取A的旋度得磁感应强度
R µI ˆz ) B = ∇ × A = −∇ × ( ln e 2π R0 R µI ˆz = −∇( ln ) × e 2π R0 µI µI ˆR × e ˆz = ˆθ . e e =− 2πR 2πR
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例2
半径为a的导线园环载电流I ，求矢势和磁感 应强度。
解：线圈电流产生的矢势为 µ 0 Idl A( x ) = ∫ 4π r
对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换 JdV→Idl，得
µ B= 4π
Idl × r ∫ r3
这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。
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三、矢势边值关系
由前面知，当全空间的电流分布 J给定时，可以计算 磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢 势微分方程的边值问题必然要用到矢势的边值关系。 在两介质分界面上磁场的边值关系为
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和静电情形一样，公式：
1 W总 = ∫ A ⋅ JdV 2 V
仅对总能量有意义，不能把 (A⋅J)/2看作能量密度，因为我 们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域 内。
2. 电流与外磁场的相互作用能
在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。某电流分布J 在 给定外磁场中的相互作用能量又如何呢？ 如果我们要计算某电流分布 J在给定外磁场中的相互作用能 量，以Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的电流分 布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为A+Ae，
2
∇× Η = J
∇⋅B = 0
但由于 ∇ ⋅ B = 0 ,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即
B = ∇× A
A称为磁场的矢势。 2. 矢势A的物理意义 为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任 一个以回路L为边界的曲面S积分，得
∫ B ⋅ dS = ∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl.
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15 R 3 a 3 sin 3 θ Ra sin θ [ 2 ] = + 2 3/ 2 2 2 7/2 4 (R + a ) 8 (R + a )
此式的适用范围是 2 Ra sin θ << R 2 + a 2,包括远场
µ 0 Ia
R >> a 和近轴场 R sin θ << a
我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(ρ,φ,z) 较为方便。 展开式实际上是对
∇⋅ A = 0
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证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在 一个矢势A，满足 ∇ ⋅ A = 0 证：设有一个A，满足 B = ∇ × A ，但
∇⋅ A = u ≠ 0 我们另取一个矢势 A′ = A + ∇ψ
显然 A’可以描述磁场，即 B = ∇ × A′ 现在 ∇ ⋅ A′ = ∇ ⋅ A + ∇ 2ψ = u + ∇ 2ψ
2 ψ ∇ 取 为泊松方程 ψ = −u 的一个解，问题得证。
当加上辅助条件 ∇ ⋅ A 以后，A就可以确定下来。 对A所加的辅助条件称为规范条件。
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二、矢势微分方程 1. A的微分方程 在均匀线性介质内。B=∇×A=μH，代入方程 ∇×H = J 得矢势A的微分方程
∇ × (∇ × A) = µJ
Bx = B y = 0
其中B0为常量。
Bz = B0 ,
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由定义式:
∂Ax − = B0 , ∂x ∂y ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az − = − =0 ∂y ∂z ∂z ∂x 我们不难看出有解： Az = Ay = 0, Ax = − B0 y
同时还可以看出有另一解：
∂Ay
Az = Ax = 0,
由于
µ A= 4π
J ( x )dV ∫ r
µ Ae = 4π
J e ( x )dV ∫ r ,
积分表达式中两项相等，因此电流J在外场Ae中的相互作用 能量为
Wi = ∫ J ⋅ Ae dV
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例1 无穷长直导线载电流I ，求磁场 的矢势和磁感应强度。 解：设P点到导线的垂直距离为R,电流元
Idz到P点的距离为 R 2 + z 2 dz z o
可把上式再对z/a展开，得
3µ 0 Iρz Bρ = 4a 3
3 2 2 BZ = 1 − (2 z − ρ ) 2a 4a
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µ0 I
Ay = B0 x
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3. 确定A的辅助条件 因为任意函数 ψ ，其梯度的旋度恒为零，故有
∇ × ( A + ∇ψ ) = ∇ × A.
即 A + ∇ψ 与 A对应于同一个磁场B。 A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义， 而每点上的A本身没有直接的物理意义。 由于A的这种任意性，要确定A ，必须加一个辅助 条件。最常用的办法就是令
展开。在积分表达式中展开式的偶次项对φ’积分为 零，因此只需保留奇次项。 若我们要计算B(R,θ )到二级近似。则Aφ 需要算到三级项。 µ 0 Ia Ra sin θ cos φ ′ dφ ′ cos φ ′[ Aφ ( R, θ ) = 2 2 ∫ 2 2 R + a 4π R + a
5 R 3 a 3 sin 3 θ cos 3 φ ′ ] + 2 2 3 2 (R + a )
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则
µ 0 Ia 2π cos φ ′dφ ′ Aϕ ( R, θ ) = 4π ∫0 R 2 + a 2 − 2 Ra sin θ cos φ ′
上式的积分可用椭园积分表示。当
2 Ra sin θ << R 2 + a 2 时，可以较简单的计算出近似结果。把根式对
2 Ra sin θ cos φ ′ /( R 2 + a 2 )
ρ 2 /( z 2 + a 2 )
的展开式。取至ρ 3项，有
µ0 Ia 2 ρ 3ρ 2 15 ρ 2 a 2 Aϕ ( ρ , z ) = 1− 2 2 + 2 2 5/ 2 2 2 2 4( z + a ) 2( z + a ) 8 ( z + a )
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取A的旋度，得
↑I
R
P
µ J ( x′)dV ′ . 利用 A( x ) = ∫ r 4π dz µI ∞ . 得 Az = ∫ 2 2 − ∞ 4π R +z
积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散。
z + z2 + R2 µI Az ( R ) − Az ( R0 ) = lim ln 2 M →∞ 4π z + z 2 + R0
可以用较简单的形式A1=A2代替。
四、静磁场的能量 1. 磁场的总能量
1 B ⋅ HdV ∫ 2 ∞ 由于 B ⋅ H = (∇ × A) ⋅ H = ∇ ⋅ ( A × H ) + A ⋅ (∇ × H )
静磁场的总能量为 W总 =
= ∇ ⋅ (A× H ) + A⋅ J 1 1 所以 W总 = ∇ ⋅ ( A × H )dV + ∫ A ⋅ JdV ∫ ∞ 2 2 ∞ 1 1 1 = ∫ ( A × H ) ⋅ dS + ∫ A ⋅ JdV = ∫ A ⋅ JdV 2 ∞ 2V 2 V
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2. 若J已知，求A ρ 的解 ϕ ( x ) = 1 ρ ( x′)dV ′. 2 对比 ∇ ϕ = − ∫ 4 r πε ε 方程 ∇ 2 Ai = − µJ i , (i = 1,2,3) 的解应为： µ J i ( x′)dV ′ Ai ( x ) = . ∫ r 4π 2 所以方程 ∇ A = − µJ 的解为： µ J ( x′)dV ′ A( x ) = . ∫ r 4π
M
−M
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2 2 µI 1 + 1 + R 2 M 2 − 1 + 1 + R0 M ln = lim ⋅ 2 2 2 M →∞ 4π 1 + 1 + R0 M 2 − 1 + 1 + R M
若取R0点的矢势为零，计算可得
R µI R02 µI A= ln 2 = − ln 4π R 2π R0
可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程 的解。式中x’是源点, x为场点，r为由x’到x的距离。若讨 论真空情形，令μ=μ0即可。
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3. 根据A求B
J ( x ′)dV ′ µ B = ∇× A = ∇× ∫ 4π r 1 µ = (∇ ) × J ( x ′)dV ′ ∫ 4π r µ J ×r = dV ′ 3 ∫ 4π r
3µ 0 Ia ρz = Bρ = − ∂z 4( z 2 + a 2 ) 5 / 2
2
∂Aφ
ρ2 1 + O z2 + a2
1 ∂ ( ρ Aφ ) BZ = ρ ∂ρ
2 2 2 2 ρ µ 0I a ρ 15 a 1 + 2 = − 3 + O 2 2 3/ 2 2 2 2 2 2 4( z + a ) z + a 4( z + a ) z +a 上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场(ρ, z<<a )， 2
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磁场的的总能量为
1 W总 = ∫ ( J + J e ) ⋅ ( A + Ae )dV 2 1 = ∫ ( J ⋅ A + J ⋅ Ae + J e ⋅ A + J e ⋅ Ae )dV 2 所以，电流J在外场中的相互作用能为： 1 Wi = ∫ ( J ⋅ Ae + J e ⋅ A)dV 2
n ⋅ ( B2 − B1 ) = 0
