北京市东城区普通校2013届高三12月联考 理科数学

适用精选文件资料分享北京东城区高三上册理科数学12 月联考试题（带答案）东城区一般校 2012-2013 学年第一学期联考试卷高三数学（理科）命题校： 125 中 2012 年 12 月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．选出吻合题目要求的一项填在机读卡上． 1. 若会集，且，则会集可能是（）A．B．C．D． 2. 复数在复平面上对应的点的坐标是（）A．B．C．D．3.已知是两条不一样直线，是三个不一样平面，以下命题中正确的选项是（）A．B．C．D．4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是（）A． B ． C． D．正视图侧视图 5 ．设变量满足拘束条件，则目标函数的最大值为（） A． B． C． D． 6 ．已知数列为等比数列，，，则的值为（） A． B． C． D． 7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是（）A ．B ．C．D．8 ．设、分别为双曲线的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷 ( 非选择题，共 110 分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9 ．已知，且为第二象限角，则的值为 . 10．已知向量．若为实数，∥，则的值为 . 11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 . 12．若曲线的某全部线与直线平行，则切点坐标为，切线方程为 . 13. 若，则以下不等式对全部满足条件的恒建立的是 . ( 写出全部正确命题的编号 ) ．①；②；③；④；⑤14. 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒建立，则实数的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．（本小题满分分）已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求及的长．16．（本小题满分分）已知：函数的部分图象以以下图．（Ⅰ）求函数的分析式；（Ⅱ）在△中，角的分是，若的取范．17．（本小分分）已知：如，在四棱中，四形正方形，，且，中点．（Ⅰ）明： // 平面；（Ⅱ）明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦． 18 ．（本小分13 分）已知：数列的前和，且足， . （Ⅰ）求：，的；（Ⅱ）求：数列的通公式；（Ⅲ）若数列的前和，且足，求数列的前和 . 19．（本小分 14 分）已知：函数，此中 . （Ⅰ）若是的极点，求的；（Ⅱ）求的区；（Ⅲ）若在上的最大是，求的取范 . 20 ．（本小分分）已知的离心率，短的一个端点与两个焦点构成的三角形的面 . （Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）已知直与订交于、两点 . ①若段中点的横坐，求斜率的；②若点，求：定 .城区一般校 2012-2013 学年第一学期考答案高三数学（理科）参照答案（以下分准供参照，其他解法自己依据状况相地分）一二.填空 9 ． 10 ． 11 ． 12 ．（1，2）， 13 ．①③⑤ 14 ．15．（本小分分）解：（Ⅰ）解：因cos2C=1-2sin2C=，及所以 sinC= . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）解：当 a=2，2sinA=sinC，由正弦定理，得c=4 ⋯⋯⋯7分由cos2C=2cos2C-1= ，及得cosC= ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2－b- 12=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分解得b=2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 16 ．（本小分分）解：（Ⅰ）由像知，的最小正周期，故⋯⋯ 2 分将点代入的分析式得，又故因此⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）由得所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分因因此⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分17．（本小分分）解：（Ⅰ）明： BD交 AC于点 O， EO．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分 O BD中点， E PD中点，∴EO//PB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分 EO 平面 AEC，PB 平面 AEC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴ PB// 平面 AEC．（Ⅱ）明： PA⊥平面 ABCD．平面 ABCD，∴ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又在正方形 ABCD中且，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∴CD 平面PAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又平面 PCD，∴平面平面．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）如，以 A 坐原点，所在直分，，建立空直角坐系．⋯⋯⋯8分由 PA=AB=2可知 A、B、C、D、P、 E的坐分 A(0, 0, 0), B(2,0, 0),C(2, 2, 0), D( 0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1,1)．⋯⋯⋯⋯⋯9分 PA 平面 ABCD，∴ 是平面 ABCD的法向量， =（0, 0, 2）．平面AEC的法向量, ,即∴ ∴ 令, . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分∴ , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分二面角的正弦⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分18（．本小分 13 分）解：（Ⅰ）令，解得；令，解得⋯⋯⋯⋯⋯2分（Ⅱ）因此，（）两式相减得⋯⋯⋯⋯⋯4 分因此，（）⋯⋯⋯⋯⋯5 分又因因此数列是首，公比的等比数列⋯⋯⋯⋯⋯6 分因此，即通公式（）⋯⋯⋯⋯⋯7 分（Ⅲ），因此因此⋯⋯9分令① ② ①－②得⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因此⋯⋯ 13 分 19 ．（本小分 14 分）（Ⅰ）解：. 依意，令，解得 . ，，吻合意 . ⋯⋯4分（Ⅱ）解：① 当， . 故的增区是；减区是 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分②当，令，得，或. 当，与的状况以下： ? K ? J ? K 因此，的增区是；减区是和 .当，的减区是 . 当，，与的状况以下： ? K? J ? K 因此，的增区是；减区是和 . ③当，的增区是；减区是 . 上，当，的增区是，减区是；当，的增区是，减区是和；当，的减区是；当，的增区是；减区是和 . ⋯⋯ 11 分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上增，由，知不合意 . 当，在的最大是，由，知不合意 . 当，在减，可得在上的最大是，吻合意 . 因此，在上的最大是，的取范是 . ⋯⋯⋯⋯14分20．（本分分）解：（Ⅰ）因足，，⋯⋯⋯⋯2 分。

各地解析分类汇编:函数31【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】 已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x M f x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】若A x ∈，则1)(,0)(,1)(===x f x f x f B A B A ，1)(=x F ；若B x ∈，则,0)(=x f A 1)(,1)(,1)(===x F x f x f B A B ；若B x A x ∉∉，，则0)(=x f A ，0)(=x f B ，.1)(,0)(==x F x f B A 故选B.2【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试 理】函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤<+=210,12161121,1)(3x x x x x x f 和函数)0(16sin )(>+-=a a x a x g π，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，则实数a的取值范围是A.]2321，（B.）2,1[C.]221，（D.]231，（【答案】C【解析】当112x <≤时，3(),1xf x x =+22(23)'()=0(1)x x f x x +>+函数递增，此时1()()(1)2f f x f <≤，即11()122f x <≤，当102x ≤≤时，函数11()612f x x =-+，单调递减，此时10()12f x ≤≤，综上函数10()2f x ≤≤。

当01x ≤≤时，066x ππ≤≤，10sin62x π≤≤，11()12a g x a a -+≤≤-+，即11()12a g x a -+≤≤-+，若存在]1,0[,21∈x x 使得)()(21x g x f =成立，让()g x 的最大值大于等于()f x 的最小值，让()g x 的最小值小于()f x 的最大值，即1102112a a ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩，解得212a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，即122a <≤，选D.3【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞【答案】B【解析】因为()()g x f x =-，所以函数()()g x f x =-为偶函数，因为函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，所以当0x ≥时，()()()g x f x f x =-=-，此时为减函数，所以当0x ≤，函数()()g x f x =-单调递增。

北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是 A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图 5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为 A ．3- B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是A ．),10(+∞B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 ． 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,===a bc ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 ．11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠的小大为 ． 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ．13． 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14． 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式PDB ACE1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =- （Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点． （Ⅰ）证明：PB //平面AEC ；（Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ； （Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值．18．（本小题满分13分）已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈．（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈． （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值．参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一、选择题1． A 2． D 3． B 4． A 5． C 6． D 7． B 8． D 二、填空题 9．43-10． 21 11． 12012．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C所以 ………………………… 4分 （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得cosC=4………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2 …………………… 12分解得 ……………………13分 16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分 因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分OECABDPP DB AC E )6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分 17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分 O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//PB ． ……………………2分EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ． （Ⅱ）证明：PA ⊥平面ABC D ． ⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PA D ． ……………………6分 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空 间直角坐标系． ………8分z yxECABDP由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A （0, 0, 0）, B （2, 0, 0）,C （2, 2, 0）,D （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）,E （0, 1, 1） ． ……………9分 PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）． 设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=． ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）n a S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）n a S n n -=2所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分 又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分 所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b n n n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T n n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分 令n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ② ①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+． 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =．经检验，13a =时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+．故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． …………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-． 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞． 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-． 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-． 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-； 当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意． 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意． 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意．所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞． …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+，c a =，…………2分1223b c ⨯⨯=。

各地解析分类汇编:三角函数11.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2=D.x y 2cos -= 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到sin 2()sin(2)cos 242y x x xππ=-=-=-，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为22cos21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=，选C. 2.【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（理）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于A.2113B.5C.41D.25 【答案】B【解析】因为4524==B c ，，又面积11sin 222S ac B =⨯=⨯=，解得1a =，由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-,所以21322252b =+-⨯=，所以5b =，选B. 3.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为A ．x y 2sin = B. x y 2cos = C. )322sin(π+=x y D. )62sin(π-=x y 【答案】D【解析】由图象知A=1,T=,262,2,234)61211(πφπωωππππ=+⨯=∴==⨯- 6πφ=∴),62sin()(π+=∴x x f 将)(x f 的图象平移6π个单位后的解析式为 )..62sin(]6)6(2sin[πππ-=+-=x x y 故选D.4.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于 A ．51-B ．51C ．57- D ．57【答案】B 【解析】由⎪⎭⎫⎝⎛-∈04，πα知|,cos ||sin |0cos ,0sin αααα<><，ααcos sin +∴ .512sin 1=+=x 故选B.5.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】sin 585︒的值为B.D. 【答案】B【解析】sin 585sin 225sin(18045)sin 452==+=-=-，选B. 6.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A.2B.21- C.21D.-2【答案】D【解析】由3)4tan(=-απ得，t a n t a n ()13144tan tan[()]441321tan()4ππαππααπα---=--===-++-，所以1c o t 2t a n αα==-选D.7.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】由222222c a b ab =++得，22212a b c ab +-=-，所以222112cos 0224aba b c C ab ab -+-===-<，所以090180C << ,即三角形为钝角三角形，选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，045,105ACB CAB ∠=∠= ，则A 、B 两点的距离为A.B.C.D.2【答案】B【解析】因为045,105ACB CAB ∠=∠= ，所以30ABC ∠=，所以根据正弦定理可知，sin sin AC AB ABC ACB =，即50sin 30sin 45AB=，解得AB =，选B..9【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知()sin cos 0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B. D.1【答案】A【解析】由sin cos αα-=得，所以cos 122αα-=，即s i n()14πα-=，所以2,42x k k Z πππ-=+∈，所以32,4x k k Z ππ=+∈，所以33tan tan(2)tan 144k ππαπ=+==-，选A. 10.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像 A.关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称 【答案】D【解析】函数的最小周期是π，所以2T ππω==，所以2ω=，所以函数()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移3π得到函数2()sin[2()]sin(2)33f x x x ππϕϕ=-+=+-，此时函数为奇函数，所以有2,3k k Z πϕπ-=∈，所以23k πϕπ=+，因为2πϕ<，所以当1k =-时，233k ππϕπ=+=-，所以()sin(2)3f x x π=-.由2232x k πππ-=+，得对称轴为512x k ππ=+，当0k =时，对称轴为512x π=，选D.11.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】若,(,),tan cot ,2παβπαβ∈<且那么必有A ．2παβ+<B ．32αβπ+<C ．αβ>D ．αβ<【答案】B【解析】因为3c o t =t a n =t a n =t a n 222πππββπββ-+--（）（）（），因为2πβπ<<，所以2πβπ->->-，322ππβπ<-<，而函数tan y x =在(,)2x ππ∈上单调递增，所以由tan cot αβ<，即3tan tan 2παβ<-（）可得32παβ<-，即32παβ+<，选B.12.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数()212sin ,46f x x f ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A. B.12-C.12【答案】A【解析】()212sin ()cos 2()cos(2)sin 2442f x x x x x πππ=-+=+=+=-,所以()sin 63f ππ=-=选A.13.【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】22cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=--=-=-=，周期为π的奇函数，选A. 14【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】设()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的图像的一条对称轴的方程是 A.9x π=B.6x π=C.3x π=D.2x π=【答案】B 【解析】由262x k πππ+=+得，,62k x k Z ππ=+∈,所以当0k =时，对称轴为6x π=，选B. 15【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 A.sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B.sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C.1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭D.1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭【答案】C【解析】函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到sin()6y x π=+，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为1sin()26y x π=+，选C.16【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像A.向左平移512π个长度单位B.向右平移512π个长度单位 C.向左平移56π个长度单位D.向右平移56π个长度单位【答案】A【解析】因为sin 2cos(2)cos(2)22y x x x ππ==-=- 55cos[(2)]cos[2()]63123x x ππππ=-+=-+，所以为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位，选B. 17【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学理】已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中02ϕπ<<，若()6f x f π⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭对x R 恒成立，且()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则ϕ等于 A.6πB.56π C.76πD.116π【答案】C【解析】由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭可知6π是函数()f x 的对称轴，所以又2+=+62k ππϕπ⨯，所以=+6k πϕπ，由()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，得()()sin sin 2πϕπϕ+>+，即sin sin ϕϕ->，所以sin 0ϕ<，又02ϕπ<<，，所以2πϕπ<<，所以当1k =时，7=6πϕ，选C. 18【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】函数()sin ()f x x x x =+∈R （ ） A.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 B.是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 C.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 D.是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 【答案】D【解析】因为()sin ()f x x x f x -=--=-，所以函数为奇函数。

东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1. 若集合{}0A x x =≥，且A B B =I ，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11 B ．），（11- C ．）（1,1-- D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图俯视图5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞Y8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ） A ．340x y ±= B ．350x y ±= C ．540x y ±=D ．430x y ±=第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 .11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ； ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .PDBACE三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．16．（本小题满分13分）已知：函数()sin()(0,||)2f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数()f x 的 解 析 式；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A 、、的 对 边 分 别是c b a 、、，若(2)cos cos ,()2A a cB bC f -=求 的 取 值 范 围．17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈.（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分）已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3点构成的三角形的面积为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅u u u r u u u r 为定值.东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸高三 数学（理科）命题校：125中 2012年12月第Ⅰ卷请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.第Ⅱ卷9. 10.11. 12.13. 14.15．解：16．解：号学PDB ACE17．解：18．解：19.解：20.解：东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题1. A2. D3. B4. A5. C6. D7. B8. D 二.填空题 9．43-10． 21 11． ο120EP12．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C所以sinC=4. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 ………7分 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2b-12=0 …………………… 12分解得……………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由图像知1=M ，)(x f 的最小正周期πππ=-=)6125(4T ，故2=ω …… 2分 将点)1,6(π代入)(x f 的解析式得1)3sin(=+ϕπ，又2||πϕ<故6πϕ=所以)62sin()(π+=x x f ……………… 5分（Ⅱ）由C b B c a cos cos )2(=-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2=- 所以A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=……………………8分因为0sin ≠A 所以21cos =B 3π=B 32π=+C A ………………9分)6sin()2(π+=A A f 320π<<A 6566πππ<+<A ……………………11分1)6sin()2(21≤+=<πA A f ……………………13分17．（本小题满分13分） 解： （Ⅰ）PDBACEz yxECABDP证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分ΘO 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO//PB ． ……………………2分ΘEO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ……………………3分∴ PB//平面AEC ． （Ⅱ）证明：PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． ……………………4分 又Θ在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂， ……………………5分 ∴CD ⊥平面PAD ． ……………………6分 又Θ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ． ……………9分ΘPA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=. ………………11分 ∴31322,cos =⨯=>=<n AP , …………………12分二面角D AC E --的正弦值为36…………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）na S n n -=2令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a ……………2分 （Ⅱ）na S n n -=2所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）两式相减得121+=-n n a a ……………4分 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥） ……………5分 又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ……………6分所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈） ……………7分（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b nn n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=Λ)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅=ΛΛ ……9分 令nn n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅=Λ ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S Λ ②①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S Λ1221)21(2+⋅---=-n n n n S ……………11分 112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n ……13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. ……4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. …………………5分② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a-；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足222a b c =+， c a =，…………2分122b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分（Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+……………………………………………………………7分因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++。

北京东城区普通校2012—2013学年高三第一学期联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上． 1． 若集合{}0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 【答案】A 【解析】因为AB B =，所以B A ⊆，因为{}1,2A⊆，所以答案选A.2． 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1-【答案】D 【解析】复数111i i+=-，所以对应的点位(1,1)-,选D. 3． 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B 正确。

4． 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是A ．34B ．8C ．4D ．38【答案】A5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为A ．3-B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由23z y x=-得322z y x =+。

做直线32y x =，平移直线得当直线322zy x =+经过点(0,2)B 时，直线322zy x =+的截距最大，此时z 最大，所以最大值234z y x =-=，选C.6．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为 A ．7B ．5-C ．5D ．7-【答案】D【解析】在等比数列中，56478a a a a ==-，所以公比0q <，又472a a +=，解得4724a a =-⎧⎨=⎩或4742a a =⎧⎨=-⎩。

高三 数学（理科）一、1. 若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2. 复数11i+在复平面上对应的点的坐标是（ ）A ．），（11B ．），（11-C ．）（1,1--D ．）（1,1- 3. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,m m αβαβ若则‖‖‖4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ）， 则该棱锥的体积是（ ）A ．34B ．8C ．4D ．38正视图 侧视图俯视图5．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为（ ）A ．3-B ．2C ．4D ．56．已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为（ ）A ．7B ．5-C ．5D ．7-7． 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，)()(x f x g -=，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为（ ）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．540x y ±=D ．430x y ±=二、填空题： 9．已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 . 10．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ的值为 .11．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，12F PF ∠ 的小大为 . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标 为 ，切线方程为 .13. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ②2a b +≤； ③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 14. 已知函数2)1ln()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p ≠，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、15． 已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，1cos 24C =-（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．PDB ACE16．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值; (Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.17．（本小题满分13分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，ABCD PA 面⊥，且2==AB PA ，E 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面AEC ； （Ⅱ）证明：平面⊥PCD 平面PAD ；（Ⅲ）求二面角D AC E --的正弦值．18．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n -=2，)(*N n ∈.（Ⅰ）求：1a ，2a 的值； （Ⅱ）求：数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足n n na b =)(*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分14分） 已知：函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中R a ∈. （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.OECAB DP高三数学（理科）一.选择题1. A2. D3. B4. A5. C6. D7. B8. D 二.填空题9．43- 10． 21 11．12012．（1，2），24-=x y 13．①③⑤ 14．),15[+∞ 15．解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin 2C=14-，及20π<<C 所以sinC=104.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理a csin A sin C=，得c=4 由cos2C=2cos 2C-1=14-，及20π<<C 得,cosC=64.由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得 b 2－6b-12=0 解得 b=2616．解：(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么1-P(C)=1-101P=5049 ,解得P=514 分 (2)由题意,P(ξ=0)=10001101303=）（C ,P(ξ=1)=1000271011101213=-）（）（C , P(ξ=2)=10002431011101223=-）（）（C ,P(ξ=3)=100072910111013033=-）（）（C 所以,随机变量ξ的概率分布列为:ξ0 1 2 3P10001 10002710002431000729故随机变量X 的数学期望为: E ξ=0102710007293100024321000271100010=⨯+⨯+⨯+⨯. 17．（本小题满分13分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． O 为BD 中点，E 为PD 中点，PDBACEzyxECABDP∴EO//PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴ PB//平面AEC ．（Ⅱ）证明： PA ⊥平面ABCD ．⊂CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥． 又 在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂，∴CD ⊥平面PAD ． 又 ⊂CD 平面PCD ，∴平面⊥PCD 平面PAD ．（Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．PA ⊥平面ABCD ，∴AP 是平面ABCD 的法向量，AP =（0, 0, 2）．设平面AEC 的法向量为),,(z y x n =, )0,2,2(AC 1),,1,0(AE ==,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0AC n AE n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y ∴ ⎩⎨⎧-=-=.,y x y z ∴ 令1-=y ,则)1,1,1(-=n . ∴31322||||,cos =⨯=⋅⋅>=<n AP n AP n AP ,二面角D AC E --的正弦值为3618．解：（Ⅰ）n a S n n -=2,令1=n ，解得11=a ；令2=n ，解得32=a（Ⅱ）n a S n n -=2所以)1(211--=--n a S n n ，（*,2N n n ∈≥）,两式相减得121+=-n n a a 所以)1(211+=+-n n a a ，（*,2N n n ∈≥）,又因为211=+a所以数列{}1+n a 是首项为2，公比为2的等比数列 ,所以n n a 21=+，即通项公式12-=n n a （*N n ∈）（Ⅲ）n n na b =，所以n n n b n n n -⋅=-=2)12(所以)2()323()222()121(321n n T n n -⋅++-⋅+-⋅+-⋅= )321()2232221(321n n T n n ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= 令n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅= ① 13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ② ①－②得132122222+⋅-++++=-n n n n S1221)21(2+⋅---=-n n n n S ,112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S所以2)1(2)1(21+-⋅-+=+n n n T n n 19．（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =.经检验，13a =时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-.② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-.当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：x 1(1,)x - 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞()f x '-++()f x↘1()f x ↗2()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-.当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：x 2(1,)x - 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x '-+ 0+()f x↘2()f x↗1()f x↘所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞.……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意.当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意.当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞.20．解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+， 63c a =，152223b c ⨯⨯=。

东城区普通高中示范校高三综合练习(一）高三数学（理）2012。

12命题学校：北京汇文中学学校： 班级： 姓名: 成绩：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

U B C A 为【解析】{0,4}UA ={0,4}{2,4}{0,2,4}UBA ==，选C.11<a的．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件11a<得，3．若y x <<0，则下列各式正确的是A ．11--<y xB ．y x sin sin <C ．y x 33log log<D ．11()()33x y <【答案】C【解析幂函数1y x -=在0x >时，单调递减，所以A 错误.sin y x =在定义域上不单调,错误。

对数函数3=log y x 在定义域上单调递增，所以C 正确.指数函数1=()3xy 在定义域上单调递减，不正确.所以选C 。

4．在等差数列{}n a 中,0>n a ，且301021=+++a a a，则65a a ⋅的最大值是A ．3B ．6C ．9D ．36 【答案】C【解析】在等差数列中，121030a aa +++=，得1105()30a a +=，即110566a a a a +=+=,由56562aa a a +≥，所以5662a a ≥，即569a a ≤，当且仅当56a a =时取等号，所以56a a 的最大值为9，选C.5．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形,则该几何体的体积为A ．36B ．39C ．312D ．318 【答案】B【解析】由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为3，底面矩形的长为3底面宽为222(3)2=1+2=3-+，所以该几何体的体积为33393⨯⨯=，选B 。

6．下列命题中，真命题是 A ．01,2>--∈∀x x R x B ．βαβαβαsin sin )sin(,,+<+∈∀R C ．01,2=+-∈∃x x R x D ．βαβαβαcos cos )sin(,,+=+∈∃R 【答案】D 【解析】因为22151()24x x x --=--，所以A 错误。