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第七章直线和圆的方程●知识梳理1.直线方程的五种形式2.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量及位置关系:（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°,直线倾斜角取值范围0°≤α＜180°. （2）直线的斜率倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）.倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）.（4）求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α.②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k =1212x x y y --.平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率. 对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ，k ＜0时，α=π+arctan k .（5）到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.（6）平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。
且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。
阶段一阶段二学业分层测评2.2 直线和圆的参数方程2.2.1 直线的参数方程2.2.2 圆的参数方程1.理解直线的参数方程. 难点2.掌握圆的参数方程. 重点[基础·初探]1.直线的参数方程(1)经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为±(±≠À2)的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos ±y ＝y 0＋t sin ±(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M |.(2)设直线过点M 0(x 0，y 0)，且与平面向量a ＝(l ，m )平行(或称直线与a 共线，其中l ，m 都不为0)，直线的参数方程的一般形式为x ＝x 0＋lty ＝y 0＋mtt ∈R .2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为x ＝x 0＋R cos ¸y ＝y 0＋R sin ¸0≤¸≤2 À.特别地，若圆心在原点，半径为R ，则圆的参数方程为x ＝R cos ¸y ＝R sin ¸.[思考·探究]1.若直线l 的倾斜角±＝0，则直线l 的参数方程是什么？【提示】参数方程为x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？ 【提示】 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为±的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos ±，y ＝y 0＋t sin ±，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的向量M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合.[自主·测评]1.直线x ＝1＋t cos ±y ＝－2＋t sin ±(±为参数，0≤±＜À)必过点()A.(1，－2)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(2，－1)【解析】 直线表示过点(1，－2)的直线. 【答案】 A2.已知直线l 的参数方程为x ＝－1－22ty ＝2＋22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为()A.1B.－1C.22D.－22【解析】 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1.【答案】 B3.参数方程x ＝cos ±y ＝1＋sin ±(±为参数)化成普通方程为________.【解析】∵x ＝cos ±y ＝1＋sin ±(±为参数)，∴x ＝cos ±①y －1＝sin ±②(±为参数).①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程.【答案】 x 2＋(y －1)2＝14.若直线x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】 将 x ＝1－2t y ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】 －6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________类型一 直线的参数方程已知直线l ：x ＝－3＋32ty ＝2＋12t (t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义.【精彩点拨】 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t .【尝试解答】 (1)由于直线l ：x ＝－3＋t cos À6y ＝2＋t sin À6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且倾斜角为À6的直线，故直线l 的倾斜角±＝À6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos À6，sin À6)＝(32，12).∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角±(0≤±＜À)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为 x ＝x 0＋t cos ±y ＝y 0＋t sin ±(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为b a 的直线的参数方程是x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).[再练一题]1.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5 À6.【导学号：62790011】(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ： x ＝2cos ¸y ＝4sin ¸(¸为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为x ＝－3＋t cos 56À＝－3－32t y ＝3＋t sin 56À＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数¸消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4－3－32t 2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.类型二 圆的参数方程及应用设曲线C 的参数方程为 x ＝2＋3cos ¸y ＝－1＋3sin ¸(¸为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4【精彩点拨】求曲线C的几何特征，化参数方程为普通方程(x－2)2＋(y ＋1)2＝9，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定.【尝试解答】由 x ＝2＋3cos ¸，y ＝－1＋3sin ¸. 得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3， 所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个.【答案】 B1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断.特别要注意变量的取值范围.[再练一题]2.已知直线x ＝y ，与曲线 x ＝1＋2cos ±y ＝2＋2sin ±(±为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】 由 x ＝1＋2cos ±，y ＝2＋2sin ±.得 x －1＝2cos ±，y －2＝2sin ±. ∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2，则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋ －12＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 22－ 22 2＝14.类型三 直线参数方程的简单应用已知直线的参数方程为 x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【精彩点拨】 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值.【尝试解答】将参数方程 x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为x ＝1＋25 t ′y ＝2＋15t ′(t ′为参数). 代入圆方程x 2＋y 2＝9，得(1＋25 t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9，整理，得5t′2＋8t′－45＝0由韦达定理，t′1＋t′2＝－85，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义.|t′1－t′2|＝ t′1＋t′2 2－4t′1t′2＝125 5，故直线被圆截得的弦长为125 5.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义.[再练一题]3.若将条件改为“直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为À3，圆x 2＋y 2＝9不变”，试求：(1)直线l 的参数方程；(2)直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积.【解】 (1)直线l 的参数方程为x ＝1＋t 2y ＝2＋32t ，(t 为参数). (2)将 x ＝1＋t 2y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝9，得 t 2＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.由参数t 的几何意义，得直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.[真题链接赏析](教材P 41习题2－2T 6)写出过点A (－1,2)，倾斜角为34À的直线的参数方程，并求该直线与圆x 2＋y 2＝8的交点.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：Á＝4cos ¸.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为¸＝±0，其中±0满足tan ±0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【命题立意】 知识：曲线的参数方程与极坐标方程.能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.【解】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为Á2－2Ásin ¸＋1－a2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Á2－2Ásin ¸＋1－a 2＝0，Á＝4cos ¸.若Á≠0，由方程组得16cos 2¸－8sin ¸cos ¸＋1－a 2＝0，由已知tan ¸＝2，可得16cos 2¸－8sin ¸cos ¸＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上.所以a ＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评（六）点击图标进入…。
