河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学(文)试题 含解析

2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13．． 14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分又在中，---------------4分在中，----------------------6分又即-----------------------②联立①②得，即---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）---------------------------------------------------------10分---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形，∴∥，∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥的体积为．-----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分（Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴，-------------------------------4分∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以，抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线斜率存在时，设直线的方程为设，，将直线与抛物线联立得：，——————————————————①-------------7分又，即将①带入得，即得或--------------------------------------------------------------------------------------10分当时，直线为，此时直线恒过当时，直线为，此时直线恒过（舍去）所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分21.解+析：解：（Ⅰ）由题意可知，-----4分（Ⅱ）当时，等价于设-------------------------------------------------6分令当时，恒成立在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，---------------------------9分单减区间为，单增区间为在的最小值为----------------------------11分--------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，的方程可化为，设点的坐标为，，--------------------------------5分（2）曲线的直角坐标方程为：直线的标准参数方程为，代入得：设，两点对应的参数分别为，，故，异号------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）详细分析：（1）当时，当时解得当时恒成立当时解得综上可得解集………………5分（2）当，即时，无最小值；当，即时，有最小值；当且，即时，当且，即时，综上：当时，无最小值；当时，有最小值；当时，当时，……………… 10分11。

2019届河南省郑州市高三第三次质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}13A x N x =∈-<<，{}0B x x π=<<，则A B ⋂=（ ） A ．{}03x x << B ．{}0,1,2 C ．{}1,2D ．{}0x x π<<【答案】C【解析】求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集. 【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A B =，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++===--+，1322z i =-由于130,022>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为，其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为．故选D ．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.4．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点(，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．3【答案】C【解析】先求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标可得,a b 的关系式，然后可得离心率. 【详解】因为双曲线的焦点在y 轴上，所以渐近线的方程为ay x b=±，因为经过点(，所以b =，222b a =；由于222b c a =-，所以223c a =，即离心率e =【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线求解离心率时，关键是寻求,,a b c 之间的关系式.5．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.6．在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则MD =（ ） A ．2136AB AC - B ．1136AB AC - C ．2133AB AC - D ．2136AB AC + 【答案】A【解析】作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC 表示MD . 【详解】 作出图形如下，1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=+=+-2136AB AC =-,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系.7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养. 8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ） AB ．2C ．12x xD ．4【答案】A【解析】作出截面图，结合圆柱的表面积等于圆锥的侧面积建立等式，从而可得. 【详解】 如图，截面图如下设圆柱底面半径为r ，高为h ，圆锥的底面半径为R ，则母线为l =,则R h rR R-=,即h R r =-.圆柱表面积为222222()2r rh r r R r rR πππππ+=+-=；圆锥的侧面积为2Rl R π=，因为圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，所以22rR R π=，即R =，故选A.【点睛】本题主要考查旋转体的表面积的计算，熟记公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.9．已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，n N *∈.则数列{}na b 的前10项和为（ ） A ．()101312- B ．()101918- C ．()9127126- D ．()10127126- 【答案】D【解析】根据题目条件判定{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，分别求出通项公式，然后求和. 【详解】 因为113n n n nb a a b ++-==，所以{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列且公差，公比均为3，所以13(1)32n a n n =+-=-，11133n n n b --=⨯=，所以331327n n n a b --==，易知{}na b 是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为10101(127)1(271)12726-=--，故选D. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为I ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C ．6483π- D ．6443π- 【答案】A【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为4，高为4的四棱锥中挖掉18个半径为故该几何体的体积为(3211444383π⨯⨯-⨯⨯ 643-=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.11．已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【答案】C【解析】结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得2210a b -=，再利用1C 恰好将线段AB三等分，可求得22,a b .【详解】因为椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，所以2210a b -=；双曲线的一条渐近线为3y x =，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，设(,3)C m m ，代入椭圆可得222291m m a b+=①因为1C 恰好将线段AB 三等分，所以3a OC =，即有22299a m m +=② 联立①②可得22119010a b+=，结合2210a b -=可得298b =，故选C. 【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、填空题12．若实数x ，y 满足条件10,10,330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =-的最大值为__________．【答案】5.【解析】作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值. 【详解】作出可行域及0:320l x y -=如图，平移直线0l 可知在点A 处目标函数32z x y =-取到最大值， 联立10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得(3,2)A ,代入可得max 5z =.【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.13．在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ===2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为__________．【答案】6π.【解析】根据所给数据可得垂直关系，结合模型可求外接球的表面积. 【详解】因为AB AC AD ===2BC BD CD ===；所以,,AD AC AD AB AB AC ⊥⊥⊥,所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,AD AC AB 分别为长宽高的长方体的外接球，故其对角线就是外接球的直径，设外接球的半径为r ，则2r =即2r =，故外接球的面积为22446r πππ==. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，借助长方体这个模型可以简化求解过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.14．在数列{}n a 中，满足11a =，24,2n a na =()()1111n n n a n a -+=-++（2n ≥且n N *∈），则__________．【答案】254.【解析】根据已知条件可得{}n na 为等差数列，借助等差数列的通项公式可得. 【详解】因为()()11211n n n na n a n a -+=-++，所以{}n na 为等差数列，公差2127d a a =-=，首项为1，所以其通项公式为17(1)76n na n n =+-=-，所以8502584a ==. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 15．已知函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若在区间()1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11[,]22-. 【解析】先把图象位置关系转化为不等关系，即212()ln 02ax a x x --->，然后利用导数求解最值可得. 【详解】设21()2()ln 2g x ax a x x =---，由题意可知，()0g x >在区间()1,+∞上恒成立；1(1)[(12)1]()2(21)x a x g x a a x x x--+=---'=， 当120a -≥时，()1,x ∈+∞，()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以有1(1)202g a a =-+≥，即1122a ≥≥-； 当120a -<时，总存在()0,x x ∈+∞，使得()0g x '<，即()g x 为减函数，不合题意； 综上可得11[,]22a ∈-. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.三、解答题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=.点D 的线段BC 上，且12BD CD =，AD =.（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）6. （Ⅱ）3. 【解析】（Ⅰ）在ABC ∆，,ACD ABD ∆∆中分别使用余弦定理可求AB 的长； （Ⅱ）先求ABC ∆的面积，利用ABD ∆与ABC ∆面积之间的关系可求 【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221483a c c =+-⋅① 又在ACD ∆中，222264416cos 2a AD CD AC ADC AD CD +-+-∠==⋅ 在ABD ∆中，2222264cos 2a c AD BD AB ADB BD AD +-+-∠==⋅又ADB ADC π∠+∠=cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠= ,即222403a c -+=②联立①②得，6c = , 即6AB =. （Ⅱ）1cos sin 3CAB CAB ∠=∴∠=1sin 2ABCSb c CAB =⨯⨯⨯∠=13ABD ABC S S ∆∆==. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.17．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形.（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，求λ的值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）12. 【解析】（Ⅰ）先证明AO BD ⊥,AO FO ⊥,利用//EF AO 得到EF ⊥平面BDF ,从而得证结论；（Ⅱ）利用三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，建立等量关系，从而求得λ的值. 【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ∴AO FO ⊥．又四边形OAEF 为平行四边形， ∴//EF AO ，∴EF BD ⊥，EF FO ⊥，∵BD FO O ⋂=，∴EF ⊥平面BDF ． ∵EF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面BDF ．（Ⅱ）∵2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，∴ABD ∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．∵,,BD AC BD FO AC FO O ⊥⊥⋂=,∴BD ⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⋅⋅=⨯⨯=． ∵FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， 所以点H 到平面ABCD 的距离(1)2(1)h FO λλ=-=-． 所以111)22sin1202(1)33233B AHC H ABC ABC V V S h λλ︒---⎛⎫==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯-==⎪⎝⎭，解得12λ=. 【点睛】本题主要考查空间中面面垂直关系的证明及几何体的体积问题，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.18．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中2.71828e =），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii ii i nnii i i u u u nu u u u nuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=- 【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合；（Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【解析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更适合．（Ⅱ）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii i i i nni ii i u u v v u v nuvdu u unu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=， ∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x -='-，令23()910z x x --'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增；当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.19．已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k . （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标. 【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=， 1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+=即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去）所以直线l 恒过定点(0,1)-. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.20．设函数()xf x ae x =-，()lng x b x =.（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在()()1,1h 处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）2,1a b e==； （Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）先求()h x 的导数，结合导数的几何意义，可求,a b ；（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得k 的最大值. 【详解】（Ⅰ）()()()ln xh x f x g x ae b x x =+=+-，()1x bh x ae x +'=-，由题意可知(1)112,1(1)12h ae a b h ae b e =-=⎧∴===='⎨+-⎩.（Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x ++'->等价于11x x k x e +<+- 设1()1x x F x x e +=+- ，()()22()1x x x e e x F x e --=-' ， 令()2x R x e x =--,()1xR x e =-'; 当0x >时，()0R x '>恒成立.∴()R x 在(0,)+∞上单调递增 ， 又(1)0,(2)0R R ,∴()R x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020xe x --=， ∴()F x 单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(,)x +∞， ∴()F x 在(0,)+∞的最小值为()0000011(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈- ()0max ,2k F x k ∴<∴=.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.21．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1:C y =以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP ⋅的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为()2,1-，求QM QN -的值.【答案】（Ⅰ）1]； （Ⅱ.【解析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP ⋅，结合三角函数知识求解； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线2C ，结合参数的几何意义可求. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B ++=∴--.1C 的方程可化为221(0)x y y +=≥，设点P 的坐标为(cos ,sin ),0θθθπ≤≤，cos sin 111]4BA BP πθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-=.直线l的标准参数方程为2212x m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m 为参数），代入2C得：270m -=设,M N 两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m +==-< ,故12,m m 异号12QM QN m m ∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果. 22．已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）把1a =代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解； （Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ； 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=； 【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.。

2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2019年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x ）=﹣2a=，当a ≤0时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在区间（0，+∞）单调递增，因此g （x ）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a ＞0时，令g′（x ）=0，解得x=，令g′（x ）＞0，解得0＜x ＜，此时函数g （x ）单调递增；令g′（x ）＜0，解得x ＞，此时函数g （x ）单调递减．∴当x=时，函数g （x ）取得极大值．当x 趋近于0与x 趋近于+∞时，g （x ）→﹣∞， 要使g （x ）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g （）=ln＞0，解得0＜a ＜．∴实数a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ= ﹣1 ．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1． 故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x ，2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为 9 ．【考点】BB ：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f （x ）=mx+2lnx+，m ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设函数g （x ）=，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数m 的取值范围．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x 0∈[1，e]，使得m ＞﹣成立，设H （x ）=﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可． 【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x ）=m++=，m=0时，f′（x ）=，f （x ）在（0，+∞）递增，m ＞0时，f′（x ）=，令f′（x ）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m ＞2时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＜0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m ≤2时，x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）递增，m ＜0时，x ∈（0，1﹣）时，f′（x ）＞0，x ∈（1﹣，+∞）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=mx+2lnx ﹣，∵至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。

2019年郑州市高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上．13． ． 14．. 15.． 16．． 5π6425⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解：（Ⅰ）在中，由余弦定理得-------------①---------2分 ABC ∆3184222⋅-+=c c a 又在中，---------------4分ACD ∆933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠在中，----------------------6分ABD ∆931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠又π=∠+∠ADC ADB 即-----------------------② 0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 06423222=+-c a 联立①②得， 即---------------------------------------------------------------8分 6=c 6=AB （Ⅱ） 31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB ---------------------------------------------------------10分28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------------------------12分32831==∆∆ABC ABD S S18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．ABCD AO ⊥BD ∵平面，平面，FO ⊥ABCD AO ⊂ABCD∴．----------------------------------------------------------------2分 AO ⊥FO 又四边形为平行四边形，OAEF ∴∥，EF AO ∴，，------------------------------------------------------4分 EF ⊥BD EF ⊥FO ∵，∴平面．BD ∩FO =O EF ⊥BDF ∵平面，EF ⊂DEF ∴平面平面．----------------------------------------------------6分 DEF ⊥BDF （Ⅱ）∵，四边形为菱形，AB =FO =BD =2ABCD ∴为等边三角形，且，．ΔABD AO =3DO =BO =1∵，，，BD ⊥AC BD ⊥FO AC ∩FO =O ∴平面，BD ⊥OAEF ∴四棱锥的体积为．AOFE D -V D ―AOFE =13⋅S AOFE ⋅DO =13×(3×2)×1=233-----------------------------------------8分 3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V ∵平面，点在线段上，且，FO ⊥ABCD H BF FH =λFB 所以点到平面的距离．H ABCD ℎ=λ|FO |=2λ所以， V B ―AHC =V H ―ABC =13⋅S ABC ⋅ℎ=13×(12×2×2×sin120°)×2λ=23λ3=33解得------------------------------------------------------------12分 21=λ19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 y =c ·x d （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分 y =c ·x d ln y =ln c +d ln x v =ln c +du 由表中数据得：，u =v =1.5∴，-------------------------------4分 ()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====u n u v u n v u u u v v u u d n i i i n i i n i i i n i i ∴，∴，ln c =v ―^du =1.5―13×1.5=1c =e ∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分 x y y =e ·x 13(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，z (x )=27x 13―x ∴，--------------------------------------------------------8分z '(x )=9x―23―1令，得， z '(x )=9x ―23―1=0x =27且当时，单调递增；x ∈(0,27)z '(x )>0,z (x )当时，单调递减．----------------------------------10分 x ∈(27,+∞)z '(x )<0,z (x )所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.x =27z ()5427=z 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以， ()2522=--=P MF 抛物线的方程为-------------------------------------------------------4分 1=∴p x y 22-=（Ⅱ）由（1）可知，点的坐标为M ()2,2-当直线斜率不存在时，此时重合，舍去.-------------------------------------------------------5分 l B A ,当直线斜率存在时，设直线的方程为l l b kx y +=设，，将直线与抛物线联立得：A ()11,y xB ()22,y x l⎩⎨⎧-=+=x y b kx y 22()022222=+++b x kb x k ，——————————————————①-------------7分 22122k kb x x --=+2221k b x x =又， 22222221121-=+-++-=+x y x y k k 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx 将①带入得， ()01222=+---b k b b 即()()0221=--+k b b 得或--------------------------------------------------------------------------------------10分 1-=b k b 22+=当时，直线为，此时直线恒过1-=b l 1-=kx y ()1,0-当时，直线为，此时直线恒过（舍去） k b 22--=l ()2222++=++=x k k kx y ()2,2-所以直线恒过定点---------------------------------------------------------------------------------12分l ()1,0-21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x -+=+=ln 由题意可知 ，-----4分 ()1-+='x b ae x h x ()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h ea 2=∴1=b （Ⅱ）当时，等价于 0>x ()()01>++'-x x f k x x e x k x +-+<11设 -------------------------------------------------6分 ()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F 令 当时，恒成立()2--=x e x R x ()1-='x e x R 0>x ()0>'x R 在上单调递增 ， 又，()x R ()+∞,0()01<R ()02>R 在上有唯一零点，且，---------------------------9分 ()x R ∴()+∞,00x ()2,10∈x 0200=--x e x 单减区间为，单增区间为()x F ∴()0,0x ()+∞,0x 在的最小值为----------------------------11分()x F ∴()+∞,0()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x --------------------------------------------------------------------12分()0x F k <∴2max =∴k （二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为，，l 01=++y x ()0,1-∴A ()1,0-B 的方程可化为，设点的坐标为，，1C ()0122≥=+y y x P ()θθsin ,cos πθ≤≤0--------------------------------5分 []12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθ（2）曲线的直角坐标方程为： 2C ()()82222=-++y x 直线的标准参数方程为，代入得： l ()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=2212222C 0722=--m m 设，两点对应的参数分别为， M N 1m 2m ， 故，异号 221=+m m 0721<-=m m 1m 2m ------------------------------------------------------------------10分221=+=-∴m m QN QM 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时，1a =232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤ 当时解得 2x ≤-()233f x x =--≤32x -≤≤-当时恒成立21x -<<-()13f x =≤当时解得 1x ≥-()233f x x =+≤10x -≤≤综上可得解集………………5分[3,0]-（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当，即时，无最小值； (1)0a -+>1a <-()f x 当，即时，有最小值； (1)0a -+=1a =-()f x 1-当且，即时， (1)0a -+<(1)0a -≤11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当且，即时， (1)0a -+<(1)0a ->1a >min ()(2)1f x f =-=综上：当时，无最小值；1a <-()f x 当时，有最小值；1a =-()f x 1-当时， 11a -<≤min ()(1)f x f a =-=当时， ……………… 10分 1a >min ()(2)1f x f =-=。

河南省2018〜2019年度高三年级阶段性检测(三)数学（文科）考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容第I 卷―、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若i z -=3，则2z 的虚部为A.6iB.-6iC.6D.-62.已知集合 A={3<|x N x ∈}，B={0|2≤-x x x }，则=B AA. {0,1}B. {1}C.[0,1]D. (0,1]3.某公司新研发了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是A.甲型号手机在外观方面比较好B.甲、乙两型号的系统评分相同C.甲型号手机在性能方面比较好D.乙型号手机在拍照方面比较好4.已知正项等比数列{n a }满足= 20,1653582=+=a a a a a ,则公比=qA.-2B.2C. ±2D.45.已知)(x f 是偶函数，且当x>0时，2)(2++=x x x x f ，则曲线)(x f y =在点（一l ，)1(-f )处的切线的斜率为A.0B. 916-C. 920D. 920- 6.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则=⋅CD BEA. 43-B. 43 C. 83- D. 83 7.已知函数x x x f cos sin )(+=，且ππ43),()(≤≤-=+m x m f x m f ，则=m8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 12211++π B. 1)26(++π C. 212211++π D. 21)26(++π 9.设抛物线C: px y 22= (p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若316||=AB ，则=p A. 1 B. 2 C.3 D. 410.有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中(例如图1中的扫地机器人)。

2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。

2019届河南中原名校高三文上质检三数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，集合，，则（）A . ___________________________________B .C .D .2. 命题“ ，”的否定是（）A . ，______________________________________B .，C . ，D . ，3. 已知，为第三象限角，则（）A .B .C . ___________________________________D .4. 已知直线均在平面内，则“直线且直线”是“直线平面”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件_________________________D . 既不充分也不必要条件5. 记数列的前项和为，若，则（）A . ___________________________________B .C .D .6. 已知向量的夹角为，且，，若，则（）A .B . _____________________________________C . ______________________________________D .7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A . ___________________________________B .______________________________________C .D .8. 已知定义在上的函数为周期函数，且周期为，若在区间上，，则（）A .B .C . ______________________________________D .9. 如图，已知中，为边上靠近点的三等分点，连接，为线段的中点，若，则（）A .B . _____________________________________C . _____________________________________D .10. 已知一空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. 已知正实数满足，则的最小值为（）A .B .C .D .12. 如图，在边长为的正三角形中，点从点出发，沿的方向前进，然后再回到点，在此过程中，即点走过的路程为，点到点的距离之和为，则函数的大致图像为（）二、填空题13. 在中，角的对边分别为，若，且的面积为，则________________________ .14. 已知实数满足约束条件，则点的最大值是________________________ .15. 如图，在棱长均相等的正四棱锥最终，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：① 平面；② 平面平面；③ ；④ 直线与直线所成角的大小为 .其中正确结论的序号是________________________ . （写出所有正确结论的序号）16. 已知直线与曲线相切，若，则________________________ . （参考数据：）三、解答题17. 已知在中，角的对边分别是，且 . （ 1 ）求角的大小；（ 2 ）若，求面积的最大值 .18. （本小题满分12分）在单调递增的等差数列中，成等比数列，前项之和等于 . （ 1 ）求数列的通项公式；（ 2 ）设，记数列的前项和为，求使成立的的最大值 .19. 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 .（ 1 ）求函数的解析式；（ 2 ）求函数在上的单调递增区间 .20. 在如图所示的多面体中，四边形为平行四边形，为的中点，为等腰直角三角形，为斜边，为正三角形，.（ 1 ）证明：；（ 2 ）求四面体的体积 .21. 某工厂每日生产某种产品吨，当日生产的产品当日销售完毕，产品价格随产品产量而变化，当时，每日的销售额（单位：万元）与当日的产量满足，当日产量超过吨时，销售额只能保持日产量吨时的状况 . 已知日产量为吨时销售额为万元，日产量为吨时销售额为万元 . （ 1 ）把每日销售额表示为日产量的函数；（ 2 ）若每日的生产成本（单位：万元），当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值 . （注：计算时取）22. 已知函数 .（ 1 ）求在上的最小值；（ 2 ）若存在两个不同的实数，使得，求证： .参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝ A ．{x ｜0＜x ＜3} B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A ．2B C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin 24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD uuu r ＝2DB uuu r ，点M 为AC 中点，则MD uuu r ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a ＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为AB ．2 C． D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－） 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABC ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x ＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝ B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD＝3．（Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ； （Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k 1＋k 2＝－2时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝ae x －x ，g （x ）＝blnx ． （Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－． （Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分 （Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得，且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-------------------------------------------------------4分（Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.-------------------------------------------------------5分当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =——————————————————①-------------7分 又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或kb 22+=--------------------------------------------------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0----------------------------------------------------------------------------------12分21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F -------------------------------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k --------------------------------------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM ------------------------------------------------------------------10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-； 当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。

郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A ＝{x ∈N ｜－1＜x ＜3}，集合B ＝{x ｜0＜x ＜π}，则A ∩B ＝A ．{x ｜0＜x ＜3}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{x ｜0＜x ＜π}2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝2＋i ，则在复平面内z 的对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5 部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作 为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的概率为 A ．35 B ．710 C ．45 D ．9104．已知双曲线22221y x a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点（2），则该双曲线的离心率为A C D ．3 5．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于（6π，0）对称；③在[0，4π]上是增函 数”的一个函数可以是A ．3sin24y x π＝（－） B ．sin 23y x π＝（－） C ．2cos 23y x π＝（＋） D ．sin 26y x π＝（＋）6．在△ABC 中，若点D 满足CD ＝2DB ，点M 为AC 中点，则MD ＝A ．2136AB AC － B ．1136AB AC － C ．2133AB AC － D ．2136AB AC ＋7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （－x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（－∞，0）上是减函数，若a＝f （－1），b ＝142log f （），c ＝f （20．3），则a ，b ，c 的大小关系为A ．c ＜b ＜aB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为A ．2B ．2C ．22D ．4 9．已知数列{n a }，{n b }满足1a ＝1b ＝1，1n a ＋－n a ＝1n nb b ＋＝3，n ∈N *．则数列{n a b }的前10项和为 A ．101312（－） B ．10118（9－） C ．91126（27－） D ．101126（27－）10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．64823π－ B ．6423π－4C ．6483π－ D ．643π－411．函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足在D 内是单调函数且存在[m ，n]⊆D 使f （x ）在[m ，n]上的值域为[2m ，2n ]，那么就称y ＝f （x ）为“半保值函数”，若函数f （x ）＝log a （a x＋t ）（a ＞0且a ≠1）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是 A ．（0，14] B ．（0，14） C ．（0，＋∞） D ．（14，＋∞） 12．已知椭圆C 1：22221x y a b ＋＝（a ＞b ＞0）与双曲线C 2：2219y x －＝有公共焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则 A ．2878a ＝B ．212a ＝C ．298b ＝ D ．21b ＝第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22－23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．若实数x ，y 满足条件01033x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－1≥，－－≤，－＋≥0，则z ＝3x －2y 的最大值为__________．14．在三棱锥D －ABC 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，BC ＝BD ＝CD ＝2，则三棱锥D －ABC 外接球的表面积为__________．15．在数列{n a }中，满足1a ＝1，2a ＝4．2n na ＝（n －1）1n a －＋（n ＋1）1n a ＋（n ≥2且n ∈N *），则8a ＝__________．16．已知函数21ln 2f x a x x （）＝（－）＋，若在区间（1，＋∞）上函数f （x ）的图象恒在直线y ＝2ax 的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AC ＝4，cos ∠CAB ＝13．点D 在线段BC 上，且BD ＝12CD ，AD ＝833．（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求△ABD 的面积．18．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形． （Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若AB ＝FO ＝BD ＝2，点H 在线段BF 上，且FH ＝λFB ，三棱锥B －AHC 的体积等于三棱锥O －DEF 的体积，求λ的值．19．（本小题满分12分）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x i与年销售量y i（i＝1，2，…，10）的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y＝a＋bx和y＝c·x d（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）．（Ⅱ）对数据作出如下处理：令u i＝lnx i，v i＝lny i，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为27z y xe＝－（其中e＝2．71828…），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为F，x轴上方的点M（－2，m）在抛物线上，且｜MF｜＝52，直线l与抛物线交于A，B两点（点A，B与M不重合），设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当k1＋k2＝－2时，求证：直线l恒过定点并求出该定点的坐标．21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝ae x－x，g（x）＝blnx．（Ⅰ）设h （x ）＝f （x ）＋g （x ），函数h （x ）在（1，h （1））处切线方程为y ＝2x －1，求a ，b 的值； （Ⅱ）若a ＝1，k 为整数，当x ＞0时，x k f x x '（－）（）＋＋1＞0成立，求k 的最大值．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t ⎧⎨⎩＝－－，＝＋（t 为参数），曲线C 1：y 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4π⎛⎫⎪⎝⎭α－．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在C 1上，求BA ·BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与C 2交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为（－2，1），求｜｜QM ｜－ ｜QN ｜｜的值．23．（本小题满分10分）[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜＋a ｜x ＋2｜． （Ⅰ）求a ＝1时，f （x ）≤3的解集；（Ⅱ）若f （x ）有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年高中毕业年级第三次质量预测文科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）1．C 2．D 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.A 11.B 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上． 13． 5． 14．π6. 15.425． 16．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得3184222⋅-+=c c a -------------①---------2分 又在ACD ∆中，933216943642cos 2222aa CD AC AC CD AD ADC -+=⋅-+=∠---------------4分 在ABD ∆中，931693642cos 22222ac a AB AD AB BD AD ADB -+=⨯-+=∠----------------------6分又π=∠+∠ADC ADB0cos cos =∠+∠∴ADC ADB 即06423222=+-c a -----------------------② 联立①②得，6=c 即6=AB ---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）31cos =∠CAB 322cos =∠∴CAB28sin 21=∠⨯⨯⨯=∆CAB c b S ABC ---------------------------------------------------------10分32831==∆∆ABC ABD S S ---------------------------------------------------------------------------12分18（Ⅰ）证明：∵四边形为菱形，∴．∵平面，平面，∴．----------------------------------------------------------------2分又四边形为平行四边形， ∴∥， ∴，，------------------------------------------------------4分 ∵，∴平面．∵平面， ∴平面平面．----------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵，四边形为菱形，∴为等边三角形，且，．∵，，，∴平面，∴四棱锥AOFE D -的体积为．3321===∴---AOFE D OEF D DEF O V V V -----------------------------------------8分∵平面，点在线段上，且，所以点到平面的距离．所以，解得21=λ------------------------------------------------------------12分19．解：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．--------------------1分 （Ⅱ）对两边取对数，得，即-------------------2分由表中数据得：，∴()()()31ˆ2121121=--=---=∑∑∑∑====un u vu n v u u u vv u udni i i ni i ni ii ni i，-------------------------------4分 ∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.-----------------------6分(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，--------------------------------------------------------8分令，得， 且当时，单调递增；当时，单调递减．----------------------------------10分所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为()5427=z 千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.------------------------12分 20．解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以()2522=--=P MF ， 1=∴p 抛物线的方程为x y 22-=-----------------------------------4分 （Ⅱ）由（1）可知，点M 的坐标为()2,2-当直线l 斜率不存在时，此时B A ,重合，舍去.---------------- --------5分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y += 设A ()11,y x ，B ()22,y x ，将直线l 与抛物线联立得：⎩⎨⎧-=+=xy b kx y 22()022222=+++b x kb x k 22122kkb x x --=+，2221k b x x =————————————①-------------7分又22222221121-=+-++-=+x y x y k k ， 即()()()()()()2222222211221++-=+-+++-+x x x b kx x b kx()()()()84284222212121212121-+--=-++-++++x x x x b x x x x b x x k x kx将①带入得，()01222=+---b k b b即()()0221=--+k b b得1-=b 或k b 22+=----------------------------------------------10分 当1-=b 时，直线l 为1-=kx y ，此时直线恒过()1,0-当k b 22--=时，直线l 为()2222++=++=x k k kx y ，此时直线恒过()2,2-（舍去） 所以直线l 恒过定点()1,0--------------------------------------------12分 21.解析 ：解：（Ⅰ）()()()x x b ae x g x f x h x-+=+=ln()1-+='x b ae x h x 由题意可知()()⎩⎨⎧=-+='=-=211111b ae h ae h e a 2=∴，1=b -----4分 （Ⅱ）当0>x 时，()()01>++'-x x f k x 等价于x e x k x+-+<11设()x e x x F x +-+=11()()()212---='x x x e x e e x F ------------------------6分令()2--=x e x R x()1-='xe x R 当0>x 时，()0>'x R 恒成立()x R 在()+∞,0上单调递增 ， 又()01<R ，()02>R ()x R ∴在()+∞,0上有唯一零点0x ，且()2,10∈x ，0200=--x e x ---------------------------9分()x F ∴单减区间为()0,0x ，单增区间为()+∞,0x ()x F ∴在()+∞,0的最小值为()()3,211100000∈+=+-+=x x e x x F x ----------------------------11分()0x F k <∴ 2max =∴k ---------------------------------------12分（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线l 的普通方程为01=++y x ，()0,1-∴A ，()1,0-B1C 的方程可化为()0122≥=+y y x ，设点P 的坐标为()θθsin ,cos ，πθ≤≤0，[]12,014sin 21sin cos +∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=⋅∴πθθθBP BA --------------------------------5分（2）曲线2C 的直角坐标方程为：()()82222=-++y x直线l 的标准参数方程为()为参数m m y m x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=221222，代入2C 得：0722=--m m 设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m221=+m m ，0721<-=m m 故1m ，2m 异号221=+=-∴m m QN QM------------------------------------------------------------------10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当1a =时，232()|1||2|121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩ ()3f x ≤当2x ≤-时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x ≥-时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-………………5分（2）(1)212()|1||2|(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当1a >时， min ()(2)1f x f =-=……………… 10分。