(完整版)平面向量知识点及方法总结总结

平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。

平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。

1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。

-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。

-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。

-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。

-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。

4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。

5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。

-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。

6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。

-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。

以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。

为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。

高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。

常
用字母表示向量，如a、b等。

向量的大小可以用模表示，记作|a|。

2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。

加法满足交换律和结合律。

2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。

2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。

数量积满足交换律和分配律。

2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。

3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。

3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。

垂直向量的
点积为0。

3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。

4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。

在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。

以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。

希望能够对你的学习和理解有所帮助！。

高一数学平面向量归纳总结一、向量的概念及基本性质向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

向量的大小可以用模表示，方向可以用角度或方位角表示。

向量的相等与相反，向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律、分配律。

二、向量的表示方法1. 终点坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x,y)处，向量记作OP。

2. 坐标表示法：向量的起点在坐标原点O处，终点在坐标平面上的某个点P(x₁,y₁)处，向量记作(x₁,y₁)。

3. 位置矢量表示法：在平面直角坐标系中，向量的起点是原点O，终点为某一点P，则OP向量可以表示为以O为原点，以P为终点的位置矢量。

三、向量的运算1. 向量的加法：向量加法满足三角形法则和平行四边形法则。

2. 向量的数量乘法：向量与实数相乘，改变向量的长度但不改变方向。

3. 向量的减法：向量减法等于加上减向量的负向量，即A-B=A+(-B)。

4. 内积运算：内积(点积)的运算结果是一个实数，满足交换律、分配率，且与夹角θ的余弦有关。

5. 外积运算：外积(叉积)的运算结果是一个向量，其大小等于以两个向量为两条邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形的平面。

四、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示与直角坐标系中的坐标表示是一致的，即用向量的横、纵坐标表示向量的分量。

五、向量共线与共面1. 向量共线：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量共线。

2. 向量共面：若向量A、B、C的数积为0，则A、B、C三个向量共面。

六、向量的数量积应用1. 向量夹角的性质：夹角余弦公式可以用于求解向量夹角。

2. 向量投影的概念：设A为非零向量，B为任意向量，点的B在A 上的投影记为Prj(A,B)。

3. 向量投影的计算：设A为非零向量，B为任意向量，则Prj(A,B) = (A·B)/|A|。

4. 向量垂直与平行的判定：若向量A与向量B的数量积为0，则两个向量垂直；若向量A与向量B共线且方向相同或相反，则两个向量平行。

平面向量基础知识复习必修4 平面向量知识点小结一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r ）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r、b r 叫做平行向量，记作：a r∥b r ，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔u u u r u u u r、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r的相反向量记作a -r.举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =rr .（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若AB DC =u u u r u u u u r，则ABCD 是平行四边形.（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r.（5）若a b =rr ，b c =r r ，则a c =r r .（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r.其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r，注意起点在前，终点在后；平面向量基础知识复习2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r等；3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 为基底，则平面内的任一向量a r可表示为(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理 设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r.（1）定理核心：1122a λe λe =+r r r；（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.（3）向量的正交分解：当12,e e r r 时，就说1122a λe λe =+r r r为对向量a r 的正交分解．举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322a b -rr . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =r ，2(1,2)e =-r B.1(1,2)e =-r ，2(5,7)e =r C.1(3,5)e =r ，2(6,10)e =r D.1(2,3)e =-r，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BCu u u r可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433a b +rr . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅r r；（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr的方向与a r的方向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，注意：0a λ≠r .五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a r，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r，b r 的夹角.当0θ=时，a r ，b 同向；当θπ=时，a r ，b 反向；当2πθ=时，a r，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a r，b r ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅r r ，即||||cos a b a b θ⋅=⋅r r r r.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ⋅=u u u r u u u r_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1.（3）已知||2a =r ，||5b =r ，3a b ⋅=-rr ，则||a b +=r r ____. （4）已知,a b r r 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +rr 的夹角为____. 结果：30o.3.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0.举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ⋅=rr ，则向量a r 在向量b r 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的模||a r 与b r在a r上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a r，b r ，其夹角为θ，则：（1）0a b a b ⊥⇔⋅=r rr r ；（2）当a r、b r 同向时，||||a b a b ⋅=⋅r r r r ，特别地，22||||aa a a a =⋅=⇔=r r r r r ||||ab a b ⋅=⋅r r r r 是a r、b r 同向的充要分条件；当a r 、b r 反向时，||||ab a b ⋅=-⋅r r r r ，||||a b a b ⋅=-⋅r r r r 是a r、b r 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>r r ，且a r、b r 不同向，0a b ⋅>r r 是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，0a b ⋅<r r ，且a r、b r 不反向；0a b ⋅<r r 是θ为钝角的必要不充分条件.（3）非零向量a r，b r 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=r r r r ；④||||a b a b ⋅≤r r r r . 举例6 （1）已知(,2)aλλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=u u u r u u u r ，若12S <，则OF u u u r ，FQ u u u r 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满足|||ka b a kb +-r r r r（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅r r ；②求a b ⋅rr 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小.结果：①21(0)4k a b k k +⋅=>r r ；②最小值为12，60θ=o. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，则向量AC u u u r 叫做a r与b r 的和，即a b AB BC AC +=+=u u ur u u u r u u u r r r ；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则a b AB AC CA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r . 结果：①AD u u u r ；②CB u u u r ；③0r；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，则||a b c ++=r r r. 结果：（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r ，设||||AP PD λ=u u u ru u u r ，则λ的值为 . 结果：2； （5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r，则ABC △的内角C 为 . 结果：120o.2.坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--r r . 举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12；（2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =u u r ，2(2,5)F =-u u r ，3(3,1)F =u u r，则合力123F F F F =++u u r u u r u u r u u r的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =u u u r u u u r，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+rr .举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r.（1）若3x π=，求向量a r 、c r的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅r r 的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150o；（2）12或1.（5）向量的模：2222||||aa x y a ==+⇔=r r r举例11 已知,a b rr 均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3|a b +=r r ＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y，则||AB =举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，xOy ∠=P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+u u u r r r ，其中12,e e r ry 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r，a b b a ⋅=⋅r r r r ；2.结合律：()ab c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅r r r r r r； 3.分配律：()a a a λμλμ+=+r r r，()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r .举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r；③222()||2||||||a b a a b b -=-+r rr r r r ；④ 若0a b ⋅=rr ，则0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ⋅=⋅r r r r 则a c=r r ；⑥22||a a =r r ；⑦2a b b a a⋅=r r r r r ；⑧222()a b a b ⋅=⋅r r r r ；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+r r rr r r .其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=r r r rr r r r .举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+rr r ，且//u v r r ，则x = . 结果：4.（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=r r r rr r r r .特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m=r 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=u u u r u u u r，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P u u u u r，即点P 在线段12PP 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P u u u u r时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12PP 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P u u u u r所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34，则A 分BP u u u r所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-u u u u r u u u ur ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r，则a =r. 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r平移得曲线(,)0f x h y k --=.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r r r r.平面向量基础知识复习（1）右边等号成立条件： a b r r 、同向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔+=+r r ；（2）左边等号成立条件： a b r r 、反向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ⇔-=+r r r r；（3）当 a b r r 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+r r r r r r.3.三角形重心公式 在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔u u u r u u u r u u u r u u u r为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G++=⇔u u u r u u u r u u u r r 为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心. 6.点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P u u u u r所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MPMP λλ+=+u u u u r u u u u r u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点122MP MPMP +⇔=u u u u r u u u u ru u u r .7. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

第六章平面向量知识点总结一、平面向量的概念平面向量是指平面上具有大小和方向的量。

它是由起点和终点确定的有向线段。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a表示横坐标的增量，b表示纵坐标的增量。

二、平面向量的表示1. 平面向量的概念平面向量是由两个向量确定的，即它的坐标是有序对(x, y)。

例如平面向量a=(1, 2)，其中1表示横坐标的增量，2表示纵坐标的增量。

2. 平面向量的运算（1）平面向量的加法平面向量的加法是指将两个平面向量的对应坐标相加，即(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)。

（2）数乘对于平面向量a=(x, y)和实数k，数乘ka=(kx, ky)。

三、平面向量的运算平面向量的运算包括：平面向量的加法、数乘、模长和方向角。

1. 平面向量的加法设平面向量a=(x₁, y₁)，b=(x₂, y₂)，则a+b=(x₁+x₂, y₁+y₂)。

2. 数乘设平面向量a=(x, y)，实数k，则ka=(kx, ky)。

3. 模长平面向量的模长表示向量的长度，它的计算公式是：|a| = √(x² + y²)。

4. 方向角平面向量的方向角表示向量与x轴的夹角。

它的计算公式是：θ = arctan(y/x)。

四、平面向量的线性运算1. 向量的共线如果平面向量a=λb，则a和b共线。

2. 向量的线性组合设有向量a、b，向量a' = λa，b' = μb，如果a' + b' = 0，那么向量a和b线性无关。

也就是说，向量a和向量b不是平行的，且不是共线的。

3. 平面向量线性运算的性质（1）结合律(a+b)+c=a+(b+c)（2）交换律a+b=b+a（3）数乘结合律k(la)=(kl)a五、平面向量的坐标位置关系1. 向量的平行平面向量a和b平行的充要条件是a=λb。

2. 向量的垂直平面向量a和b垂直的充要条件是a·b=0。

平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。

平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。

下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。

其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。

2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。

有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。

二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。

即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。

2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。

即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。

3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。

即k(A, B) = (kA, kB)。

4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。

设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。

5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。

三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。

4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。

5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。

四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。

2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。

平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。

一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。

例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。

二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。

三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。

设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。

新的线段即为向量A + B。

2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。

设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。

3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。

即A - B = A + (-B)。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。

任何向量与零向量相加等于该向量本身。

四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。

2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。

3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。

4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。

5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。

6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。

五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。

平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。

2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。

3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。

三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。

2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。

3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。

5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。

四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。

2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。

五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。

2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。

六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。

2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。

通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。

平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。

●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。

2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。

3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。

●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。

4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。

●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。

●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。

5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。

●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。

●点积满足交换律：a ·b = b ·a。

●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。

●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。

●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。

●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。

7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。

●共线向量指在同一直线上的向量。

●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。

8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。

●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

平面向量知识点整理平面向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

下面是关于平面向量的知识点整理。

一、平面向量的定义和表示平面向量是指在平面上一个具有大小和方向的量。

平面向量可以表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量通常表示为有序对(a,b)，其中a和b是实数。

二、平面向量的运算1.加法：平面向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。

加法运算满足交换律和结合律。

2.数乘：将一个向量乘以一个标量得到一个新的向量，标量可以是实数。

数乘的结果是将向量的大小和方向进行相应的调整。

3.减法：将一个向量减去另一个向量等于将第二个向量取相反数后与第一个向量相加。

减法运算可以转化为加法运算。

三、平面向量的性质1.平行向量：两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。

平行向量的大小可以不同。

2.零向量：大小为零的向量称为零向量，用0表示。

任何向量与零向量相加的结果仍为原向量本身。

3.负向量：一个向量的大小和方向相同但方向相反的向量称为它的负向量。

4.共线向量：两个或更多个向量都平行于同一条直线时，它们是共线向量。

5.非共线向量：不在同一直线上的向量是非共线向量。

6. 数量积：两个非零向量a和b的数量积（也称为点积或内积）是一个标量，定义为a·b= ，a，，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

7. 向量积：两个非零向量a和b的向量积（也称为叉积或外积）是一个向量，定义为 a × b = ，a，，b，sinθ n，其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的模长，θ表示两个向量之间的夹角，n为一个与a和b都垂直的单位向量。

8.向量共线条件：两个向量共线的充要条件是它们的向量积等于零向量。

四、平面向量的应用1.几何问题：平面向量可以用于解决距离、角度等几何问题，如计算点的坐标、计算直线的夹角等。

2.物理问题：平面向量常用于物理学中的力学问题，如计算物体的合力、分解力等。

高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。

2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。

（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。

（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。

二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。

2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。

3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。

4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。

（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。

2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。

平面向量重要知识点1、向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，(2)零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB 共线的单位向量是 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反 的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a // b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒平行向量 无传递性！(因为有0)2.平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任4、平面向量的数量积： (1)两个向量的夹角：(2) 平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是 0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

(3) b 在a 上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。

(4) a ?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的模与b 在a 上的投影的积。

(5)向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则:r r rb a?b 0 ；(3) uuuAB ).uuu)， |AB|一向量a ，有且只有一对实数12，使 a= 1^ + 2 62。

3、实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a :当>0时，a 的方向与a 的方向相同，当 <0时,a 的方向与a 的方向相反②当「2 r r 特别地，a a?aa ，b 同向时，a ?b =拧 ；当a 与b 反向时,;当为锐角时，a?b > 0,且a、b不同向，ab 0是为锐角的必要非充分a ? b5、向量的运算：(1)几何运算：掌握三角形发展或者平行四边形法则, (2)坐标运算：设 a (x 1, y 1),b (x 2, y 2)，贝U:7、向量平行(共线)的充要条件 8、8.线段的定比分点：(1)定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P i 、P 2的任意一点，若存在一个实数的定比分点;X L 1(知道怎样推出来的吗)* y 2 19.向量平移平面向量章节复习题r f r r条件；当 为钝角时，a ?b < 0,且a 、b 不反向,r ra b 0是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ， b 夹角的计算公式：cos④ ia?bi |；|£|。

平面向量知识点总结(精华)一、平面向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如\(\vec{a}\)。

向量的大小称为模，记为 \(|\vec{a}|\) 或\(\vec{a}\) 的长度；向量的方向是从起点指向终点的方向。

2. 向量的表示向量可以用坐标表示，设向量 \(\vec{a}\) 的起点为 \(O\)，终点为 \(A\)，则 \(\vec{a}\) 可以表示为 \(\vec{OA}\)。

在平面直角坐标系中，向量 \(\vec{a}\) 可以表示为 \(\vec{a} = (x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别是向量在 \(x\) 轴和 \(y\) 轴上的分量。

3. 向量的运算（1）向量的加法：两个向量相加，是将它们的坐标分别相加。

即 \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)。

（2）向量的减法：两个向量相减，是将它们的坐标分别相减。

即 \(\vec{a} \vec{b} = (x_1 x_2, y_1 y_2)\)。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数，是将向量的坐标分别乘以这个实数。

即 \(k\vec{a} = (kx_1, ky_1)\)。

（4）向量的点乘：两个向量的点乘，是将它们的坐标分别相乘后求和。

即 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 +y_1y_2\)。

（5）向量的叉乘：两个向量的叉乘，是将它们的坐标分别相乘后求差。

即 \(\vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2x_2y_1\)。

二、平面向量的数量积1. 数量积的定义数量积又称点积，是两个向量的乘积，其结果是一个实数。

数量积的定义为：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是两个向量的夹角。

平面向量知识点总结归纳平面向量是二维空间内的向量，由两个有大小和方向的向量组成，可以用于描述平面内的位移、速度、加速度等物理量。

平面向量的知识点总结如下：一、平面向量的定义1. 平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示，记作→AB。

2. 平面向量的大小称为模，记作|→AB|或AB，表示向量的长度。

3. 平面向量的方向可以用与x轴的夹角来表示，记作θ。

二、平面向量的表示方法1. 基底表示法：使用坐标系中的两个非零向量作为基底，根据向量分解的原理将向量表示为基底的线性组合。

2. 基底表示法的基底选择：通常选择单位向量i和j作为基底，i表示x轴的正方向，j表示y轴的正方向。

三、平面向量的运算1. 加法：向量相加的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的和，方向等于两个向量的夹角的平分线方向。

2. 减法：向量相减的结果是一个新的向量，新向量的大小等于两个向量大小的差，方向等于两个向量的夹角的平分线反方向。

3. 数乘：向量乘以一个标量得到的是一个新的向量，新向量的大小等于标量与原向量大小的乘积，方向与原向量相同（正向量）或相反（负向量）。

4. 内积：向量的内积是两个向量的大小之积与它们夹角的余弦值之积，可以用于求夹角、判断垂直和平行等。

5. 外积：向量的外积又称为叉乘，结果是一个新的向量，大小等于两个向量的大小之积与它们夹角的正弦值之积，方向垂直于这两个向量构成的平面。

6. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，大小等于原向量与投影方向的夹角的余弦值与原向量大小之积，方向与投影方向相同。

四、平面向量的性质1. 平面向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。

2. 平面向量相反的充要条件是它们大小相等且方向相反。

3. 平面向量与其负向量的和等于零向量。

4. 平面向量的模可以为零，只有零向量的模为零，其它向量的模都大于零。

5. 平面向量与标量相乘，改变的是向量的大小，不改变其方向。

平面向量及其应用知识点总结
一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平
面向量。

2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。

（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。

（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。

二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。

2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。

三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。

2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。

3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。

4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。

5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。

四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。

2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作
用力等物理量，通过分解力求解问题。

3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。

4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。