河南省郑州市2020届高三数学第二次质量检测试题 文(含解析)

大象联考 2020年河南省普通高中高考质量测评（二）数学（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2.全部答案在答题卡上完成，答丰本试题上无效3.回答选择题时，选出每小题答案后，用3B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 参考公式锥体的体积公式：13V Sh =（其中为S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合{}2|log 1A x x =<，{}2|0B x x x =->，则AB =（ ）A. {|12x x <<}B. {|2x x <}C. {|12x x ≤≤}D.{|14x x ≤<} 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式2log 1x <和20x x ->的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案. 【详解】由2log 1x <，得02x <<，故{|02}A x x =<<， 由20x x ->，得1x >或0x <，故{|1B x x =>或0}x <， 所以，{|12}A B x x =<<.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及对数不等式和一元二次不等式的求解. 2. 已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A. 13 2i+B.132i-C.32i+D.32i-【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算，即可得答案.【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 3. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合下图，下列说法正确的是（）A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】ABD【解析】【分析】本题结合图形即可得出结果．【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．故选：ABD．【点睛】本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 4. 已知角θ的终边过点()3,4-，则()cos πθ-=（ ） A. 45-B.45C.35D.35【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角θ的终边过点()3,4-， 所以3cos 5θ=-，3cos()cos 5πθθ-=-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数定义，诱导公式，属于容易题.5. 若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则p =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为()),，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 2p=，解得4p =， 故选：C.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题.6. 已知函数()xf x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案.【详解】∵()1xf x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7. 函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.8. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，2AD =，3BC =，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A. 3AG EF =，且AG 与EF 平行B. 3AG EF =，且AG 与EF 相交C. 2AG EF =，且AG 与EF 异面D. 2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D 【解析】 【分析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，通过证明四边形ADHG 为平行四边形，可得AG DH //且AG DH =，由在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，可得EF DH //且12EF DH =，综上，即可得到本题答案.【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在PBC ∆中，23PG PH PB PC ==，所以GH BC //，223GH BC ==，又因为AD BC //且2AD =，所以GH AD //，且GH AD =，所以四边形ADHG 为平行四边形，所以AG DH //，且AG DH =.在PHD ∆中，,E F 分别为PD 和PH的中点，所以EF DH //，且12EF DH =，所以EF AG //，且12EF AG =，即2AG EF =. 故选：D【点睛】本题主要考查空间中两直线的位置关系及大小关系，数形结合思想的应用是解决此题的关键.9. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A. 20202021 B.20182020 C. 20182019D. 20212020【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式及728S =，可得4a 的值.代入22a =由等差数列通项公式，即可求得首项与公差，进而得数列{}n a 的通项公式.结合裂项求和法即得数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，728S =， 由等差数列前n 项和公式可得74728S a == 所以44a =，结合22a =，由等差数列通项公式可得4121342a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，由等差数列通项公式可得()111n a n n =+-⨯=， 则()1111n n a a n n +=+.所以122334202020211111a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+ 111112233420202021=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+⋅⋅⋅+-20202021=. 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质应用，等差数列通项公式的求法，裂项求和的应用，属于基础题.10. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可.【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ．【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.11. 现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A.33B.36C.324D.348【答案】B 【解析】 【分析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且3,1,2AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， 所以1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12. 设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A. 136ω=B. 116ω=C. 74ω=D. 34ω=【答案】A 【解析】 【分析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ-<-， 所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A. 故选：A.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若||3a =，||2b =，237a b +=，则a 与 b 的夹角为______________. 【答案】3π 【解析】【分析】由222|2|44a b a a b b +=+⋅+及||||cos a b a b θ⋅=⋅，即可得到本题答案. 【详解】设a与b的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，得1cos 2θ=，所以3πθ=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查利用向量的模的计算公式求向量的夹角，属基础题. 14. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若数列{S n ﹣2a 1}也为等比数列，则43S S =_____ 【答案】1514【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，根据数列{S n ﹣2a 1}为等比数列得到﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，解得q 12=，再计算43S S 得到答案.【详解】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，对于等比数列{S n ﹣2a 1}，其前三项为：﹣a 1，a 2﹣a 1，a 3+a 2﹣a 1，则有（﹣a 1）（a 3+a 2﹣a 1）＝（a 2﹣a 1）2，变形可得：﹣（q 2+q ﹣1）＝（q ﹣1）2，解可得：q 12=或0（舍），则q 12=，则()()414433311115111411a q S q q S q a q q---===---； 故答案为：1514． 【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.15. 某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100克，次品重110 克.现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品），如果将5袋产品以1-5编号，第i 袋取出i 个产品（i =1，2，3，4，5），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ,若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =__________克；若次品所在袋子的编号是n ,此时的重量y =_________克．【答案】 (1). 1520 (2). 150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈【解析】 【分析】按照题意，可得从5个袋子中取得的总个数及第2个袋子中取的个数，进而确定总质量；再写出次品是第n 个时的个数及对应解析式即可.【详解】第1袋中取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共15个.若次品从第2袋中取，则共有13个正品，2个次品，所以总质量为1001311021520y =⨯+⨯=；若次品是第n 袋中取，则15个产品中共有次品n 个，正品15n -， 则()10015110150010y n n n =⨯-+⨯=+，{}1,2,3,4,5n ∈故答案为：1520；150010n +,{}1,2,3,4,5n ∈【点睛】本题考查了实际问题中函数的应用，属于基础题.16. 已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠ 【解析】 【分析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠.【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2）32114【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c B C b =可求．【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以27b =，由正弦定理可得，sin 321sin c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18. “不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(]12,16内的人数为92.（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(]16,20，(]20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率. 【答案】（1）13.64（2）25【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；（2）用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A ，列出基本事件，根据古典概型计算概率即可.【详解】（1）由已知可得，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=， 所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以922000.11504n ==⨯.故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=， 参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A.从这5人中选取3人的事件空间为：{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况. 故42105P ==. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题. 19. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题.（i ）证明：//EF 平面PAQ ； （ii ）求三棱锥A OEF -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）427【解析】 【分析】（1）由PC PD ⊥，AD PC ⊥可得PC ⊥平面PAD ，即可证明；（2）（i ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，利用平行线分线段成比例可得//EF MN ，即可得//EF AQ 得证； （ii ）根据A EOF E AOF V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为ABCD 是轴截面， 所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径， 所以PC PD ⊥， 又ADPD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ， 故平面PAD ⊥平面PBC（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==， 所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ， 所以//EF 平面PAQ . （ii ）因为PO ⊥平面ABO ， 所以PO BO ⊥， 又AO BO ⊥，AOPO O =，所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高. 又22233EF BO ==1112223323AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=， 所以112224||3327A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==⋅==. 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属于中档题.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，且过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，求证2ABGF 为定值. 【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；（2）由题意设直线AB 为1x my =+，联立椭圆方程可求||AB ，求出ABQ ∆外接圆圆心21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，计算2GF ，化简即可证明2AB GF 为定值.【详解】（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆方程22221x y a b+=得291414b+=，解得b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212212134m AB y y m +=-=-+.因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++， 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21. 已知函数()2(12)ln a f x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a 时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<， 要证1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-. 因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-. 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】 【分析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案.【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23. 已知函数()|1||24|f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma nb +=，求23a b +的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-.综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。

河南省郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设函数29y x ＝－的定义域为A ，函数y ＝ln （3－x ）的定义域为B ，则A ∩B ＝ A ．（－∞，3） B ．（－8，－3） C ．{3} D ．[－3，3） 2．已知复数z ＝a －i （a ∈R ），若8z z ＋＝，则复数z ＝A ．4＋iB ．4－iC ．－4＋iD ．－4－i3．已知命题p ：x ∀＞0，则3x ＞1；命题q ：若a ＜b ，则a 2＜b 2，下列命题为真命题的是 A ．p ∧q B ．p ∧q ⌝ C ．p ⌝∧q D ．p ⌝∧q ⌝ 4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β 5．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A ．20B ．21C ．20.5D ．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是A ．（2，＋∞）B ．（2，4]C ．（4，10]D ．（4，＋∞）7．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ·BC 的值为A ．－58 B ．18 C ．14D ．118 8．已知双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线3x －y ＋5＝0垂直，则双曲线的离心率为A ．10B ．10C ．3D ．1039．函数()224x x f x ＝－的图象大致为的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等．记区域A 为不平等区域，a 表示其面积；S 为△OKL 的面积．将aGini S＝，称为基尼系数．对于下列说法： ①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y ＝f （x ），则对x ∀∈（0，1），均有()f x x＞1； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为211y x ＝－－（x ∈[0，1]），则12Gini π＝－； 其中正确的是：A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③11．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1—BC 1D 内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为 A ．86π B ．36π C ．323π D ．646π 12．已知函数()2f x xπ＝－，g （x ）＝x ·cosx －sinx ，当x ∈[－4π，4π]且x ≠0时，方程f （x ）＝g （x ）根的个数是A ．5B ．6C ．7D ．8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f （x ）＝（m 2－3m ＋3）x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_________． 14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆（x －2）2＋y 2＝2有公共点的概率为___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝3，()3sin 3cos c A A b ＝＋， 则△ABC 的面积的最大值为_________．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4．5％，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3．27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有________．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50％ ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5％三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17．（12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2n ＋2n －1． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）若11n n n b a a ＋＝，求数列{n b }的前n 项和为n T ．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某农产品近几年的产量统计如表：（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a ＝＋； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．19．（12分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点． （Ⅰ）求证：B 1C ∥平面A 1BD；（Ⅱ）若∠A 1AB ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BB 1，AC ＝2，BC ＝1，求三棱锥C —AA 1B 的体积．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b＋＝（a ＞b ＞0）的短轴长为，离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线l 平行于直线by x a＝，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若∠AOB 为钝 角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围． 21．（12分）已知函数()ln x f x x a ＝＋（a ∈R ），曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为1y e＝． （Ⅰ）求实数a 的值，并求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x ＞0时，f （x ）≤x －1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2sin a ρθ＝（a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为3143x t y t ⎧⎨⎩＝＋，＝＋（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且｜AB．求实数a 的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜－a ｜x －1｜． （Ⅰ）当a ＝－2时，解不等式f （x ）＞5； （Ⅱ）若f （x ）≤a ｜x ＋3｜，求a 的最小值．2020年高中毕业年级第二次质量预测文科数学 评分参考一、选择题：1.D;2.B;3.B;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.D; 10.B; 11.B; 12.D. 二、填空题： 13.2; 14.;12716.1,2.3. 三、解答题：17.解：（1）当1=n 时，.211==S a ………………………1分 当2≥n 时，()()()[].12112112221+=--+---+=-=-n n n n n S S a n n n…3分而11221+⨯≠=a ， 所以数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥+==.2,12,1,2n n n a n…………………………5分（2）当1=n 时，101521a a 1b 211=⨯==， …………………………6分 当2≥n 时，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=3211212132121n n n n b n ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==.232112121,1,101n n n n b n ，…………………………8分当1=n 时，10111==b T ， …………………………9分 当2≥n 时，n n b b b b T +⋅⋅⋅+++=321⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=3211219171715121101n n .3020143215121101++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=n n n……………………………10分 又301201141011+⨯+⨯==T 适合，所以.302014++=n n T n……………………………12分 18.解：（1）由题意可知：,5.36654321=+++++=x………………………………1分764.72.71.777.66.6=+++++=y ， ………………………………2分()()()(),5.175.25.15.05.05.15.2222222612=+++-+-+-=-∑=i ix x…………4分所以()()()，16.05.178.2ˆ121==---=∑∑==ni ini iix x yyx x b…………………………6分又,44.65.316.07ˆˆ=⨯-=-=x b y a…………………………8分故y 关于x 的线性回归方程为.44.616.0ˆ+=x y…………………………9分 （2）由（1)可得，当年份为2020年时，年份代码,7=x ，此时.56.744.6716.0yˆ=+⨯=， …………………………11分 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨. ………………12分 19.解：（1）连结1AB 交B A 1于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以C B OD 1//，…………………2分 又⊂OD 平面BD A 1，C B 1⊄平面BD A 1,所以//1C B 平面BD A 1. ………………………………5分 （2）,60ACB ,1BC ,2AC=∠==,3ACB COS BC AC 2BC AC AB 222=∠⋅⋅-+=∴.3AB =∴, ……………6分 .,222BC AB BC AB AC ⊥∴+=∴又 平面B B AA 11⊥平面ABC ，平面 B B AA 11平面AB ABC =,∴⊥BC 平面B B AA 11. ………………………………8分 601=∠AB A ,.3AA ,AA BB AB 111=∴==.433AB A sin AA AB 21S 11AB A 1=∠⋅⋅⋅=∴∆……………………………10分 .4343331BC S 31V AB A AB A C 11=⨯=⋅=∴∆- ………………………12分20.解：（1）由题意可得222=b ，所以2=b ， ………………1分32b c ，解得22=a ， ……………………………3分所以椭圆C 的标准方程为.12822=+y x……………………………5分 （2）由于直线l 平行于直线x a b y =，即x y 21=，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为()021≠+=n n x y . ……………………………6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1282122y x n,x y 得042222=-++n nx x ， 因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，所以()()0424222>--=∆n n ，解得2n 2<<-. ……………………………8分设()()2211,,,y x B y x A ，则,221n x x -=+.42221-=n x xAOB ∠为钝角等价于0<⋅OB OA ,且0≠n ， ……………………………9分由⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++=+=⋅n x n x x x y y x x OB OA 212121212121 ()()()02242452452222121<+-+-=+++=n n nn n x x n x x ，即22<n ，且0≠n ， 直线l 在y 轴上的截距n 的取值范围()().2,00,2 - 所以直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围()().22,00,22-………………12分21. 解：（1）()()()2ln ln a x xx ax x f a x x x f +-+='∴+=， ， ()()2a e e ae f +='∴， ………………………3分 又曲线()x f y =在点()()e f e ,处的切线方程为ey 1=，()0='e f ，即.0=a ()()()2ln 10ln xxx f x a x x x f -='∴>+=， ， 令()0>'x f ，得0ln 1>-x ，即;0e x << 令()0<'x f ，得0ln 1<-x ，即e x >，所以()x f 的单调增区间是()e ,0，单调减区间是().,+∞e …………………5分（2）当0>x 时，要证()，1-≤x x f 即证0ln 2≤+-x x x ， 令()(),0ln 2>+-=x x x x x g则()()(),121211212xx x x x x x x x g +--=-+=+-='………………………9分 当10<<x 时，(),0>'x g ()x g 单调递增； 当1>x 时，(),0<'x g ()x g 单调递减，所以()(),01=≤g x g 即当0>x 时，().1-≤x x f …………………………12分22. 解：（Ⅰ）C 的直角坐标方程为222()y a x a +=-， ………………………2分消t 得到4350x y -+=………………………………………4分（Ⅱ）要满足弦AB ≥及圆的半径为a 可知只需圆心（0，a ）到直线l 的距离12d a ≤即可。

2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．（5分）已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i 3．（5分）已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．（5分）郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．（5分）在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．（5分）已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cosx﹣sinx，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．（5分）将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by ＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sinA+cosA）b，则△ABC的面积的最大值为．16．（5分）据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x1234566.6 6.777.17.27.4年产量（万吨）（I）根据表中数据，建立y关于x 的线性回归方程＝x+a （II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i ﹣）（y i ﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a 的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．【解答】解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．【解答】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．【解答】解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，7．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．【解答】解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．【解答】解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【解答】解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．【解答】解：g′（x）＝cosx﹣xsinx﹣cosx＝﹣xsinx；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g （4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．【解答】解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A 的三角函数，则最大值可求．【解答】解：∵b＝，c＝（sinA+cosA）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．【解答】解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．【解答】解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A 1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB 为钝角，向量的数量积的符号，求出n的范围，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB 为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．【解答】解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ＝2asinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（5分）（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…（10分）。

2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题（共12小题）.1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．236．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y ＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（3﹣x）的定义域为B，则A∩B＝（）A．（﹣∞，3）B．（一8，﹣3）C．{3}D．[﹣3，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解x的范围化简A，由对数式的真数大于0求解x的范围化简B，再由交集运算得答案．解：由9﹣x2≥0，得﹣3≤x≤3，∴A＝[﹣3，3]，由3﹣x＞0，得x＜3，∴B＝（﹣∞，﹣3）．∴A∩B＝[﹣3，3）．故选：D．2．已知复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，则复数z＝（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解：复数z＝a﹣i（a∈R），若z+＝8，∴a﹣i+a+i＝8，解得a＝4．则复数z＝4﹣i．故选：B．3．已知命题p：∀x＞0，则3x＞1；命题q：若a＜b，则a2＜b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．解：∀x＞0，则3x＞1为真命题，即命题p是真命题，当a＝﹣3，b＝0时，满足a＜b，但a2＜b2，不成立，即命题q是假命题，则p∧￢q是真命题，其余是假命题，故选：B．4．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β【分析】可以通过空间想象的方法，想象每个选项中的图形，并通过图形判断是否能得到每个选项中的结论，即可找出正确选项．解：A．错误，由β⊥α，得不出β内的直线垂直于α；B．正确，m∥α，根据线面平行的性质定理知，α内存在直线n∥m，∵m⊥β，∴n⊥β，n⊂α，∴α⊥β；C．错误，若两个平面同时和一个平面垂直，可以想象这两个平面可能平行，即不一定得到β⊥γ；D．错误，可以想象两个平面α、β都和γ相交，交线平行，这两个平面不一定平行．故选：B．5．郑州市2019年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（）A．20B．21C．20.5D．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可．解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34，所以中位数是×（20+21）＝20.5．故选：C．6．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x的取值范围是（）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．7．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则•的值为（）A．﹣B．C．D．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE＝2EF，∴•＝＝＝＝＝＝＝＝．故选：C．8．已知双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】由题意可判断出直线3x﹣y+5＝0与渐近线y＝﹣x垂直，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系和离心率的计算公式即可得出．解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x．又直线3x﹣y+5＝0可化为y＝3x+5，可得斜率为3．∵双曲线的一条渐近线与直线3x﹣y+5＝0垂直，∴＝，＝∴双曲的离心率e＝＝．故选：B．9．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用偶函数可排除A，B，再根据x＞时，函数值恒大于0，排除C．解：因为f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，所以排除A、B，又x＞2时，f（x）＞0，所以排除C．故选：D．10．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收人完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积；S为△OKL的面积．将Gini＝，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝1﹣（x∈[0，1]），则Gini＝﹣1；其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由基尼系数的计算公式入手，借助于图象及定积分解决问题．解：对于①，根据基尼系数公式Gini＝，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得∀x∈（0，1），均有f（x）＜x，可得＜1，所以②错误；对于③，因为a＝∫[x﹣（1﹣）]dx＝∫（x﹣1）dx+∫dx＝（x2﹣x）|+π×12＝﹣+π，S＝，所以Gini＝＝＝，所以③正确．故①③正确．故选：B．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，则正方体外接球的体积为（）A．B．36πC．D．【分析】根据三棱锥的内切球进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．解：设正方体的棱长为a，则BD＝a，由于三棱锥A1﹣BC1D内切球的表面积为4π，所以球的半径为1，根据球与正四面体的体积的关系式，利用体积相等及关系式的应用，所以1＝，解得a＝2．所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：B．12．已知函数f（x）＝﹣，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]，且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数，且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上增．且g（0）＝0，g（π）＝﹣π，g（2π）＝2π，g（3π）＝﹣3π，g（4π）＝4π；故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故方程f（x）＝g（x）根的个数是8个．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m的图象关于y轴对称，则实数m＝2．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证即可．解：函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2；当m＝1时，函数y＝x的图象不关于y轴对称，舍去；当m＝2时，函数y＝x2的图象关于y轴对称；∴实数m＝2．故答案为：2．14．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a、b，则直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点的概率为．【分析】根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，则圆心到直线的距离小于半径，利用点到直线的距离公式建立不等式解出a≤b，列举出满足条件的（a，b）有21种．再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率．解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36种，其中满足直线ax+by＝0与圆（x﹣2）2+y2＝2有公共点，即圆心（2，0）到直线的距离小于或等于半径r，可得，化简得a≤b，满足条件的（a，b）有数组情况如下：①a＝1时，b＝1、2、…、6，共6种情况；②a＝2时，b＝2、3、…、6，共5种情况；③a＝3时，b＝3、4、…、6，共4种情况；④a＝4时，b＝4、5、6，共3种情况；⑤a＝5时，b＝5、6，共2种情况；⑥a＝6时b＝6，1种情况．总共有6+5+4+3+2+1＝21种．因此，所求的概率P＝＝．故答案为：15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝，c＝（sin A+cos A）b，则△ABC的面积的最大值为．【分析】将b＝代入第二个等式，即可约去b，可得c＝，然后代入面积公式，就可以将三角形的面积转化为A的三角函数，则最大值可求．解：∵b＝，c＝（sin A+cos A）b，．∴，∴＝＝＝，当时，，．故答案为：．16．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．如图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有①②③．①CPI一篮子商品中权重最大的是居住②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为0.18%【分析】根据2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），即可判断出正误．解：①CPI一篮子商品中权重最大的是居住为23%，正确；②CPI一篮子商品中吃穿住所占权重为23%+8.0%+10.3%+19.9%＝61.2%＞50%，正确；③猪肉在CPI一篮子商品中权重为2.5%，正确；④猪肉与其他禽肉在CPI一篮子商品中权重约为2.1%+2.5%＝4.6%，因此不正确．故答案为：①②③．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．巳知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（Ⅰ）题先将n＝1代入表达式得到a1的值，当n≥2时，利用公式a n ＝S n﹣S n﹣1可计算出a n的表达式，然后将a1的值代入验证，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和T n，本题注意要验证n＝1的情况．解：（Ⅰ）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，．而当n＝1时，a1＝2不满足上式，故数列{a n}的通项公式为a n＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n＝1时，，当n≥2时，，∴b n＝．故当n＝1时，，当n≥2时，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝＝．又适合，∴．18．在改革开放40年成就展上有某地区某衣产品近几年的产扯统计如表：年份201420152016201720182019年份代码x123456年产量（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（I）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程＝x+a（II）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线＝x+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝﹣．（参考数据：（x i﹣）（y i﹣）＝2.8，计算结果保留到小数点后两位）【分析】（Ⅰ）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）回归方程，计算x＝7时得2020年该地区农产品的年产量．解：（1）由题意可知：，，，所以，又，故y关于x的线性回归方程为．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码x＝7，此时．所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥C﹣AA1B的体积．【分析】（Ⅰ）连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，可得OD∥B1C，再由直线与平面平行的判定可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求解三角形求得得AB⊥BC．再证明BC⊥平面AA1B1B．求出三角形A1AB的面积，由棱锥体积公式可得三棱锥C﹣AA1B的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连结AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD∥B1C，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）解：∵AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•COS∠ACB＝3，得．∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC．又∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面AA1B1B．∵∠A1AB＝60°，AB＝BB1＝AA1，∴．∴．∴．20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意可得，所以，通过离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合∠AOB为钝角，向量的数量积的符号，求出n 的范围，然后求解即可．解：（Ⅰ）由题意可得，所以，，解得，所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）由于直线l平行于直线，即，所以l的方程为．由得x2+2nx+2n2﹣4＝0，因为直线l与椭圆C交两个不同的点，所以△＝（2n）2﹣4（2n2﹣4）＞0，解得﹣2＜n＜2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣2n，．∠AOB为钝角等价于，且n≠0，由＝，即n2＜2，且n≠0，所以直线l在x轴上的截距m的取值范围．21．已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝．（Ⅰ）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当x＞0时，f（x）≤x﹣1．【分析】（•I）先对函数求导，然后结合已知切线方程及导数的几何意义即可求解；（II）当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，构造函数g（x）＝lnx﹣x2+x （x＞0），然后结合导数可求解单调性，进而可求函数g（x）的范围，可求．解：（I）∵，∴，∴，又曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为，f'（e）＝0，即a＝0．∵，∴，令f'（x）＞0，得1﹣lnx＞0，即0＜x＜e；令f'（x）＜0，得1﹣lnx＜0，即x＞e，所以f（x）的单调增区间是（0，e），单调减区间是（e，+∞）．（II）证明：当x＞0时，要证f（x）≤x﹣1，即证lnx﹣x2+x≤0，令g（x）＝lnx﹣x2+x（x＞0），则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）≤g（1）＝0，即当x＞0时，f（x）≤x﹣1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a sinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sinθ（a＞0）．∴ρ2＝2aρsinθ，即x2+y2＝2ay，即x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．则圆C的标准方程为x2+（y﹣a）2＝a2，（a＞0）．由，消去参数t得4x﹣3y+5＝0，即直线l的普通方程为4x﹣3y+5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C（0，a），半径R＝a，则圆心到直线的距离d＝，∵．∴2≥a，即a2﹣d2≥a2，则d2≤，即d≤，则≤，则﹣≤≤，由得得≤a≤10．即实数a的取值范围是≤a≤10．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣a|x﹣l|．（Ⅰ）当a＝﹣2时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若（x）≤a|x+3|，求a的最小值．【分析】（Ⅰ）将a＝2代入f（x），表示出f（x）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为≤，求出a的最小值即可．解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，f（x）＝，由f（x）的单调性及f（﹣）＝f（2）＝5，得f（x）＞5的解集为{x|x＜﹣，或x＞2}．…（Ⅱ）由f（x）≤a|x+3|得a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|得≤，得a≥．（当且仅当x≥1或x≤﹣3时等号成立）故a的最小值为．…。

绝密★启用前河南省郑州市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次质量预测(二模)数学(文)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =的定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)- 【答案】D【解析】【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ,进而求出A B 即可.【详解】由题意,对于函数y =290x -≥,解得33x -≤≤,即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-,30x ->,解得3x <,即(),3B =-∞,所以A B =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域,考查集合的交集,属于基础题.2.已知复数i()z a a =-∈R ,若8z z +=,则复数z =（ ）A. 4i +B. 4i -C. 4i -+D. 4i --【答案】B【解析】【分析】求出z 的表达式,再结合8z z +=,可求出a 的值,即可求出答案.【详解】由题意,i()z a a =-∈R ,i z a =+,所以i i 8a a -++=,解得4a =,故z =4i -.故选：B.【点睛】本题考查共轭复数,考查学生的计算求解能力,属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>,则31x >；命题q ：若a b <,则22a b <,下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题,则￢p 为假命题,命题q 是假命题, 则￢q 是真命题．因此p∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>,则31x >,则命题p 为真命题,则￢p 为假命题； 取a=-1,b=-2,a ＞b,但a 2＜b 2,则命题q 是假命题,则￢q 是真命题．∴p∧q 是假命题,p∧￢q 是真命题,￢p∧q 是假命题,￢p∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,考查了全称命题的否定,训练了函数零点存在性定理的应用方法,考查复合命题的真假判断,是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列命题,正确的是（ ）．A. 若,m βαβ⊂⊥,则m α⊥B. ,αβαγ⊥⊥,则βγ⊥C. 若m ∥α,m β⊥,则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ,则α∥β【答案】C【解析】。

2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x≥4}，B={x|﹣1≤2x﹣1≤0}，则∁R A∩B=（）A．（4，+∞）B．[0，]C．（，4）D．（1，4]2．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0 3．定义运算||=ad﹣bc，则符合条件||=0的复数z对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（）A．B．C．﹣D．﹣5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2020 B．2020 C．2020 D．20206．经过点（2，1），且渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相切的双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=17．平面内满足约束条件的点（x，y）形成的区域为M，区域M关于直线2x+y=0的对称区域为M′，则区域M和区域M′内最近的两点的距离为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=﹣cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称9．如图是正三棱锥V﹣ABC的正视图、侧视图和俯视图，则其侧视图的面积是（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，当0＜x≤1时，f（x）=log x，则方程f（x）﹣1=0在（0，6）内的零点之和为（）A．8 B．10 C．12 D．1611．若数列{a n}中，满足：a1=1，a2=3，且2na n=（n﹣1）a n+（n+1）a n+1，则a10的值是﹣1（）A．4B．4C．4D．412．对∀α∈R，n∈[0，2]，向量=（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．14．已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1=．15．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是．16．在正三棱锥V﹣ABC内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于．三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C﹣cos2A=2sin（+C）•sin（﹣C）．（1）求角A的值；（2）若a=且b≥a，求2b﹣c的取值范围．18．为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：年龄[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）频数 5 10 15 10 5 5支持“生育二胎” 4 5 12 8 2 1（1）由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：（2）若对年龄在[5，15）的被调查人中各随机选取两人进行调查，恰好两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持a= c=不支持b= d=合计参考数据：P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，且=2，求三棱锥E﹣APD的体积．20．已知曲线C的方程是mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），向量（x1，y1），=（x2，y2），且•=0，若直线MN过点（0，），求直线MN的斜率．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若m∈（0，），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以A为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接BF并延长交CD于点E．（1）求证：E是CD的中点；（2）求EF•FB的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+6|﹣|m﹣x|（m∈R）（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．2020年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。