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电动力学课件

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《电动力学》课件

《电动力学》课件

电场的能量
电场中的电荷具有电势能，当电荷在电场中移动时，它们的电势能可以转化为动能或其他形式的能量。了解电场能 量可以帮助我们理解各种电磁现象。
电势和电势能
电势是描述电场中某个位置的属性，它可以被认为是单位正电荷所具有的势能。电势能则是电荷在电场中具有的能 量。
静电场的高斯定律
静电场的高斯定律描述了电场中电荷的分布对电通量的影响。通过高斯定律， 我们可以更好地理解电场的特性和分布。
《电动力学》PPT课件
探索电动力学的奥秘，理解电荷和电场的关系，学习库仑定律，揭示电场的 概念和性质，掌握电场的能量以及电势和电势能的重要性，钻研静电场的高 斯定律，了解电源和电动势的作用。
电动力学的定义
电动力学是物理学中研究电荷和电场相互作用的学科。通过探索电场的性质 和行为，我们可以理解电荷之间的引力和有的一种性质，可以是正电荷或负电荷。电场则是电荷周围 的力场，通过电荷相互作用的方式传播。
库仑定律
库仑定律描述了电荷之间的电力相互作用。根据库仑定律，电荷之间的力与 它们之间的距离成反比，与它们的电荷量成正比。
电场的概念和性质
电场是电荷周围的力场，它可以被认为是电荷对周围空间产生的一种影响。电场具有方向性和大小，可以通过电场 线来可视化。
电源和电动势
电源是电能的来源，它可以提供电荷的流动。电动势是电源为电荷提供能量的能力，它描述了电荷在电路中流动的 推动力。

电动力学课件3

电动力学课件3

电动力学课件3一、引言电动力学是研究电磁现象的规律和应用的物理学分支，是电磁学的重要组成部分。

在电动力学中，我们关注电荷、电流、电场和磁场等基本概念，以及它们之间的相互作用和运动规律。

本课件将介绍电动力学的基本原理和重要公式，帮助读者理解和应用电动力学的知识。

二、电场和磁场1.电场电场是指在空间中存在电荷时，电荷之间相互作用的力场。

电场的强度和方向由电荷的大小和位置决定。

电场的单位是牛顿/库仑（N/C）。

电场的计算可以使用库仑定律，即两个点电荷之间的电场力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。

库仑定律的数学表达式为：F=k-q1q2-/r^2其中，F是电场力，k是库仑常数，q1和q2是两个点电荷的电荷量，r是它们之间的距离。

2.磁场磁场是指在空间中存在电流时，电流产生的力场。

磁场的强度和方向由电流的大小和方向决定。

磁场的单位是特斯拉（T）。

磁场的计算可以使用安培定律，即电流元产生的磁场与电流的大小和方向有关。

安培定律的数学表达式为：B=μ0(I/(2πr))其中，B是磁感应强度，μ0是真空的磁导率，I是电流的大小，r是电流元到观察点的距离。

三、电磁感应电磁感应是指磁场的变化在导体中产生电动势的现象。

根据法拉第电磁感应定律，电动势的大小与磁通量的变化率成正比。

法拉第电磁感应定律的数学表达式为：ε=-dΦ/dt其中，ε是电动势，Φ是磁通量，t是时间。

四、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场运动规律的四个方程，包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培定律。

这些方程组将电场和磁场联系在一起，描述了电磁场的传播和相互作用。

1.高斯定律高斯定律描述了电场的发散性质，即电荷产生的电场是从正电荷发散出去，汇聚到负电荷。

高斯定律的数学表达式为：∮EdA=4πkQ_enclosed其中，E是电场强度，dA是高斯面的面积元素，Q_enclosed是高斯面内的总电荷量。

2.高斯磁定律高斯磁定律描述了磁场的发散性质，即磁场线是闭合的，没有磁单极子存在。

电动力学课件3

电动力学课件3

1 2
电磁波在介质中传播速度减慢 与在自由空间中相比，电磁波在介质中的传播速 度会减慢，具体速度取决于介质的介电常数和磁 导率。
电磁波在介质中发生反射和折射 当电磁波遇到不同介质的分界面时，会发生反射 和折射现象，遵循斯涅尔定律。
3
电磁波在介质中传播受到衰减 由于介质对电磁波的吸收和散射作用，电磁波在 介质中传播时会受到衰减，导致信号强度减弱。
电磁场的数学描述
矢量场
电磁场可以用矢量场来描述， 即电场强度和磁场强度都是空 间位置和时间的矢量函数。
标量势和矢量势
电磁场也可以用标量势和矢量 势来描述，它们满足一定的微 分方程和边界条件。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场 的基本方程，包括高斯定律、 高斯磁定律、法拉第电磁感应 定律和安培环路定律。
面。
电介质的极化
在外电场作用下，电介质内部正负 电荷中心发生相对位移，形成电偶 极子，产生附加电场的现象。
电容
描述导体或电介质储存电荷能力的 物理量。平行板电容器的电容与极 板面积成正比，与极板间距成反比。
03
稳恒电流场
稳恒电流的基本定律
电流连续性方程
稳恒电流场中，电荷不会 堆积，流入和流出任何封 闭曲面的电流相等，即电 流的连续性。
02
静电场
库仑定律与电场强度
库仑定律
电场强度的叠加原理
描述两个点电荷之间的相互作用力， 与电荷量的乘积成正比，与距离的平 方成反比。
多个点电荷在某点产生的电场强度是 各个点电荷单独存在时在该点产生的 电场强度的矢量和。
电场强度
表示电场中某点的电场力作用效果， 是矢量，其方向与正电荷在该点所受 电场力方向相同。
基尔霍夫第一定律

电动力学课件1-4

电动力学课件1-4

JP
=
∂P ∂t
(极化电流体密度 )
∇×B
=
µ0J总
=
µ0J + µ0JM
+ µ0JP
+ µ0ε0
∂E ∂t
H=
B
−M
µ0
∴∇×
H
=
J
+
∂D
∂t
各向同性介质 M = χ m H ⇒ B = µH
Maxwell equations (介质中)
∇×E =
∇ × H=
− ∂B
J
∂t + ∂D
第一章 总结
电磁现象的基本规律，从库仑定律及电荷守恒定律，毕奥—沙伐
尔定律出发，研究了静电场、静磁场的基本规律以及电磁场所满
足的基本方程—Maxwell equations.并研究了非连续介质分界面处
所满足的边值关系。
库仑定律：
F
=
Q1Q2
4πε 0r 3
r ，
r
场强：
E=
Q
r
4πε 0r 3
的方向由源点到场点
D = ε0E + P
qp = −∫∫ S P ⋅ dS =∫∫∫ V ρPdV
σP
=−(P2
−
P1
)
⋅
n
∇⋅D = ρf
各向同性介质 P = ε0χeE
D=ε E
2、磁性质
∑
mi
M= i ∆V
IM= ∫ L M ⋅ d=l ∫∫ S JM ⋅ dS
J M = ∇ × M (磁化电流体密度 )
能量密度 δ w = E ⋅δ D + H ⋅δ B
能量变化率
∂w

电动力学(全套课件)ppt课件

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电磁波的传播遵循惠更斯原理，即波 面上的每一点都可以看作是新的波源。
电磁波在真空中的传播速度等于光速， 而在介质中的传播速度会发生变化。
电磁波的能量与动量
01
电磁波携带能量和动量，其能量密度和动量密度与 电场和磁场的振幅平方成正比。
02
电磁波的能量传播方向与波的传播方向相同，而动 量传播方向则与波的传播方向相反。
03
电磁波的能量和动量可以通过坡印廷矢量进行描述 和计算。
06
电动力学的应用与发展前 景
电动力学在物理学中的应用
描述电磁现象
电动力学是描述电荷和电流如何 产生电磁场，以及电磁场如何对 电荷和电流产生作用的理论基础。
解释光学现象
光是一种电磁波，电动力学为光 的传播、反射、折射、衍射等现 象提供了理论解释。
麦克斯韦方程组与电磁波
01
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括高斯定律、 高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
02
电磁波是由变化的电场和磁场相互激发而产生的，其传播速度
等于光速。
麦克斯韦方程组揭示了电磁波的存在和传播规律，为电磁学的
03
发展奠定了基础。
电磁波的性质与传播
电磁波具有横波性质，其电场和磁场 振动方向相互垂直，且都垂直于传播 方向。
电场能量
W=∫wdV，表示整个电场 中的总能量。
功率
P=UI，表示单位时间内电 场中消耗的能量或提供的 能量。
04
恒磁场
磁感应强度与磁场强度
磁感应强度的定义与物理意义 磁感应强度与磁场强度的关系
磁场强度的定义与计算 磁场的叠加原理
安培环路定理与磁通量
01
安培环路定理 的表述与证明

电动力学PPT课件

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S
闭合曲面为S。
对于任意封闭曲面某时间间隔内流入闭 曲面的电量等于闭面内电量的增加量
第11页/共68页
电流连续性方程
注意：当电流为恒定电流时，一切物理量不随时间变化， 即有 因此， 这就表示恒定电流的场线处处连续，因而是闭合的。
第12页/共68页
3。洛伦兹力公式--毕奥萨伐定律
（1）磁场对电流元的力密度
Ez H
ra
I2
2 2a3
流进长度为Δl的导线内部的功率为
Sr 2al
I 2l
a2
I2R
第65页/共68页
证明
第66页/共68页
证毕
证明
对于场点求导
第67页/共68页
对于稳恒电流
谢谢您的观看！
第68页/共68页
在没有外场作用时，介质是电中性的，且内部宏观电磁场 为零。
第25页/共68页
2。介质的极化
从极化角度看 a.有极性分子
b.无极性分子
极化的解释 极化强度
外场条件
各向同性线性介质
第26页/共68页
2。介质的极化
单位体积分子数为n
体元内跑出 的正电荷为
表示封闭体内通过界面 S穿出去的正电荷 将净余的负电荷定义为束缚电荷，其密度为
要看五个关系的内部与场论公式有没有无矛盾，
有问题的只有
左式为零，右式为零时是恒流源情况 为使右式为零加一项
令
引入位移电流概念
第20页/共68页
2。位移电流
第21页/共68页
3。真空中的麦克斯韦方程组
a)电场分布只取决于电荷的 分布和磁场的变化
b)电场的散度与当时当地的 电荷密度成正比，感应电 场是无散的

电动力学课件


v cosθ为高的斜柱体的体积，即
称为dN矢量vv通c过os面d元sds的v通 d量s。
nˆ
对于有向曲面s，总可以
将s分成许多足够小的面元ds，
v
θ
于是通过
ds
21
曲面s的通量N即为每一面元通量之积
N
v
ds
s
对于闭合曲面s，通量N为
2、散度
N v ds
s
设封闭曲面s所包围A的 d体s积/ 为VV，则
2
学习电动力学课程的主要目的是：
1） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和 时空概念的理解；
2） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的 初步能力，为以后解决实际问题打下基础；
3） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更 深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义 的世界观。
3
学习电动力学课程的主要意义是：
18
分，即
d
dl
dl
l
显然，任意两点值差为
B
B A
dl
A
19
§0-2 矢量场的散度 高斯定理 Divergence of Vector Field, Gauss’s Theorem
20
1、通量
一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量
场 v方向通过ds的流量是dN，而dN是以ds为底，以
4
要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和 刻苦的学习作风。
电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解 上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这 些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树 木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数 学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容 进行推导，并明确它们的物理意义和图象。

电动力学课件4-1


对第一式两边取旋度，并利用自由空间中本构关系和第二式得：
∇×
(∇ ×
E)
=
−
∂ ∂t
∇×
B
=
− μ0ε0
∂2E ∂t 2
利用矢量分析公式及 ∇⋅E = 0简化上式
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇2E = −∇2E (p278, 式I.25)
∴
∇2E
− µ0ε 0
∂2E ∂t 2
ε ε= (ω ), µ µ(ω )
D(r,ω) = ε (ω)E(r,ω)
频率函数
B(r,ω )=µ(ω )H (r,ω )
若电磁波仅有一种频率成分
D (ω ) ε= (ω ) E (ω ); B (ω ) µ (ω ) H (ω )
电磁波动在介质中一般频率成分不是单一的，可能含有各
种成分。对不同频率的电磁波，介质的电容率和磁导率是
亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，
其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，
每 =iωµH 式求出，
B = − i ∇ × E = − i µε ∇ × E
ω
k
所以，一定频率条件下要求解电磁场的方程为
∇2E + k2E = 0
+
eik ⋅
x∇
×
E0
)
=
µε
k
×
E
k
µε
由上式得
k= ⋅ B
k ⋅ (k ×= E) 0 k
因此 E、B 和 k 是三个互相正交的矢量。E和B同相，
振幅比为:
或 E= µ Hε
在真空中，平面电磁波的电场与磁场比值为
波阻抗——入射（反射）电场与入射（反射）磁场的比值

电动力学课件

根据不同的交界条件，边界条件可分为第一类边界条件、第二类边界条件和第 三类边界条件。
04 电磁波的传播
电磁波的产生与性质
电磁波的产生
电磁波是由变化的电场和磁场交替产生并相互激发而传播的。当电荷在空间中运 动或磁场发生变化时，就会在空间中产生电磁波。
电磁波的性质
电磁波在空间中传播，具有波粒二象性。它们具有振幅、频率、相位等波动性质 ，同时也具有能量、动量等粒子性质。
电磁波的反射与折射
电磁波的反射
当电磁波遇到不同介质的分界面时，一部分能量会反射回原介质，剩余能量则继续传播。反射的程度取决于两种 介质的性质以及电磁波的入射角度。
电磁波的折射
当电磁波从一种介质进入另一种介质时，其传播方向会发生改变，这种现象称为折射。折射的程度取决于两种介 质的性质以及电磁波的入射角度。
矢量势的定义与计算
矢量势的基本定义
矢量势是用来描述磁场的一种物理量，它与磁矢势共同描述 磁场。
矢量势的计算方法
通过定义磁矢势和电荷分布，利用安培定律和麦克斯韦方程 组计算矢量势。
磁场的边界条件
边界条件的概念
磁场的边界条件是指在磁场与其它媒质（如真空、导体或介质）交界处磁场的 行为。
边界条件的分类
电场是电荷周围空间中存在的 特殊物质，由电荷产生并受到 电荷的影响。
电场具有传递性和无色性，即 电场可以传递电荷之间的相互 作用力，且电场本身不具有颜 色。
电场具有叠加性和穿透性，多 个电荷产生的电场可以叠加， 且电场可以穿透某些物质。
电势的定义与计算
电势是描述电场中某一点电荷所 具有的势能大小的物理量，通常
衍射实验结果表明，当电磁波通过一个小缝时，会在远处产生一个明亮的衍射图案，这个 图案是由不同方向的波组成的，它们相互叠加产生干涉现象，形成明暗相间的条纹。

《电动力学》大学本科课件第一章


V

J (x ) r
dV
变成先积分后微分
将 B 矢量表示为 A 矢量的旋
21
J ( x ) 0 其中： A d V ( x ) r V 4
，因积分后成为 A 不 带 x 的 (x)
函数，且对任意矢量都 成立。
B 0
磁场基本场方程
18
2、磁场的通量和散度： 积分关系：
d S 0 B
S
意义：电流激发的磁感应线 是闭合曲线。
微分关系：
由高斯散度定理： B d S B dV 0
S V
体积 V 是任取的
B 0
磁场基本场方程 意义：磁场是无源场。
电流元在磁场中受力：
d F Id l B J 即为电流元 Il d 的方向 由 Id l J dSdl J dV
得： d F J B dV
15
2、毕－萨定律：
Id l在真空中激发的磁场 微分形式： 一电流元
Id l r r 为由源点指向场点的矢 径， 0 d B 3 d B 、 d l、 r构成右旋关系。 4 r 由 Id l J dSdl J dV r 0J d B dV 3 4 r
L
S
微分关系： 由斯托克斯定理 A d l ( A ) d S L S B d l ( B ) d S J d S 0
L S

S
以 L 为边界的曲面 S 是任意的
B J 0
稳恒电场是有源无旋场 ， E 线是有头有尾的 电荷即 稳恒磁场是有旋无源场 ， B 线是无头无尾的 线，电 是涡旋的中心。
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1
p
R0
2
z
解：讨论区域：球内（I）和球外（II）. 选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区 域，选择无穷远处为电势零点。 由于求解空间存在着自由电荷，故不能直接使用拉普 拉斯方程求解。为此把总电势看成自由电偶极子产生 的势和两介质分界面束缚电荷产生电势的和。
自由偶极子在介质中产生的电势 0
所以球内的电场为 3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0
3 0 2 1 2 ˆ ˆr E2 2 e e E0 R R 2 0 3 0 1 ，球内的场比球外场弱，这是由于 由于 2 0 这是由于介质球束缚电荷产生的电场与原电场的方 向相反，使得球内的总场比原来的电场弱。
联立（1）、（2）和（3）式得
an dn 0
n 1
2 a1 (1 ), 3 1 2 (1 2 2 ) R0
pf
2 d1 (1 ) 2 (1 2 2 ) 1
pf
由此得到电势分布为
1 3 3 4 R 2 ( 2 ) R 1 1 1 2 0 p f R (1 2 ) p f R 3 p f R 2 4 R 3 2 ( 2 ) R 3 4 ( 2 ) R 3 1 1 1 2 1 2 p f R (1 2 ) p f R R R0 R R0
第二章第三节
分离变量法
Separation of Variables
§2. 3
拉普拉斯方程的解
—— 分离变量法
一、分离变量法的适用条件 二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式 三、解题步骤
四、例题 五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式
一、分离变量法的适用条件 1、空间 0 ，自由电荷只分布在某些介质（或导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 0
n an R0
dn n1 R0
1
1 ② 1 R pf
R R0
2 2 R
,
R R0
2 2 d1 1a1 3 3 3 2 R0 21R0 R0
2 p f
2 3

n 1 1nan R0
n 1 d n 2 n 1 n2 R0
体）表面上，将这些表面视为区域边界， 可用 拉普拉斯方程。 2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布产生的势为已知。 处理方法：区域 V 中电势可表示为两部分的和 ， 即 0 ， 为已知自由电荷产生的电势， 0 2 ， 不满足 0 为束缚电荷产生的电势，满 2 足拉普拉斯方程 0
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
所以电势为
3 0 c1 E0 , cn 0 n 1 2 0
0 3 1 1 E0 RP E0 R0 2 P 1 cos 1 cos 2 0 R 3 0 2 E0 RP 1 cos 2 0
自由电荷在真空中 产生的电势
4 0 R
QP
周围极化电荷 产生的电势
介质球表面束缚电荷产生的势 ' 满足拉普拉斯
方程 2 ' 0 束缚电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以
b 1 ' a R ' c d 2 R ( R R0 ) ( R R0 )
由此得球外的电势为：

R
Qf E dl 4 0 R
球内的电势为： Qf Qf 1 1 R0 E dl E dl E dl R R R0 4 R 4 R0 0 2. 使用分离变法求解 自由电荷在介质中产生的 由于求解空间存在着自 势为 Qf 0 由电荷，故不能直接使 4 R 用拉普拉斯方程求解。 Qf 为此把自由电荷产生的 势和束缚电荷产生的势 4 0 R 分开。
S
一般讨论分 界面无自由 电荷的情况
四、例题
1 ．一个内径和外径分别
为 R2 和 R3 的导体球壳，
带电荷为Q，同心地包围
着一个半径为 R1 的导体 球（R1 < R2），使这个 导体球接地 ，求空间各 点的电势和这个导体球
R1
R3
R2
的感应电荷。
解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）.
选择球坐标系，原点 在球心。考虑电荷分 布在有限区域，选择 无穷远为电势零点。 球壳外 2 0 1 球壳内 I II
0
3 可以解出： b1 E0 R0 , bn 0 n 1
球外电势为 E0 R cos
3 E0 R0
R

cos
所以导体球上电荷的面密度为
0 R 3 0 E0 cos
R R0
例4：均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率 为 ，球外为真空，试用分离变数法求空间电势，把 结果与使用高斯定理所得结果比较。(p.71 习题3) 解：讨论区域：球外（I）和球内（II）.
把它带入上式得
c
Qf 4 0 R0

Qf 4 R0
1
与高斯定理 4 0 R 计算结果完 Qf Q f 1 1 全一致！ 2 4 R 4 R0 0
Qf
例 5 ．均匀介质球（介电常数 为 1 ）的中心置一自由电偶 极子 p f ，球外充满另一种介 质（介电常数为 2 ），求空 间各点电势和束缚电荷分布。 (p.71习题4)
n
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
2. 电势具有轴对称性，通解为
bn ( R, ) (a n R n 1 ) Pn (cos ) R n
n
Pn (cos ) -----勒让德函数
1 P2 (cos ) (3 cos 2 1) 2
R1
R3
R2
2 0
2
电荷在球上均匀分布，
场有球对称性，所以
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )
b 1 a R c d 2 R
( R R3 ) ( R1 R R2 )
由于
0 P 0 E 3 0 E0 2 0
可见，介质球内的极化为均匀极化。
例题3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中, 求电势及导体上的电荷面密度。
解：讨论区域：球外.
选择球坐标系，原点在球心，z 轴沿外电场方向。考虑电荷分布 在无限区域，选择坐标原点为电 势零点。 由于电势满足拉普拉斯方程， 所以电势的通解为：
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0
an R n
n
z
R0
E0
R


bn P cos n 1 n R
考虑到 R , E0 Rcos E0 RP 1 cos ,
可以得到 a1 E0 , an 0 n 1
导体球面上
R R0
选择球坐标系，原点在球心。考虑 电荷分布在有限区域，选择无穷远 处为电势零点。 1. 使用高斯定理 D dS Q f
S

Qf
R0
得球内外的电 场为
Qf R 4 0 R 3 E Qf R 4 R 3
R R0 R R0
p f R 41 R3
分界面上束缚电荷具有轴对称性，选择球坐标系的z 轴沿 p f 的方向，此束缚电荷产生电势的通解为
bn ) Pn (cos ) n 1 R n dn n 2 (cn R n 1 ) Pn (cos ) R n (an R n 1
根据边界条件
dn ① R , 2 ' 0, cn 0, 2 ' n1 Pn (cos ) n R ② R 0, 1 ' 有限, bn 0 1 ' an R n Pn (cos )
n
由边值关系
①
1 ' R R 2 ' R R ,
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
根据边界条件和边值关系
b ① R 1 0, a 0, 1 R d ② R R1 , 2 0, c 0 R1
③
（ 1）
（ 2）
（ 3）
1 R R
3
b d 2 R R , c 2 R3 R2
1 2 RR3 0 R dS R2 0 R dS Q
P0 1
P1 (cos ) cos