概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结(九)直线、平面、简单多面体

高二数学直线平面简单几何体知识点
直线、平面、简单几何体是中学数学的三大内容之一，下面是店铺给大家带来的高二数学直线平面简单几何体知识点，希望对你有帮助。

直线平面简单几何体知识点
1、学会三视图的分析：
2、斜二测画法应注意的地方：
(1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。

画直观图时，把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°(或135° );(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度.
3、表(侧)面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V=S底h
⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧= ;③体积：V= S底h：
⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧=
⑷球体：①表面积：S= ;②体积：V=
4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写
(1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。

(2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。

(3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。

核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线
5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角)
⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形;
⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角
以上就是高二数学知识点：直线平面简单几何体，更多精彩请进入高中频道。

直线平面简单几何体练习题。

高一数学平面与直线知识点总结在高中数学学习的过程中，平面与直线是一个重要的内容，掌握好这一部分的知识点对于学习后续的数学内容将起到关键的作用。

本文将对高一数学平面与直线的相关知识点进行总结和梳理，帮助同学们更好地理解和应用这些知识。

一、平面与直线的基本概念1. 平面：平面是指无限延伸的两个维度，可以用一个平面图形表示。

平面上的点可以无限多，但是只需给出三个不在一条直线上的点，就可以确定一个平面。

2. 直线：直线是由无数个点按照一定的方向无限延伸而成的。

直线上的点是无限多的，且任意两个点都可以确定一条直线。

二、直线的表示方法1. 一般式：直线的一般形式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C 是常数。

2. 斜截式：直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

3. 截距式：直线的截距式方程为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线在x轴和y轴上的截距。

三、直线的性质与相关定理1. 平行线的判定：两条直线平行的充分必要条件是它们的斜率相等。

2. 垂直线的判定：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率的乘积为-1。

3. 平行线与垂直线之间的性质：平行线和垂直线之间具有一些重要的性质，如平行线的距离公式、垂直线的交点坐标等。

4. 直线的点斜式方程：已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可以通过点斜式方程求解直线的方程。

5. 直线与坐标轴的交点：直线与x轴和y轴的交点可以通过将x或y的值为0代入方程求解得到。

四、平面与直线的位置关系1. 两条直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。

2. 直线与平面的位置关系：直线可以与平面相交、平行或在平面上。

3. 平面与平面的位置关系：平面可以相交、平行或重合。

5、两平面夹角：两平面之间的夹角可以通过计算两平面的法向量之间的夹角得到。

综上所述，高一数学平面与直线是一个重要的知识点，它们是学习后续高中数学内容的基石。

直线和平面知识点总结归纳直线和平面是几何学中最基本的概念和研究对象。

本文将对直线和平面的知识点进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、直线的性质和表示方法直线是由一组无限多个点组成的，没有宽度和长度的几何对象。

直线的性质和表示方法主要包括以下几点：1. 直线的表示方法：直线通常用一个大写字母表示，如直线AB可表示为l（上面加一横），或者写成AB。

2. 直线的部分：两个端点确定的直线称为线段，不包括端点的直线叫做射线。

3. 直线的无限延伸性：直线可以无限延伸，即直线上的点可以无限多。

4. 零度的直线：两个点确定的直线，当这两个点重合时，称为零度的直线，也就是一个点。

二、直线与直线之间的关系直线与直线之间可以有不同的关系，下面是其中几种常见的关系：1. 平行线：在同一个平面上，两条直线永远不会相交，这两条直线被称为平行线。

2. 相交线：在同一个平面上，两条直线在一个点相交称为相交线，交点为该直线的特殊点。

3. 垂直线：两条直线相交并且交角为90度时，称为垂直线。

三、平面的性质和表示方法平面是由无限多个平行于同一方向的直线组成的，平面上的点具有二维的性质，以下是平面的性质和表示方法：1. 表示方法：平面通常用一个大写字母表示，如平面P。

2. 平行平面：如果两个平面中的线都互相平行，则这两个平面称为平行平面。

3. 垂直平面：如果两个平面相交，且交线垂直于这两个平面，则这两个平面称为垂直平面。

4. 平面的无限延伸性：平面可以无限延伸，其中的点和直线都可以无限多。

四、直线和平面的交点和夹角直线和平面之间也存在交点和夹角的关系，下面是相关的知识点：1. 直线和平面的交点：直线与平面相交，交点为该直线的特殊点。

2. 平面内的直线夹角：平面内的两条直线之间的夹角可以通过两条直线的方向向量进行计算。

3. 直线与平面的夹角：直线和平面之间的夹角由直线和平面的法线向量决定，夹角为法线向量与直线方向向量之间的夹角。

直线平面知识点总结一、直线的概念与性质1. 直线的定义：直线是无限延伸的一维图形，它上面的任意两点都可以用线段相连。

2. 直线的性质：(1) 直线上的任意两点确定一条直线；(2) 直线的长度是无限的；(3) 直线的任意一点到另一点的距离无限；(4) 直线的方向是唯一确定的。

3. 直线的表示方法：直线可以用两个点的坐标表示，也可以用方程表示。

二、点、直线、平面的位置关系1. 点与直线的位置关系：(1) 点在直线上；(2) 点在直线的一侧；(3) 点在线段上；(4) 点与直线相交；(5) 点与直线平行。

2. 点与平面的位置关系：(1) 点在平面上；(2) 点在平面的一侧；(3) 点与平面相交；(4) 点与平面垂直。

3. 直线与平面的位置关系：(1) 直线在平面内；(2) 直线在平面的一侧；(3) 直线与平面相交；(4) 直线与平面平行；(5) 直线与平面垂直。

三、直线的倾斜度1. 直线的斜率：直线的斜率是指直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率为正表示直线上升，斜率为负表示直线下降，斜率为零表示水平直线，斜率不存在表示垂直直线。

2. 直线的斜角：直线与x轴正方向之间的夹角称为直线的斜角。

3. 直线的方向角：直线与x轴之间的夹角称为直线的方向角。

四、直线的方程1. 一般式方程：Ax + By + C = 0 （A和B不同时为0），其中A、B、C是实数。

2. 斜截式方程：y = kx + b （k为斜率，b为截距）3. 截距式方程：x/a + y/b = 1 （a和b为截距）4. 点斜式方程：y - y1 = k(x - x1) （k为斜率，(x1,y1)为直线上的一点）5. 两点式方程：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)五、平面的概念与性质1. 平面的定义：平面是无限延伸的二维图形，平面上的任意三点都可以用线段相连。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点确定一个平面；(2) 平面的长度和宽度是无限的；(3) 平面的方向是无限的；(4) 平面与平面之间的夹角是唯一确定的。

九章 直线、平面、简单的几何体9.1～9.2 平面的基本性质以及平行直线和异面直线一、教学重点和难点：1.认真体会平面是无限延展的，它无大小之分，仅有位置上的区别；2.三个公理及三个推论在运用上的各自分工；3.正确理解异面直线的概念，并能够利用平移法作出异面直线所成的角；4.难点是养成良好的空间作图习惯和思维方法，特别是集合符号的合理利用。

二、知识精讲： 1.平面的概念：(1)平面是一个只描述不定义的基本概念。

具体的例如：桌面、黑板面、平静的水面，我们可 以认识到“平面”是绝对平坦，没有厚度，没有边界无限延展的一个理想的几何图形。

(2)记为：r αβ、、，平面ABCD 或平面AC 。

(3)画多个平面时，一个平面被另一个平面遮住的线段要画成虚线或不画。

(4)图形语言为：2. (1)公理1：图形语言 符号语言：A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭(2)公理2：图形语言 符号语言：p l p l αβαβ∈⇒=∈ 且(3) 公理3：图形语言 符号语言：A 、B 、C 不共线 ⇒存在唯一平面α使得A B C ααα∈⎧⎪∈⎨⎪∈⎩3.推论：（推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面） 已知：直线a 、b 且a b P = ． 求证：过a 、b 有且只有一个平面． 证法一：①存在性在直线a 、b 上分别取不同于点P 的点A 、B ，则点A 、B 、P 是不共线的三点（否则与a 、b 是两条相交直线矛盾）． 根据公理3，过A 、B 、P 三点有一个平面α． ,,A a p a AP a ∈∈⊂∴ ，即αα⊂．同理b a ⊂，因此过直线a 、b 有平面α．②唯一性∵经过直线a 、b 的平面一定经过点A 、B 、P ，根据公理3，经过不共线的三点A 、B 、P 的平面只有一个，∴经过a 、b 的平面只有一个． 由①、②，可知经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 已知：直线a 、b 且a//b ．求证：经过a 、b 有且只有一个平面． 证明：①存在性∵a//b ，由平行线的定义，a 、b 在同一平面内， ∴过直线a 、b 有一个平面α． ②唯一性在直线b 上任取一点B ，则B a ∉（否则与a//b 矛盾），且B 、a 在过a 、b 的平面α内． 又由推论1，过点B 和直线a 的平面只有一个， ∴过直线a 、b 的平面只有一个．由①、②，可知经过两条平行直线的平面有且只有一个． 4.空间两直线的位置关系：(2)两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈．5.集合符号的利用：点A 在平面a 内，记作A a ∈，否则A a ∉ 点A 在直线l 上，记作A l ∈，否则A l ∉ 直线l 在平面a 内，记作l α⊂，否则l α⊂ 直线l 1与l 2相交于A 点，记作12l l A = 三、典型范例 1.平面的概念：例1.判断下列说法是否正确？并说明理由：(1)平等四边形是一个平面． (2)任何一个平面图形都是一个平面． (3)在空间图形中，原图中的线都要画成实线，后补画的线都画成虚线． (4)用平行四边形表示的平面，以四边为边界．解：(1)不正确，平面是无限延展的，而平行四边形是有限的，它只是平面的一部分．(2)不正确，平面图形和平面是完全不同的概念，平面图形有的（如角）也可以无限延展，但 不可能向四周无限延展．(3)不正确，空间图形中把被平面遮住的线段画成虚线（无论原先有的还是后来画的辅助线）． (4)不正确，平面是没有边界的． 2.共点、共线、共面问题：例2.四条直线两两相交且任何三条都不交于一点，则这四条直线共面．分析：说明四条直线共面，必须先找到一个平面，再想办法说明这四条直线都在这个平面内． 已知：如图a 、b 、c 、d 两两相交且任何三条不交于一点， 求证：a 、b 、c 、d 共面．证法一：a b A = ，,a b ∴确定一个平面α（推论2）．,C aB b ∈∈ ， ,C B αα∈∈∴CB α⊂∴，即c α⊂（公理1）．同理d α⊂．a b cd ∴、、、共面．点拨：证明直线（或点）共面，一般先由其中的一部分或点确定一个平面，再由公理1，公理3及其推论证明其余的直线或点也在这个平面内．例3.已知:四边形ABCD ，AB//CD ，直线AB 、BC 、CD 、DA 交平面α于E 、G 、F 、H ，求证：E 、F 、G 、H 四点共线．证明：如图9－1－6．∵AB//CD ，∴AB 、CD 确定平面β．∵E 、F 、G 、H 分别在直线AB 、CD 、BC 、AD 上，∴E 、F 、G 、H 都在β内．又∵E 、F 、G 、H 都在α内，αβ、不是同一个平面且有交点，αβ∴、有且只有一条交线l ，即l αβ= ．∴E 、F 、G 、H l ∈，即E 、F 、G 、H 共线．点拨：公里2中两个平面的交线是由这两个平面中所有公共点组成的集合，因此公理2往往用来证明多点共线问题，也常常用来证明像下例中的多线共点问题．例4.如图9－1－7，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且直线EF 和GH 交于一点，求证：EF 、BD 、GH 交于一点． 证明：设EF ，GH 交于一点P ，p ∈ 直线EF ，则p ∈平面ABD ． p ∈ 直线GH ，则p ∈平面CBD ．p ∈∴平面ABD 平面CBD=直线BD ．∴EF 、GH 、BD 三线共点P ．例5.如图9－1－8，在棱长为α的正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为111AA D C 、的中点， 过D 、M 、N 的平面a 与正方体的下底面相交于直线l ． (1)画出直线l ；(2)画出a 与正方体的各面的交线； (3)设11l A B P = ，求1PB 的长．解：(1)a 与平面11ADD A 的交线为DM ，DM 与11A D 的交点为Q ，11Q A D ∈则Q ∈平面1111A B C D ，连结QN ，则QN 即为l ．(2)设11l A B P = ，连结MP ，再连结DN ．a 与正方体的四个面相交，交线为 DM 、MP 、PN 、ND ．(3)由M 是1AA 中点得1A 是1QD 中点．图9－1－6图9－1－7图9－1－83.两条异面直线的证明，所成角的问题：例6.已知,a b αββ=⊂ 且,b a A c α=⊂ 且c//a ，求证：b 、c 是异面直线．分析：b 与c 的位置关系只有三种，假设b 、c 不是异面直线即是相交的或平行的，势必会推出已知或事实相矛盾的结果．从而可证明b 、c 是异面的． 证明：假设b 、c 不异面即b//c 或b c B = ．(1)若b//c ，又因为c//a ，∴a//b 与b a A = 矛盾．(2)若b c B = ，又因为,b c βα⊂⊂．B a a β∈=∴ 则a 与c 相交与c//a 矛盾．综上得b 、c 是异面直线．点拨：证明两条直线是异面直线的常用方法有(1)直接法：根据异面直线的定义或根据教材P 14例3的结论来证明；(2)反证法：更为常用，因为书写简明，条理性强．例7.如图9－2－5，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1111,A B B C 的中点，求EF与1AD 所成角的大小．分析：把EF 平移到11AC ，再平移到AC ，则所求角与1DAC ∠有关，求出角1D AC ∠，即可得EF 与1AD 所成角． 解：连结11AC 和AC ． 111//,//E F A C A C A C，//EF AC ∴由定义所求角与1D AC ∠有关．连结1CD 得正三角形1ACD ，即160D AC ∠=︒． ∴EF 与AD 1所成角为60°．点拨：求两条异面直线所成角的一般步骤为“作（或找）角求角”，具体为①用平移法找或作出角. ②认定此角（或其补角）即为所要求的角．③解三角形求角．例8.已知空间四边形ABCD 中，各边长均为a ，且对角线AD ＝BC=a ，如图9－2－6，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连结AF 、CE ．求异面直线AF 与CE 所成角． 解：连结FD ，取FD 的中点O ，连结EO ，OC ，图9－2－5∵E 、O 分别为AD 、FD 的中点，∴EO//AF ，则CEO ∠或其补角即为所求的角． 在△CEO中，CE =，12EO AF ==，4CO ===，222222)))2cos 23CE EO CO CEO CE CO+-+-∠===⋅∴ ∴AF 与CE 所成角为2arccos3． 点拨：由于作角的关键是平移直线，而移法可能不同，有时移一条，有时要移两条，因此作出的角的位置也不尽相同，有时所求角是作出的角的补角，因此求异面直线所成角的具体做法较多．四、课后巩固训练： <一>选择题：1.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它与另一条直线的位置关系是（ ）A.平行或异面B.平行或相交C.相交或异面D.互相垂直2.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，且c αβ= ，那么直线c 一定（ ） A.与a 、b 都相交 B.只能与a 、b 中的一条相交 C.至少与a 、b 中的一条相交 D.与a 、b 都不相交3.下面有四个命题①若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行；②若两条直线都和另一条 直线相交且垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都和另一条直线没有公共点，则这两 条直线平行；④若两条直线和另一条直线相交所成的角相等，则这两条直线互相平行，其中正 确的命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.在正方体1111ABCD A BC D -中与1A B 成45°角的棱有A.2条B.3条C.6条D.8条 5.“1111//,//OA O A OB O B ”是“111AOB AO B ∠=∠”的图9－2－6A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 6.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A.异面直线 B.相交直线 C.不相交直线 D.不平行直线7.对于已知直线a ，如果直线b 同时满足下列三个条件：(1)与a 是异面直线；(2)与a 所成的角为定值θ；(3)与a 的距离为定值d ，那么这样的直线b 有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 8.如图9－2－19，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中， O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点， 那么异面直线OE 和FD 1所成角的余弦值等于（ ）A.5B.5C.45D.23<二>填空题：9.已知异面直线a 、b 所成的角是80°，P 为空间一定点，则过P 且与a 、b 所成角都是50°的直线有______________条．10.在空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝2a ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，若MN ，则AC 与BD 所成角为_________，MN 与AC 所成角为_____________．11.在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ＝8，M 、N 分别是边BD 、AC 的中点，若异面直线AB 与CD 成角为60°，则MN 的长为______________．12.下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条；③经过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直；④已知111AOB AO B ∠=∠，若1//OA OA ，则11//OB O B ．其中正确命题的序号为___________．<三>解答题：13.如图9－2－21，空间四边形ABCD 中，四条边AB 、BC 、CD 、DA 及对角线AC 、BD 均相等，E 为AD 的中点，求AB 与CE 所成的角．图9－2－19图9－2－2114.如图9－2－23的长方体中，AB=BC=2a ，AA 1=a ，E 、F 分别为A 1B 1和BB 1的中点．求： (1)EF 和AD 1所成的角； (2)A 1D 1和B 1C 1间距离； (3)AC 1与B 1C 所成的角．15.如图9－2－24在空间四边形ABCD 中，AB=BD=AD=2，3,2BC CD AC ===，延长BC 到E 使CE=BC ，F 为BD 中点，求：异面直线AF 与DE 的距离和所成角．图9－2－23图9－2－24参 考 答 案<一>选择题：1.C2.C3.A4.D5.D6.D7.D8.B<二>填空题：9. 3 10. 90°，45° 11. 4或 12.②③<三>解答题：13.简解：取BD 中点F ，连EF 、CF ，求得FEC ∠=14.(1)连结D 1C ，AC ，则D 1C//EF ．在△AD 1C 中，222111112cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠解得11cos 5AD C ∠=．故所求角为1arccos 5． (2)A 1D 1与B 1C 1距离为2a ．(3)延长BC 至M ，使BC=CM ，连结C 1M ，AM ，在△AC 1M 中．11,3,AM AC a C M ===．由余弦定理得1cos AC M ∠=故所求角为1AC M ∠的补角，值为15.连结FC ，则FC//DE ，,1,BC CD BF === FC ===∴.2,A B B D A D A ===∴在△AFC 中，222,90AC FC AF ACF +=∠=︒∴ ．又1cos 2FC AFC AF ∠==，60AFC ∠=︒∴，//FC DE ，∴AF 与DE 的成角为60°．,DF AF DF DE ⊥⊥ ，∴DF 是AF 与DE 公垂线段．∴AF 与DE 距离为1．。

直线、平面、简单多面体主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略高考立体几何试题一般有3题左右，主要考查空间中的平行与垂直关系、空间中的角与距离、多面体与球等知识．对于空间中的角主要有：异面直线所成的角、线面角、二面角；空间中的距离主要有：点与点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离、线面距、面面距等，一般是以棱柱或棱锥为载体来考查．对于这些问题的解决方法主要如下：1、异面直线夹角：(1)平移法：将两条异面直线平移成两条相交直线．(2)向量法：求两异面直线方向向量的夹角．2、斜线与平面夹角：(1)定义法：作出斜线在平面上的射影，转化为斜线与射影的夹角，放在一个三角形中求解．(2)向量法：转化为求解斜线方向向量与平面法向量夹角问题．3、二面角：(1)定义法：由图形特殊的性质或条件，依定义作出二面角的平面角，再计算．(2)三垂线法：利用三垂线定理及逆定理作平面角．(3)射影面积法：(为二面角的大小)．(4)向量法：①转化为两半平面内垂直于棱的向量的夹角．②转化成两个半平面法向量的夹角．使用向量法可以简化几何关系证明，但应注意向量夹角等于二面角或其补角．4、求距离的一般方法：作出距离直接求，或转化为点到面的距离来求，还可以借助向量来求．借助向量求距离的方法：(1)点面距离的向量公式平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即．(2)线面、面面距离的向量公式平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．(3)异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=．二、典例剖析题型一：平行与垂直例1、（07浙江卷）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误．由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确．对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m；若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误．若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．选B．例2、(07上海卷)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2，l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2．用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系，写出一个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：________________________________________． 解：作图易得“能成为l 1，l 2是异面直线的充分条件”的是“，并且t 1与t 2相交”或“，并且s 1与s 2相交”．例3、如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB=AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ．（1）若D 是BC 的中点，求证AD ⊥CC 1；（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM=MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ． （3）AM=MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由． 解：（1）∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ． ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC ． ∵由面面垂直的性质定理可知AD ⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵CC 1侧面BB 1C 1C ．∴AD ⊥CC 1．（2）证法一：延长B 1A 1与BM 交于N （在侧面AA 1B 1B 中），连结C 1N ． ∴AM=MA 1，∴NA 1=A 1B 1．又∵A 1B 1=A 1C 1（由棱柱定义知△ABC ≌△A 1B 1C 1，∴AB=A 1B 1，AC=A 1C 1），∴A 1C 1=A 1N=A 1B 1．∴在ΔB 1C 1N 中，由平面几何定理知：∠NC 1B 1=90°，即C 1N ⊥B 1C 1． 又∵侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1，交线为B 1C 1．∴NC 1⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵NC 1面BNC 1，∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ．证法二：取BC 1中点E ，连结DE 、ME ．在ΔBCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点，∴DE，又AA 1CC 1，∴DE ．∵M 是AA 1的中点（由AM=MA 1知），∴DE AM ．∴AMED 是平行四边形．∴AD ME ．由（1）知AD ⊥面BB 1C 1C ．∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ． 又∵ME面BMC 1，∴面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ．（3）结论是肯定的，充分性已由（2）证明．下面仅证明必要性（即由截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ．推出AM=MA 1，实质证明M 是AA 1的中点．）过M 作ME 1⊥BC 1于E 1．∵截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC 1． ∴ME 1⊥侧面BB 1C 1C ． 又由（1）知⊥侧面BB 1C 1C ．因为同垂直于一个平面的两条直线平行，∴AD ∥MB 1． ∴M 、E 1、D 、A 四点共面．又∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，面AME 1D 面BB 1C 1C=DE 1， ∴由线面平行的性质定理可知AM ∥DE 1，又AD ∥ME 1， ∴四边形AME 1D 是平行四边形．∴AD=ME 1，DE 1AM ．又∵AM ∥CC 1，∴DE 1∥CC 1．又∵D 是BC 中点，∴E 1是BC 1中点．．题型二：空间的角例4、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝．(Ⅰ)证明：SA⊥BC；(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；解法一：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，，得，．△SAB的面积．连结DB，得△DAB的面积．设D到平面SAB的距离为h，由于，得，解得．设SD与平面SAB所成角为，则．所以，直线SD与平面SAB所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以SO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz，，，，，，，，所以．（Ⅱ）取AB中点E，，连结SE，取SE中点G，连结OG，．，，．，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为α，SD与平面SAB所成的角记为β，则α与β互余．，．，，所以，直线SD与平面SAB所成的角为．例5、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，PA=4，AD=2，，BC=6．(Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)求二面角A—PC—D的大小；解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD．∴BD⊥PA．又，．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．又．∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，为二面角A—PC—D 的平面角．又∠DAC=90°－∠BAC=30°，∴DE=ADsin∠DAC=1，，又，，．由Rt△EFC∽Rt△PAC得．在Rt△EFD中，，．∴二面角A—PC—D的大小为．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，4），，，，，．∴BD⊥AP，BD⊥AC，又，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设平面的法向量为，则，，又，，解得平面的法向量取为，，．∴二面角A—PC—D的大小为．题型三：空间距离例6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=，AB=AD=a，∠ADC=arccos，PA⊥面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．解：(1)∵BC∥AD，BC面PBC，∴AD∥面PBC，从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离．过A作AE⊥PB，又AE⊥BC，∴AE⊥平面PBC，AE为所求．在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a，∴AE=a．(2)作CM∥AB，由已知cos∠ADC=．∴tan∠ADC=，即CM=DM．∴ABCM为正方形，AC=a，PC=a．过A作AH⊥PC，在Rt△PAC中，得AH=．下面在AD上找一点F，使PC⊥CF．取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形．∴∠ACM＋∠FCM=45°＋45°=90°．∴FC⊥AC，即FC⊥PC，∴在AD上存在满足条件的点F．题型四：多面体与球例7、(07湖南卷) 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．B．1C．D．解：正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d=，，所以EF=2r=．选D．例8、设棱长为2R的立方体容器中装满水，先把半径为的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比．解：作出正方体的对角面，则在对角线的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则也在上，设小球半径为，则所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为：．题型五：几何体的展开与折叠B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC中点，则在棱柱的表面上从点M到例9、正三棱柱ABC—A1点N的最短距离是多少？并求之．剪开，并展开，解：（1）从侧面到N，如图（1）所示，沿棱柱的侧棱AA1（1）（2）则．（2）从底面到N点，沿棱柱的AC、BC剪开，展开，如图（2）所示，题型六：立体几何与解析几何的综合例10、如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且，，，，，则点在平面内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分解：由条件易得，且，，，可得，即，在平面内以所在的直线为轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则，，设点，则有，整理可得一个圆的方程，由于点不在直线上，故此轨迹为圆的部分．例11、已知二面角的平面角为，、为垂足，且设、到棱的距离分别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的（）解：法一：P到的距离即为P到点的距离，则平面内的点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等，故P的轨迹是抛物线．故选D．法二：设平面与棱交于，则在中；在中，，故有，点在双曲线的第一象限部分，故选D．。

9．直线、平面、简单几何体「平面」平面是一个只描述而不定义的最基本的概念。

可以从下述几方面加深认识：①平面的最本质的一个属性就是具有无限延展性。

应注意把立体几何中的平面与日常接触到的平面严格加以区分，不能混为一谈。

作为立体几何概念的平面，已经不再具有平面形象物体的属性，它不计厚薄，不计质量，没有任何物理的或化学的属性。

②可以将平面几何中直线的无限延展性与立体几何中平面的无限延展性加以类比，从而加深对平面的认识：直线可以看成是一点沿一定方向运动以后形成的；平面可以看成是一条直线沿一定方向运动以后形成的。

一条直线把它所在平面分成两部分；一个平面把空间分成两部分。

「平面的画法及其表示法」用图形表示直线只有一种方法，而用图形表示平面的方法却不是惟一的。

它可以用常见的图形，如三角形、平行四边形、矩形、正方形、平面多边形和圆等表示。

总之，可以用任意封闭的平面图形表示平面。

值得注意的是，虽然是用有限的封闭图形表示具有无限延展性的平面，但不能动摇对平面无限延展性的认识。

立体几何中，通常用平行四边形表示平面，画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的2倍，如图（1）所示，画非水平平面时，只要画成适当的平行四边形即可，如图（2）所示；画直立的平面时，应把一组对边用铅垂线表示，如图（3）所示。

一个平面通常用一个字母表示，如平面M，平在α，也可以用表示平面的平行四边形的顶点上的字母表示，如平面ABCD或平面AC。

「用集合符号表示点、直线和平面之间的基本关系」①点和平面的位置关系：点A在平面α内，记作A∈平面α；点B不在平面α内，记作B∉平面α。

②直线和平面的位置关系：直线l在平面M内，记作直线l⊂平面M，在不发生误会的前提下，可⊂；直线l不在平在M内，记作直线l⊂平面M。

以记作l M③平面和平面的位置关系：平面α和平面β相交于直线l，记作平面αI平面β=直线l。

「平面的基本性质」公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。

点直线平面知识点总结一、直线的基本概念1. 直线的定义在几何学中，直线是由无数个点组成的，它是宽度为零的、延伸到无限远处的一种图形。

直线可以由两点唯一确定，也可以由一条方程或参数方程来描述。

2. 直线的符号表示直线通常用小写字母表示，如l、m、n等。

3. 直线的性质（1）直线上任意两点之间的距离是确定的；（2）直线上的任意两点确定一条直线；（3）直线上的端点是无穷远处的。

4. 直线的分类根据直线在空间中的位置关系，可以将直线分为交叉直线、平行直线和重合直线等不同类型。

二、平面的基本概念1. 平面的定义平面是由无数个点组成的，它是一个没有厚度，但是有无限面积的二维图形。

平面可以由三个非共线点来确定，也可以用一个方程或参数方程来描述。

2. 平面的符号表示平面通常用大写字母表示，如A、B、C等。

3. 平面的性质（1）平面上的任意三点不共线；（2）平面上的两点确定一条直线；（3）平面上的任意两点确定一条直线；（4）平面分为有限平面和无限平面两种类型。

4. 平面的分类平面可以根据位置和方向的不同而分为垂直平面、水平平面、倾斜平面等不同类型。

三、直线与平面的相互关系1. 直线与平面的位置关系（1）直线与平面相交：直线和平面相交于一点、相交于两点或相交于一条直线；（2）直线与平面平行：直线和平面永远不相交，但不在同一个平面上；（3）直线在平面内：直线完全在平面内部。

2. 直线与平面的最近距离求解直线到平面的最近距离是解析几何中的一个重要问题，一般采用垂直距离公式或点到平面的距离公式进行计算。

3. 直线与平面的交点计算当已知直线和平面的方程时，可以通过代数方法求解它们的交点，进而解决直线与平面的位置关系和交点坐标等问题。

四、直线与平面的应用1. 直线与平面的图形投影在空间中，直线和平面也会产生相应的投影图形，可以利用几何投影的原理来求解各种实际问题，如建筑投影、平面视图、立体图形等。

2. 直线与平面的夹角及距离问题在空间解析几何中，直线与平面的夹角计算和直线到平面的距离都是重要的应用问题，涉及房屋建筑、机械制造、航空航天等领域的实际问题。

高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

能够用斜二测法作图．．．．．．．。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。

尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。

二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。

5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。

（2）掌握长方体的对角线的性质。

（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。

（4）S 侧＝各侧面的面积和。

思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。

直线和平面知识点总结归纳一、直线的定义和特性1. 直线的定义：直线是由无数个点组成的几何图形，它是在任意两点之间存在着无数个点的图形，用两个点确定一条直线，叫做这条直线的一个方向向量。

2. 直线的性质：(1) 直线无始无终：直线是由无数个点组成的，所以它既没有始点也没有终点。

(2) 直线上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 直线的长度是无限的。

(4) 直线的方向是唯一确定的，可以用方向向量来表示。

3. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)；(2) 一般式方程：Ax+By+C=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b=1。

4. 直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴的夹角，而斜率是直线倾斜角的正切值。

5. 直线的位置关系：直线之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

二、平面的定义和特性1. 平面的定义：平面是由无数个点和直线组成的几何图形，它是一个没有厚度的二维空间。

2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点都在同一条直线上。

(2) 平面上的任意两点都可以确定一条直线。

(3) 平面是无限的。

3. 平面的方程：平面可以用点法向式、一般式、截距式等形式来表示。

(1) 点法向式方程：Ax+By+Cz+D=0；(2) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

4. 平面的位置关系：平面之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。

5. 平面的倾斜角和法向量：平面的倾斜角是指平面与水平面的夹角，而法向量是平面垂直于的一个向量。

三、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系：直线与平面之间的位置关系有相交、平行和垂直三种情况。

2. 直线与平面的夹角：直线与平面的夹角是指直线在平面上的投影线与直线本身的夹角。

3. 直线与平面的交点：直线与平面的交点是指直线与平面的一个或多个交点，可以通过代入直线方程和平面方程求得。