数学人教版九年级上册弦、弧、圆心角练习

九年级数学圆心角圆周角专项练习题一、单选题1．如图，⊙O中，半径OC⊙弦AB于点D，点E在⊙O上，⊙E=22.5°⊙AB=4，则半径OB等于（）AB．2C．D．32．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（）A．25°B．50°C．65°D．75°3．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD 4．在半径为1的弦所对的弧的度数为（）A．90B．145C．90或270D．270或145 5．如图，ABC是O的内接三角形，,30AB BC BAC=∠=︒，AD是直径，8AD=，则AC的长为（）A．4B．CD．6．下列说法正确的有（）①不在同一条直线上的三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O 的半径为2，则CD的长为_____8．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若AD 的度数为35°，则BE的度数是_____．9．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABC＝63°，则∠D的度数是__．10．如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么AB________2CD（填“＞，＜或＝”）三、解答题11．如图，已知A⊙B⊙C⊙D是⊙O上的四点，延长DC⊙AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．13．如图，在ABC中，AC BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作//DF BC，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF EF15．如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=12米，拱高CD=9米，求圆的半。

第二十四章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知AB是O的直径，D，C是劣弧EB的三等分点，∠BOC=40°，那么∠AOE=A．40°B．60°C．80°D．120°【答案】B2．将一个圆分割成四个大小相同的扇形，则每个扇形的圆心角是（）度．A．45 B．60C．90 D．120【答案】C【解析】∵圆心处构成一个周角,∴圆心角为360°,∵将圆分割成四个大小相同的扇形,∴每个扇形的圆心角是90°,故选C.【名师点睛】本题考查了扇形和圆心角的定义，解题的关键是掌握一个圆的圆心角为360°.3．已知AB与A′B′分别是O与O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是A．∠AOB=∠A′O′B′ B．∠AOB>∠A′O′B′C．∠AOB<∠A′O′B′ D．不能确定【答案】D【解析】由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.此题没有限制,所以不能确定∠AOB 和∠A′O′B′的大小关系.4．下列图形中表示的角是圆心角的是A ．AB ．BC ．CD ．D【答案】A【解析】根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D 项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.故选A. 5．如果两个圆心角相等，那么 A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对 【答案】D6．在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等， 它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】圆心角是顶点在圆心的角，所以①正确，为真命题；在同圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等，所以②正确，为真命题；在同圆中，两条弦相等，所对的劣弧也相等，所以③错误，为假命题；等弧所对的圆心角相等，所以④正确，为真命题． 故选B ．7．如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有 ①AB CD =；②BD AC =；③AC ＝BD ；④∠BOD ＝∠AO C ．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是弧BC的中点，则∠ACD= ________．【答案】125°【解析】连接OD，∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，∵D是弧BC的中点，∴∠COD=70°，∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，故答案为125°．9．在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为 ________．【答案】60°【解析】如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．10．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB= _________°.【答案】60三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．如图,AB,CD,EF都是O的直径,且∠1=∠2=∠3,求证:AC=EB=DF.【解析】在O中,∵∠1=∠2=∠3,又∵AB,CD,EF都是O的直径,∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴DF=AC=EB,∴AC=EB=DF.。

弧、弦、圆心角学习目标：认识圆心角的观点：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就能够推出其他两个量的相对应的两个值就相等，及其他们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材 P82 — 83 ,达成课前预习）1、知识准备（ 1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（ 2）垂径定理推论．2、预习导航。

（ 1）圆心角：极点在的角叫做圆心角。

（ 2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。

（ 3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．相同，还能够获得：在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的相等， ?所对的弦也，所对的弦心距也。

在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其他各组量也。

二、讲堂练习。

1．假如两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠ AOB=2∠ COD，则两条弧 AB与 CD的关系是（）A.AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CDD．不可以确立3.一条弦长恰巧为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 _________．4．如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=60°，求证 : ∠ AOB=∠ BOC=∠ AOCAOB C三、讲堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的、、相等．四、反应检测。

1．如图，⊙ O中，假如AB=2CD，那么（）．A．AB=AC B ． AB=AC C ． AB<2AC D ．AB>2ACACOB2．如图，以平行四边形 ABCD的极点 A 为圆心， AB为半径作圆，分别交BC、AD于 E、F，若∠ D=50°，求BE的度数和BF的度数．3.如图，在⊙ O中， C、D 是直径 AB上两点，且 AC=BD，MC⊥ AB，ND⊥ AB，M、N?在⊙ O上．（ 1）求证：AM=（2）若C、D分别为OA、OB中点，则建立吗？BN AM=MN=NB4．如图，∠AOB=90°，C、D 是AB三平分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证： AE=BF=CD．C5. 如图， AB 和 DE是⊙ O的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，E 求弦 CE长度。

圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（）B C D例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3巩固练习1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．120°D．130°4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定8. 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．9. 如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在ANB上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．10．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．10题图11题图12题图11．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB上一点，则∠BPC=______；若M是BC上一点，则∠BMC=______．13．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°14．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°15．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于( )．A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°16．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于( )．A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。

24.1.3 弧、弦、圆心角课后作业：方案（A）一、教材题目：P89-P90 T3、T4、T13,∠C=75°.求∠A的度数.1．如图，⊙O中，AB AC与的长度，并证明你的结论.2．如图，AD=BC,比较AB CD3.如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是的中点.求证：四边形OACB 是菱形.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图所示，点A，B，C，D均在⊙O上，且∠AOB＝∠COD，连接AC，BD，有下列结论：①AB ＝CD ；②∠AOC ＝∠BOD ；③AC ︵＝BC ︵；④△AOC ≌△BOD .其中正确的结论是________(写序号即可)．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，若点P 是直径AB 上的一动点，则PD ＋PC 的最小值为________．6．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD .7．如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ， F ，延长BA 交⊙A 于点G . (1)求证：GE ︵＝EF ︵；(2)若BF ︵的度数为50°，求∠C 的度数．8．(1)如图，在⊙O 中，∠AOB ＝90°，且C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交 OC ，OD 于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .[第16(1)题](2)在(1)题中，如果∠AOB ＝120°，其他条件不变，如图所示，那么(1)中 的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由．[第16(2)题]答案一、教材1．解：AB ︵＝AC ︵⇒AB ＝AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫∠B ＝∠C ∠C ＝75°⇒∠A ＝180°－2×75°＝30°.点拨：等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等．2．解：AB ︵＝CD ︵.证明：AD ＝BC ⇒AD ︵＝BC ︵⇒AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵⇒CD ︵＝AB ︵.点拨：在⊙O 中，由AD ＝BC ，得AD ︵＝BC ︵，进而可知AB ︵＝CD ︵. 3．证明：连接OC .⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB ＝120°C 为AB ︵的中点⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧∠AOC ＝60°∠BOC ＝60°OA ＝OC ＝OB ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫OA ＝OC ＝AC OB ＝OC ＝BC ⇒AO ＝OB ＝BC ＝AC ⇒四边形OACB 是菱形． 点拨：四条边都相等的四边形是菱形．二、典中点4. ①②④ 点拨：由∠AOB ＝∠COD 可得 ∠AOC ＝∠BOD ，而OA ＝OC ＝OB ＝OD ，故可得①②④均正确，与弧AC 一定相等的是弧BD ，故③错误． 5．10 点拨：作点C 关于AB 的对称点C ′，连接OC ，OD ，OC ′，BC ′，∵ BC ＝CD ＝DA ，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝60°.∵C 与C ′关于AB 对称，∴BC ′＝BC .∴∠BOC ′＝60°.∴D ，O ，C ′在同一条直线上．∴ DC ′＝AB ＝10，即PD ＋PC 的最小值为10，此时P 与O 重合． 6．(1)解：△AOC 是等边三角形．理由如下：∵AC ︵＝CD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠BOD ＝180°－∠AOC －∠COD ，∴∠BOD ＝180°－60°－60°＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠D ＝60°，∴∠D ＝∠COD ，∴OC ∥BD .解题策略：本题利用了转化思想，通过利用在同圆中等弧所对的圆心角相等， 求得角的度数，然后通过∠BOD 实现了角之间的转化，从而使问题得以解 决．7．(1)证明：连接AF ，则AB ＝AF ，∴∠ABF ＝∠AFB .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF ，∴∠GAE ＝∠EAF ，∴GE ︵＝ EF ︵.(2)解：∵BF ︵的度数为50°，∴∠BAF ＝50°.∴∠ABF ＝∠AFB ＝65°.又 ∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝180°－∠ABF ＝115°.解题策略：在同圆中，圆心角、弧、弦之间的关系是证弧相等、角相等、线 段相等的依据，一般在分析时，哪一组量与所证问题最贴近，就应构造这一 组量，再证明相等． 8．(1)证明：连接AC ， BD .∵C ，D 是AB ︵的三等分点， ∴AC ︵＝CD ︵＝BD ︵， ∴AC ＝CD ＝BD .∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝30°. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°. ∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°. ∵OA ＝OC ，∠AOC ＝30°，∴∠ACE ＝12×(180°－30°)＝75°＝∠AEC .∴AE ＝AC .同理可得BF ＝BD . ∴AE ＝BF ＝CD . (2)解：成立．证明略．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角一、单选题1．下列图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．2．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（）A．38°B．52°C．76°D．104°3．如图，在O中，2=，则弦AC与AB的关系是（）AC ABA．AB=AC B．AC=2AB C．AC<2AB D．AC>2AB Ð=Ð，下列结论不一定成立的是（）4．已知，如图，AOB CODA ．AB CD=B ．AB CD =C ．AOB COD ≌D ．,AOB COD△△都是等边三角形5．如图，在O 中，已知AB=CD ，则AC 与BD 的关系是（）A ．AC BD =B ．AC BD <C ．AC BD >D ．不确定6．如图，,AB CD 是O 的直径，AE BD =，若32AOE °Ð=，则COE Ð的度数是（）A ．32°B ．60°C ．68°D ．64°7．下列说法：①相等的弦所对的圆心角相等；②等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中等弧所对的圆心角相等.其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③8．如图，CD 为O 的直径，CD EF ^，垂点为G ，40EOD Ð= ，则(DCF Ð=)A ．80°B ．50°C ．40°D ．20°9．如图，AB 是圆O 的直径，BC ，CD ，DA 是圆O 的弦，且BC =CD =DA ，则∠BCD 等于（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°二、填空题10．如图，在O 中，点C 是AB 的中点，50A Ð=°，则BOC Ð等于________．11．若一条弦把圆周分成2:3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是________．12．如图，在⊙O 中，弧AB =弧CD ，∠AOB 与∠COD 的关系是_____．13．已知在⊙O 中,AB=BC,且:3:4AB AMC =,则∠AOC=________.14．如图,ABD =BDC ,若AB=3,则CD=____.15．如图，已知AB,CD 是⊙O 的直径，CE 是弦，且AB ∥CE ,∠C=35°，则弧BE 的度数________.16．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若AB=CD ，∠APO=65°，则∠APC=________度．三、解答题17．如图，AB 是O 的直径，,35BC CD DE COD ==Ð=°．求AOE Ð的度数．18．如图，,AB CD 是O 的两条弦．（1）如果AB CD =，那么__________，___________．（2）如果AB CD =，那么__________，___________．（3）如果AOB COD Ð=Ð，那么__________，___________．（4）如果,,AB CD OE AB OF CD =^^，垂足分别为,,E F OE 与OF 相等吗？为什么？19．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OE 、OF 交于点C 、D ，AC ＝BD ，求证：（1）OC ＝OD ：（2）A E B F =．BC AD 20．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作A，分别交,于,E F两点，交BA的延长线于点G．（1）求证：»»=；EF FG（2）连接AE，若140Ð的度数．Ð=，求DEAG°6/6参考答案1．B2．C3．C4．D5．A6．D7．C8．D9．C10．40°11．144°12．∠AOB =∠COD13．144°14．315．35°16．5017．75°18．（1）AB CD =，∠AOB ＝∠COD ；（2）AB ＝CD ；∠AOB ＝∠COD ；（3）AB ＝CD ，AB CD =；（4）OE 与OF 相等20．70°。

圆心角、弧、弦的关系一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．12017．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为°．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB2CD．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE=．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有（填所有正确答案的序号）33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为度．35．如图，PB交⊙O于点A，B，PD交⊙O于点C，D，已知弧DQ=42°，弧BQ=38°，则∠P+∠Q的度数为．36．如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=，的度数为．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．38．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P 为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是．39．如图所示，在⊙O中，=，∠B=70°，则的度数=．40．在半径为3的圆中，长度等于3的弦所对的圆心角是度．三．解答题（共10小题）41．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．42．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．43．已知⊙O的半径为12cm，弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，求∠AOB的角度及弦AB的长．44．如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB 与CD的大小，并说明理由．45．如图，AD、BE、CF是⊙O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE．求证：AB=CD=EF．46．如图，已知P是⊙O外任意一点，过点P作直线PAB，PCD，分别交⊙O于点A，B，C，D．求证：∠P=（的度数﹣的度数）．47．如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC=CD=DE=EF=FB，求∠AOC与∠COF的度数．48．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两点，并交BA延长线于G．求弧BF的度数．49．已知：如图，AE，DB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，∠AOB=60°，且F是的中点．求证：AB=BF．50．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=，求：∠BCD的度数．圆心角、弧、弦的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=52°，则α的度数是（）A．51.5°B．60°C．72°D．76°【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD．∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=52°，∴∠AOB=（360°﹣52°）÷4=77°，∴α=（180°﹣77°）÷2=51.5°．故选A．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．2．在半径为1cm的⊙O中，弦长为cm的弦所对的圆心角度数为（）A．60゜B．90゜C．120゜D．45゜【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理可证明△AOB为直角三角形，进而得到圆心角度数为90°．【解答】解：由题意得：AO=BO=1cm，AB=cm，∵12+12=（）2，∴∠AOB=90°，故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握勾股定理．3．已知AB，CD是⊙O的两条弦且都不是直径，如果AB=CD，那么下列结论中不一定成立的是（）A．∠AOB=∠COD B．C．∠ABC=∠ADB D．O到两条弦的距离相等【分析】根据圆的圆心角、弧、弦间的关系进行分析、判断并作出选择．【解答】解：A、∵AB=CD，∴=，∴∠AOB=∠COD（等弧所对的圆心角相等）；故本选项正确；B、∵AB=CD，∴=（在同圆中，等弦所对的弧相等）；故本选项正确；C、当≠时，∠ACB≠∠ADB，∴∠ACB=∠ADB这一结论不一定成立；故本选项错误；D、∵AO=CO，BO=DO，AB=CD，∴△AOB≌△COD，∴OE=OF（全等三角形的对应高相等）；故本选项正确；故选C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．下列命题中正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦【分析】根据在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，相等的弦所对应的弧相等判断A，B．根据垂径定理及其推论判断C，D．【解答】解：长度相等的弧其弧度不一定相等，所以不等称等弧，A错；在同圆中，一条弦对劣弧和优弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，B错．由垂径定理得C对；任意两直径互相平分但不一定垂直，所以D错．故选C．【点评】理解等弧的定义．熟练掌握垂径定理及其推论．5．如图，已知在⊙O中，AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，则∠AHG的度数是（）A．120°B．125°C．130° D．135°【分析】连结OA、OG、AD、GD，如图，根据圆心角、弧、弦的关系得到===，===，则+=+=+=+，所以∠AOG=90°，然后根据圆周角定理计算出∠ADG=45°，再利用圆内接四边形的性质求∠AHG．【解答】解：连结OA、OG、AD、GD，如图，∵AB=CD=EF=HG，BC=DE=FG=AH，∴===，===，∴+=+=+=+，即+为圆周的，∴∠AOG=360°×=90°，∴∠ADG=∠AOG=45°，∴∠AHG=180°﹣∠ADG=180°﹣45°=135°．故选D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理．6．下列说法：①直径不是弦；②相等的弦所对的弧相等；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据直径的定义判断①；根据圆心角、弧、弦的关系判断②；根据圆的对称性判断③；根据圆心角、弧、弦的关系判断④．【解答】解：①直径是弦，并且是圆中最长的弦，故说法错误；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故说法错误；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，故说法正确；④在同圆或等圆中，较长的弧所对的弦也较长，故说法错误．故选A．【点评】本题考查的是圆的有关定义及性质，圆心角、弧、弦的关系，解题时一定要注意是在同圆或等圆中此类定理才成立，不要滥用．7．如图：AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，交AB于H，下列结论中不正确的是（）A．=B．=C．=D．EF=GH【分析】由AB是所对的弦，AB的中垂线CD分别交于C，交AB于D，AD 的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，根据垂径定理与弦与弧的关系，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：连接EG，AE，∵AB的中垂线CD分别交于C，∴=，故A正确；∵AD的中垂线EF分别交于E，交AB于F，DB的中垂线GH分别交于G，∴=，故B正确；∴四边形EFHG是矩形，∴EF=GH，故D正确．∵AE＞AF=DF，∴AE＞EC，∴＞，故C错误．故选C．【点评】此题考查了弦与弧的关系以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．在☉O中=2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB=2CD C．AB＜2CD D．AB=CD【分析】根据两弧的关系，作出的中点E，则AE=BE=CD，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论．【解答】解：AB＜2CD．取的中点E，连接EA、EB，则==，所以EA=EB=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，即2CD＞AB，则AB＜2CD，∴CD＜AB＜2CD，故选C．【点评】本题主要考查了：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．9．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D．相等圆心角所对的弦相等【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出A选项错误．【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．故选A．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．10．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确；能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误．故选A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．11．如图所示，∠AOB=2∠COD，则下列结论成立的是（）A．＞2B．=2C．＜2D．不能确定与2的大小关系【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解．【解答】解：∵∠AOB=2∠COD，∴=2．故选B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．12．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．∠AOB＞2∠AOMB．∠AOB=2∠AOMC．∠AOB＜2∠AOMD．∠AOB与2∠AOM的大小不能确定【分析】根据题意先画出图形，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意如图：∵在⊙O中，M为的中点，∴=，∴∠AOM=∠MOB，∴∠AOB=2∠AOM；故选B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是本题的关键．13．半径为9cm的圆中有一段长度为6πcm的圆弧，则这段圆弧所对的圆心角的度数为（）A．60°B．120°C．240° D．60°或120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：由题意得，6π=，解得：n=120．故选B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．14．如图，弧BE是⊙D的圆周，点C在弧BE上运动（不与B重合），则∠C 的取值范围是（）A．0°≤∠C≤45°B．0°＜∠C≤45°C．45°＜∠C＜90°D．45°≤∠C＜90°【分析】由于是⊙D的圆周，则可计算出∠BDE=90°，再根据等腰三角形的性质由DB=DC，则∠B=∠BCD，于是根据三角形内角和定理得到∠BCD=90°﹣∠BDC，然后根据0≤∠BDC≤90°求∠BCD的取值范围．【解答】解：∵是⊙D的圆周，∴∠BDE=×360°=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴∠C=（180°﹣∠BDC）=90°﹣∠BDC，∵0≤∠BDC≤90°，∴45°≤∠C≤90°，故选D．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．15．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠ABC的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，∵D是的中点，∴∠DAC=∠ABC=35°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．16．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A．60 B．80 C．100 D．120【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行分析求解．【解答】解：∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D=3：4：6：5设∠A的度数为3x，则∠B，∠C，∠D的度数分别为4x，6x，5x∴3x+4x+6x+5x=360°∴x=20°∴∠D=100°故选C．【点评】本题考查圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360°的理解及运用．17．下列命题正确的是（）A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B 正确；不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．故选B．【点评】题目考查了圆心角、弧、弦、基本定义等知识，通过知识的考查，学生可以将定义或相关定理理解得更加准确，是不错的题目．18．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD，∴=，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3，在Rt△DOE中，DE==4，在Rt△ADE中，AD==4，故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．19．P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知、的度数别为88°、32°，则∠P的度数为（）A．26°B．28°C．30°D．32°【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数即可．【解答】解：∵和所对的圆心角分别为88°和32°，∴∠A=×32°=16°，∠ADB=×88°=44°，∵∠P+∠A=∠ADB，∴∠P=∠ADB﹣∠P=44°﹣16°=28°．故选B．【点评】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．20．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么与的数量关系是（）A．=B．＞C．＜D．无法确定【分析】根据平行线的性质得∠DAC=∠ACB，根据圆周角定理得=．【解答】证明：连接AC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴=．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．二．填空题（共20小题）21．一条弦把圆分成2：1的两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为120°．【分析】根据圆一周上弧的度数为360°，设出弦AB分圆的两部分长，列出方程，求出x值，再由圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到x的值即为要求的劣弧所对圆心角的度数．【解答】解：设弦AB分圆的两部分别为x，2x，∴x+2x=360°，解得：x=120°，则劣弧所对圆心角为120°．故答案为：120°【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，设出适当的未知数，列出方程是解本题的关键．22．圆的一条弦分圆为4：5两部分，其中优弧的度数为200°．【分析】根据在同圆或等圆中，一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等解答．【解答】解：∵圆的一条弦分圆为4：5两部分，∴优弧所对圆心角的度数=×360°=200°，∴优弧的度数为200°．故答案为：200°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即一条弧所对圆心角的度数与这条弧的度数相等．23．一条弦把圆分成3：7两部分，则这条弦所对的圆心角的度数为108°．【分析】先根据弦把圆分成3：7的两部分求出所对圆心角的度数即可求解．【解答】解：∵弦AB把⊙O分成3：7的两部分，∴所对圆心角的度数=360°×=108°．故答案为：108°．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．24．在同圆中，如果=2，那么弦AB、CD的关系为AB＜2CD．【分析】根据题意画出图形，利用弧、弦的关系得出==，AE=BE=CD，再由三角形的三边关系即可求解．【解答】解：如图所示，=2，==，∵==，∴AE=BE=CD，在△ABE中，AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故答案为：＜．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及三角形的三边关系，能根据题意画出图形是解答此题的关键．25．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA=OB，∴∠BOA=180°﹣2∠A=80°；∵点C是弧AB的中点，即=，∴∠BOC=∠BOA=40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．26．如图，AB是⊙O的直径，弧BC、弧CD与弧DE相等，∠COD=40°，则∠AOE= 60°．【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而根据平角的定义求得∠AOE的度数．【解答】解：∵，∠COD=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故答案为60°．【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．27．如图，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=48°，则α的度数是51°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=48°，∴∠AOB==78°，∴α==51°．故答案为：51°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．28．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α的度数是52°．【分析】要求α的度数，只需求出∠AOB的度数，根据已知条件，易证∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，所以可以求出α的度数．【解答】解：连接OC、OD，∵∠BAO=∠CBO=α，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE，∵∠AOE=56°，∴∠AOB==76°，∴α==52°．故答案为：52°．【点评】本题考查了与圆有关的性质，在圆中，半径处处相等，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，证明题目时要注意应用．29．⊙O的半径是2cm，弦AB=2cm，则∠AOB=90°．【分析】作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图所示，则AC=AB=cm，∴OC==，∴AC=OC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=2∠AOC=90°；故答案为：90°．【点评】本题考查的是垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．30．已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC交BC于E，的度数为100°，的度数为140°，则∠AEC的度数为100°．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∠B=70°，∠C=50°，然后根据三角形内角和定理得出∠BAC=60°，进而求得∠BAE=30°，根据三角形外角的性质即可求得∠AEC的度数．【解答】解；∵的度数为100°，的度数为140°，∴∠B=70°，∠C=50°，∴∠BAC=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=100°．故答案为100°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠B，∠C的度数是解题的关键．31．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为的中点，C为半径OA 上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是6﹣3或6或9﹣3．【分析】根据点A′落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点A′关于点CD对称，从而可以得到DA′=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的长，从而可以求得AC的长；根据点A′落在半径OB上，画出相应的图形，由C为半径OB上一动点（点A除外），设点A关于直线CD的对称点为A′，可知DB=DA′=DA，由点D为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的长，从而可以求得BA′的长，进而得到A′C的长；根据题意A′C的长与AC的长相等，可以求得AC的长．【解答】解：①当点E落在半径OA上时，连接OD，如图1所示，∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD=30°，OA=OD=6，∴OC=OD•cos30°=6×=3，∴AC=OA﹣OC=6﹣3；②如图2，沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B重合时，则C和O重合，此时，AC=OA=6；③沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B不重合时，如图3；连接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，∵OA=OD=6，∴DF=OD•sin30°=6×=3，∠OAD=75°，∴OF=OD•cos30°=6×=3，∴AF=OA﹣OD=6﹣3，∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，∴BA′=2AF=12﹣6，∠DA′B=∠OBD=75°，∴OA′=OB﹣BA′=6﹣（12﹣6）=6﹣6，∵∠CA′D=∠CAD=75°，∴∠BA′C=150°，∴∠OA′C=30°，∴∠A′CO=90°，∴CA′=OA′•sin60°=（6﹣6）×=9﹣3，∴AC=CA′=9﹣3．故答案为：6﹣3或6或9﹣3．【点评】本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．32．下列四种说法：①等弧所对的圆心角相等；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，其中正确的有①④（填所有正确答案的序号）【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可判定④正确；②③少了条件在同圆或等圆中，故错误；而等弧，即是在同圆或等圆中的条件下判定的，所以①正确．【解答】解：①等弧所对的圆心角相等，故正确；②两个圆心角相等，它们所对的弧也相等，故错误；③两条弦相等，它们所对的圆心角相等，故错误；④在等圆中，圆心角相等，它们所对的弦也相等，故正确；故答案为①④．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键．33．若一个圆的半径是6cm，则90度的圆心角所对的弦的长度为6cm．【分析】根据题意得到等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵圆心角为90°，∴所得三角形是等腰直角三角形，又半径为6cm，∴弧所对的弦长6cm．故答案为：6cm．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．34．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=35°，点C为圆心、CA为半径的圆交AB于D点，则弧AD为70度．。

初三数学弧弦圆心角的练习题1. 圆心角是90°的扇形的圆的周长为12π cm，求该扇形的面积。

解析：假设扇形的半径为r cm，则圆心角为90°的弧长为r cm。

根据圆的周长公式，可得：2πr = 12π解得：r = 6 cm扇形的面积为：(1/4)πr² = (1/4)π(6)² = 9π cm²2. 若圆心角为30°，则它所对的弧的度数是多少？解析：圆心角度数与所对弧度数相等，因此该圆心角所对的弧的度数是30°。

3. 在圆上，直径AB的长度为12 cm，弦CD的长度为8 cm。

求圆心角ACB的度数。

解析：对于圆上的任意一个圆心角，其所对的弦长是固定的。

设弦长CD = 8 cm，直径AB = 12 cm。

由于直径等于两个弦加起来的长度，可得：12 cm = 8 cm + CE解得：CE = 4 cm由于圆心角ACB所对的弦CD等于1/2的直径AB，所以CE = 1/2 AB。

因此，圆心角ACB所对的弦CD是直径AB的1/2，即圆心角ACB 的度数为180°的1/2，即90°。

4. 在圆上，弦AC的度数为60°，则对应的圆心角ABC的度数是多少？解析：对于圆上的任意一个圆心角，其度数等于所对的弦的度数的2倍。

因此，圆心角ABC的度数为60°的2倍，即120°。

5. 在圆上，弦DE的度数等于圆心角DFE的度数的4倍，并且圆心角DFE的度数比弦DE多30°。

求弦DE所对的圆心角的度数。

解析：设圆心角DFE的度数为x°。

根据题意可得：弦DE的度数 = 圆心角DFE的度数的4倍 = 4x°圆心角DFE的度数 = 弦DE的度数 + 30° = 4x° + 30°根据圆心角与所对弦的关系，可得：弦DE所对的圆心角的度数 = 圆心角DFE的度数的2倍 = 2(4x° + 30°) = 8x° + 60°综上所述，弦DE所对的圆心角的度数为8x° + 60°。

垂径定理、弦、弧、圆心角、圆周角练习一、选择题1、如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82、如图2，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5如图1 如图2 如图3 3、过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 414、如图3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位5、如图4，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A． B． C． D．如图4 如图5 如图6 6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 7、如图5，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米8、有4个命题，①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧。

其中真命题是( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①④ D ．①9、在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是( ) A ．7cm B ．1cm C ．5cm D ．7cm 或1cm10、 如图6，EF 是⊙O 直径，OE=5cm ，弦AB=8cm ，EF 两点到MN 的距离之和等 于( )A ．12cmB ．6cmC ．8cmD ．3cm11．P 为⊙O 内与O 不重合的一点，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到⊙O 上任一点的距离都小于⊙O 的半径B ．⊙O 上有两点到点P 的距离等于⊙O 的半径C ．⊙O 上有两点到点P 的距离最小D ．⊙O 上有两点到点P 的距离最大12．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为（3，4），点P 的坐标为（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不确定13．半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ） A ．43R B ．23RC ．3RD ．23R14．已知：如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，垂足为P ，且AP=4cm ，PD=2cm ， 则 ⊙O 的半径为（ ） A ．4cmB ．5cmC ．42cmD ．23cm15．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半 16．下列说法错误的是（ ）A ．等弧所对圆周角相等B ．同弧所对圆周角相等C ．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等．D ．同圆中，等弦所对的圆周角相等二．填空题1、A 、B 是半径为2的⊙O 上不同两点，则AB 的取值范围是________．2、在同一平面内，1个圆把平面分成2个部分，2个圆把平面最多分成4个部分，3个圆把平面最多分成________个部分．3、如图，AB 是⊙O 直径，弦CD 与AB 交于E ，若________，则CE=DE(只需填写一个你认为适当的条件)；4、某圆半径为4cm ，一弦中点到所对劣弧中点的距离为2cm ，则此弦长为________；5、直径30cm 的⊙O 中有两平行弦AB 和CD ，AB=18cm ，CD=24cm ，则AB 与CD 的距离为________；6、如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 长的取值范围是________；7、如图，在半径为6cm 的⊙O 中，两弦AB ⊥CD 于E ，若CE=3cm ，DE=7cm ，则AB=________；8、如图，C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作弦DE ，使CD=CO ，若所对圆心角度数为40°，则所对圆心角度数为________；9、半径为1的圆中，长度等于的弦所对圆心角是________度；10、圆的一条弦分圆为4：5两部分，则其中优弧所对圆心角为________度．11、已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________ 12、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm 13、在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 三．解答题1、 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。

弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ AB CD =． ∴ AB BD CD BD -=-，即AD BC =，∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ． ∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ， 即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD ＝∠BOC 即可．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴AC BD=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴AC BD=．类型二、圆周角定理及应用2.（2020•南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．【答案与解析】证明：连接OC、AC，如图，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .【答案】40°或140°.3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】90°.【解析】如图，连接OE，则【点评】把圆周角转化到圆心角.举一反三：【变式】（2015•玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=．【答案】96°；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.【答案与解析】如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，则∠AC′B=∠C=60°又∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°即⊙O的直径为.【点评】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.举一反三：【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A．22 B．4 C．23 D．5【答案】A.《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴ ，∴.4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°， ∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，A BCDEO 12345HA BCD EO 12∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。

九年级数学上册《弧、弦、圆心角》练习题复习巩固1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等 2．在O 中，圆心角∠AOB ＝80°，圆心角∠COD ＝40°，那么下列说法中正确的是( )A ．2AB CD = B ．2AB CD >C ．2AB CD < D ．AB ＝2CD3．如图，C ，D 为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( )①AD =CD =BC②∠AOD =∠DOC =∠BOC ③AD =CD =OC④△AOD 沿OD 翻折与△C OD 重合A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．若O 内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且O 的半径为R ，那么这条弦的长为( )A ．RB ．2RC ．2RD ．3R5．如图，O 是∠EPF 的平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与该角的两边所在直线分别交于点A ，B 和C ，D ，则AB 与CD 的关系是( )A ．AB ＝CD B ．AB ＞CDC ．AB ＜CD D ．无法确定 6．如图，AB ，CD 是O 的弦，且AB ＝CD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，那么__________．(写出一个正确的结论即可)7．如图，在O 中，AB AC =，∠B ＝50°，则∠A ＝__________.8．如图，AB 是O 的直径，AC ，CD ，DE ，EF ，FB 都是O 的弦，且AC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FB ，则∠AOC ＝__________，∠COF ＝__________.9．如图，已知O 中的弦AB =CD ，求证：AD =BC .能力提升10．已知O 中，劣弧2AB CD =，则弦AB 与CD 的关系是( )A．AB＝2CD B．AB＞2CDC．AB＜2CD D．无法确定11．如图，AB，CD是O的直径，若弦DE∥AB，则弦AC与AE的大小关系为__________．12．如图，在O中弦AB=AC，AD是O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由．13．如图，在ABCD中，以A为圆心，以AB为半径作圆交A D于点F，交BC于点=.G，BA的延长线交A于点E，求证：EF FC14．如图，AB，CD是O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE＝OF，请你=吗？请加以说明．来猜想一下，AC BD参考答案复习巩固1．B 2．A 3．D4．C ∵弦AB 把圆周分为3∶1的两段弧，∴弦AB 所对的圆心角∠AOB ＝14×360°＝90°.∵O A ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形． ∴AB ＝2AO ＝2R . 5．A6．答案不唯一，如：AB CD =，OE ＝OF 等． 7．80° ∵AB AC =，∴AB ＝AC .∴∠B ＝∠C ＝50°. ∴∠A ＝180°－50°－50°＝80°. 8．36° 108°9．证明：∵AB ＝CD ，∴AB CD =∴AB BD CD BD -=-.∴AD BC =，即AD ＝BC .能力提升10．C 如图，2AB CD =，取AB 的中点M ，连接AM ，BM ，则AM BM CD ==.所以弦AM ＝BM ＝CD . 在△ABM 中，AM ＋BM ＞AB ， 所以2CD ＞AB . 11．AC ＝AE 连接OE .∵DE ∥AB ，∴∠D ＝∠DOB ，∠DEO ＝∠EOA . ∵OD ＝OE ，∴∠DEO ＝∠D .∴∠DOB ＝∠EOA . 又∵∠DOB ＝∠AOC ， ∴∠EOA ＝∠AOC .∴AC ＝AE .12．解：BD 与CD 相等．理由如下： 方法一：∵AB ＝AC ， ∴AB AC =.∵ABD ACD =， ∴BD CD =.∴BD ＝CD . 方法二：如图，连接OB ，OC . ∵AB AC =，∴∠AOB ＝∠AOC . ∴∠BOD ＝∠COD .∴BD ＝CD . 13．证明：如图，连接AG ，∵在ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GAF ＝∠AGB ，∠B ＝∠EAF . 又在A 中，AB ＝AG ，∴∠AGB ＝∠B . ∴∠GAF ＝∠EAF . ∴EF FG =. 14．解：AC BD =.理由如下：如图，过点O 作OH ⊥AB 于点H .在△AOB 中，因为OA ＝OB ，HO ⊥AB ， 所以∠AOH ＝∠BOH .在△EOF 中，因为OE ＝OF ，OH ⊥AB ， 所以∠EOH ＝∠FOH .所以∠AOE ＝∠BOF .根据在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，可得AC BD .。

专题24.9 弧、弦、圆心角（巩固篇）（专项练习）一、单选题类型一、圆心角概念1．已知下列命题：①长度相等的两条弧所对的圆心角相等． ①直径是圆的最长的弦，也是圆的对称轴． ①平分弦的直径垂直于这条弦．①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等． 其中错误命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知①ABC 内接于①O ，若①AOB =120°，则①C 的度数是( ) A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°3．如图， AB 为①O 的直径，弦CD ①AB 于点E ，连接AC ，OC ，OD ，若①A ＝20°，则①COD 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100°类型二、圆心角与它所对弧的度数4．如图，已知△ABC 是圆O 的内接三角形，AB ＝AC ，①ACB ＝65°，点C 是弧BD 的中点，连接CD ，则①ACD 的度数是（ ）A ．12°B ．15°C ．18°D ．20°5．如图，扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，半径6,OA C =是AB 的中点，//CD OA ，交AB 于点D ，则CD 的长为（ ）A．2B C．2D．66．如图，已知O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是AOB∠，COD∠∠，若AOB AB=，则弦CD的长为（）与COD∠互补，弦8A．6B．8C．D．5类型三、用弧、弦、圆心角关系求解⊥于点7．如图，在以AB为直径的①O中，点C为圆上的一点，2=，弦CD ABBC ACE，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则CBF∠的度数为（）A．18°B．21°C．22.5°D．30°8．如图，在①O中，AB是①O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D关于AB 的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①①BOE=30°；①①DOB=2①CED；①DM①CE；①CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，①O 的半径为9cm ，AB 是弦，OC ①AB 于点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明10．有一直径为AB 的圆，且圆上有C 、D 、E 、F 四点，其位置如图所示．若6AC =，8AD =，5AE =，9AF =，10AB =，则下列弧长关系何者正确？（ ）A ．AC AD AB +=，AE AF AB += B ．AC AD AB +=，AE AF AB +≠ C ．AC AD AB +≠，AE AF AB +=D ．AC AD AB +≠，AE AF AB +≠11．在锐角ABC 中，60ACB ∠=︒，①BAC 、①ABC 的角平分线AD 、BE 交于点M ，则下列结论中错误的是（ ）A ．120AMB ∠=︒ B ．ME MD =C ．AE BD AB += D ．点M 关于AC 的对称点一定在ABC 的外接圆上 12．如图，AB 、CD 分别是①O 的直径，连接BC 、BD ，如果弦DE AB ∥，且①CDE ＝62°，则下列结论错误的是（ ）A ．CB ①BD B ．①CBA ＝31°C ．AC AE =D ．BD ＝DE二、填空题类型一、圆心角概念13．在①O 中，AB 是直径，AB ＝2，C 是AB 上一点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，M 是弦DE 的中点，则CM 的取值范围是__________________．14．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.15．已知点A 、B 、C 、D 在圆O 上，且FD 切圆O 于点D ，OE CD ⊥于点E ，对于下列说法：①圆上AbB 是优弧；①圆上AbD 是优弧；①线段AC 是弦；①CAD ∠和ADF ∠都是圆周角；①COA ∠是圆心角，其中正确的说法是________．类型二、圆心角与它所对弧的度数16．如图，在以AB 为直径的半圆中，AD =EB ，CD①AB ，EF①AB ，CD=CF=1，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是________．17．已知半径为2的①O 中，弦AC=2，弦AD ＝①AOD ＝________，①COD ＝_________．18．如图，AB 是O 的直径，弦,CD AB ⊥连接CO 并延长交O 于点,E 连接BD 交CE于点,F 若32,DBE ∠=︒则DFE ∠的度数是________________．类型三、用弧、弦、圆心角关系求解19．如图，点A 、B 、C 、D 均在O 上，若65AOD ∠=︒，AO DC ∥，则①B 的度数为______．20．如图，点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点，AC AE =，①B ＝116°，则①D 的度数为______度．21．如图，①O 的直径AB 过CD 的中点A ，若①C ＝30°，AB 、CD 交于点E ，连接AC 、BD ，则AEBE＝________________．类型四、用弧、弦、圆心角关系证明22．如图，AB、CE是圆O的直径，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，点M是AB上一动点，下列结论：正确的数是___（写出所有正确结论的序号）①BOD；①①CED＝12①DM①CE；①CM+DM的最小值为4；①设OM为x，则S△OMC．23．在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．24．如图，AB是①O的直径，CD是弦，若①ABC＝63°，则①D的度数是__．三、解答题25．如图是半径为2的圆，（1）在其中画两个不重叠的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圆心角为120度，扇形BOC的圆心角为90度，（2）求第三个扇形AOC的面积．26．如图，AB是①O的一条弦，OD①AB，垂足为C，交①O于点D，点E在①O上．（1）若①AOD=52°，求①DEB的度数；（2）若AB=24，CD=8，求①O的半径长．27．阅读与应用请阅读下列材料，完成相应的任务：托勒密是“地心说”的集大成者，著名的天文学家、地理学家、占星学家和光学家．后人从托勒密的书中发现一个命题：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积．下面是对这个命题的证明过程．如图1，四边形ABCD内接于O．⋅+⋅=⋅．求证：AB DC AD BC AC BD∠=∠交BD于点E．证明：如图2，作BAE CAD①AD AD =，①ABE ACD ∠=∠．（依据） ①ABE ACD ∽△△．①AB BEAC CD=．AB DC AC BE ⋅=⋅． …①ABC AED ∽△△． ①AC BCAD ED=．①AD BC AC ED ⋅=⋅． ①AB DC AC BE ⋅=⋅，①()AB DC AD BC AC BE AC ED AC BE ED AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=+=⋅． ①AB DC AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅． 任务：(1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全证明过程；(3)如图3，O 的内接五边形ABCDE 的边长都为2，求对角线BD 的长．28．如图，在①O 中，弦AB ，CD 互相垂直，垂足为M ，F 是BD 上的一点，且BF BC =，AF分别与CD，BD相交于点E，N，连接FD，MN．(1)求证：DE＝DF；(2)若①O的半径为8，①BAF＝22.5°，求线段MN的长．参考答案1．D【分析】根据圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理逐个判断即可．解：等弧所对的圆心角相等，但长度相等的两条弧不一定是等弧，则命题①错误直径是圆的最长的弦，但不是圆的对称轴，圆的对称轴是直径所在直线，则命题①错误平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题①错误在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，则命题①错误综上，错误命题的个数为4个故选：D．【点拨】本题考查了圆心角定理、直径的性质、垂径定理、圆周角定理，熟记各定理是解题关键．2．C【分析】根据圆周角定理可以得出同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，此时分两种情况进一步分析讨论即可.解：①当点C与线段AB位于圆心的两侧时，①C=12①AOB=60°；①当点C与线段AB位于同侧时，与上一种情况所得的度数互补；即此时的①C=120°．故选：C．【点拨】本题主要考查了圆周角定理的应用，熟练掌握相关概念是解题关键.3．C【分析】利用圆周角与圆心角的关系得出①COB=40°，再根据垂径定理进一步可得出①DOB=①COB，最后即可得出答案.解：①①A=20°，①①COB=2①A=40°，①CD①AB，OC=OD，①①DOB=①COB=40°，①①COD=①DOB+①COB=80°.故选：C.【点拨】本题主要考查了圆周角、圆心角与垂径定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.4．B【分析】如图，连接AO，BO，CO，DO，由等腰三角形的性质可求①ABC＝①ACB＝65°，①BAC ＝50°，由圆周角定理可求①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，可求①AOD＝30°，即可求解．解：如图，连接AO，BO，CO，DO，①AB＝AC，①ACB＝65°，①①ABC＝①ACB＝65°，①①BAC＝50°，①①AOC＝2①ABC＝130°，①BOC＝2①BAC＝100°，①点C是弧BD的中点，①BC CD，①①BOC＝①COD＝100°，①①AOD＝30°，①①AOD＝2①ACD，①①ACD＝15°，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角、圆心角、弧的关系是解题的关键．5．D【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得①AOB、①COE、①BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案．解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图，①90∠=︒，C是AB的中点，AOB①①COE=45°，①//∠=︒，AOBCD OA，90①CE①OB，①①OCE=①COE=45°，==6①BE=OB－OE=6-，①OA=OB，90AOB∠=︒，①①ABO=45°，①①BDE=①ABO=45°，①EB=ED=6--=．①CD=CE－DE=(66故选：D．【点拨】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键．6．A【分析】延长AO交①O于点E，连接BE，由①AOB+①BOE=①AOB+①COD知①BOE=①COD，据此可得BE=CD，在Rt①ABE中利用勾股定理求解可得．解：如图，延长AO交①O于点E，连接BE，则①AOB+①BOE=180°，又①①AOB+①COD=180°，①①BOE=①COD，①BE=CD，①AE为①O的直径，则AE=10，①①ABE=90°，；故选择：A.【点拨】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．7．D【分析】由圆周角定理可求①ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求①ABC=30°，①CAB=60°，由直角三角形的性质可求①CAH=①ACE=30°，即可求解．解：①AB是直径，①①ACB=90°，①①ABC+①CAB=90°，①2=，BC AC①①CAB=2①ABC，①①ABC=30°，①CAB=60°，①CD①AB，①①AEC=90°，①①ACE=30°，①点H是AG的中点，①ACB=90°，①AH=CH=HG，①①CAH=①ACE=30°，①①CAF=①CBF，①①CBF=30°，故选：D．【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出①CAB 的度数是本题的关键．8．B【分析】根据AC=CD=DB和点E是点D关于AB的对称点，求出①DOB=①COD=①BOE=60°，求出①CED，即可判断①①；根据圆周角定理求出当M和A重合时①MDE=60°即可判断①；求出M点的位置，根据圆周角定理得出此时DF是直径，即可求出DF长，即可判断①．解：①AC=CD=DB，点E是点D关于AB的对称点，①BD=BE，①①DOB=①BOE=①COD=13×180°=60°，①①错误；①CED=12①COD=12×60°=30°=12①DOB，即①DOB=2①CED；①①正确；①BE的度数是60°，①AE的度数是120°，①只有当M和A重合时，①MDE=60°，①①CED=30°，①只有M和A重合时，DM①CE，①①错误；作C关于AB的对称点F，连接CF，交AB于N，连接DF交AB于M，此时CM+DM 的值最短，等于DF长，连接CD，①AC=CD=DB=AF，并且弧的度数都是60°，①①D=12×120°=60°，①CFD=12×60°=30°，①①FCD=180°-60°-30°=90°，①DF是①O的直径，即DF=AB=10，①CM+DM的最小值是10，①①正确；综上所述，正确的个数是2个．故选：B．【点拨】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短问题等知识点，能灵活运用圆周角定理求出各个角的度数和求出M的位置是解此题的关键．9．D【分析】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；连接OA，求出OC，根据勾股定理求出AC，可得结论．解：连接OA，①将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，①OC23=r＝6（cm），OC①AB，①AC＝CB=cm），①AB＝2AC＝cm），故选：D．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．B【分析】连接BD ，BF ，先求解6AC BD ==， 可得AC BD =，AC AD AB +=，再求解19,BF可得AE BF ≠， AE AF AB +≠，从而可得答案.解：连接BD ，BF ，AB 直径，10AB =，8AD =，90,6ADB BD ∴∠=︒=，6AC =，AC BD ∴=，∴AC BD =，∴AC AD AB +=，AB 直径，10AB =，9AF =，90,AFB BF ∴∠=︒=5AE =，∴AE BF ≠，∴AE AF AB +≠，所以B 符合题意，故选：B ．【点拨】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．11．D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出①MAB +①MBA =60°，推出①AMB =120°，可判断A ，证明C ，E ，M ，D 四点共圆，利用圆周角定理可判断B ；在AB 上取一点T ，使得AT =AE ，利用全等三角形的性质证明BD =BT ，可判断C ；无法判断M 与①ABC 互补，可判断D．解：如图，①①ACB=60°，①①CAB+①CBA=120°，①AD，BE分别是①CAB，①CBA的角平分线，①①MAB+①MBA=12（①CAB+①CBA）=60°，①①AMB=180°-（①MAB+①MBA）=120°，故A符合题意，①①EMD=①AMB=120°，①①EMD+①ECD=180°，①C，E，M，D四点共圆，①①MCE=①MCD，① EM DM，①EM=DM，故B符合题意，四边形CEMD是O的内接四边形，60,AME ACB BMD在AB上取一点T，使得AT=AE，在①AME和①AMT中，AE ATMAE MAT AM AM，①①AME①①AMT（SAS），①①AME=①AMT=60°，EM=MT，①①BMD=①BMT=60°，MT=MD，在①BMD和①BMT中，MD MTBMD BMT BM BM，①①BMD①①BMT，①BD=BT，①AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，①M，M'关于AC对称，①M=①AMC，①11802AMC CAB ACB11801802ABC=90°+12①ABC，①M与①ABC不一定互补，①点M'不一定在①ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．【点拨】本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，即可判断A，根据圆周角定理可判断B选项，根据圆周角与弧的关系可判断C，根据CDE CDB∠≠∠判断D选项．解：①AB、CD分别是①O的直径，90CBD∴∠=︒，①CB①BD，故A选项正确，如图，连接BE，DE AB∥，且①CDE＝62°，62BOD CDE∴∠=∠=︒，1312BCD BOD ∴∠=∠=︒， OC OB =，31CBO BCO ∴∠=∠=︒，62AOC ∴∠=︒，62CBE CDE ∠=∠=︒，31ABC ABE ∴∠=∠=︒，∴AC AE =，故B ，C 选项正确，31,90BCD CBD ∠=︒∠=︒，59BDC ∴∠=︒，62CDE ∠=︒，CDE CDB ∴∠≠∠，∴BD ≠DE ，故D 选项不正确，故选D ．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．13．1CM 【分析】如图，连接OD 、OC 、OE ，先计算出①DOC +①COE ＝90°，则可判断①ODE 为等腰直角三角形，所以DE OD 则OM ＝12DE 由C 点在弧DE 上，则0≤①COM ＜45°，根据三角形的性质，①COM 越大，CM 越长，当O 、M 、C 共线时CM 最小，C 在点A 或点B 时CM 最长，即OC -OM ≤CM ＜ME ；解：如图，连接OD 、OC ，①AB 为直径，①①AOC+①BOC＝180°，①D、E分别是AC、BC的中点，①①AOD＝①COD，①COE＝①BOE，①①DOC+①COE＝1（①AOC+①BOC）＝90°，2①①ODE为等腰直角三角形，OD①DE①M是弦DE的中点，DE①OM＝12①C点在弧DE上，①0≤①COM＜45°，①OMC中，OM，OC的长度确定，①①COM越大，CM越长，①O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；①CM≥1﹣，2当C点在A点或B点时，CM①CM的取值范围是1≤CM．【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．14．36°，72°，108°，144°【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．解：四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案为36°，72°，108°，144°.【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．15．①①①①【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：AbB ，AbD 都是大于半圆的弧，故①①正确，,A C 在圆上，则线段AC 是弦；故①正确；,,C A D 都在圆上，∴CAD ∠是圆周角而F 点不在圆上，则ADF ∠不是圆周角故①不正确；O 是圆心，,C A 在圆上∴COA ∠是圆心角故①正确故正确的有：①①①①故答案为：①①①①【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．16．0152=+-x x【分析】连接OD ，OE ，因为AD =EB ，根据等弧所对的圆心角相等可得①DOC=①EOF ，因为CD①AB ，EF①AB ，所以①DCO=①EFO=90°，又因为DO==EO ，所以Rt①DOC①Rt①EOF ，所以CO=OF=12，在Rt①DOC 中，，所以，，BC=AB -，所以以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ． 解：连接OE ，OD ，①AD =EB ，①①DOC=①EOF ，①CD①AB ，EF①AB ，①①DCO=①EFO=90°，又①DO=EO ，①Rt①DOC①Rt①EOF ， ①CO=OF=12，①在Rt①DOC 中，，AC=AO -，BC=AB - =，①以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是（x ）(x )=0，整理，得0152=+-x x ．故答案为：x 2．【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．17． 90° 150°或30°【分析】如图，在①AOD 中，根据勾股定理的逆定理即可求出①AOD 的度数；连接OC ，易得△AOC 是等边三角形，从而可得∠AOC ＝60°，进一步利用角的和差即可求出①COD 的度数．解：如图，在①AOD 中，∵2222228OA OD +=+=，(228AD ==，①222OA OD AD +=，∴①AOD =90°；连接OC ，∵OA ＝OC ＝AC =2，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°．∴∠COD ＝∠AOC +∠AOD ＝60°+90°＝150°或∠COD ＝∠AOD ﹣∠AOC ＝90°－60°＝30°．故答案为：90°；150°或30°．【点拨】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理、等边三角形的判定与性质以及分类的数学思想，依照题意画出图形、熟练掌握相关知识是解题的关键．18．93【分析】根据圆周角定理的推论，得①DCE=32°，由CD AB⊥结合三角形外角的性质，得①BOC 的度数，从而得①BDC的度数，进而即可求解．解：①①DCE和①DBE是同弧所对的圆周角，①①DCE=①DBE=32°，①CD AB⊥，①①BOC=90°+①DCE=90°+32°=122°，①①BDC=12①BOC=12×122°=61°，①DFE∠=①DCE+①BDC=32°+61°=93°．故答案是：93°．【点拨】本题主要考查圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，掌握“同弧或等弧所对的圆周角相等”，“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，是解题的关键．19．57.5°【分析】根据平行线的性质得出①ODC=①AOD=65°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出①ODA=①OAD=12（180°-①AOD）=57.5°，求出①ADC的度数，根据圆内接四边形的性质得出①B+①ADC=180°，再求出答案即可．解：连接AD，①①AOD=68°，AO①DC，①①ODC=①AOD=65°，①①AOD=65°，OA=OD，①①ODA=①OAD=1（180°-①AOD）=57.5°，2①①ADC=①ODA+①ODC=57.5°+65°=122.5°，①四边形ABCD是①O的内接四边形，①①B+①ADC=180°，①①B=57.5°，故答案为：57.5°．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出①ADC的度数是解此题的关键．20．128【分析】连接AD．首先证明①ADC=①ADE，再利用圆内接四边形的性质求出①ADC即可解决问题．解：连接AD．①AC AE，①①ADC=①ADE，①①B+①ADC=180°，①①ADC=180°-116°=64°，①①CDE=2×64°=128°，故选：128．【点拨】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．1 3【分析】根据已知条件得出①DCA=①DBA=30°，设DE=EC=x，由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可以得出AE和BE的长，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．解：①①O的直径AB过CD的中点A，①AC＝AD，①DE＝EC，①AB是①O的直径，①①BED＝①CEA＝90°，①①C＝30°，①①DCA＝①DBA＝30°，设DE＝EC＝x，①①C＝30°，①AE，①①DBA＝30°，①BE，①AEBE13；故答案为：13．【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．22．①①【分析】①由BD CD =，可得①COD =①BOD ，据此根据圆周角定理即可得结论；①由点M 是直径AB 上一动点，而CE 的位置是确定的，因此DM ①CE 不一定成立，可得结论；①由题意可得点D 和点E 关于AB 对称，因此CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长；①过点C 作CN ①AO 于点N ，利用解直角三角形可求得CN ，利用三角形面积公式求解即可．解：①BD CD =，COD BOD ∴∠=∠，12CED COD ∠=∠， 12CED BOD ∴∠=∠，故①正确； ①点M 是直径AB 上一动点，而CE 确定，∴DM ①CE 不一定成立，故①错误；①BD CD AC ==，60BOE AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=∴︒，①CED =30°，∴DE ①AB ，∴点D 和点E 关于AB 对称，∴CM +DM 的最小值是在点M 和点O 重合时取到，即CE 的长，AB =4，∴CE =AB =4，故①正确；①连接AC ，BD CD AC ==，∴①COA =60°，则①AOC 为等边三角形，边长为2，过点C 作CN ①AO 于N ，则sin 602CN OC =⋅︒==，在①COM 中，以OM 为底，OM 边上的高为CN ，1122COM S OM CN x ∴=⋅==△，故①错误； 综上，①①正确，故答案为：①①．【点拨】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．23． 越长 越长 越短【分析】根据圆心角定理解答即可.解：在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．故答案为越长；越长；越短.【点拨】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 24．27°【分析】根据题意易得①ACB ＝90°，然后根据圆的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解． 解：①AB 是①O 的直径，①①ACB ＝90°，①①A ＝90°﹣①ABC ＝90°﹣63°＝27°，①①D ＝①A ＝27°．故答案为27°．【点拨】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．25．（1）作图见分析；（2）53π 试题分析：（1）根据扇形定义及题目要求画出即可；（2）根据扇形的面积公式S=2360n rπ计算即可．解：（1）如图所示：（2）①①AOB=120°，①BOC=90°，①①AOC=150°，故S扇形AOC=2150253603ππ⨯⨯=．26．（1）26；（2）13【分析】（1）连接OB，结合OD①AB，根据垂径定理，推导得①AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD①AB，通过勾股定理即可计算得①O的半径．解：（1）连接OB①⊥OD AB①AD BD=①52AOC BOD∠=∠=①12DEB BOD ∠=∠①26DEB∠=（2）①⊥OD AB①112412 22AC AB==⨯=设OA x =，则8OC x =-在Rt ACO 中，()222128x x =+-①13x =①O 的半径长为13．【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握垂径定理、圆心角、圆周角、勾股定理的性质，从而完成求解．27．(1)同弧所对的圆周角相等；(2)见分析；1；【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得ABE ACD ∠=∠；（2）由BAE CAD ∠=∠可得BAC EAD ∠=∠，再由ACB ADE ∠=∠可得ABC AED ∽△△； （3）连接AD ，BE ，由2AB BC CD DE EA =====可得AB BC CD DE BA ====，进而BE AD BD ==，BE =AD =BD ，再由AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅解方程即可；(1)解：①同弧所对的圆周角相等，AD AD =，①ABE ACD ∠=∠；故答案为：同弧所对的圆周角相等；(2)解：①BAE CAD ∠=∠，①BAE EAC CAD EAC ∠+∠=∠+∠，①BAC EAD ∠=∠，①AB AB =，①ACB ADE ∠=∠；(3)解：如图，连接AD ，BE ，①2AB BC CD DE EA =====，①AB BC CD DE BA ====，①AB AE AE ED CD CB +=+=+，①BE AD BD ==，①BE =AD =BD ，①四边形ABDE 是O 的内接四边形，①AB DE AE BD BE AD ⋅+⋅=⋅，①2AB DE EA ===，①2222BD BD ⨯+=，解得：1BD =或1BD =，①对角线BD 1；【点拨】本题考查了圆内接多边形，圆心角、弧、弦关系，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识；掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题关键．28．(1)见分析(2)【分析】（1）根据AB CD ⊥得，90AME DMB ∠=∠=︒，根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得BDC BAF ∠=∠，DBA DFA ∠=∠，根据等角的余角相等可得AEM DBM ∠=∠，进而可得DFA DEF ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）连接,,,OF OC CF AC ，根据①BAF ＝22.5°，证明COF 是直角三角形，勾股定理求得CF ，进而证明MN 是ECF △的中位线，即可求解．解：(1)BF BC =，BDC BAF ∴∠=∠，AB CD ⊥，90AME DMB ∴∠=∠=︒，90,90BAF AEM CDB DBM ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，AEM DBM ∴∠=∠，AD AD =，DBA DFA ∴∠=∠，AEM DEN ∠=∠，DFA DEF ∴∠=∠，DE DF ∴=；(2)如图，连接,,,OF OC CF AC ，BF BC =，22.5CDB BDF BAF ∠=∠=∠=∴︒， 45CDF CDB BDF ∴∠=∠+∠=︒， CF CF =，290COF CDF ∴∠=∠=︒，在Rt COF △中，CF == 由（1）得，DE DF =，DEF ∴是等腰三角形， CDB BDF ∠=∠，EN FN ∴=，N ∴是EF 的中点，BF BC =，BAF BAC ∴∠=∠，AB CD ⊥，AM EC ∴⊥，EM MC ∴= ，∴12MN CF == 【点拨】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．。

人教版初三弧弦圆心角数学家庭作业弧，也称圆弧，拼音hú，意为圆周上任意的一段。

弧的大小的两种表示：弧长与圆心角（弧度数）。

接下来我们一起来练习初三弧弦圆心角数学家庭作业。

人教版初三弧弦圆心角数学家庭作业1. 下列命题中，真命题是( )A.相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧D.在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等2.已知：弦AB把圆周分成1：5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为。

3.如图，AD=BC，若AB=3，则CD= .4. 如图，在⊙O中，AB=AC，则AB= ,∠B= ,∠C= .5. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.(1)求证：△ABC是等边三角形;(2)求∠AOB的度数6. 如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E, BD=CE.求证：AB=AC.7.已知：在直径是10的⊙O中，的度数是60°，求弦AB的弦心距。

8、已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO 的中点，DE‖AB，唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

求证：唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。