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第3部分(权协因数传播律真误差算中误差)

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误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权

误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权

X
0 1
,
X
0 2
,
,
X
0 n
也可写为：
dZ
f X1
dX1 0
f X
2
dX2 0
f X
n
0 dX n
KdX
因此只要对非线性函数求全微分，获得系数矩阵即 可应用协方差传播率
12
第三章 协方差传播率及权
6、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵
基本思想：a、利用泰勒级数展开，略去二次以上项，
为第l2ilj i组E观(li测 值E(l的i ))方(l j 差 E；(l j ))
为第i组观测值关于第j组观测值的协方差，协方差用 来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度。
3
第三章 协方差传播率及权
§3-2 协方差传播率
1、协方差传播律的作用 （图3－1示例）
计算观测向量函数的方差—协方差矩阵，从而评 定观测向量函数的精度。
20
第三章 协方差传播率及权
对上式求全微分，得
dZ1
f1 X 1
dX 1
f1 X 2
dX 2
f1 X n
dX n
dZ 2
f 2 X 1
dX 1
f 2 X 2
dX 2
f 2 X n
dX n
dZt
f t X 1
dX 1
f t X 2
dX 2
f t X n
dX n
21
第三章 协方差传播率及权
2、预备公式
E(C) C , E(CX ) CE(X ), E(X Y ) E(X ) E(Y )
E(X1 X 2 X n ) E(X1) E(X 2) E(X n )

误差平差协方差传播定律及权ppt课件-PPT精品文档

误差平差协方差传播定律及权ppt课件-PPT精品文档
误差理论与测量平差基础
—协方差传播定律及权
第三章
协方差传播律及权
本章内容包括：
§3-1
§3-2 §3-3 §3-4 §3-5
数学期望的传播
协方差传播律 协方差传播律的应用 权与定权的常用方法 协因数和协因数传播律
§3-6
由真误差计算中误差及其实际应用
本章学习的目的和要求
求函数的协方差阵； 求函数的协因数阵； 求两两函数的互协方差阵以及互协因数阵。
11 1 n nຫໍສະໝຸດ 1式 中 :K ,k , k ,K 是 常 数 。 k 1 2 n 0
11
求Z的方差DZZ。
为求Z的方差，我们需从方差的定义入手。 根据方差的定义,Z的方差为：
由数学期望运算可得：
2 T D ( Z E ( Z ) ) ( Z E ( Z ) ） Z Z ZE
重点和难点
协方差、协因数传播律的应用；
常用定权的方法。
先看两个例子
L L L 1、设有观测值向量 L 1 2的方差阵为： 3
T
D LL
0.8 0.2 0.1 0.2 0.7 0.3 0.1 0.3 1.0
（1）试写出各观测值的方差以及两两协方差； （2）若有函数 F ，则该函数 F的方差又如何？ L L 3 L 7 8 1 2 3
以下给出数学期望传播的几个运算公式
1、设C为一常数, 则: E(C)=C 2、设C为一常数,X为一随机变量, 则: E(CX)=CE(X) 3、设有随机变量X和Y, 则: E(X+Y)=E(X)+E(Y)
4、 若随机变量X、Y相互独立, 则： E(XY)=E(X)E(Y)

相互独立的变量华北科技学院协方差传播律习题三

相互独立的变量华北科技学院协方差传播律习题三

提示：按协方差传播律，首先找系数K（若非线性首先进 行线性化），按公式计算。
协因数可以按求得的协方差阵求，亦可以按照协因数传 播律（根据已知的协方差阵求得协因数阵再按公式求）
华北科技学院
协方差传播律习题
2 已知观测向量L的权阵为
P

3 1
1 3
试求观测值L1， L2的权及协因数
解: 由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量L的协
-2 4 -2
1
-2

5
（2）设L'=[L1 L2]T，求PL'L'
1）求是否独立，只要看Q或者D是否为对角阵。 2）求权阵只有求得Q阵，逆阵即为权阵。
华北科技学院
协方差传播律习题
4、 单一三角形的三个观测角 L1、L2和L3的协因数阵
QLL=I ， 现 将 三 角 形 闭 合 差 平 均 分 配 到 各 角 ，
点，观测高差h1和h2以求P点的高程。设h1和h2的 中误差分别为σ1和σ2，且已知σ1=2σ2，单位权 中误差σ0=σ2。若要求P点高程的中误差σp=2mm， 那么，观测精度σ1和σ2的值各应是多少？
提示加权平均求中误差
A
h1
h2 B
华北科技学院
协方差传播律习题
6、设分5段测定AB两水准点间的高差，每段各测两次，其
7、 如图所示导线, A为已知点，α0为AB方向的 方位角， β为观测角，其方差为4.0(″)2，观测边 长S为600.00 m，其方差为0.5cm2， 试求C点的点 位方差。
（1）、列函数式， 由图知:
XC X A S cos

0
,
YC YA S sin

i 1

误差理论与平差基础-第3章-协方差传播率及权PPT课件

误差理论与平差基础-第3章-协方差传播率及权PPT课件
求AC两点的高差及中误差
hAC hAB hBC ki 1, i 1,2,n
z x1 x2 xn 形式
.
15
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例4] 用30m的钢尺往返丈量一段距离，得 D往 269.95m, D 返 269.99m 如果一整尺段丈量的中误差为：1.0cm ,
.
22
二、协方差传播律
4、非线性函数的方差——协方差
设非线性函数为：z f (x1, x2,, xn )
z
f (x1,, xn )
f
(
x10
,
,
xn0
)
f x1
(x1 x10 )
f xn
( xn
xn0 )
等价于
z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn )
x1
z
Kx
f x1
f x2
1、协方差
➢ 观测值线性函数的方差：设观测向量 X 及其期望和方差为：
X ( X1 X 2 X n )T , E( X ) ( E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ))T
12 12 1n
DXX E (X E(X ))(X E(X ))T
12
2 2
2n
DXTX
[例6] 用三角形闭合差求测角中误差
次序 1 2 3 4 5
sum
观测值 l 180 00 10.3 179 59 57.2 179 59 49.0 180 00 01.5 180 00 02.6
-10.3 +2.8 +11.0 -1.5 -2.6 -1.6
106.1 7.8 121 2.6 6.8

3-协方差传播律及权

3-协方差传播律及权

Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3

协方差传播律及权PPT学习教案

协方差传播律及权PPT学习教案

0
0 1 2 -1.71e-4
2.3493e-7 (米2 )
Z
2 Z
4.8e-4(米) 0.48毫米
中误差为：
注：先取对数然后再全微分能简化计算。
ln Z ln sin L1 ln sin L3
dZ cos L1 dL1 cos L3 dL3 Z sin L1 sin L3
dZ Z cos L1 dL1 Z cos L3 dL3 sin L1 sin L3
式“一致”的形式。因此，如何将非线性函数线性化，是 我们先要解决的问题。
第18页/共75页
非线性函数的线性化的方法是：
---将函数按泰勒级数展开，略去高次项
⑴ 泰勒公式 如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有
直到n+1阶的导数，则在该邻域内f(x)展开为
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) (x x0 )2 2!
2 km
h Skm
结论的用法：已知任量求第三量
第27页/共75页
二、同精度独立观测值的算数平均值的精度
设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值L1
、L2、…、Ln，它们方差均为σ2)，其算术平均值
为
X
L
N
1 N
L1
1 N
L2
...
1 N
LN
由协方差传播律知，平均值x的方差
2 x
1 N2
2
1 N2
如图支导线，观测值： m , S mS
KDXX KT
tn nn nt
（公式2）
第10页/共75页
可以看出 线性函数的协方差和多个线性函数的协方
差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同; 所不同的是： ✓DZZ前者是一个函数值的方差（1行1列）; ✓而后者是t个函数值的协方差阵(t行t列)。

测量平差 第三章 误差传播律与权

1 2 n
1
σX X 2 σX
1 2
2
σX X ⎤ ⎥ σX X ⎥
1 n 2 n
1
σX
nX2
2 σX
n
⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ μY1 ⎤ ⎡ E (Y1 ) ⎤ ⎡Y1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Y ⎥ ⎢ μY2 ⎥ = ⎢ E (Y2 )⎥ Y = ⎢ 2 ⎥ μY = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ μYr ⎥ ⎣ E (Yr ) ⎦ ⎣ ⎦ ⎣Yr ⎦
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
把观测值函数表示为矩阵形式
⎡L ⎤ 1 2 1 1⎤ ⎢ ⎥ ˆ ⎡ L = ⎢ − − ⎥ ⎢L2 ⎥ +60 1 ⎣3 3 3⎦ ⎢L3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡2 ˆ ⎡L ⎤ ⎢ 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ 1 ˆ ˆ L = ⎢L2 ⎥ = ⎢− ⎢ˆ ⎥ ⎢ 3 ⎢L3 ⎥ ⎢ 1 ⎣ ⎦ ⎢ − ⎢ 3 ⎣
β ，其中误差 β 2
B
A
β1 β2 x
α
C
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
1. 把已知条件写成矩阵、向量形式
⎡ β1 ⎤ β =⎢ ⎥ ⎣ β2 ⎦
⎡ σ 12 σ 12 ⎤ ⎡1.96 −1 ⎤ =⎢ = 2⎥ σ 21 σ 2 ⎦ ⎢ −1 1.96 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣
观测量
方差
DXX
⎡1 = σ = KDLL K = ⎢ ⎣7
2 X T
2 7
σ X = 0.84 = 0.9mm
误差理论与测量平差基础
北京建筑工程学院 测绘工程系
协方差计算步骤：
D X X
希望同学们把它记下来

协方差传播律当σxy=时表示这两个观测值的误差之间互不影响


xC xA SAC cos AC yC yA SAC sin AC A
α0
L1
B
S0
第三章 误差传播定律及权
主要内容
协方差的传播及应用 权与定权的方法 协因数及协因数传播律 有真误差计算中误差及实际应用
数学期望的传播
数学期望的定义

E(x) xf (x)dx
Lˆ1

L1

w 3

L1

1 3
(L1

L2

L3
180
)

2 3
L1

1 3
L2

1 3
L3

60
由题意知， Li之间互相独立，故可得:
ˆ12

4
9
2

1
9
2

1
9
2

2
3
2
同理可得
ˆ
2 2
ˆ32

2
3
2
设有函数
Z
t1
=
F1
tn
X
n1
+
F2
tr
rY1,已知X和Y的协方差阵ＤＸＸ，ＤＹ例Ｙ，题4
x2xn


E[( X

x )( X

x )T
]

2 xn

DXX称为X的方差-协方差阵，简称为协方差阵
1、观测值线性函数的方差
x1
X


x2



xn

1 E X1
X

第三章_协方差传播律及权


(3-2-6)
通常将（ ）、（3-2-5）和（3-2-6）诸式称为协方差传播律。 协方差传播律。 通常将（3-2-4）、（ ）、（ ） ）诸式称为协方差传播律 其中（ 其中（3-2-6）式是（3-2-5）式的特例。 ）式是（ ）式的特例。
的地图上， 【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d = 23.4 mm，d的量距 例题 】 的地图上 的量距 求两点间的实地距离S和其精度 和其精度σ 误差是 σ d = ±0.2 mm 。求两点间的实地距离 和其精度 S。 解：
第三章
协方差传播律及权
本章学习要点： 本章学习要点： 1、数学期望的传播 、 2、协方差传播定律 、 3、协因数和协因数传播律 、 4、由真误差计算中误差的方法 、 5、系统误差的传播 、
在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定， 在实际测量工作中，往往有些未知量不是直接测定，而是由观测值 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。 按一定函数关系计算出来的，即某些未知量是直接观测值的函数。
1.96 − 1 − 1 = 1.92( ′′)2 σ = KDββ K = (− 1 − 1) − 1 1.96 − 1
2 x T
σ x = ±1.4 ′′
图3-2
二、多个观测值线性函数的协方差阵 1、 设有观测值 X，它的数学期望 µX与协方差阵DXX ， n1
D XX
σ 12 σ 12 2 σ 21 σ 2 = L L σ n1 σ n 2
L σ 1n L σ 2n L L 2 L σn
(3-2-7)
L k1n k10 L k2n k , K0 = 20 , L L t 1 M L ktn kt 0

《误差理论与测量平差基础》第三章


1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
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2
2012-4-25
5
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
三、常用定权的方法 常用定权的 权的方法
2.同精度观测值的算术平均值的权
L 设有 L1，L2， ，Ln
它们分别是
N 1，N 2， ，N n次同精度观测值的平均值， L
2 i
若每次观测的方差均为 σ 2 ， 则 Li 的方差为： σ = 取： 则算术平均值 Li
线性化：
∂F1 ∂X 1 ∂F2 F = ∂X 1 LL ∂F r ∂X 1
dX 2 ∂F2 L ∂X 2 LL LL ∂Fr L ∂X 2 ∂F1 ∂X n ∂F2 ∂X n LL ∂Fr ∂X n
个元素也不再有权的意 义了。但是，相关观测 值向量的权阵 PXX 在平差 计算中，也能同样起到 同独立观测值向量的权 阵一样的作用。
2012-4-25
11
第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
二、协因数传播律 设有观测值向量 X 和 Y 的线性函数
Y = FX + F0 Z = KX + K 0
X i i = 1,2, L , ，其方差为σ i （ n）
2
PXX 称为 X 的权阵。
当Q XX 是对角阵时，权阵
2 PXX 的主对角线元素就是 ，权为 p i ，单位权方差为 σ 0 。 0 P1 0 L X i 的权； 0
D XX
n ,n
σ 12 0 L 2 0 σ2 L 0 = L L L L 2 0 0 σn 0
σ σ = 0 L 0
0
σ 22 σ 02
L 0
0 L 0 L L σ n2 0 σ 02 L
=
1 p 1 0 L L
0 1 L 0 p2 L L L 1 L L pn 0 L
T
称 Q XX 为X的协因数阵， X
QYY 为Y的协因数阵，
Q XY为X关于Y的互协因数阵。
2012-4-25 10
第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
3.权阵 设有独立观测值
X1 X X = 2 n ,1 M X n
σ 02 2 同类观测值： 权是无量纲，无单位； 由pi = 2 ，知σ i2 = σ 0 pi σi 不同类观测值：权是有单位的。例如：
边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm” 若 σ 0 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为： 若 σ 0 2012-4-25 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：
2012-4-25
9
第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
2.协因数阵 设有观测值向量X和Y， 它们的方差阵分别为 D XX 和 DYY ，
n,n
X 关于 Y
令： Q
=
r ,r
n,r
协因数阵 Q XX 中的主对角线元素 就是各个 X i 的权倒数，它的非主 对角线元素是 X i 关于 X j 的相 关权倒数；
σ2
Ni
σ 02 =
的权 p i
σ2
C
2 σ 0 Ni 为： pi = σ 2 = C i
2012-4-25
6
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
三、常用定权的方法 常用定权的 权的方法
3.距离观测值的权 设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 σ 2，则全长为S公里的距 2 σ S = σ 2S 离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则距离观测值的权为：
2012-4-25 2
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
观测高差： h1、h2、h3、h4 平差计算之前，精度的绝对数字特征 （方差）往往是不知道的，而精度的相 水准路线长度：S1 = 1.0km S 2 = 2.0km 对的数字特征（权）却可以根据事先给 S 4 = 8.0km 定的条件予以确定，然后根据平差的结 S 3 = 4.0km 2 果估算出表示精度的绝对的数字特征 设每公里观测值高差的方差为 σ 公里 （方差）。 各水准路线的方差为：
σ 02QYY = Fσ 02Q XX F T = σ 02 FQ XX F T σ QZZ
2 0
σ 02QYZ σ 02QZY
= Kσ QXX K = σ KQXX K 2 2 = Fσ 0 Q XX K T = σ 0 FQ XX K T 2 2 = Kσ 0 QX X F T = σ 0 KQX X F T
σ 公里C C pS = 2 = σ 公里 Si Si
i
（2）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为σ 站；第i条水准线路的观测高 差为 hi ，测站数为 N i ,则第i条水准线路（观测高差）的方差为： 2 σ i2 = σ 站 N i 2 σ 02 = σ 站C 2 取测站数为C的高差观测值为单位权方差： σ 站C C pi = 2 = 则第i条水准线路（观测高差）的权为： σ 站Ni Ni
∂f1 ∂X 1 ∂f 2 K = ∂X 1 LL ∂f t ∂X 1
∂f1 L ∂X 2 ∂f 2 L ∂X 2 LL LL ∂f t L ∂X 2
2
2．一组观测值的权，其大小是随σ 0 的不同而异，但不论 σ 0 选用何值，权之间 的比例关系始终不变。
2 2
的 σ 0 值。
2
3．为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 σ 则就破坏了权之间的比例关系。 4．事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。
2 0值，否
5．权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值 的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。 下面通过一个例子来了解这些性质：
σ 02 = C
σ 02 C pS = 2 = σS S
2012-4-25
7
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
特别强调： 特别强调：
在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后 进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。 权的变形公式：
σ 02 2 由pi = 2 ，知σ i2 = σ 0 / pi σi
该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。
2012-4-25
8
第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
1.协因数 设有观测值 Li 和 L j ， 它们的权分别为 pi 和 p j ， 它们的方差分别为 σ i2 和 σ 2j ， 它们之间的协方差为 σ ij 单位权方差为 令： ，
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
一、权的定义 1.权的定义式 表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。
2， 设有观测值 Li (i = 1， L，n ) ，它们的方差为 σ i2 ，选定任一常 数 σ 0 ，定义观测值 Li 的权为：
2 σ0 pi = 2 σi
(i = 1，L，n ) 2，
2 1 2 0
PXX
n,n
0 P L 0 2 = 当Q XX 是非对角阵时，权 L L L L 阵 的 主 对 角 线 元 素 不 再 0 X 的权了，权阵的各 0 L Pn 是
i
X的协因数阵为：
Q XX = 1
则有：
σ
2 0
D XX
− PXX =Q XX1 PXX Q XX = I
p4 = 0.125
p2 = 4.00,
p3 = 2.00,
p4 = 1.00
权之间的比例关系： 权之间的比例关系：
σ 02 σ 02 σ 02 1 1 1 p1：p2： ：pn = 2 ： 2 ： ： 2 = 2 ： 2 ： ： 2 L L L σ1 σ 2 σ n σ1 σ 2 σn
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顾及协方差阵与协因数阵的关系 2 D = σ0Q
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
二、协因数传播律
如果Y和Z的各个分量是X的非线性函数 非线性情况
Y1 F1 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) Z1 f1 ( X 1 , X 2 , L, X n ) Y F ( X , X ,L , X ) Z f ( X , X ,L, X ) 2 2 1 2 n n Y = = , Z = 2 = 2 1 2 M LLLLLLL M LLLLLL Yr Fr ( X 1 , X 2 ,L, X n ) Z t f t ( X 1 , X 2 , L, X n )
2
称 Qii 为的 Li 协因数或权倒数，
Q jj 为的 L j 协因数或权倒数， Q 为 Li 关于 L j 的协因数或相关权倒数
ij
σ
2 0
。
σ ij 1 σ i2 1 σj Qii = = 2 , Q jj = = 2 , Qij = 2 pi σ 0 pj σ0 σ0
协因数与权成反比，因此，也 可作为衡量精度的相对指标。 当 Qij =0，说明两观测值独立 （不相关）。
的互协方差阵为 D XY
单位权方差为
1
XX n ,n
σ 02
1
2 σ0
Q XY 中的元素就是 X i 关于Yj的相 关权倒数。