【详解】河南省郑州市2019届高三第二次质量检测数学(文)试题含答案

2019届郑州市高三第二次质量检测数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由全集U＝R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【详解】∵又由全集U＝R，∴＝{y|y≤0 }，则A∩（∁U B）＝{x|≤0 }=．故选：B．2.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义与运算性质，求出z的值．【详解】∵，则2z=i(1-z)，设z=a+bi，代入2z=i(1-z)中，有2a+2bi=i(1-a-bi)=i-ai+b=b+(1-a)i，∴2a=b且2b=1-a，解得a=，b=∴z i．则，故选：C．3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合程序的运行过程及功能，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合程序框图的功能可知：n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n＝2019﹣i．故选：B．4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】。

$：：.汽，第4组；，，第5组’小7，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应 从第3，4，5组
各抽取多少名志愿者？
（2） 在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传 经验，求第4组
至少有一名志愿者被抽中的概率•
斗
（1）若一条直径的斜率为-，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为和…■.，它们的斜率分别为，证明：四边
21・已知I；J_:•一.
（1）若•.一，判断是否存在，：I，使得」：.I,并说明理由；
（2）设,是否存在实数，■，当 「，（,・，为
自然常数）时，函数的
最小值为3.
22.选修4-1:几何证明选讲
2019
及解析】
姓名班级分数
题号
-二二
三
总分
得分
、选择题
1.已知集合二一轨，贝V豆|_?=（）
A-;B-
CD.
2.若复数-=丄二引，则-的虚部为 （）
；-4?'
A.-4B.£
5
C.4D.-
S
3.
已知等差数列
氛》的前'
项和为‘
，若苗+叭.y=石
，则'
(
)
A.
10
B
.12
C
.14
D.16
4.下列命题中正确的是（）
参加某种测
试，为此将他们随机编号为1,2,…，800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽 到的号码为18,
抽到的40人中，编号落在区间〕.为訂的人做试卷，编号落在■ 'I.的人做

----------------8 分
( )( ) ( ) ∆ = 64k 2m2 − 4 4k 2 +1 4m2 − 4 = 16 4k 2 +1− m2 = 16m2 > 0 ，
设 P(x0 ,
y0 )，则 x0
=
x1
+ x2 2
=
− 4km 1+ 4k 2
=
− 2k m
，
y0
=
kx0
+m=
1 2m
f ′(1) =−2b =−1, 所以 b = 1 ，又有 f (1) =−b − a =− 3 ，所以 a = 1.
2
2
即=a 1,=b 1 . 2
----------------4 分
（2）当 a ≤ 0,b = 1 时， f ′(= x) a ln x − x < 0, 2
f (x) 在 (1, e) 上单调递减.-------5 分
----------------10 分
_t
∴GH = 1 PF = 3
3 3
， VD −CEG=
VG = −CDE
1 3
S∆CDE
⋅ GH=
1 . ----------------12 分 12
19. 解：（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1， 解得 a＝0.035， ----------------2 分 所以通过电子阅读的居民平均年龄为：
, x1x2
=
4m2 − 1+ 4k
4
2
.∵
k1k2
=
−
1 4
，∴

2019年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷【试卷综述】总体上看，整份试卷的阅读量、运算量和思维量都比较大，难度也稍偏大，区分度不是十分明显。

客观地说试题的设计、考查的要求和复习的导向都比较好，结构稳定。

整套试卷的题型设置，试题总体结构、考点分布、题型题量、赋分权重等方面均与历年考题保持一致，充分体现了稳定的特点。

试题紧紧围绕教材选材，注重基础知识和基本能力的检测。

考查了必要数学基础知识、基本技能、基本数学思想；考查基本的数学能力，以及数学的应用意识、创新意识、科学态度和理性精神等要求落到实处，模拟试卷有模仿性，即紧跟上一年高考试卷的命题，又有预见性，能够预测当年试卷的些微变化，具有一定的前瞻性，对学生有所启发，提高学生的应试备考能力，提升得分。

【题文】第I卷【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小厄给出的四个选项中．只有一个符合题目要求．【题文】1．设i是虚数单位，复数21izi=+，则｜z｜＝A.1B. 2C.3D. 2【知识点】复数代数形式的乘除运算L1【答案】【解析】B 解析：复数z====1+i，则|z|=．故选B．【思路点拨】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【题文】2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x∈Z｝x2一6x+5<0｝，则C u(AUB)＝A.｛1，5，6｝B.｛1，4，5，6｝C.｛2，3，4｝D. { 0｝【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案】【解析】D 解析：集合B中的不等式x2一6x+5<0，变形得：（x﹣1）（x﹣5）＜0，解得：1＜x＜5，∴B={2，3,4}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3,4}，∵集合U={0，1，2，3，4}，∴∁∪（A∪B）={0，}．故选：D．【思路点拨】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【题文】3.“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与直线之间的位置关系．A2 G3【答案】【解析】B 解析：由题意可得a×(a+2)-3 =0，解之可得a=1或-3，所以“a=1＂是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件，故选B【思路点拨】由a×(a+2)-3 =0可得直线垂直的充要条件为a=1或-3，进而可得对结果作出判断．【题文】 4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值mn ＝A.1B.13C. 38D. 29【答案】【解析】C 解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3； 甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33， ∴n=8；∴=．故选：C ．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m 的值，再利用平均数相等，求出n 的值即可.【题文】 5.将函数f (x) = cosx －3sinx(x ∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到 的图象关于原点对称，则a 的最小值是A. 12πB. 6πC. 3π D 、56π全品网【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4 C7【答案】【解析】B 解析：函数f （x ）=cosx ﹣==2cos （x+）， 函数图象向左平移a 个单位得到：g （x ）=2cos （x+a+）得到的函数的图象关于原点对称， 则：，解得：a=（k ∈Z ），当k=0时，，故选：B ．【思路点拨】首先通过三角函数的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的平移变换和函数图象关于原点对称的条件求出结果．【题文】 6.已知双曲线的一个焦点与抛物线2x = 24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为300，则该双曲线的标准方程为【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案】【解析】B 解析：抛物线2x= 24y的焦点为（0，6），即有双曲线的焦点为（0，±6），设双曲线的方程为22221y xa b-=（a＞0，b＞0），则c=6，由渐近线方程为ay xb=?．则有3tan303ab==，又a2+b2=c2，解得a=3，b=33，则双曲线的方程为221927y x-=．故选B．【思路点拨】出抛物线的焦点，即有c=6，求得渐近线方程即有33ab=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程．【题文】7．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且（b－c）（sinB＋sinC)＝（a －3c) ·sinA，则角B的大小为A. 300B. 450C. 600 D、1200 【知识点】余弦定理；正弦定理．C8【答案】【解析】A 解析：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=，∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a ﹣）•sinA可得，（b﹣c）（b+c）=a（a ﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==，由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A．【思路点拨】由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解．【题文】8.执行如图所示的程序框图，输出的S值是A.22 B 、－1 C 、0 D. ―1―22【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】D 解析：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos =；n=2，n≥2019？，否，s=+cos =； n=3，n≥2019？，否，s=+cos =0；n=4，n≥2019？，否，s=0+cosπ=﹣1；n=5，n≥2019？，否，s=﹣1+cos=﹣1﹣； n=6，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos =﹣1﹣； n=7，n≥2019？，否，s=﹣1﹣+cos =﹣1；n=8，n≥2019？，否，s=﹣1+cos2π=0；n=9，n≥2019？，否，s=0+cos =；…；s 的值是随n 的变化而改变的，且周期为8，又2019=251×8+7，此时终止循环，∴输出的s 值与n=6时相同，为s=212--．故选D ．【思路点拨】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos +cos +cos +cos +…+cos 的值，由此求出结果即可.【题文】 9．若正数a,b 满足2＋log2 a ＝3+1og3b ＝1og6 (a+b)，则11a b + 的值为 A. 36 B. 72 C. 108 D. 172【知识点】对数的运算性质．B4【答案】【解析】C 解析：：∵正数a ，b 满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b ），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b ）=x ，则a=2x-2，b=3x-3，a+b=6x ，2311610823xx x a b a b ab --++===×.故选C.【思路点拨】设2+log2a=3+log3b=log6（a+b ）=x ，则a=2x-2，b=3x-3，a+b=6x ，由此能求出11a b + 的值．【题文】10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8πB. 16πC. 32πD. 64π【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2， 由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πR2=32π，故选：C【思路点拨】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积．【题文】11.已知函数f(x)＝22,52,x x ax x x a+>⎧⎨++≤⎩，函数g(x)=f(x)一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是A.［一1，1)B.［0, 2］C.［一2，2)D.［一1，2)【知识点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．B4【答案】【解析】D 解析：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+2=0的解为2，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；若函数g（x）=f（x）﹣2x 恰有三个不同的零点，则，解得﹣1≤a＜2，即实数a的取值范围是[﹣1，2）．故选：D．【思路点拨】化简g（x）=f（x）﹣2x=，而方程﹣x+2=0的解为2，方程x2+3x+2=0的解为﹣1，﹣2；故只需，从而可得答案．【题文】12.已知双曲线()22221x ya ba b-=>0,>0的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为A、75B、43C、2D、103【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】A 解析：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．【思路点拨】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x 轴于N ，在△PMQ 中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c ﹣2a ，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．【题文】 第II 卷【题文】本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题．考生根据要求作答．【题文】二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，共20分｝【题文】13．设等比数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，若27a3一a6＝0，则63S S ＝【知识点】等比数列的前n 项和．B4【答案】【解析】28 解析：因为36270a a -＝,所以251127a q a q =,解得327q =,所以63S S =()()6133111111a q q q a q q --=+--=28,故答案为28.【思路点拨】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n 项和得答案．【题文】14.如图，y=f(x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x)，其中g' (x)是g （x ）的导函数，则'(3)g ＝【知识点】利用导数研究函数的单调性．B11【答案】【解析】0 解析：∵直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，∴f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，∴3k+2=1，从而k=，∴f′（3）=k=，∵g（x）=xf（x），∴g′（x）=f（x）+xf′（x）则g′（3）=f（3）+3f′（3）=1+3×（）=0，故答案为0．【思路点拨】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g′（3）的值．【题文】15.已知实数x,y满足设b=x-2y，若b的最小值为一2，则b的最大值为【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】10 解析：由约束条件作出可行域如图，由b=x﹣2y，得，由图可知，A（a，a），B（a，﹣2a），则当直线过A（a，a）时在y轴上的截距最大，b有最小值为a﹣2a=﹣a=﹣2，即a=2，∴当直线过B（a，﹣2a）时在y轴上的截距最小，b有最大值为a﹣2（﹣2a）=5a=10．故答案为：10．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得a的值，再把使目标函数取得最大值的最优解的坐标代入目标函数求得b的最大值．【题文】16. 如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中正确的是①｜BM｜是定值②点M在某个球面上运动③存在某个位置，使DE⊥A1 C ④.存在某个位置，使MB//平面A1DE【知识点】平面与平面之间的位置关系．G3【答案】【解析】①②④解析：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故④正确,由∠A1DE=∠MNB，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故①正确．∵B是定点，∴M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故②正确，∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴存在某个位置，使DE⊥A1C不正确．故答案为①②④．【思路点拨】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB 为半径的圆上，可得①②正确．A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．【题文】三、解答题《本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤｝ 【题文】 17.（本小题满分12分）已知数列｛na ｝的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2a.n －2.(1)求数列｛na ｝的通项公式；（2）设，求使(n －8)bn ≥nk 对任意n ∈N ＊恒成立的实数k 的取值范围．【知识点】数列的求和；数列递推式．B4 【答案】【解析】(1) nn a 2=（2）10-≤k解析：(1)由22-=n n a S 可得21=a ， 因为22-=n n a S ，所以，当2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a ， 即：21=-n na a .数列}{n a 是以21=a 为首项，公比为2的等比数列， 所以，n n a 2=（N n *∈） (6)分（2）2)1(321log log log 22212+=++++=++=n n n a a a b n n .由nk b n n ≥-)8(对任意*N n ∈恒成立，即实数k n n ≥+-2)1)(8(对*N n ∈恒成立； 设)1)(8(21+-=n n c n ，则当3=n 或4时，n c 取得最小值为10-，所以10-≤k . (12)分【思路点拨】（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式． （2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围． 【题文】18.（本小题满分12分）最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高 考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且x=2y.（I ）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少？（11）在（I ）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率。

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】已知全集R =U ，}11|{<<-=x x A ，}0|{>=y y B ，则=)(B C A R （ ）（A ）)01(，- （B ）]01(，- （C ）)10(， （D ）)10[， 【2】已知i 是虚数单位，复数z 满足i zz=-12，则=z （ ） （A ）5 （B ）5 （C ）55（D ）51【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，则它的一条渐近线被圆0622=-+x y x 截得的线段长为（ ） （A ）23 （B ）3 （C ）223 （D ）23【5】将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）（A ）甲队平均得分高于乙队的平均得分 （B ）甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数 （C ）甲队得分的方差大于乙队得分的方差 （D ）甲乙两队得分的极差相等 【6】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ） （A ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 （B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1【7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

设 CBD ，则 A1BD ABD 45 ，显然 CBD A1BD ，所以 0 22.5 ，
BE 2 3 cos(45 )
BE A1B cos(45 ) 2
3 cos(45 ), BM
cos
cos
6(1 tan ) ，
2 tan 22.5
由 tan 45
1 ，解得 tan 22.5 2 1 ，因为 0 22.5 ，所以 0 tan 2 1，
径，即 2R
(3
2)2 (3
2)2 32 3
3 5,R
5 ，外接球的体积V 4 R3 45
5
．
2
3
2
A
B
D
C
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯
函数”为：设 x R ，用[x] 表示不超过 x 的最大整数，则 y [x] 称为高斯函数．例如：[2.1] 3 ，
．
13．答案：16
解析：设 {an } 的公比为
q
，则
a2 S3
a1q 2 a1(1 q
q2)
7
，所以
2q2
5q
2
0
，解得
q
2
或
q
1 2
，又
因为{an}是单调递增数列，所以 q 2 ， a5 a2q3 16 ．
43
14．已知 cos
3
cos
5
，则
cos
6
．
4
14．答案：
5
2x 3
[3.1] 3 ，已知函数 f (x)
，则函数 y [ f (x)]的值域为（
）
1 2x1

0.01
0.005
0.001
k0
3.841
6.635
7.879
10.828
2 . 在直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线 l0： 抐 u 2 2相切， 点 A 为圆 C1 上一动点，AN⊥x 轴于点 N，且动点满足 u 抐 ，设动点 M
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的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求曲线 C 的方程； （Ⅱ）设 P，Q 是曲线 C 上两动点，线段 PQ 的中点为 T，OP，OQ 的斜率分别为
为 y=2sin（ x+ ），
它不是奇函数，图象不 关于原点对称，故 B 错误；
当 x= 时，g（x）= ≠0，故点
不是函数 g（x）图象的一个对称中心，故 C
错误；
在区间 D 正确， 故选：D．
上， + ∈[ ， ]，故函数 g（x）在区间
上为增函数，故
利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再利用正弦函
1（n∈N*，且
1 . 如图，等腰直角△ABC 中，∠B=90°，平面 ABEF⊥平面 ABC，2AF=AB=BE，∠FAB=60°， AF∥BE． （Ⅰ）求证：BC⊥BF； （Ⅱ）求二面角 F-CE-B 的正弦值．
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1行. 目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改 革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到 2020 年，我国将全面建 立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需 从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若 一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定； 否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选 考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级 840 名学生选考科目的意向，随机选取 60 名学生进行了一次 调查，统计选考科目人数如表：

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由全集U＝R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【详解】∵又由全集U＝R，∴＝{y|y≤0 }，则A∩（∁U B）＝{x|≤0 }=．故选：B．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合B的补集是关键，属于基础题．2.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义与运算性质，求出z的值．【详解】∵，则2z=i(1-z)，设z=a+bi，代入2z=i(1-z)中，有2a+2bi=i(1-a-bi)=i-ai+b=b+(1-a)i，∴2a=b且2b=1-a，解得a=，b=∴z i．则，故选：C．【点睛】本题考查了复数的模的定义与复数的乘法运算问题，考查了复数相等的概念，是基础题．3.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合程序的运行过程及功能，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合程序框图的功能可知：n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017…直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n＝2019﹣i．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，读懂框图的功能是解题的关键，属于基础题．4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得b＝a，求得双曲线的一条渐近线方程，可求得圆心到渐近线的距离，再由弦长公式计算即可得到所求值．【详解】由题意可得e，即c a，即有b a，设双曲线的一条渐近线方程为y x，即为y＝x，圆的圆心为（3，0），半径r＝3，即有圆心到渐近线的距离为d，可得截得的弦长为22．故选：D．【点睛】本题考查直线和圆相交的弦长的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．5.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（）A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等【答案】C【解析】【分析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案．【详解】29；30，∴∴A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，29<30,∴B错误；甲的极差为31﹣26＝5，乙的极差为32﹣28＝4，5∴D错误；排除可得C选项正确，故选：C．【点睛】本题考查了由茎叶图求数据的平均数，极差，中位数，运用了选择题的做法即排除法的解题技巧，属于基础题.6.将函数的图象向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（）A. 函数在区间上为增函数B. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称C. 点是函数图象的一个对称中心D. 函数在上的最大值为【答案】A【解析】【分析】利用函数y＝A sin（ωx+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的性质对选项逐一判断即可．【详解】由函数f（x）＝2sin x的图象先向左平移个单位，可得y＝2sin（x）的图象；然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝g（x）＝2sin（x）的图象．对于A选项，时，x，此时g（x）＝2sin（x）是单调递增的，故A正确；对于B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到y＝2sin（x）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B错误；对于C选项，将x=代入函数解析式中，得到2sin（）=2sin=；故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；对于D选项，当时，x，最大值为，故D错误；故选A．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的值域及性质，属于中档题．7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分离常数法化简f（x），根据新定义即可求得函数y＝[f（x）]的值域．【详解】，又>0，∴，∴∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；当x∈[2，）时，y＝[f（x）]＝2．∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故选D．【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算．【详解】由三视图知：几何体是四棱锥S-ABCD，如图：四棱锥的底面四边形ABCD为直角梯形，直角梯形的底边长分别为1、2，直角腰长为2；四棱锥的高为，∴几何体的体积V．故选A．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及所对应几何量的数据是解题的关键．9.已知抛物线，过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点（均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设A（，），B（，），由OA⊥OB，利用斜率计算公式可得k OA•k OB＝﹣1，得出t1t2＝﹣1．又k AB，即可得出直线AB恒过定点，由此可得结论．【详解】设A（，），B（，）．由OA⊥OB，得1，得出t1t2＝﹣1．又k AB，得直线AB的方程：y﹣2t1（x﹣2t12）．即x﹣（）y﹣2＝0．令y＝0，解得x＝2．∴直线AB恒过定点D（2，0）．∴抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为FD=2，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题的求解与应用，涉及斜率计算公式与直线方程的形式，属于中档题．10.已知平面向量满足，，，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意设向量，的夹角为，将平方运算可得=120°，再将平方运算可得关于k的一元二次不等式，利用<0，求解范围即可.【详解】设向量，的夹角为，，，，则==1+4-2=7，∴，∴=120°，∴,又∴，即=对于任意实数恒成立，∴对于任意实数恒成立，∴-4（）<0，∴t<或t>，故选B．【点睛】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算及应用，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．11.在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．【详解】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，△PBB1的面积最小，∴三角形面积的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了截面问题，涉及线面平行，面面平行的定义的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题．12.函数是定义在上的函数,，且在上可导，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，g（x）＝xf（x），利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．【详解】函数f（x）在（0，+∞）上可导，为其导函数，令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝x•+f（x）＝，可知当x∈（0，2）时，g（x）是单调减函数，x∈（2，+∞）时，函数g（x）是单调增函数，又f （3）＝0，,则g（3）＝3f（3）＝0，且g（0）＝0则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，不等式的解集为：{x|0＜x＜3}．故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知为坐标原点，向量，，若，则______.【答案】【解析】【分析】设出P的坐标，得到关于x，y的方程，解出即可．【详解】设P（x，y），则（x-1，y﹣2），而（-3，﹣3）若，则2（x-1）＝-3，2（y﹣2）＝﹣3，解得：x，y，故||，故答案为：．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题．14.设实数满足，则的取值范围为_________.【答案】【解析】【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，利用表示的几何意义，结合图象即可得出的范围．【详解】先根据实数x，y满足的条件画出可行域，如图阴影部分：（含边界）由的几何意义是可行域内任意一点P与坐标原点连线的斜率，观察图形可知，当点P在点A处取最小值，由解得A（-1，3）∴最小值为-3，当点P在点B处取最大值, 由解得B（-2，）,∴最大值为，故的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了线性规划中的最值范围问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，属于中档题．15.在中，角所对的边分别为，且，，，，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件角化边求得c，再利用余弦定理解得b即可.【详解】∵，由正弦定理可得c+2c=a，代入，，得到a=∴c=，又cos B，∴b．故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．16.已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由题意可得，，作比得==，令=t，结合条件将写成关于t的函数，求导分析得到的范围，再结合得到a的范围，与函数有两个极值点时a的范围取交集即可.【详解】∵函数有两个极值点，∴有两个零点，即，两式作比得到:==，令，①，则有=,②∴,代入①可得，又由②得=，∴t,令g（t）=，（t）,则=，令h(t)=，则=，∴h(t)单调递减，∴h(t)=1-2，∴g（t）单调递减，∴g(t)=，即，而，令u(x)=，则>0, ∴u(x)在x上单调递增，∴u(x)，即a，又有两个零点，u(x)在R上与y=a有两个交点，而，在（-，1）,u(x)单调递增，在（1，+, u(x)单调递减，u(x)的最大值为u(1)=，大致图像为：∴,又，，综上，，故答案为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用了整体换元的方法，体现了减元思想，属于难题．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程17.数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）n=1时，可求得首项，n≥2时，将已知中的n用n-1代换后，与已知作差可得，再验证n=1也符合，即可得到数列{a n}的通项；（2）由（1）可得b n的通项公式，由裂项相消法可得S n，再由不等式，得到所求最小值n．【详解】（1）∵．n=1时，可得a1＝4，n≥2时，．与．两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，∴．n=1时，也满足，∴.（2）=∴S n，又，可得n>9，可得最小正整数n为10．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将n换为n﹣1，以及裂项相消的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题．18.四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.（1）求证：；（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接PF，BD由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；（2）先证明PF⊥平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积．【详解】连接PF，BD,∵是等边三角形，F为AD的中点，∴PF⊥AD，∵底面ABCD是菱形，，∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，∴BF⊥AD，又PF，BF⊂平面PBF，PF∩BF＝F，∴AD⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，∴AD⊥PB．（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面PAD，∴BF⊥平面PAD，又BF⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PF⊥平面ABCD，连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，∴在△PFC中,过H作GH PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，此时CG=CP,∴四面体的体积．所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的月日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了名居民，经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为,将这人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组，若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人，请完成上面列联表，则是否有的把握认为阅读方式与年龄有关？【答案】（1），；（2）有.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出a的值，再计算数据的平均值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】（1）由频率分布直方图可得：10×（0.01+0.015+a+0.03+0.01）＝1，解得a＝0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5；（2）由题意人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为, ∴纸质阅读的人数为200=50，其中中老年有人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为150=90，则中老年有人，得2×2列联表，计算，所以有的把握认为认为阅读方式与年龄有关．【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题．20.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为为坐标原点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过2a+2c=且，计算即得结论；（2）当直线AB的斜率k＝0时，|OP|，当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，求得p（，）．由，⇒2t2＝m2+4，代入|OP|2的运算中，化简得|OP|2∈（，2]即可．【详解】（1）由题知，的周长为2a+2c=且，∴，c=∴椭圆C的方程为：；（2）当直线AB的斜率k＝0时，此时k1，k2（O为坐标原点），满足，k1＝-k2=﹣．可令OB的方程为：y，（x B＞0）由可得B（，），此时|OP|，当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，△＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣4）＞0⇒m2﹣t2+4＞0…①，x1+x2＝m（y1+y2）+2t．∴p（，）．∵，∵⇒4y1y2+x1x2＝0．⇒（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t2＝0．⇒t2﹣4t2＝0．⇒2t2＝m2+4，且t2≥2，…②由①②可得t2≥2恒成立，|OP|2∈（，2]|OP|．综上，|OP|的取值范围为[，]．【点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题．21.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若，时，，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对f(x)求导后利用-1,直接求解即可.（2）先判断若，时，f（x）在区间上是减函数，利用单调性及的大小去绝对值，得到，构造函数在x∈时是增函数．可得，即在x∈时恒成立．再构造g(x)=利用导数分析其最值，即可得出实数a的取值范围．【详解】（1）∵=，∴-2b=-1,,∴b=,a=1.（2）若，时，,在x上恒成立，∴f（x）在区间上是减函数．不妨设1<x1<x2<e，则，则等价于．即，即函数在x∈时是增函数．∴，即在x∈时恒成立．令g(x)=,则，令，则=-=<0在x∈时恒成立,∴在x∈时是减函数，且x=e时，y=>0，∴y>0在x∈时恒成立,即在x∈时恒成立, ∴ g(x) 在x∈时是增函数，∴g(x)<g(e)=e-3∴．所以，实数a的取值范围是．【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，考查了利用导数研究函数的单调性及最值范围问题，考查了等价转化、适当变形、构造函数等基础知识与基本技能，考查了理能力和计算能力，属于难题．选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长l，由正弦函数的性质分析可得答案．【详解】（1）由，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为，化为直角坐标为（-2，0）由直线l的参数方程为：（t为参数），知直线l是过点P（-2，0），且倾斜角为的直线，把直线的参数方程代入曲线C得，．所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．（2）由曲线C的方程为，不妨设曲线C上的动点，则以P为顶点的内接矩形周长l，又由sin（θ）≤1，则l≤16；因此该内接矩形周长的最大值为16．【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化，考查了直线的参数方程的意义及椭圆参数方程的应用，涉及三角函数的最值问题，属于中档题．选修4—5：不等式选讲23.设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）已知恒成立，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论a的范围，求出f（x）的最小值即可．【详解】（1）a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，若g（x）≥f（x），即x2-x≥|x+1|+|x﹣1|，故或或，解得：x≥3或x≤-1，故不等式的解集是{x|x≥3或x≤﹣1}；（2）f（x）＝|ax+1|+|x﹣a|，若0＜a≤1，则f（x）min＝f（a）＝a2+1，∴a2+1，解得：a或a，∴a=1，若a＞1，则f（x）min＝f（）＝a2，∴a＞1，综上，a．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及求函数最值问题，是一道中档题．。

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】若复数ii b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21-（C ）31 （D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （ ）（A ）)01(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）]01(，-【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：X ⁓),(2σμN ，则68.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。

）（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ） （A ）11)31( （B ）3)31( （C ）3 （D ）4【7】在ABC ∆Rt 中， 90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（ ）（A ）21- （B ）0 （C ）4 （D ）1-【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）（A ）2545π （B ）25135π （C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

河南省郑州市2019年高三第二次质量检测数学(文)试题2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测 文科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。

【1】已知全集R =U ，}11|{<<-=x x A ，}0|{>=y y B ，则=)(B C A R I （ ）（A ）)01(，- （B ）]01(，- （C ）)10(， （D ）)10[，【2】已知i 是虚数单位，复数z 满足i zz =-12，则=z （ ） （A ）5 （B ）5 （C ）55 （D ）51 【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，则它的一条渐近线被圆0622=-+x y x 截得的线段长为（ ）（A ）23 （B ）3 （C ）223 （D ）23 【5】将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）（A ）甲队平均得分高于乙队的平均得分 （B ）甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数（C ）甲队得分的方差大于乙队得分的方差 （D ）甲乙两队得分的极差相等【6】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）（A ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 （B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心 （D ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1【7】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。

河南省郑州市第十四中学2019年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面，命题甲：若，则，命题乙：若，则，则下列说法正确的是A．当均为直线时，命题甲、乙都是真命题；B．当均为平面时，命题甲、乙都是真命题；C．当为直线，为平面时，命题甲、乙都是真命题；D．当为平面，为直线时，命题甲、乙都是假命题；参考答案：D2. 已知，且为第二象限角，则（）A、B、C、D、参考答案：A3. 已知集合M＝，N＝，则＝（A）［1,4］（B）（－4,1］（C）［－6,－4）（D）［－6,4）参考答案：B4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域内为单调函数的是（）A．y=B．y=C．y=e x+e﹣x D．y=﹣x|x|参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】对4个选项，分析其奇偶性、单调性，即可得出结论．【解答】解：对于A，函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上单调递增；对于B，函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于C，函数是偶函数，在其定义域内不为单调函数；对于D，y=x|x|=在其定义域内为奇函数且为单调增函数．故选：D．5. （5分）下列命题中正确命题的个数是（）（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y一定减少2个单位；（3）若p且q为假命题，则p，q均为假命题；（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则．A． 2 B． 3 C． 4 D． 5参考答案：A【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，即可判断出正误；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，即可判断出正误；（3）由已知可得：p，q至少有一个为假命题，即可判断出正误；（4）利用命题否定定义即可判断出正误；（5）由正态分布的对称性可得：P（﹣1＜ξ＜0）=，即可判断出正误．解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，而方差不变，因此不正确；（2）在回归直线=1+2x中，x增加1个单位时，y增加2个单位，因此不正确；（3）若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确；（4）命题p：?x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，正确；（5）设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=P0，则P（﹣1＜ξ＜0）==，因此正确．综上真命题的个数为2．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、概率统计的应该知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6. 下列命题中是假命题的是（）A. B.,C.,D.参考答案：B略7. 如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（）A．（30+30）m B．（30+15）m C．（15+30）m D．（15+15）m参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得： =30（+），∴建筑物的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，故选A．【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=( )A．1 B．﹣1 C．2 D．参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．9. 已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a3＝，S3＝，则公比q＝()A. 1或－B. －C. 1D. －1或参考答案：A10. 如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是( )A．B．2 C．0 D．1参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），E（，1），F（x，2）∴=（，0），=（x，2），∴=x=，解得x=1，∴F（1，2）∴=（，1），=（1﹣，2）∴=（1﹣）+1×2=故选：A【点评】本题考查平面向量数量积的运算，建立直角坐标系是解决问题的关键，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在上的奇函数，则常数____,_____参考答案：0；012. 对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。

2019届河南省郑州市高三第二次质量预测数学（文）试题（解析版）一、单选题1．已知集合(){}{}2A |log 31,|02x R x B x R x =∈-≤=∈≤≤，则A B ⋃= ( ) A. []0,3 B. []1,2 C. )[0 ,3 D. []1,3 【答案】C【解析】集合(){}2A |log 31x R x =∈-≤ {}=x|1x<3,≤ {}|02B x R x =∈≤≤， 则)A B [0 ,3⋃=. 故答案为：C. 2．设21iz i=+，则z 的共轭复数为( ) A. 1i + B. 1i - C. 2i + D. 2i - 【答案】B 【解析】211iz i i==++, z 的共轭复数为1i -. 故答案为：B.3．命题“[]21,2,320x x x ∀∈-+≤”的否定为( ) A. []21,2,320x x x ∀∈-+> B. []21,2,320x x x ∀∉-+>C. []20001,2,320x x x ∃-+>D. []20001,2,320x x x ∃∉-+>【答案】C【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选C. 4．已知函数()()3sin 22f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,下列说法错误的是( ) A. 函数()f x 最小正周期是π B. 函数()f x 是偶函数 C. 函数()f x 图像关于04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D. 函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数 【答案】D【解析】函数()3sin 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos2x =,故函数是偶函数，最小正周期为π，当,044x f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 故函数()f x 图像关于04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数，因为函数的减区间为,,2k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故D 不正确.故答案为：D.5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。

2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）已知集合2{|450}A x x x =--<，集合{|22}B x x =-<<．则(A B =I ) A ．{|12}x x -<< B ．{|22}x x -<< C ．{|25}x x << D ．{|12}x x <<2．（5分）已知复数21((1)iz i i -=+为虚数单位），则(z = ) A ．1122i --B ．1122i - C ．1122i -+D ．1122i + 3．（5分）已知命题p ：方程221ax by +=表示双曲线；命题:0q b a <<．命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等差数列{}n a 各项均为正数，12312a a a ++=，12348a a a =g g ，则数列{}n a 的通项公式为( ) A ．2n B ．2n +C ．32n -D ．n5．（5分）函数21x y +=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知1F ，2F 分别为椭圆C 的两个焦点，P 为椭圆上任意一点．若12||||PF PF 的最大值为3，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．12C 6D 27．（5分）如图所示的程序框图，则输出结果为( )A ．2log 6B ．2log 7C ．3D ．2log 98．（5分）已知函数2,1()1,11log x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪-⎩…，则不等式()1f x „的解集为( )A ．(-∞，2]B ．(-∞，0](1⋃，2]C ．[0，2]D ．(-∞，0][1U ，2]9．（5分）将曲线22||||x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ，曲线221x y +=围成的区域记为Ⅱ，曲线221x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，则( ) A ．121p p +>B ．121p p +<C ．121p p +=D ．12p p =10．（5分）第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有( ) A ．150B ．126C ．90D ．5411．（5分）若关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解，则实数a 的值()A ．等于1-B ．等于1C ．等于2D ．不唯一12．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为20π，则三棱柱的体积为( ) A．B ．12C．D ．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 13．（5分）已知实数x ，y 满足线性约束条件21210x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩„……，则23x y -的最小值为 ．14．（5分）已知||1a =r，b =r ，|3|2a b +=r r ，则b r 在a r方向上的投影为 ．15．（5分）将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，得到cos y x =的图象，则ϕ的最小值为 ． 16．（5分）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001)，将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =，)，记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)(21)f f f f +++++⋯+-=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数211()sin sin 222x f x x =+-，ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）求f （A ）的取值范围；（2）若C A >，f （A ）0=，且2sin sin A B =ABC ∆的面积为2，求b 的值． 18．（12分）如图所示，在多面体BC AEFD -中，矩形BCFE 所在平面与直角梯形AEFD 所在平面垂直，//AE DF ，AE EF ⊥，G 为CD 的中点，且1AE BE BC ===，2DF =． （1）求证：//AG 平面BCFE ；（2）求直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值．19．（12分）某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．)20．（12分）已知点G 在抛物线2:4C x y =的准线上，过点G 作抛物线C 的两条切线，切点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． （1）证明：1212x x y y +为定值；（2）当点G 在y 轴上时，过点A 作直线AM ，AN 交抛物线C 于M ，N 两点，满足AM AN ⊥．问：直线MN 是否恒过定点P ，若存在定点，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数2()()2ax f x xlnx a x a R =-+-∈．（1）若函数()f x 有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，k N ∈，2()22g x x x =--，且当2x >时不等式(2)()()k x g x f x -+<恒成立，试求k 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1(4x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数），以原点O 为极点x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 0a ρρθ-+=． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形； （2）曲线1C 与两坐标轴的交点分别为A 、B ，点P 在曲线2C 运动，当曲线1C 与曲线2C 相切时，求PAB ∆面积的最大值． 23．已知函数()|21||1|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()()()g x f x f x =+-，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，求实数k 的取值范围．2019年河南省郑州高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．【解答】解：{|15}A x x =-<<； {|12}A B x x ∴=-<<I ．故选：A ． 【解答】解：21(1)iz i -=+Q ， 2(1)1z i i ∴+=-， 21zi i ∴=-，则2(1)1z i i i -=-=+， 1122z i ∴=--，则1122z i =-+．故选：C ．【解答】解：方程221ax by +=表示双曲线等价于0ab <，即命题:0p ab <， 由0ab <推不出0b a <<，充分性不具备， 由0b a <<能推出0ab <，必要性具备， 故命题p 是命题q 的必要不充分条件， 故选：B ．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12312a a a ++=，可得：2312a =，解得24a =， 又12348a a a =g g ，1312a a ∴=g ，又138a a +=，1a ∴，3a 是方程28120x x -+=的两根，又等差数列{}n a 各项均为正数， 12a ∴=，36a =，2d ∴=故数列{}n a 的通项公式为：22(1)2n a n n =+-=．故选：A ．【解答】解：由()f x 的解析式得()()0f x f x -+=， ()f x ∴是奇函数图象关于原点对称，当1x =时，f （1）1=<，排除A ， 当0x >时，()f x ==，函数在(0,)+∞上单调递减，故可排除B ，D 故选：C ．【解答】解：P 到椭圆C 焦点的最大距离为a c +，最小距离为a c -， 又12||||PF PF 的最大值为3， ∴3a c a c +=-，12e ∴=． 故选：B ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯值，由于2345678log 3log 4log 5log 6log 7log 8log 9S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 234567899log 923456782lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg =⨯⨯⨯⨯⨯⨯==． 故选：D ．【解答】解：当1x …时，()1f x „即为：2log 1x „ 解得12x 剟当1x <时，()1f x „，即为：111x-„ 解得0x „．综上可得，原不等式的解集为(-∞，0][1U ，2] 故选：D ．【解答】解：由方程22||||x y x y +=+，得：22111()()2220,0x y x y ⎧-+-=⎪⎨⎪⎩厖，或者22111()()2220,0x y x y ⎧++-=⎪⎨⎪⎩剠，或者22111()()2220,0x y x y ⎧+++=⎪⎨⎪⎩剟，或者22111()()2220,0x y x y ⎧-++=⎪⎨⎪⎩厔， 曲线22||||x y x y +=+围成的区域Ⅰ、曲线221x y +=围成的区域Ⅱ、四边形ABCD 围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为222()2ABCD S ππ+=+正方形； 区域Ⅱ的面积为21ππ⨯=； 区域Ⅲ的面积2(2)2=；∴由几何概率公式得：12p ππ=+，222p π=+， 故121p p +=． 故选：C ．【解答】解：选一名男记者参加“负重扛机”，剩余的4人分为(2，1，1)一组，再分配另三项工作，故有123343108C C A ⨯⨯=种，选两名男记者参加“负重扛机”，剩余的3分配另三项工作，故有233318C A ⨯=种， 由分类计数原理，可得共有10818126+=种， 故选：B ．【解答】解：令1t x =-，则关于x 的方程|1|2019sin(1)0x a x a -+-+=只有一个实数解等价于关于t 的方程||2019sin 0t a t a ++=只有一个实数解，若0a …，则由sin 1t -…及2019x y =为增函数，得：||02019sin 201910t a t a a a ++-+=>…，方程无解， 故0a <，令||()2019t f t a =+，()sin g t a t =， 则()y f t =在0t =时取最小值1a +， 又函数()y g t =的图象关于点(0,0)对称，当1a =-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有且只有一个交点，此而满足题意， 当1a <-时，两函数()y f t =、()y g t =的图象有两个交点，此而不合题意， 当10a -<<时，两函数()y f t =、()y g t =的图象没有交点，此而不合题意， 所以1a =-为所求， 故选：A ．【解答】解：为三棱柱111ABC A B C -的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同， 所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a ，高为h ，截面圆的半径为r ，球半径为R ，Q 球O 的面积为20π，2420R ππ=，解得5R =，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴222()()()223a h +=，∴3a h =，①又Q 222()()23h R +=，②由①②得23a =，2h =， 三棱柱的体积为23(23)263V =⨯⨯=． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题纸上． 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令23z x y =-，则2133y x z =-，作出直线2:3l y x =，平移直线l ，由图可得，当直线经过点C 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时23z x y =-取得最小值，由2121x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31(,)55C ，23z x y ∴=- 的最小值是21323555⨯-⨯=．故答案为：35．【解答】解：||1a =rQ，b =r，||b =r|3|2a b +=r r，∴22694a a b b ++=rrrr g ，∴12a b =-r r g∴则b r 在a r方向上的投影为：1||2a b a =-r r g r故答案为：12-．【解答】解：将sin()6y x π=-的图象向右平移ϕ个单位后(0)ϕ>，可得sin()6y x πϕ=--的图象；又因为得到cos sin()2y x x π==+的图象，sin()sin()26x x ππϕ∴+=--，∴226k πππϕ=--，k Z ∈，223k πϕπ∴=-，则当1k =时，ϕ取得最小值为43π， 故答案为：43π． 【解答】解：依题意201820182017201602120202022018a =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2018选择0，20182018(2)2f ∴=，2018201820171021120202122017a +=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+⨯=，可以理解为在201812⨯后的2018个数位上，有2017选择0，20182017(21)2f ∴+=，根据计数原理，在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20172共有20172018C 个，同理在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于20162的共有20162018C 个，⋯⋯在2018(2)f ，2018(21)f +，2018(22)f +，⋯，2019(21)f -中等于02的有02018C 个．所以201820182018201900112018201820182018201820182018(2)(21)(22)(21)222(12)3f f f f C C C +++++⋯+-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯=+=．故填：20183．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【解答】解：（1）2111cos sin 1()sin sin )2222224x x x f x x x π-=+-=+-=-． 由题意0A π<<， 则(44A ππ-∈-，3)4π，可得：sin()(4A π-∈，1]． 可得：f （A ）的取值范围为1(2-．（2)04A π-=， 4A k ππ∴-=，k Z ∈， 4A k ππ∴=+，k Z ∈．又A Q 为锐角， 4A π∴=．由余弦定理及三角形的面积得：22221sin 224cos 42a b bc b c a bc ππ=⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪=⎩，解得2b =．方法二：32sin sin()44C C ππ=-+，且C A >，可得2C π=，则ABC ∆为等腰直角三角形，由于：2122b =，所以：2b =．【解答】（1）证明：取CF 的中点H ，连结EH ．H Q 是CF 的中点，G 是CD 的中点．//GH FD ∴，12GH FD =． 又//AE DF ，12AE DF =． //AE GH ∴，AE GH =．∴四边形AGHE 是平行四边形，//AG EH ∴．又AG ⊂/Q 平面EFCB ，EH ⊂平面EFCB ． //AG ∴平面EFCB ．（2）Q 平面BEFC ⊥平面AEFD ，CF EF ⊥，平面AEFD ⋂平面EFCB EF =， CF ∴⊥平面AEFD ．CF EF ∴⊥，CF FD ⊥． //AE DF Q ，AE EF ⊥，EF DF ∴⊥．以F 为原点，分别以FE 、FD 、FC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系F xyz -， 则(1E ，0，0)，(0F ，0，0)，(0D ，2，0)，(0C ，0，1)，(1A ，1，0)，(1B ，0，1)，(0G ，1，1)2，∴(1AG =-u u u r ，0，1)2，(0AE =u u u r ，1-，0)．设平面AGE 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ，则00n AG n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令2z =，得(1n =r ，00，2)． 又(0AB =u u u r ，1-，1)，10cos ,52n AB ∴<>==⨯u u ur r ． ∴直线AB 与平面AGE 所成角的正弦值为10．【解答】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率12p >．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是： “甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：2212(1)p p p p =+-，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜， 而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：323232234(1)(1)p p C p p C p p =+-+-．而2322221(615123)3(1)(21)p p p p p p p p p -=-+-=--． 12p >Q ，21p p ∴>，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大． ∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解答】解：（1）法1：抛物线2:4C x y =的准线为:1l y =-，故可设点(,1)G a -， 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ． 因为点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 在抛物线C 上，所以22112211,44y x y x ==． 所以直线GA 的方程为211111()42y x x x x -=-．因为点(,1)G a -，在直线GA 上，所以2111111()42x x a x --=-，即211240x ax --=．同理，可知222240x ax --=． 所以1x ，2x 是方程2240x ax --=的两个根，所以124x x =-． 又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． 法2：设过点(,1)G a -，且与抛物线C 相切的切线方程为1()y k x a +=-， 由21(),4,y k x a x y +=-⎧⎨=⎩，消去y 得24440x kx ka -++=， 由△2164(44)0k ak =-+=，化简得210k ak --=，所以121k k =-． 由24x y =，得214y x =，所以12y x '=．所以直线GA 的斜率为112x ．直线GB 的斜率为2212k x =． 所以12114x x =-，即124x x =-．又222121212111()14416y y x x x x ===g ，所以12123x x y y +=-为定值． （2）存在，由（1）知2212124x x x x =-=-=-． 不妨设12x x <，则12x =-，22x =，即(2,1)A -，(2,1)B ． 设设(M M x ，)M y ，(N N x ，)N y ．则2112244M x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得111()()4()M M M x x x x y y -+=-，所以直线AM 的斜率为1244M M AM x x x k +-==，同理可得24N AN x k -=， 因为AM MN ⊥，所以22144N M AM AN x x k k --==-g g ， 整理得2()200M N M N x x x x -++=g ，又，①又因为因为224,4M M NN x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差，可得()()4()M N M N M N x x x x y y -+=-，从而可得直线MN 的斜率为4M NMN x x k +=， 所以直线MN 的方程为2()44M N MM x x x y x x +-=-，化简可得4()M N M N y x x x x x =+-，将①代入上式得4()2()20M N M N y x x x x x =+-++， 整理得4(5)()(2)M N y x x x -=+-．所以直线MN 过定点(2,5)，即P 点的坐标为(2,5)． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 【解答】解：（1）由题意知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x lnx ax '=-，令()0f x '=，可得0lnx ax -=，lnx a x∴=，令()lnxh x x =，则由题可知直线y a =与函数()h x 的图象有两个不同的交点， 21()lnxh x x -'=，令()0h x '=，得x e =， 可知()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()max h x h =（e ）1e=， 当x 趋向于+∞时，()h x 趋向于零， 故实数a 的取值范围为1(0,)e．（2）当2a =时，2()2f x xlnx x x =-+-， (2)()()k x g x f x -+<，即(2)k x xlnx x -<+，因为2x >，所以2xlnx xk x +<-， 令()(2)2xlnx xF x x x +=>-， 则242()(2)x lnxF x x --'=-，令()42(2)m x x lnx x =-->， 则2()10m x x'=->， 所以()m x 在(2,)+∞上单调递增，m （8）242840ln lne =-<-=，3(10)6210620m ln lne =->-=， 故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ， 即00420x lnx --=，故当02x x <<时，()0m x <，即()0F x '<， 当0x x <时，()0F x '>，所以0000000004(1)2()()222x x x lnx x x F x min F x x x -++====--， 所以02x k <，因为0(8,10)x ∈，所以0(4,5)2x∈， 所以k 的最大值为4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．【解答】解（1）曲线1C 化为普通方程为30x y ++=，是一条直线，对于曲线2C ：由cos x ρθ=及222x y ρ+=代入曲线2C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2220x y x a +-+=，即为22(1)1x y a -+=-．当1a <，曲线2C 是以(1,0)当1a =，曲线2C 表示一点(1,0)． 当1a >，曲线2C 不存在．（2）由（1）知曲线1C 化为普通方程为30x y ++=， 令0x =，3y =-；0y =，3x =-，所以(3,0)A -，(0,3)B -， 又由题可知1a <，曲线222:(1)1C x y a -+=-，=解得7a =-，此时222:(1)8C x y -+=，所以11()||221222PAB max S AB R ∆==⨯⨯=g ， 所以PAB ∆面积的最大值为12．【解答】解：（1）依题意得13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧--⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，于是得1232x x ⎧-⎪⎨⎪->⎩„或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或132x x ⎧⎨>⎩…； 解得23x <-，或0x >；即不等式()2f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >；（2）()()()|1||1|(|21||21|)|(1)(1)||(21)(21)|4g x f x f x x x x x x x x x =+-=-+++++---+++--=…，当且仅当(1)(1)0(21)(21)0x x x x -+⎧⎨-+⎩„„，即1[2x ∈-，1]2时取等号，若对于任意的x R ∈，不等式|1|()k g x -<恒成立，则|1|()4min k g x -<=， 所以414k -<-<，解得35k -<<，即实数k 的取值范围为(3,5)-．。

2019年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．（5分）若复数2b ii++为纯虚数，则实数b 等于( ) A ．3B ．12- C ．13D ．1-2．（5分）已知全集U R =，2{|(1)}A x y ln x ==-，2{|4}x B y y -==，则()(RAB =⋂ð)A ．(1,0)-B ．[0，1)C ．(0,1)D ．(1-，0]3．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项求值比较先进的算法，已知20182017()2019201821f x x x x =++⋯++，程序框图设计的是()f x 的值，在M处应填的执行语句是( )A ．n i =B ．2019n i =-C ．1n i =+D ．2018n i =-4．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为()（附2:?(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=„，(22)0.9545P X μσμσ-<+=„．)A ．906B ．2718C ．339.75D ．34135．（5分）将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，下面四个结论正确的是( )A ．函数()g x 在[π，2]π上的最大值为1B ．将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 C ．点(,0)3π是函数()g x 图象的一个对称中心 D ．函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数 6．（5分）设变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„…„，则目标函数31()3x y z +=的最大值为( )A ．111()3B ．31()3C ．3D ．47．（5分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2CB =，4CA =，P 在边AC 的中线BD 上，则CP BP u u u r u u u r g 的最小值为( )A ．12-B ．0C ．4D ．1-8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为()A 455πB ．1355πC ．1805πD ．905π9．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数123()12x x f x ++=+，则函数[()]y f x =的值域为( )A ．1(,3)2B ．(0，2]C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线上存在点P 使1221sin 2sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．317317(-+ B ．(1，2)(2⋃37+C ．37)+ D ．(1，2)(2⋃317)+11．（5分）在ABC ∆中，已知23AB =26BC =45ABC ∠=︒，D 是边AC 上的一点，将ABC ∆沿BD 折叠，得到三棱锥A BCD -，若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围是( )A ．(0,23)B ．(3,6)C ．6,23)D ．(23,26)12．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与抛物线C 分别交于A ，B两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点(5,0)T ，则(AOB S ∆=)A ．22B ．3C ．6D ．36二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为 ．14．（5分）已知43cos()cos 3παα-+=，则cos()6πα-= ．15．（5分）二项式63()ax +的展开式中5x 的系数为3，则0a xdx =⎰ ．16．（5分）已知函数21()(,)2x f x ae x b a b R =--∈，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且212x x …，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）已知数列{}n a 中，11a =，0n a >，前n 项和为n S ，若*1(n n n a S S n N -=+∈，且2)n …． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记2n an n c a =g ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，等腰直角ABC ∆中，90B ∠=︒，平面ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=︒，//AF BE ．（Ⅰ）求证：BC BF ⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的正弦值．19．（12分）目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其它省份新高考改革的实施安排，教育部部长在十九大上做出明确表态：到2020年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）将列联表填写完整，并通过计算判定能否有99.9%把握认为选历史是否与性别有关？（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量0,21,2ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案不同名男生选考方案相同，求ξ的分布列及数学期望E ξ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+点A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点满足OM AM ON +=u u u u r u u u u r u u u r，设动点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-，求||OT 的取值范围．21．（12分）已知函数21()()f x x x ln ax x =+-，322()(1)23g x x a x ax b =+--+，a ，b R ∈． （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若()()f x g x „恒成立，求2b a -的最小值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，直线l 的参数方程为22(x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．（1）若点P 的极坐标为(2,)π，求||||PM PN g的值； （2）求曲线C 的内接矩形周长的最大值． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1|||(0)f x ax x a a =++->，2()g x x x =-．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()()g x f x …的解集； （Ⅱ）已知()2f x …恒成立，求a 的取值范围．2019年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分． 【解答】解：Q()(2)2122(2)(2)55b i b i i b bi i i i ++-+-==+++-为纯虚数， ∴21020b b +=⎧⎨-≠⎩，即12b =-．故选：B ．【解答】解：{|11}A x x =-<<Q ，{|0}B y y =>；{|0}R B y y ∴=„ð； ()(1R A B ∴=-⋂ð，0]．故选：D ．【解答】解：由题意，n 的值为多项式的系数，由2019，2018，2017⋯直到1， 由程序框图可知，处理框处应该填入2019n i =-． 故选：B ．【解答】解：~(2,4)X N -Q ，∴阴影部分的面积(02)S P X =剟11[(62)(40)](0.95450.6827)0.135922P x P x =---=-=剟剟， 则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P =∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.135910000339.754⨯=．故选：C ．【解答】解：将函数()2sin f x x =的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，可得2sin()6y x π=+的图象，再把横坐标变为原来的2倍，得到1()2sin()26g x x π=+的图象，在[π，2]π上，2[263x ππ+∈，7]6π，1()2sin()26g x x π=+A 错误； 将函数()g x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应函数的解析式为12sin()212y x π=+，它不是奇函数，图象不 关于原点对称，故B 错误； 当3x π=时，()30g x =≠，故点(,0)3π不是函数()g x 图象的一个对称中心，故C 错误；在区间2[0,]3π上，[266x ππ+∈，]2π，故函数()g x 在区间2[0,]3π上为增函数，故D 正确，故选：D ．【解答】解：作出变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„…„对应的平面区域如图，目标函数31()3x yz +=的最大值，就是求解3u x y =+，得3y x u =-+，平移直线3y x u =-+，由图象可知当直线3y x u =-+，经过点A 时，直线3y x u =-+的截距最小， 此时u 最小．由21y x y =⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A -，此时z 的最大值3111()()333x yz +-===． 故选：C ．【解答】解：由题意，画图如下：可设BP BD λ=u u u r u u u r ，Q BD CD CB =-u u u r u u u r u u u r ，||2,||2CD CB ==u u u r u u u r，,0COS CD CB <>=u u u r u u u r ．∴()BP BD CD CB λλ==-u u u r u u u r u u u r u u u r，()(1)CP CB BP CB CD CB CD CB λλλ=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．∴[(1)]()CP BP CD CB CD CB λλλ=+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g222||(1)||CD CB λλλ=--u u u r u u u r244(1)λλλ=--284λλ=-．由二次函数的性质，可知：当14λ=时，CP BP u u u r u u u r g 取得最小值12-．故选：A ．【解答】解：根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABC 的三棱锥，如图所示；把三棱锥补成一个长方体，如图所示；其中32AC AB ==，6BC =，AC AB ∴⊥；三棱锥P ABC -的外接球即为以AB 、AC 、AP 为共顶点的长方体的外接球，则该外接球的直径为2222(2)1818945R AB AC AP =++=++=，R ∴=， ∴外接球的体积为343V π==．故选：A ．【解答】解：因为123()12x x f x ++=+，所以11112615()(1)212212x x x f x ++++==+++， 又112(1,)x ++∈+∞， 所以1()(2f x ∈，3)， 由高斯函数的定义可得：函数[()]y f x =的值域为0,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，故选：C ．【解答】解：当P 在双曲线右支上运动时，设0(P x ，0)y ，则0x a > 由正弦定理可122211sin ||2sin ||PF F PF aPF F PF c∠==∠， 由双曲线的第二定义可得10||PF a ex =+，得20||PF ex a =-∴002ex a a ex ac-=+，解得2022a acx a ce ae+=>-， 22a c ce ae ∴+>-，两边同除以a ，可得222e ee +>-，即2320e e --<，解得1e <<， 又20ce ae ->，解得2e >，故2e < 当P 在双曲线左支上运动时，根据双曲线的定义得，12||||2PF PF a -=-， 由正弦定理可122211sin ||2sin ||PF F PF aPF F PF c∠==∠，解得12||2ac PF a c=-，224||2a PF a c =-，所以20a c ->，所以2e <，△12PF F 中，1212||||||PF PF F F +>，即224222ac a c a c a c+>--， 整理得2220a ac c -+>，所以220e e -+>，又213()022e -+>恒成立且1e >，故12e <<，综上，则该双曲线的离心率的取值范围是(1，2)(2⋃，317)+，故选：D ．【解答】解：将ABD ∆沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -，且点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，如图2，AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥，过M 作MN BD ⊥，连接AN ，则AN BD ⊥， 因此，折叠前在图1中，AM BD ⊥，垂足为N ．在图1中，过A 作1AM BC ⊥于1M ，运动点D ，当D 点与C 点无限接近时，折痕BD 接近BC ，此时M 与点1M 无限接近；在图2中，由于AB 是Rt ABM ∆的斜边，BM 是直角边，BM AB ∴<． 由此可得：1BM BM AB <<，ABC ∆Q 中，23AB =26BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理可得23AC =221(23)(6)6BM ∴=-∴623BM <<，由BM x =可得x 的取值范围为(623)． 故选：C ．【解答】解：如图所示，(1,0)F ．设直线l 的方程为：(1)y k x =-，(0)k ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(E x ，0)y ．线段AB 的垂直平分线的方程为：1(5)y x k=--．联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，化为：2440ky y k --=， 124y y k∴+=，124y y =-， 01212()2y y y k ∴=+=，002211y x k k=+=+，把2(E k ，221)k+代入线段AB 的垂直平分线的方程：1(5)y x k =--．可得：2212(15)k k k =-+-，解得：21k =．21212122111161||()41622222OAB S y y y y y y k ∆=⨯⨯-=+-=+=． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【解答】解：Q 等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，22a =，37S =， ∴213132(1)71a a q a q S q ==⎧⎪-⎨==⎪-⎩， 解得11a =，2q =，44511216a a q ∴==⨯=．故答案为：16．【解答】解：cos()cos 3παα-+=，可得cos cossin sincos 33ππααα++即：3cos 2αα=cos()6πα-， 4cos()65πα-=．故答案为：45．【解答】解：二项式6(ax 的展开式中5x的系数为156C a =g 1a ∴=，∴3120022|33x ===⎰⎰g ， 故答案为：23． 【解答】解：Q 函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，()0x f x ae x ∴∴'=-=有两个零点1x ，2x ，∴11x ae x =，22x aex =，两式作比，得221121x x x x x e e x e -==，令21x x t -=，①，则21t x e x =，② ∴21t x x e =，代入①，得：11t tx e =-， 由②，得212t x e x =…，2t ln ∴…， 令()1t t g t e =-，2t ln …，则21()(1)t tt e te g t e --'=-，令()1t t h t e te =--，则()0t h t te '=-<，()h t ∴单调递减，()(2)1220h t h ln ln ∴=-<„， ()g t ∴单调递减，()(2)2g t g ln ln ∴=„，即12x ln „，11x x a e =Q ，令()x x x e μ=，则1()0x xx e μ-'=>， ()x μ∴在2x ln „上单调递增，2()2ln x μ∴„，22ln a ∴„， ()x f x ae x '=-Q 有两个零点1x ，2x ，()x μ在R 上与y a =有两个交点，Q 1()x xx eμ-'=，在(,1)-∞上，()0x μ'>，()x μ单调递增，在(1,)+∞上，()0x μ'<，()x μ单调递减，()x μ∴的最大值为μ（1）1e=，大致图象为：10a e ∴<<，Q 10.368e ≈，20.3472ln ≈，202ln a ∴<„．∴实数a 的取值范围是(0，2]2ln ． 故答案为：(0，2]2ln ． 三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程． 【解答】解：（Ⅰ）数列{}n a 中，1n n n a S S -=-，①1n n n a S S -=+②①÷②11n n S S -=，则数列1为首项，公差为1的等差数列，则1(1)n n =+-=， 则2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n …时，121n n n a S S n -=-=-，11a =也符合该式，则21n a n =-；（Ⅱ）有（Ⅰ）的结论，21n a n =-，则21(21)2n n C n -=-⨯；则3521123252(21)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⨯，③；则357214123252(21)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⨯，④；③-④可得：35212121105322(222)(21)2(2)233n n n n T n n -++-=+++⋯⋯+--⨯=-+-⨯， 变形可得：21(65)2109n n n T +-⨯+=．【解答】证明：（1）Q 等腰直角ABC ∆中，90B ∠=︒，BC AB ∴⊥，Q 平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ⋂平面ABC AB =，BC ∴⊥平面ABEF ，BF ⊂Q 平面ABEF ，BC BF ∴⊥．解：（2）由（1）知BC ⊥平面ABEF ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 设22AF AB BE ===，60FAB ∠=︒Q ，//AF BE ．(0B ∴，0，0)，(0C ，2，0)，3(2F ，(1E -，0，(1EC =u u u r ，2，，5(,0,2EF =u u u r ，(0BC =u u u r ，2，0)，设平面CEF 的一个法向量(n x =r ，y ，)z ，则00n EC n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，即2305302x y zx z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3x =，得(3,23n =r ，5)， 设平面BCE 的一个法向量(m x =r，y ，)z ，则0m EC m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，即23020x y z y ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩，取3x =，得(3,0,1)m =r ， 设二面角F CE B --的平面角为θ．则10|cos |||||||2210m n m n θ===⨯r r g r r g ， 15sin θ∴=， ∴二面角F CE B --的正弦值为15．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有28368403923660⨯⨯=人． （Ⅱ）列联表为：选历史 不选历史 总计 选考方案确定的男生 4 12 16 选考方案确定的女生16 4 20 总计20 1636由列联表中数据得2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22236(441216)361611108910.8910.8282016201620162016100⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，所以由99%的把握认为选历史与性别有关．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物：有4人选择物理、化学和历史：有2人选择物理、化学和地理：有2人选择物理、化学和政治，由已知ξ的取值为0，1．222284222163(1)10C C C C P C ξ+++===，7(0)1(1)10P P ξξ==-==，（或1111118844222167(0))10C C C C C C P C ξ++=== 所以的分布列为01101010E ξ=⨯+⨯=． 【解答】解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，0(A x ，0)y ，由于AN x ⊥轴于点N ，0(N x ∴，0)，又圆2221:(0)C x y r r +=>与直线0:l y x =+2r ∴==，则圆221:4C x y +=．由题意，OM AM ON +=u r u u u u r u u u r ，得(x ，0)(y x x +-，00)(y y x -=，0)， ∴000220x x x y y -=⎧⎨-=⎩，即002x xy y =⎧⎨=⎩，又点A 为圆1C 上的动点，2244x y ∴+=，即2214x y +=；（Ⅱ）当PQ 的斜率不存在时，设直线1:2OPy x =，不妨取点P ，则Q ，T ，||OT ∴=当PQ 的斜率存在时，设直线:PQ y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，可得222(14)8440k x kmx m +++-=． ∴122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+．Q 1214k k =-，121240y y x x ∴+=．22121212124()()(14)4()4kx m kx m x x k x x km x x m ∴+++=++++2222232444014k m m m k=--+=+． 化简得：22214m k =+，∴212m …．△2222222644(41)(44)16(41)160k m k m k m m =-+-=+-=>． 设3(T x ，3)y ，则12322x x k x m +-==，3312y kx m m =+=． ∴2222332224131||2[442k OT x y m m m =+=+=-∈，2)，||OT ∴∈．综上，||OT 的取值范围是． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是R ，()(22)()g x x x a '=+-，令()0g x '=，解得：1x =-或x a =，①1a <-时，令()0g x '>，解得：1x >-或x a <， 令()0g x '<，解得：1a x <<-，故()g x 在(,)a -∞递增，在(,1)a -递减，在(1,)-+∞递增，②1a =-时，()0g x '…，()g x 在R 递增， ③当1a >-时，令()0g x '>，解得：x a >或1x <-， 令()0g x '<，解得：1x a -<<故()g x 在(,1)-∞-递增，在(1,)a -递减，在(,)a +∞递增；（Ⅱ）()()()()0f x g x g x f x ⇔-剠， 设()()()F x g x f x =-，则221()(21)()22(1)(21)(1)F x x lnx x x x a x a x lnx x a x'=+++++--=+++-，(0,)x ∈+∞Q ，令()0F x '=，得10lnx x a ++-=，设()1h x lnx x a =++-，由于()h x 在(0,)+∞递增，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 故存在唯一0(0,)x ∈+∞，使得0()0h x =，即001a x lnx =++， 当00x x <<时，()0F x '<，故()F x 在0(0,)x 递减， 当0x x >时，()0F x '>，()F x 在0(x ，)+∞递增，当(0,)x ∈+∞时，23200000002()()()(1)3min F x F x x x lnx x a x ax b ==+++--+ 23200000000002()()(1)3x x lnx x x lnx x x lnx x b =+++---+++3200013x x x b =---+， ()()f x g x Q „恒成立，故320001()03min F x x x x b =---+…， 即3200013b x x x ++…，故3232000000011222233b a x x x a x x x lnx -++-=+---…，设321()223h x x x x lnx =+---，(0,)x ∈+∞，则2(1)(32)()x x x h x x-++'=，令()0h x '=，解得：1x =，故()h x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， 故()min h x h =（1）2=-，故01x =即0012a x lnx =++=，320001733b x x x =++=时，5(2)3min b a -=-． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=，转换为直角坐标方程为：221124x y +=． 点P 的极坐标为(2,)π， 转换为直角坐标为(2,0)-．把直线l的参数方程为22(2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．代入椭圆的方程为：2140(t t -=和2t 为A 、B 对应的参数）所以：124t t =-g． 故：12||||||4PM PN t t ==gg （2）由椭圆的直角坐标方程转换为,2sin )θθ，所以：以A为顶点的内接矩形的周长为2sin )16sin()(0)32ππθθθθ+=+<< 所以：当6πθ=时，周长的最大值为16． [选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（1）当1a =时，21()()11x g x f x x x x x -⎧⇔⎨----+⎩„……或2112x x x -<<⎧⎨-⎩…或2111x x x x x ⎧⎨-++-⎩……， 解得1x -„或3x …，所以原不等式的解集为{|1x x -„或3}x …（2）1(1)1,1()(1)1,(1)1,a x a x a f x a x a x a a a x a x a ⎧-+-+-⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪++-⎪⎪⎩„…， 当01a <„时，()min f x f =（a ）212a =+…，1a =； 当1a >时，11()()2max f x f a a a=-=+…，1a >， 综上：[1a ∈，)+∞。