平面向量方法总结(带例题)【大全】(最新整理)

妙用等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题【题型归纳目录】题型一：x +y 问题(系数为1)题型二：mx +ny 问题(系数不为1)题型三：mx -ny 问题题型四：m x +ny 问题题型五：yx 问题题型六：x 2+y 2问题【方法技巧与总结】(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然。

(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB (λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一：x +y 问题(系数为1)1(2024·山东滨州·统考一模)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN=λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13 B.13,12C.[0,1]D.[1,2]【答案】C【解析】由题意，设AN =tAM，0≤t ≤1 ，当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0 ，所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μt AC ，因为M 、B 、C 三点共线，所以λt +μt=1，即λ+μ=t ∈0,1 .综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故选：C .2(2024·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习)在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN =λAB +μAC(λ,μ∈R )，则λ+μ的值为()A.14B.13C.1D.4【答案】A【解析】设BM =tBC ，将AN 用AB 、AC 表示出来，即可找到λ和μ的关系，从而求出λ+μ的值．设BM=tBC (0≤t ≤1)，AN =13NM ，所以AN =14AM =14(AB +BM )=14AB +14tBC =14AB+14t (AC -AB )=14-14t AB+14tAC ，又AN =λAB +μAC ，所以λ+μ=14-14t +14t =14．故选：A ．3(2024·重庆铜梁·高一统考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点P 满足AD =3AP，若存在实数m 和n ，使得BP =mAB +nAC，则m +n =()A.23B.13C.-13D.-23【答案】D【解析】由题意，AD =λAB +1-λ AC ，且0<λ<1，而AD =3AP =3AB +BP ，所以3AB +3BP =λAB +1-λ AC ，即BP =λ-33AB +1-λ3AC ，由已知，m =λ-33,n =1-λ3,则m +n =-23，选项D 正确.故选：D题型二：mx +ny 问题(系数不为1)1(2024·山东潍坊·高一统考期末)已知O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在ΔOBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的取值范围是()A.1,52B.1,2C.23,1D.12,1【答案】B【解析】根据OA +OB +OC =0 可知O 为ΔABC 的重心；根据点M 在ΔOBC 内，判断出当M 与O 重合时，λ+2μ最小；当M 与C 重合时，λ+2μ的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．因为O 是ΔABC 内一点，且OA +OB +OC =0所以O 为ΔABC 的重心M 在ΔOBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在ΔOBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 所以选B2(2024·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60o，OA=1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]【答案】B【解析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令∠COB =θ，则θ∈0°,60° ，因为OA =1，则B 1,0 ，A 12,32,C cos θ,sin θ ，又OC =xOA +yOB ，则cos θ=x 2+y sin θ=32x ，则y =cos θ-13sin θx =23sin θ ，则x +3y =-233sin θ+4cos θ，又θ∈0°,60° ，易知f θ =-233sin θ+4cos θ为减函数，由单调性易得其值域为1,4 .故选：B .3(2024·辽宁沈阳·高三统考期末)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =30°，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若μ=x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围是()A.34,33B.33,32C.34,32D.32,233【答案】D 【解析】设射线OB 上存在为B ，使OB =1λOB，AB 交OC 于C ，由于OC =xOA +yOB =xOA +λy 1λOB=xOA +λyOB ，设OC =tOC ，OC =x OA+λy OB ，由A ,B ,C 三点共线可知x +λy =1，所以u =x +λy =tx +t ∙λy =1，则μ=OC OC存在最大值1，即在弧AB (不包括端点)上存在与AB平行的切线，所以λ∈32,233．故答案为32,233题型三：mx -ny 问题1(2024·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，当x =-12时，y 的取值范围是【答案】12,32【解析】如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴x 的取值范围是(-∞,0)；当x =-12时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD =12OB ，CE =32OB ，∴y 的取值范围是12，32 ．故答案为：12，322(2024·河南平顶山·高一统考期末)如图所示，点P 在由线段AB ，AC 的延长线及线段BC 围成的阴影区域内(不含边界)，则下列说法中正确的是．(填写所有正确说法的序号)①存在点P ，使得AP =12AB +2AC ；②存在点P ，使得AP =-12AB+2AC ；③存在点P ，使得AP =12AB -2AC；④存在点P ，使得AP =12AB +32AC．【答案】①④【解析】设AP =λAB +μAC,λ,μ∈R ，由图可知：λ>0,μ>0,且λ+μ>1，∴①④正确，故答案为：①④3(2024·高一课时练习)已知△ABC 中，CD =-35BC,EC =12AC ,AF =13AB ，若点P 为四边形AEDF 内一点(不含边界)且DP =-13DC+xDE ，则实数x 的取值范围为.【答案】12,43【解析】如图所示，在线段BD 上取一点G ，使得DG =-13DC，设DC =3a ，则DG =a ，BC =5a ，BG =a ；过点G 作GH ∥DE ，分别交DF ､AE 于K ､H ，连接FH ，则点K ､H 为临界点；GH ∥DE ，所以HE =13EC ，AH =23EC ，HG =43DE ，AH HC=12=AFFB ，所以FH ∥BC ；所以FH =13BC ，所以FH DG =KH KG，所以KG =35HK ，KG =38HG =12DE .所以实数x 的取值范围是12，43.故答案为：12，43 .题型四：m x +ny问题1(2024·江苏·高三专题练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0,n >0)，若1m +t n 的最小值为83，则正数t的值为【答案】2【解析】因为点O 是BC 的三等分点，OC =2OB则AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13AC -13AB=23AB +13AC =2m 3AE +n 3AF ，又由点E ,O ,F 三点共线，所以AO =AE +EO =AE +λEF =AE +λAF -AE =1-λ AE +λAF，所以2m3=1-λn3=λ，可得2m 3+n3=1，所以1m +t n =2m 3+n 3 1m +t n =23+t 3 +2mt 3n +n 3m ≥23+t3 +22mt 3n ×n 3m=23+t 3 +22t 9，当且仅当2tm 2=n 2时，等号成立，即1m +t n 的最小值为23+t 3 +22t 9，则有23+t 3 +22t 9=83，即t +22t -6=0，所以t +32 t -2 =0，因为t >0，所以t =2，故答案为：2.2(2024·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，OC =2OB，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB =mAE ，AC =nAF (m >0，n >0)，若1m +t 2nt >0 的最小值为3，则正数t 的值为.【答案】3-2【解析】∵在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点，|OC |=2|OB |，∴AO =AB +BO =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ，∵AB =mAE ，AC =nAF ，∴AO =23mAE +13nAF ，∵O ，E ，F 三点共线，∴23m +13n =1，∴1m +t 2n =1m +t 2n 23m +13n =23+n 3m +2mt 23n +t 23≥22t 29+t 23+23=t 23+232t +23，当且仅当n 3m =2mt 23n ，即2m 2t 2=n 2时取等号，∴1m +t 2n 的最小值为t 23+232t +23，即t 23+232t +23=3，∵t >0，∴t =3-2．故答案为：3-2．3(2024·山东菏泽·高一统考期末)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足OC =3OB，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于点E ,F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m +2n的最小值为.【答案】5+264【解析】依题意，作出图形如下，因为OC =3OB ，AB =mAE ，AC =nAF ，则BO =14BC ，所以AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB +14AC =3m 4AE +n 4AF ，因为E ,O ,F 三点共线，所以3m 4+n4=1，因为m >0，n >0，所以1m +2n =1m +2n 3m 4+n 4 =54+n 4m +6m 4n ≥54+2n 4m ⋅6m 4n =54+264，当且仅当n 4m =6m4n ，即n =6m =46-2 时取等号，所以1m +2n 的最小值为5+264.故答案为：5+264.题型五：yx问题1(2024·山西·高一统考期末)已知在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE =λAB +μAC ，则μλ=.【答案】3【解析】如图，由题意得存在实数m ，使得AE =mAD0<m <1 .又AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34AC -AB =14AB+34AC ，所以AE =m 14AB +34AC =m 4AB +3m 4AC ，又∵AE =λAB +μAC ，且AB ,AC 不共线，故由平面向量的分解的唯一性得λ=m 4,μ=3m4.所以μλ=3.故答案为：3.2(2024·山东潍坊·高三开学考试)在△ABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+1μ的最小值为．【答案】233/233【解析】由BD =34BC ，得AD -AB =34(AC -AB )，即AD =14AB +34AC，因为点E 在射线AD (不含点A )上移动，所以AE =tAD =t 4AB+3t 4AC ，又因为AE =λAB +μAC ，所以λ=t 4,μ=3t4(t >0)，则λ+1μ=t 4+43t ≥213=233(当且仅当t 4=43t ，即t =433时取等号)，所以λ+1μ的最小值为233.故答案为：233．3(2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当E 点在线段AD (不包含端点)上移动时，若AE =λAB +μAC ，则λ+3μ的取值范围是A.233,+∞B.[2,+∞)C.174,+∞D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，△ABC 中，BD =34BC，∴AD =AB +BD =AB +34BC =AB +34(AC -AB )=14AB+34AC ，又点E 在线段AD (不含端点)上移动，设AE =kAD ，0<k <1，∴AE =k 4AB +3k 4AC ，又AE =λAB +μAC ，∴λ=k4μ=3k 4，∴λ+3μ=k 4+4k ．∵k 4+4k在(0，1)上单调递减，∴λ+3μ的取值范围为174，+∞ ，故选C ．题型六：x 2+y 2问题1(2024·江苏泰州·高一泰州中学阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =34BC，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE =λAB +μAC，则(λ+1)2+μ2的取值范围为．【答案】(1,+∞)【解析】因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE =kAD , 0<k ，又BD =34BC ，所以AE =k (AB +AD )=k AB +34(AC -AB ) =k 4AB+3k 4AC ，所以λ=k4μ=3k4 ，t =(λ+1)2+μ2=k 4+12+916k 2=58k +252+910>1，故(λ+1)2+μ2的取值范围1,+∞ .2(2024·天津·高三校联考阶段练习)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λμ=，λ2-μ的最小值为.【答案】 2-116【解析】因为在△ABC 中，BD =13BC，所以AD =AB +BD =AB +13BC =AB +13(AC -AB )=23AB+13AC ,即AD =23AB +13AC .因为点E 在线段AD 上移动(不含端点)，所以设AE =xAD(0<x <1).所以AE =2x 3AB +x 3AC ，对比AE =λAB +μAC 可得λ=2x 3,μ=x 3.代入λ=2x 3,μ=x 3，得λμ=2x3x 3=2；代入λ=2x 3,μ=x 3可得λ2-μ=2x 3 2-x 3=4x 29-x 3(0<x <1)，根据二次函数性质知当x =--132×49=38时，λ2-μ min =49×382-13×38=-116.故答案为：2;-1163(2024·全国·高三专题练习)在△ABC 中，点D 满足BD =DC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE=λAB +μAC ，则t =(λ-1)2+μ2的最小值为.【答案】12【解析】BD =DC；∴D 为边BC 的中点，如图，则：AD =12(AB +AC )；∵E 在线段AD 上；∴设AE =kAD =k 2AB +k 2AC ，0≤k ≤1；又AE =λAB +μAC ；∴λ=k2μ=k2；即λ=μ，且0≤μ≤12；∴t =(μ-1)2+μ2=μ2-2μ+1+μ2=2μ-12 2+12；∴μ=12时，t 取最小值12．故答案为：12．4(2024·山东德州·高三统考期末)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN=λAB +μAC ，则λ2+μ2的最小值为.【答案】18/0.125【解析】由M 为边BC 上任意一点，则BM =γBC,0≤γ≤1 ，AN =12AM =12AB +BM =12AB +γBC =12AB+γ2AC -AB =1-γ2AB +γ2AC ，可得λ=1-γ2μ=γ2，则λ+μ=12，即λ=12-μ，由0≤γ≤1，可得0≤γ2≤12，则μ∈0,12 ，故λ2+μ2=12-μ2+μ2=2μ2-μ+14=2μ-14 2+18，当μ=14时，λ2+μ2取得最小值为18.故答案为：18.【过关测试】一、单选题1(2024·高三课时练习)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.12B.13C.14D.1【答案】A【解析】由题可设BM =tBC ，则AM =AB +BM =AB +tBC =AB +t AC -AB =1-t AB +tAC ，∵N 为AM 中点，∴AN =12AM =121-t AB +12tAC,又AN =λAB +μAC ，∴λ=121-t ,μ=12t ，∴λ+μ=12.故选：A .2(2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM =λAB +μAC，则λ+μ=()A.-1B.-12C.-2D.-32【答案】B【解析】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t ∈R ，使得BD =tBC =t AC -AB，因为M 是线段AD 的中点，所以：BM =12BA +BD =12-AB +tAC -tAB =-12t +1 AB +12tAC ，又BM =λAB +μAC ，所以λ=-12t +1 ，μ=12t ，所以λ+μ=-12.故选：B .3(2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知点O 为ΔABC 所在平面内一点，满足OA +OB+OC =0 ，M 为AB 中点，点P 在ΔAOC 内(不含边界)，若BP =xBM +yBC ，则x +y 的取值范围是()A.1,2B.23,2C.12,1D.13,32【答案】A 【解析】如图：∵OA +OB +OC =0 ，∴点O 是ΔABC 的重心，点N 是BC 的中点，BO =BC +CO =BC +23CM =BC +23BM -BC =13BC+23BM ，BN =12BC ，BA =2BM当点P 在ΔAOC 内(不含边界)，BP =BO +OP =BO +λOQ =BO +λOA +AQ ，0<λ<1=BO +λ23NA +μAC =BO +λ23BA -BN +μBC -BA ，0<μ<1=BO +λ232BM -12BC +μBC -2BM =13BC+23BM +43λBM -13λBC +λμBC -2λμBM =13-13λ+λμ BC +23+43λ-2λμ BM∴x +y =13-13λ+λμ+23+43λ-2λμ=1+λ-λμ=1+λ1-μ ，∵0<λ<1，0<μ<1，∴0<1-μ<1，0<λ1-μ <1，∴1<1+λ1-μ <2.故选：A4(2024·广东惠州·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，点O 是线段BC 上的点，且满足|OC |=3|OB|，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且AB =mAE ，AC =nAF ，其中m >0且n >0，若1m+tn的最小值为3，则正数t 的值为()A.2B.3C.83D.113【答案】B【解析】AO =AB +BO =AB +14BC =AB +14AC -AB =34AB+14AC =3m 4AE +n 4AF ，∵E 、O 、F 三点共线，∴3m 4+n4=1，∵m >0，n >0，t >0，∴1m +t n =1m +t n 3m 4+n 4 =34+n 4m +3mt 4n +t 4≥3+t 4+2n 4m ⋅3mt 4n =3+t 4+23t 4，当且仅当n 4m =3mt4n时取等号，∴3+t 4+23t 4=3⇒t +33 t -3 =0⇒t =3⇒t =3．故选：B ．5(2024·江西南昌·高三阶段练习)在△ABC 中，点O 是BC 的三等分点(靠近点B )，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M ，N ，若AB =mAM ,AC =nAN ，m ,n 均为正数，则1m +1n的最小值为()A.2 B.1+23C.1+223D.1+233【答案】C【解析】由题意知AO =AB +13BC =AB +13AC -AB =23AB+13AC =2m 3AM +n 3AN ，由于M 、O 、N 三点共线，可知2m 3+n3=1，由于m ,n 均为正数，所以1m +1n =1m +1n 2m 3+n 3 =1+n 3m +2m 3n ≥1+229=1+223，当且仅当n 3m =2m3n ，即m =3(2-2)2,n =3(2-1)时取得等号，故选：C 二、多选题6(2024·江苏南京·高一南京市宁海中学校联考期末)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110B.λ=1,μ=-32C.λ=-910,μ=25D.λ=-710,μ=35【答案】AC【解析】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12(BA+mBC )，又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB+m 2AC ，所以λ=-1+m2μ=m2，则λ∈-1,-12，μ∈0,12 且λ+μ=-12，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC7(2024·浙江宁波·高一宁波市北仑中学校考期末)已知O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC，则λ+2μ的值可能为()A.97B.117C.137D.157【答案】ABC【解析】因为O 是△ABC 内一点，且OA +OB +OC =0 所以O 为△ABC 的重心M 在△OBC 内(不含边界)，且当M 与O 重合时，λ+2μ最小，此时AM =λAB +μAC =23×12AB +AC =13AB +13AC 所以λ=13,μ=13，即λ+2μ=1当M 与C 重合时，λ+2μ最大，此时AM =AC所以λ=0,μ=1，即λ+2μ=2因为M 在△OBC 内且不含边界所以取开区间，即λ+2μ∈1,2 ，结合选项可知ABC 符合，D 不符合故选：ABC8(2024·重庆·高一校联考阶段练习)在ΔABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上(不含A 点)移动时，记AE =λAB +μAC，则()A.λ=2μB.λ=μC.14λ+μ的最小值为1D.4λ+μ的最小值为4【答案】BC【解析】∵BD =DC ，∴D 是BC 中点,则AD =12AB +AC,又点E 在线段AD 上,即A ,E ,D 三点共线,设AE =mAD 0<m ≤1 ,故AE =mAD =12m AB +AC ,λ=μ=12m .故B 对A 错.14λ+μ=14λ+λ≥214λ⋅λ=1,当且仅当14λ=λ时,即λ=12,故C 对.4λ+μ=4λ+λ在λ∈0,12上单调递减，当λ=12取最小值172，故D 错.故答案为：BC9(2024·湖北武汉·高三校联考期末)在△ABC 中，点D 满足BD =DC，当点E 在线段AD 上移动时，记AE =λAB +μAC ，则()A.λ=2μB.λ=μC.λ-2 2+μ2的最小值为2D.λ-2 2+μ2的最小值为52【答案】BD 【解析】由BD =DC 得AD =12AB +AC ，又点E 在线段AD 上移动，AE =kAD =12k AB +AC =12kAB+12kAC ,0≤k ≤1，∴λ=12k ,μ=12k ，故A 错误，B 正确；λ-2 2+μ2=12k -2 2+12k 2=12k 2-2k +4=12k -2 2+2，当k =1时，有最小值52，故C 错误，D 正确.故选：BD .三、填空题10(2024·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC ，则2x +2y 的最大值为【答案】83【解析】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，等边三角形边长为2，则外接圆半径为233，当点P 为切点时, AE =AF =83，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43 ，当点P 为切点时, k 有最大值43,AE =kAB ，AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC∴x =λk ，y =μk ，∴2x +2y =2λ+μ k =2k ≤83.即2x +2y 的最大值为83.故答案为：8311(2024·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC=xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.【答案】1,4【解析】如图所示，以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则根据题意可知B (1,0)，A 12，32，设C (cos θ,sin θ)，0°≤θ≤60°．由OC =xOA +yOB ，得cos θ=y +12x sin θ=32x ，∴x =23sin θy =cos θ-sin θ3，∴x +4y =4cos θ-233sin θ，点C 在弧AB 上由B →A 运动，θ在0，π3 上逐渐变大，cos θ变小，sin θ逐渐变大，∴当θ=0°时x +4y 取得最大值4，当θ=60°时x +4y 取得最小值1．∴x +4y 的取值范围是[1，4]．故答案为：1,4 ．12(2024·四川绵阳·高一统考期末)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB ，则3x +y 的取值范围是．【答案】1,3【解析】以O 为原点，OA ,OB 分别为x ，y 轴正方向建立平面直角坐标系.则OA =1,0 ,OB =12,32 .不妨设OC =cos θ,sin θ ,0≤θ≤π3.因为OC =xOA +yOB，所以cos θ=x +12y sin θ=32y ，解得：x =cos θ-33sin θy =233sin θ，所以3x +y =3cos θ-33sin θ.因为y =cos θ在θ∈0,π3 上单调递减，y =-sin θ在θ∈0,π3上单调递减，所以3x +y =3cos θ-33sin θ在θ∈0,π3 上单调递减.所以当θ=0时3x +y =3最大；当θ=π3时3x +y =3cos π3-33sin π3=32-33⋅32=1最小.所以3x +y 的取值范围是1,3 .故答案为：1,3 .13(2024·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.【答案】[1,3]【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B 12,32，设∠AOC =θ，则C (cos θ,sin θ)0≤θ≤π3 ，由OC =xOA +yOB 得cos θ=x +12y ,sin θ=32y , 从而x =cos θ-13sin θ,y =23sin θ, 则x +3y =cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)，易知0<φ<π6，故y =f (θ)=cos θ+533sin θ=283sin (θ+φ)在0,π3上单调递增，∴y min =f (0)=1，y max =f π3 =cos π3+533sin π3=12+52=3.故x +3y ∈[1,3].故答案为：[1,3]14(2024·全国·高三专题练习)扇形OAB 中，∠AOB =120°，C 为AB 上的一个动点，且OC =xOA+yOB ，其中x ,y ∈R .(1)x +y 的取值范围为；(2)2x +y 的取值范围为.【答案】1,21,2213【解析】(1)解法一：(等和线)设OC 与AB 相交于点D ，OD =λOC =λxOA +λyOB，λx +λy =1，x +y =1λ=OC OD ∈[1,2].解法二：(坐标法)C (cos α,sin α)，α∈0,2π3，cos α=x -12y ，sin α=32y ，x =cos α+33sin α，y =233sin α，x +y =cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].解法三：设∠AOC =α∈0,2π3，OC ⋅OA =xOA ⋅OA +yOB ⋅OA ,OC ⋅OB =xOA ⋅OB +yOB ⋅OB , ，即cos α=x -12y cos (1200-α)=-12x +y∴x +y =2[cos α+cos (1200-α)]=cos α+3sin α=2sin α+π6∈[1,2].(2)解法一：(等和线)解法二：2x +y =2cos α+433sin α=2213sin (α+θ)∈1,2213，其中sin (α+θ)先增后减.15(2024·吉林·高一阶段练习)如图，在ΔABC 中，D ,E ,F 分别为BC ,CA ,AB 上的点，且CD =35BC ，EC =12AC ，AF =13AB .设P 为四边形AEDF 内一点(P 点不在边界上)，若DP =-13DC+λDE ，则实数λ的取值范围为【答案】12,43【解析】取BD 中点M ,过M 作MH ⎳DE 交DF ,AC 分别为G ,H ,如图：则由DP =-13DC+λDE =DM +λDE 可知,P 点在线段GH 上运动(不包括端点)当P 与G 重合时，根据DP =tDF =-89tDC +43tDE =-13DC +λDE ,可知λ=12，当P 与H 重合时,由P ,C ,E 共线可知-13+λ=1，即λ=43，结合图形可知λ∈12,43.16(2024·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期末)如图，在△ABC 中，BD =13BC，点E 在线段AD 上移动(不含端点)，若AE =λAB +μAC ，则λ2+1μ的取值范围是．【答案】103,+∞【解析】由题可知，BD =13BC ，设AE =mAD0<m <1 ，则AE =m AB +13BC =m AB +13BA +AC，所以AE =23mAB +13mAC ，而AE =λAB +μAC ，可得：λ=23m ,μ=13m ，所以λ2+1μ=m 3+3m0<m <1 ，设f m =m 3+3m0<m <1 ，由双钩函数性质可知，f x 在0,1 上单调递减，则f x >f 1 =13+3=103，所以λ2+1μ的取值范围是103,+∞ .故答案为：103,+∞ .四、解答题17(2024·高一课时练习)在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)，小明同学提出了如下两个问题，请同学们帮助小明解答．(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由；(2)如图2，射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围．【解析】(1)若x +y >1，则O ，P 在直线AB 异侧；若x +y <1，则O ，P 在直线AB 同侧．理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB ，得：OP =xOA +(t -x )OB =xOA +1-x OB +t -1 OB ，则在直线AB 上有一点Q ，使得OQ =xOA +1-x OB ，如下图所示：则OP =OQ +t -1 OB ，即QP =t -1 OB ，∴当t >1时，则OB =t -1 OB 与OB 同向，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 异侧；当t <1时，OB =t -1 OB 与OB 反向，如下图所示，且QP =OB ，由平面共线定理可得，O ，P 在直线AB 同侧．(2)射线OM ⎳AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动如图所示，阴影部分为点P 的运动区域(不含边界)，由(1)可知，O ，P 在直线AB 同侧，由于OP =xOA +yOB ，则x +y <1．过点P 作PE ⎳OB 交射线OA 于E ，过点P 作PF ⎳OB 交射线BO 的延长线OB 于F ,由平行四边形法则可得OP =OE +OF ，又OE 与OA 方向相同，则OE =mOA ，且m >0，OF 与OB 方向相反，则OF =nOB ，且n <0，则OP =mOA +nOB =xOA +yOB ，故x =m >0,y =n <0，即实数x 的取值范围是(0,+∞)，当x =12时，此时E 为OA 中点，过E 作直线平行与OB 交AB 于M ，交射线OM 于M ，则点P 运动轨迹为线段EM (不含端点E ,M )，如下图：当点P 运动到E 时，OP =OE =12OA +0⋅OB ，此时y =0；当点P 运动到M 时，OP =OE +EM =12OA +M E =12OA +12BO =12OA -12OB ，此时y =-12；且由平面向量加法的平行四边形法则得y ∈-12,0 .18(2024·高一课时练习)如图，OM ⎳AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ．(1)求x 的取值范围；(2)当x =-12时，求y 的取值范围．【解析】(1)如图，作PE ⎳BA 交OB 于E ，则OP =OE +EP =mOB +nAB =-nOA +(m +n )OB ．由P 点的位置容易知道0<m <1，n >0．因此，x =-n <0，即x 的取值范围是(-∞,0)．(2)当x =-12时，y =m +n =m +12，所以此时y 的取值范围是12,32．19(2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)小郭是一位热爱临睡前探究数学问题的同学，在学习向量三点共线定理时，我们知道当P 、A 、B 三点共线，O 为直线外一点，且OP =xOA +yOB 时，x +y =1(如图1)第二天，小郭提出了如下三个问题，请同学帮助小郭解答.(1)当x +y >1或x +y <1时，O 、P 两点的位置与AB 所在直线之间存在什么关系？写出你的结论，并说明理由(2)如图2，射线OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OA 及BA 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，且OP =xOA +yOB ，求实数x 的取值范围，并求当x =12时，实数y 的取值范围.(3)过O 作AB 的平行线，延长AO 、BO ，将平面分成如图3所示的六个区域，且OP =xOA +yOB ，请分别写出点P 在每个区域内运动(不含边界)时，实数x ，y 应满足的条件.(不必证明)【解析】(1)若x +y >1，则O 、P 异侧，若x +y <1，则O 、P 同侧；理由如下：设x +y =t ，则由OP =xOA +yOB 得，OP =xOA +t -x OB =xOA -xOB +tOB =xBA +tOB ，当t >1时，tOB 与OB 同向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 异侧；当t <1时，tOB 与OB 反向，由平面向量加法的平行四边形法则可知，O 、P 同侧；(2)由图及平面向量基本定理可知，x >0，即实数x 的取值范围是0,+∞ ，当x =12时，由平面向量加法的平行四边形法则可知，y ∈-12,0 ；(3)Ⅰ：y <0x +y >0 ；Ⅱ：x >0y >0 ；Ⅲ：x <0x +y >0 ；Ⅳ：y >0x +y <0 ；Ⅴ：x <0y <0 ；Ⅵ：x >0x +y <0 ．。

平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。

平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1。

平面向量的基本定理 2.共线向量定理.二、平面向量的数量积1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.2。

a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。

（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。

（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。

四、向量平行(共线）的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。

六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===+七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。

2.三角形“三心"的向量表示(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。

(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±七．向量问题中常用的方法(一）基本结论的应用1。

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。

其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。

第五章 平面向量【考纲说明】1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。

2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。

【知识梳理】一、 向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB u u u r ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r| 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b平行向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =02 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ．（2）向量的减法 ：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三角形法则，b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a；②当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反； 当0 时，0 a ，方向是任意的③数乘向量满足交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a向量b 与非零向量a共线 有两个均不是零的实数 、 ，使得0a b ．二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2. 平面向量的坐标表示：（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底 由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．（2）设OA xi y j u u u r r r.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr ． （2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r，AB u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)．（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr ．（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ．三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积叫做a r 与b r的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r2 向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影 投影的绝对值称为射影3 向量的模与平方的关系：22||a a a a r rr r4 乘法公式成立：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r ．5 平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r．②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r．③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r ；特别注意：①结合律不成立： a b c a b c r r r r r r．②消去律不成立a b a cr r r r不能得到b c r r．③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 7 向量的夹角：已知两个非零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （001800 ）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos ,a b a b a b r r r rr r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题8 垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b ra ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，ECBA CA b ，1,2a b ，则CD = （ ）（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355a b 【答案】B ．【解析】由角平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22()()33AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从而221()333CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ， 那么 （ ） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向 【答案】D ．【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r【答案】A ．【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．【例4】（2009宁夏海南卷文）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数 的值为( )A.17B.17C.16D.16【答案】A ．【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得： ＝17，故选A ． 【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a |,|||||，则b a , （ ）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43． 【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12AE b a u u u r r r ,AC b a u u ur r r代入条件得2433u u ．【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________． 【答案】(0,－2)．【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u rg ．∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．记AE BF u u u r u u u r和之间的夹角为,AEB FBC ，，则 ．又∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g .本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求角A ，B ，C 的大小．【答案】2,,663A B C． 【解析】解：设,,BC a AC b AB c由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2A又(0,),A 因此6A由233AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4C B A所以53sin sin()6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03C由A=6 知506C ，所以3 ，4233C ，从而20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3C 故2,,,636A B C 或2,,663A B C． 【课堂练习】一、选择题1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a b |,则下面结论正确的是（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a b2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量 a b ( )A. 平行于x 轴B. 平行于第一、三象限的角平分线C. 平行于y 轴D. 平行于第二、四象限的角平分线3.（2012天津文）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r,则 ( )（ ）A ．13B ．23 C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,y x ,且//, ,则a b r r（ ）A B C ．D ．106. （2009浙江卷文）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满足()// c a b ，() c a b ，则c （ ）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39D ．77(,)937．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c • 的最 小值为( )A.2 2C.1D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r,R ,若3=2BQ CP u u u r u u u r ,则=（ ）A ．12B C D10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )5 D. 2511.（2012大纲理）ABC 中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r（ ）A ．1133a b r rB ．2233a b r rC ．3355a b r rD ．4455a b r r12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r则AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r( ) A. 反向平行 B. 同向平行C. 互相垂直D. 既不平行也不垂直13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r（ ）A ．1142a bB ．2133 a b C ．1124 a bD ．1233a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ）A ．(214)，B ．227，C ．227，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标是 （ ） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)D ．(46,2)二、填空题16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB u u u v上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r其中,x y R ,则x y的最大值是________.18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM,则AN AM 的取值范围是_________ .19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP 且AP AC u u u v u u u vg = _____.A DBP21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b r r,则(Ⅰ)与2a b r r同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r夹角的余弦值为____________.22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r的值为________.23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r⊥b r ,则a r_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___.25.（2012安徽理）若平面向量,a b r r满足:23a b r r ;则a b r r g的最小值是_____ 三、解答题26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2,0(（1）求 sin 和 cos 的值（2）若 cos 53)cos(5 ，02,求 cos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r.（1） 若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三角形；（2） 若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，角C = 3，求ΔABC 的面积 .28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且C n m 2sin .（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( ，求边c 的长.【课后作业】一、选择题1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a ，1b 则2a b ( )B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且PA PB PB PC PC PA • • •，则点O ，N ，P 依次是ABC 的( )A. 重心 外心 垂心B. 重心 外心 内心C. 外心 重心 垂心D. 外心 重心 内心3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r（ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()( c b c a ,则c 的最大值是( )A. 1B. 2C. 2D.225.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)(11) ，，，a b ，则向量1322 a b（ ） A ．(21) ， B ．(21) ，C ．(10) ，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．|||| a bD ．|||| a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos ) ，a 和sin 2m m，b ，其中m，，为实数．若2 a b ，则m的取值范围是 （ ）A ．[-6，1]B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]8. 在ABC ABC 则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ） A ．22 B ．42 C ．23 D ．29. 已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x r r r r 则等于 （ ）A ．9B ．1C ．－1D ．－910. 已知a r 、b 是不共线的AB a b u u u r r r AC a b u u u r r r (,)R ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1 二、填空题11. 设向量2,3,AB AC AB AC CAB u u u r u u u r u u u r u u u r 则_________.12. 若向量,2,()a b a b a b a r r r r r r r满足，则向量b a 与的夹角等于 . 13. 已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r 满足224PA PB u u u r u u u r ,2AB u u u r ，设向量2PC PA PB u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r 的最小值是 .14.（2008江苏）a r ，b r 的夹角为120 ，1a r ，3b r 则5a b r r ．15. （2007安徽）在四面体O ABC 中，OA OB OC D u u u r u u u r u u u r ，，，a b c 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE u u u r （用，，a b c 表示）．16.（2007北京）已知向量2411 ，，，a =b =．若向量() b a +b ，则实数 的值是 .17. 已知向量(cos15,sin15)a o o r ，(sin15,cos15)b o o r ，则a b r r 的值为 .18.（2007广东）若向量a 、b 满足b a b a 与,1 的夹角为120°，则b a b a ·· ＝ .三、解答题19.（2009湖南卷文）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b r r（1）若//a b r r ，求tan 的值；（2）若||||,0,a b r r 求 的值。

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。

向量的线性运算一．教学目标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3。

理解向量线性运算的几何意义、向量共线的含义、平行向量基本定理；4。

理解平面向量基本定理,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示、平面向量的坐标运算；5。

理解用坐标表示平面向量的共线条件。

二．知识清单1。

向量基本概念（1）向量的定义：既有又有称为向量；（2）向量的大小(或称模）：有向线段的表示向量的大小；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量; （4)共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平行向量），叫做相等向量。

2。

向量的线性运算（1）向量的加法a。

向量加法的三角形法则、平行四边形法则和多边形法则.b.向量加法满足的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

(2）向量的减法a。

定义:a—b=a+（—b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.一个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA.b。

三角形法则：“共始点,连终点，指向被减"。

（3）数乘向量a.定义：一般地，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa。

b.数乘向量满足的运算律：（λ+μ）a=λ（μa）=λ（a+b)=3。

向量共线的条件与轴上向量坐标运算(1）向量共线的条件平行向量基本定理:如果，则；反之，如果，且 ,则一定存在，使。

（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平面向量基本定理如果是一平面内的的向量,那么该平面内的任一向量a，存在，使。

（2）平面向量的正交分解定义: 把一个向量分解为，叫做把向量正交分解。

（3）向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______作为基底。

对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y使得____________,这样，平面内的任一向量a都可由 __________唯一确定,我们把有序数对________叫做向量的坐标,记作___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.（4）向量的坐标运算向量坐标的加减与数乘若a=（a1，a2)，b=（b1，b2），则a+b=(a1+b1,a2+b2）,a-b=（a1-b1，a2—b2）,λa=(λa1，λa2).（5)用平面向量坐标表示向量共线条件两个向量a, b平行的条件：a=λb，b≠0。

平面向量常用方法归纳1、基底法 在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________． 【答案】16- 【解析】方法一：基底法 ()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB 方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅BC AM AC AB 【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方法一：基底法AB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 122356712()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC BC DC AD BC AB CF CE AF AE μλμλ，()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλ令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ，()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5 【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1 【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =.【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=-【答案】CABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +C AB P【解析】方法一：平方法 对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理， 易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确.方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为332，则||AP 的最小值为 【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得： AD AC t AP 32+=，又P D C 、、 三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴， 则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ，2||=≥=∴AP ， 当且仅当6||||==AC AB 时取等号.【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（ ）A.若确定，则||a |唯一确定B.若确定，则||b 唯一确定C.若||a 确定，则唯一确定D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法 平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>θt θθθθ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <>④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP的投影是2， 所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( ) A ．12- B. 12 C ．32- D. 32【答案】A【提示】投影法(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=()2||41||||41AB AB AB AB OP a b p -=⋅-=⋅=-⋅， 又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ，2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ． 【答案】332 【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e b e b ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=b 方法二：坐标法1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,= 易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x ， 332||=∴b 方法三：数形结合121=⋅=⋅b e b e ，01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe b e b ，21θθ=∴，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍） 代回已知11=⋅e b ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅BC OG 这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅BC OG 转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角.4、坐标法 几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。