),0,1(BA。
例5．当OO1为2m时，帐篷的体积最大。
★例6．〔Ⅰ〕f(x)＝x4－4x3＋4x2－5.
〔Ⅱ〕函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1.
〔Ⅲ〕不存在.
【巩固练习】
1.D 2. D 3. b>0
4.〔1〕f〔x〕的单调增区间为〔－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.
〔2〕m>7.
5． a=31，b=－21. 函数f〔x〕的单调增区间为〔－∞，－31〕和〔1，+∞〕，
减区间为〔－31，1〕.
6．f〔x〕=3ax2+6x－1. 〔1〕当f〔x〕<0时，f〔x〕为减函数.
3ax2+6x－1<0〔x∈R〕，a<0时，Δ=36+12a<0，∴a<－3.
∴a<－3时，f〔x〕<0，f〔x〕在R上是减函数.
〔2〕a≤－3.
★7．a的取值范围为［5，7］.
★8．〔1〕f〔x〕=3x2－ax+3，判别式Δ=a2－36=〔a－6〕〔a+6〕.
1°00对x∈R恒成立.
∴当0
2°a=6时，y=x3－3x2+3x+5=〔x－1〕3+4.∴在R上单调递增.
3°a>6时，在〔63622aa，+∞〕和〔－∞，6362aa〕内单调递增，在〔6362aa，6362aa〕内单调递减.
★9．〔1〕 a≤0. 〔2〕a≥3. 〔3〕f〔x〕的图象不可能总在直线y=a的上方.
【课后作业】
