高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 导数的应用教案 新人教A版

（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 导数的应用教案 新人教A版

【考纲解读】

1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．

3．生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题．

4．定积分与微积分基本定理（理科）

（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

（2）了解微积分基本定理的含义．

【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.导数是历年来高考重点内容之一,导数的应用的考查，选择题、填空题与解答题的形式都有可能出现,在考查导数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力；对理科考生，高考还会以选择题或填空题的形式考查定积分与微积分基本定理.

2.高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的应用,理科还会考查定积分与微积分基本定理,命题形式会更加灵活.

【要点梳理】

1.(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f /(x)>0,则f(x)为增函数;如果f /(x)<0,则f(x)为减函数.

2.(函数单调性的必要条件) 设函数y=f (x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间上单调递增(或递减),则在该区间内f /(x)≥0(或f /(x)≤0).

3.利用导数判断函数单调性的一般步骤:

(1)求导数;(2)在定义域内解不等式或;(3)确定单调区间.

4.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大,那么函数在这个范围内变化越快,这时,函数的图象就越陡峭.

5.(1)函数的极值的概念:

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近的其他点的函数值都小, f/ (a)=0;而且在点在x=a附近的左侧,右侧,点a叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在x=b附近的其他点的函数值都大, f/ (b)=0;而且在点在x=b附近的左侧,右侧,点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.

(2)求函数极值的步骤:

①求导数;②求方程的根;

③检查f/ (x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取极小值.

6.函数的最大值与最小值 在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上,求最大值和最小值的步骤:

(1)求在区间内的极值;

(2)将的各极值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

7.生活中的优化问题(即利用导数解决实际问题中的最值问题)

(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.

(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f/ (x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.

(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.

8.(理科)(1)函数定积分的定义:设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x0

(2)根据定积分的定义,曲边梯形的面积S等于其曲边所对应函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,即S=.

(3)求定积分与导数互为逆运算；公式=.

微积分基本定理:如果F/(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则=，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.

【例题精析】

考点一 利用导数研究函数的单调性

例1. 已知a∈R，函数

求f(x)的单调区间 【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并考查了学生的分析问题的能力.

【变式训练】

1.已知函数.讨论函数的单调性。

考点二 利用导数求函数的极值、最值

例2. （本小题满分13分）已知函数在处取得极值为

（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【变式训练】

2. 设函数f（x）=+lnx 则 （ ）

A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点

C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点

【答案】D

考点三 利用导数解决实际问题 例3. 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【变式训练】

3．已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）

（A）13万件 (B)11万件

(C) 9万件 (D)7万件

【答案】C 【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，故选C。

（理科）考点四 定积分

例4已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为

.

4.设a＞0.若曲线与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______.

【答案】

【解析】，解得.

【易错专区】

问题：求单调区间时，忽视定义域

例.函数的单调递减区间为 . 【答案】

1.函数的单调递增区间是( )

A. B.(0,3) C.(1,4) D.

2．若函数满足，则( )

A． B． C．2 D．0

【答案】B

【解析】则此函数为奇函数，所以。

3. 设函数，则（ ）

（A） 为的极大值点 （B）为的极小值点

（C） 为的极大值点 （D）为的极小值点

4.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ）

5. 函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 _____。

(理科)6. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分___________

(理科)7．设，若，则_________

【答案】1

【解析】

8．）已知函数f（x）=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：

X

0

f’(x) + 0 - 0 +

f(x) 极大值 极小值 当等价于

解不等式组得-5

9.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.

（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；

（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的. 【考题回放】

1..函数y=x2㏑x的单调递减区间为( )

（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）

2.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )

（A）函数有极大值和极小值

（B）函数有极大值和极小值

（C）函数有极大值和极小值

（D）函数有极大值和极小值

函数有极大值和极小值.

3设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是( )

(理科)4.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为( )

（A） （B）4 （C） （D）6

(理科)5. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( )

A. B. 1 C. D.

(理科)6． （e2+2x）dx等于( ) A．1 B．e-1

C．e D．e+1

【答案】C

【解析】由定积分的定义容易求得答案.

7．已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．

（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；

8. 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，其中为的导函数.证明：对任意.

精美句子

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