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○…………外○…………内绝密★启用前 【校级联考】安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知全集U =R ，集合A = x x x −3 ≥0 ，B = x y = 2−x ，则 ∁U A ∩B 等于（ ） A ． 0,2 B ． 0,3 C ． ∅ D ． 0,2 2．复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 3．已知向量a = 1,3 ，b = m ,1 ，若a //b ，则m = （ ） A ． −13 B ． 13 C ． −3 D ． 3 4．已知函数f x =1e x +1−12，则f x 是（ ） A ． 奇函数，且在R 上是增函数 B ． 偶函数，且在 0,+∞ 上是增函数 C ． 奇函数，且在R 上是减函数 D ． 偶函数，且在 0,+∞ 上是减函数 5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）………○………※※在※※装※※订※※线………○………A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 2 3 6．已知等比数列 a n 的前n 项和为S n ，a 1+a 3=52且a 2+a 4=54，则S 5a 5 （ ） A ． 256 B ． 255 C ． 16 D ． 31 7．把函数f x =sin x −cos x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3，得到函数g x 的图象，则函数g x 的一个单调递增区间为（ ） A ． −17π6,−5π6 B ． −5π6,7π6 C ． −2π3,4π3 D ． 7π6,19π68．若实数x ，y 满足约束条件 x −y −2≤0x +2y −7≥0y −3≤0 ，则z =x +1y的最小值为（ ）A ． 23B ． 1C ． 2D ． 1459．如图，在矩形A B C D 中的曲线是y =sin x ，y =cos x 的一部分，点B π2,0 ，D 0,1 ，在矩形A B C D 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ． 4π 3−1B ． 4π 2−1 C ． 4 3−1 π D ． 4 2−1 π10．R t ΔA B C 的斜边A B 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则P A ·P B 的取值范围是（ ）A ． −32,52B ． −52,52 C ． −3,5 D ． 1−2 3,1+2 311．体积为43的三棱锥P −A B C 的顶点都在球O 的球面上，P A ⊥平面A B C ，P A =2，∠A B C =π2，则球O 的表面积的最小值为（ ）A ． 8πB ． 9πC ． 12πD ． 16π12．设函数f x 的导数为f ′ x ，且f x +xe x =xf ′ x ，f 1 =−π，f 2 =−π2，则当x >0时，f x （ ）A ． 有极大值，无极小值B ． 无极大值，有极小值C ． 既有极大值又有极小值D ． 既无极大值又无极小值外………………装…………※不※※要※※在※※装内………………装…………第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．已知p : x −a <3，q : 2−x x −3 >0，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为__________． 14．已知函数f x =sin ωx +π3 ω>0 在 0,2 上恰有一个最大值点和最小值点，则ω的取值范围是__________．15．已知正数a ，b 满足a +b =1，则aa +1+bb +2的最大值为__________．16．在四边形A B C D 中，A B =7，A C =6，cos ∠B A C =1114，C D =6sin ∠D A C ，则B D 的最大值为______．三、解答题17．如图，在梯形A B C D 中，A B //C D ，B C =C D =A D =1，∠A B C =60∘，四边形B D E F 是正方形，且∠A D E =π2，点G 在线段E F 上.（Ⅰ）求证：A D ⊥平面B D E F ；（Ⅱ）当B G //平面A C E 时，求四棱锥A −B D E G 的体积.18．如图，A D 是ΔA B C 的外平分线，且B C =C D .（Ⅰ）求sin ∠Bsin ∠A C B ；（Ⅱ）若A D =4，C D =5，求A B 的长.19．已知数列 a n 的前n 项的和S n =n 2+2n ， b n 是等差数列，且a n =b n +b n +1.（Ⅰ）求数列 b 的通项公式；………线……………线……（Ⅱ）令c n = a n +1 n +1b n +1n ，求数列 c n 的前n 项和T n . 20．在四棱锥S −A B C D 中，侧面S C D ⊥底面A B C D ，B C //A D ，C D ⊥A D ，S D =A D =C D =1，B C =12，S C = 3.（Ⅰ）求S C 与平面S A B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面S A D 与平面S A B 所成的锐二面角的余弦值. 21．已知f x =x ln x . （Ⅰ）求f x 的最小值； （Ⅱ）若f x ≥k x −2 k +1 k ∈Z 对任意x >2都成立，求整数k 的最大值. 22．已知f x =e x ，g x =a x +b ，其中a ，b ∈R . （Ⅰ）当a =1是，求函数F x =f x −g x 的单调区间； （Ⅱ）若f x ≥g x 恒成立，求a +b 的最大值.参考答案1．D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得∁U A，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合∁U A=x x x−3<0=0,3，B=−∞,2，所以∁U A∩B=0,2，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2．A【解析】由题意得，()()()()4332431173232321313i ii izi i i+++===+--+，则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量a=1,3，b=m,1，若a//b，则1×1=3m，解得m=13.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.4．C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用f−x+f x=0可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，f−x=1e−x+1−12=e xe x+1−12，有f−x+f x=0，所以f x是奇函数，函数f x=1e x+1−12，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5．A【解析】【分析】还原几何体得四棱锥P−ABCD，其中PA⊥面ABCD，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P−ABCD，其中PA⊥面ABCD，S∆P A D=12P A∙A D=1,S∆P A B=12P A∙A B=2,S∆P C D=12P D∙C D=52.∆P C B中有P C=6,B C=2,P B=22，由B C2+P C2=P B2，所以∠P C B=90°.所以S∆P C B=12P C∙B C=3.所以面积最大值是ΔP A B的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6．D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得S na n，令n=5求解即可.【详解】由a1+a3=52，可得a1+a1q2=52；由a1q+a1q3=54.两式作比可得：可得q=12，a1=2，所以a n=12n−2，S n=4−12n−2，S na n=2n−1，所以S5a5=25−1=31.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7．B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换可得函数g x=2sin x x2−π12，再由2kπ−π2≤x2−π12≤2kπ+π2，k∈Z，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数f x=sin x−cos x=2sin x x−π4的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y=2sin x x2−π4的图象，再向左平移π3，得到函数g x=2sin12x+π3−π4=2sin x x2−π12的图象.由2kπ−π2≤x2−π12≤2kπ+π2，k∈Z，得4kπ−5π6≤x≤4kπ+7π6，k∈Z.当k=0时，函数g x的一个单调递增区间 −5π6,7π6，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.8．A【解析】【分析】作出不等式的可行域，z=x+1y的几何意义是可行域内的点与点−1,0连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，z=x+1y的几何意义是可行域内的点与点D−1,0连线的斜率的倒数，由图象知A D的斜率最大，由x+2y−7=0y=3得x=1y=3，所以A1,3，此时z=1+13=23.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z=A x+B y+C的几何意义为可行域内的点到直线A x+B y+C=0的距离的A+B倍z=(x−a)2+(y−b)2的几何意义为可行域内的点到点(a,b)的距离的平方。
2020届高三三校联考数学试卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合(1,3]A =-，{2,3,4}B =则A B I 的子集个数为_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】可根据交集定义和子集个数进行求解【详解】(1,3]A =-，{2,3,4}B =，则{}2,3A B =I ，则A B I 的子集个数为224=个 故答案为：4【点睛】本题考查集合的交集运算和子集个数的求法，属于基础题 2.双曲线x 2-2y 2=1的渐近线方程为______． 【答案】2y x = 【解析】由双曲线的方程知21,2a b ==，所以双曲线的渐近线方程为22b y x x a =±=±． 考点：双曲线的几何性质．3.函数2()cos 2f x x x =+，若(2)(1)f a f a =-，则实数a 的值为____________. 【答案】1-或13【解析】 【分析】根据()f x 表达式可判断为偶函数，再结合偶函数性质即可求解【详解】由2()cos 2f x x x =+可判断函数为偶函数，又(2)(1)f a f a =-，故21a a =-或()210a a +-=，解得1a =-或13故答案为：1-或13【点睛】本题考查由偶函数的性质求解参数，属于基础题4.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 【答案】293【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可.【详解】由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.5.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可.【详解】“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞【点睛】本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型. 6.函数log (1)2a y x =++的图像必过定点_____________. 【答案】()0,2 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则即可求解【详解】由log ay x =根据平移法则向左平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到log (1)2a y x =++，log a y x =经过()1,0，则log (1)2a y x =++经过()02,故答案为：()02,【点睛】本题考查对数函数过定点问题，属于基础题7.设A ，F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的右顶点和右焦点，1B ，2B 为椭圆C 短轴的两个端点，若点F 恰为12AB B ∆的重心，则椭圆C 的离心率的值为__________. 【答案】13【解析】 【分析】结合题意表示出四点坐标，再由重心坐标公式即可求解 【详解】如图：由题可知，()()()120,,0,,,0B b B b A a -，(),0F c ，则3a c =，即13c e a ==， 故答案为：13【点睛】本题考查椭圆的基本性质，重心坐标公式的应用，属于基础题8.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ． 【答案】6.π 【解析】试题分析：因为圆柱的表面积为222,1,2r rl r l ππ+==，所以圆柱的表面积为6.π 考点：圆柱的侧面积9.设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，sin()sin sin a c A C b c A C-+=-+，则角A 为___________. 【答案】3π【解析】 【分析】结合正弦定理的角化边和余弦定理的代换即可求解 【详解】222sin sin sin a c B ba cb bc b c A C a c-==⇒-=-⇒-++ 2222cos 3b c a bc bc A A π+-==⇒=故答案为：3π 【点睛】本题考查三角形的性质和正弦定理、余弦定理，考查转化能力和运算求解能力，一般的，在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角，属于中档题10.已知向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r 且a r 与b r 的夹角的正切为12-，b r 与c r 的夹角的正切为13-，||2b =r ，则a c ⋅r r的值为___________.【答案】45【解析】 【分析】可设,,AB a BC b CA c ===u u u r u u u r u u u r r r r ，由题意可得11tan ,tan 23B C ==，由两角和的正切公式，可得tan A ，再由同角的基本关系式可得sin ,sin B C ，再由正弦定理可得AB ，AC ，由数量积的定义即可得到所求值． 【详解】解：可设,,AB a BC b CA c ===u u u ru u ur u uu r r r r， 由题意可得11tan ,tan 23B C ==， 则11tan tan 23tan tan()1111tan tan 123B C A B C B C ++=-+=-=-=---⨯， 即为135A ︒=，又,B C 为锐角，22sin 1sin cos 1,cos 2B B B B +==， 可得5sin 5B =，同理可得10 sin C=，由正弦定理可得2sin135510510︒==r r，即有21025,c a==r r，则2102524 ||||cos455525a c c a︒⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u rr r r．故答案为：45．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的化简和求值，以及运算求解能力，属于中档题．11.定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．【答案】9 4【解析】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.考点：1.新定义；2.直线与曲线的位置关系 【此处有视频，请去附件查看】12.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为__________.【答案】2021 【解析】 【分析】可采用“1”的代换，将12019||a a +中的“1”代换成||a b +，同时2019b 可代换成()2019||a b b⋅+，再结合基本不等式特征求解 【详解】||1a b +=Q ，()12019||2019||2019||2019||a a a b a b a b a b+++∴+⇔+⋅+，即20191120192201920192019201920192019a a b a a ab a ⎛⎫++++≥+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当222019b a =时取到等号，又111220192201920212019201920192019a a +++≥-+++= 所以120192019||a a b++的最小值为：2021故答案为：2021【点睛】本题考查基本不等式最值的求解，“1”的代换是关键，属于中档题13.已知数列{}n a 满足13a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有n mn ma a a +=，若数列{}nb 满足23log ()1n n b a =+，则数列21{}n n b b +的前n 项和n T 的取值范围是_______. 【答案】12[,)2115【解析】【分析】由任意的m ，n ∈N *，都有n m m a a +=a n ，令m=1，可得113n na a q a +===，可得a n =3n ，求解b n =2n+1，数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++，利用裂项相消求解T n ，即可求解取值范围．【详解】由题意m ，n ∈N *，都有n mma a +=a n ， 令m=1，可得：113n na a q a +===， 可得a n =3n ， ∵b n =log 3（a n ）2+1， ∴b n =2n+1，那么数列{21n n b b +}的通项c n =()()12125n n ++=11121254n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．那么：T n =c 1+c 2+……c n =14（1137-+1159-+11711-+……112123n n --++112125n n -++） =111113523245n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭ =181********154n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭＜， 当n=1时，可得T 1=121， 故得T n 的取值范围为[121，215），故答案为[121，215）．【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2） n k n++ 1n k n k =+； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=____________. 【答案】2log 5 【解析】 【分析】由题可知，1x =-必为其中一个解，当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，可联立求解得3,2b c ==-，则当1x >-时，可解得对应的23,x x ，进而得解【详解】由题可知，当1x >-时，函数()f x 单调递增，则关于2()()0f x bf x c --=在()1,-+∞至多两解，故1x =-必为其中一个解，即11x =-，即当11x =-时，2()()0f x bf x c --=，此时由()1f x =可得10b c --=①，又关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，则当1x <-时，()2f x =也一定满足方程2()()0f x bf x c --=，即420b c --=②，联立①②得3,2b c ==-，则当1x >-时，22()()0()3()20f x bf x c f x f x --=⇔-+=， 解得()2221log (1)x x f =+=，此时21x =，()3232log (1)x x f =+=，此时33x =，则()()()1232113324log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==故答案为：2log 5【点睛】本题考查分段函数分类讨论的思想，运算及推导能力，分析解决问题的能力，函数与方程的转化思想，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足sin 3sin B C =，||5AB AC -=u u u r u u u r52AB AC ⋅=u u u r .（1）求22b c +的值； （2）求sin()A B -的值.【答案】(1)10 (2) 5515- 【解析】 【分析】（1）联立||5AB AC -=u u u r u u u r52AB AC ⋅=u u u r 化简即可求得22b c +；（2）由sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-可知，需分别求出sin cos sin cos A A B B ，，，，先由余弦定理可得a的值，再由三边关系求出cos B ，进而推出sin B ，即可求解【详解】（1）因为5AB AC -=u u u r u u u r所以2225b c AB AC +-⋅=u u u r u u u r，又52AB AC ⋅=u u u r u u u r ，所以2210b c +=.（2）因为sin 3sin B C =，由正弦定理，得3b c =， 又2210b c +=，所以3b =，1c =.由（1）552cos 36AB AC A bc ⋅===u u u r u u u r ，211sin 1cos A A =-=， 2225cos 526b c a A a bc +-==⇒=由余弦定理知222cos 225a cb B ac +-==. 从而211sin 1cos 25B B =-=（也可由正弦定理求sin B ） 所以255sin()sin cos cos sin 15A B A B A B --=-=【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系，运算能力，熟悉公式运用是解题关键，属于中档题16.如图，在四棱锥S ABCD -中，已知SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是SC ，AB 的中点.（1）求证：//MN 平面SAD ； （2）求证：SN AC ⊥.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）可作SD 的中点E ，连EM ,EA ，通过中位线定理证明四边形EMNA 是平行四边形，即可得证； （2）要证SN AC ⊥，即证SN ⊥平面ABCD ，即证SN AB ⊥，由题设条件平面SAB ⊥平面ABCD 即可求证，按照合理顺序整理思路即可求证 【详解】（1）取SD 的中点E ，连EM ,EAM Q 是中点，//EM CD ∴，且12EM CD =Q 底面ABCD 是矩形，N 为AB 中点//AN CD ∴，且12AN CD =，//,EM AN EM AN ∴=∴四边形EMNA 是平行四边形//MN AE ∴MN ⊄Q 平面SAD ，AE ⊂平面SAD ，所以//MN 平面SAD .（2）SA SB =Q ，N 是AB 中点SN AB ∴⊥Q 平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =，SN ⊂平面SABSN ∴⊥平面ABCD AC ⊂Q 平面ABCD SN AC ∴⊥【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的性质定理和判定定理，属于中档题17.如图，三个校区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，点Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P （不与点O ，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB＝3π，记∠APQ＝θrad ，地下电缆管线的总长度为y 千米． （1）将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】（1）7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）P 与O 23时，地下电缆管线的总长度最小 【解析】 【分析】（1）首先根据Q 为弧AB 的中点，得到知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π，利用正弦定理得到()sin sinsin 66PA OAOP πππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据OA ＝2，得到PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得到y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3sin cos 2θθ-+，根据题意确定出7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）对函数求导，令导数等于零，求得3πθ=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝6π， 又∠APO ＝πθ-，∠OAP ＝6πθ-，由正弦定理，得：()sin sinsin 66PAOAOPπππθθ==-⎛⎫- ⎪⎝⎭，又OA ＝2， 所以，PA ＝1sin θ，OP ＝2sin 6sin πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin 6sin πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭3sin cos 2θθ-+， ∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ ＝∠OQA ＝152612πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以，7,612ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）令()3sin cos 2f θθθ-+=，7,612ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭()212cos '0sin f θθθ-==，得：3πθ=， ()f θ在,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，在7,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 所以，当3πθ=，即OP 23()f θ有唯一的极小值， 即是最小值：()min fθ＝3，答：当工作坑P 与O 23时，地下电缆管线的总长度最小．【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率是3，左右焦点分别为1F ，2F ，过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；（2）当2PB AP =u u u r u u u r时，求直线l 方程；（3）已知点()0,2Q ，直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k .问是否存在实数λ，使得120k k λ+=恒成立？【答案】(1) 2214x y += (2) 1512y x =+ (3)存在，1λ=【解析】 【分析】（1）由焦点三角形的周长特点可求出a 3，可求出c ，进而求得椭圆标准方程； （2），设直线方程为1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，可联立直线方程和椭圆标准方程，得出两根和与积的表达式，再结合2PB AP =u u u r u u u r，代换出1x 与k 的关系式；（3）先用必要性探路，找特殊情况，当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立，根据题意和斜率定义表示出12k k +，结合（2）中韦达定理即可得证 【详解】（1）由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ，所以48a =，所以2a = 又离心率3c a =，所以3c =1b = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当l x ⊥轴，2PB AP ≠u u u r u u u r所以可设1:2l y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y则221214y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得()2214430k x kx ++-= 所以122122414314k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(*) 因为2PB AP =u u u r u u u r，所以2102x x -=-，即212x x =-代入(*)化简得122124143214k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩所以22231424114k k k ⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭ 解得1510k =±所以直线l 方程为：1512y x =+，（3）当//AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得120k k λ+=成立， 下面证明当1λ=时120k k λ+=恒成立()12121212121212121132222222200kx kx kx x x x y y k k x x x x x x +-+--+--+=+=+=-- 因为()12122233343226402142142k kx x x x k k k k k --⎛⎫⎛⎫-+=-=---= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得120k k λ+=恒成立.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，椭圆中的直线满足某条件求直线方程，椭圆中的直线斜率满足某条件的求法，韦达定理在解析几何中的应用，对运算能力要求高，属于难题 19.设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c ∈R ）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3（3）见解析【解析】试题分析：（1）由导数几何意义可得()()111g f ''==，又()()11f g =，解方程组可得,a b 的值；（2）先转化条件为对应方程有两个不等实根，再根据实根分布充要条件列不等式组，解得c 的最小值；(3)先根据零点表示b ，代入要证不等式化简得1222111ln 1x x xx x x -<<-.再构造函数()1ln 1t t tϕ=+-，以及()ln 1m t t t =-+，结合导数研究其单调性，即证得结论试题解析：解：（1）由()ln f x x =，得()10f =，又()1f x x'=，所以()11f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以()2bg x a x-'=，所以()1g a b '=-. 因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以()()()()1111f g f g ⎧==''⎪⎨⎪⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ． 即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()212120343030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得()()203430a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩， 所以()23c a a t >--对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222b lnx x c x b lnx x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭.要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t tϕ=+-，所以()221110t t t t t ϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减， 又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.20.已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<L .【答案】(1) 2122a a =- (2) 2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧=⎨+--≥⎩(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）令1n =即可求解；（2）当2n ≥时，通过作差法可求得163n n a a n ++=+，再书写一项2169n n a a n +++=+，通过两式作差可得26n n a a +-=()2n ≥，分类讨论n 的奇偶，即可求解； （3）可结合放缩法公式22111n n <-，()2111nn n <-，分别对化简后的表达式 22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 进行放缩， 再结合裂项公式()()21111212n n n =⋅-+-，()11111n n n n =---的特点即可进一步求解【详解】（1）由条件1n =得12112a a a ++=，2122a a =-.（2）由条件213(1)n n S S n ++=+得，213n n S S n -+=()2n ≥两式相减得163n n a a n ++=+()2n ≥， 故2169n n a a n +++=+，两式再相减得26n n a a +-=()2n ≥，246,,a a a ∴L 构成以2a 为首项，公差为6的等差数列； 357,,,a a a L 构成以3a 为首项，公差为6的等差数列；由（1）得2662n a n a =+-；由条件2n =得1231227a a a a a ++++=，得332a a =+， 从而21632n a n a +=-+，,13(62)(1),2n na n a n a n =⎧∴=⎨+--≥⎩ 解法2：设()1(1)n n a x n y a xn y ++++=-++，即122n n a a xn y x +=----则263230x x y x y ⎧-==-⎧⇒⎨⎨--==⎩⎩∴有()13(1)3n n a n a n +-+=-- 2n ∴≥时，()2236(1)n n a n a --=-⋅-，即23(62)(1)n n a n a -=+-⋅-2,13(62)(1),2n n a n a n a n -=⎧∴=⎨+--≥⎩（3）证明：当32a =时，且2n ≥，由（2）可知3(1)nn a n ⎡⎤=+-⎣⎦ ①当1n =时，222111912a =< ②当2n ≥时，216(1)n a n -=-Q ，23(21)n a n =+2222232121111n na a a a -∴++⋯++ 2222222423521111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 22222211111111935(21)3612(1)n n ⎡⎤⎡⎤=⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L L 11111111361223(1)3612(2)(1)n n n n ⎡⎤⎡⎤<⨯++++⨯+++⎢⎥⎢⎥⨯⨯+⨯--⎣⎦⎣⎦L L 1111111111111113622313622321n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯+-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+--⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 111112361361n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ 1111112361112n n ⎛⎫=--< ⎪+-⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分组讨论法求数列通项公式，放缩法和裂项相消法求证不等式恒成立，对于运算能力，分析转化能力有较高要求，属于难题数学Ⅱ 附加题部分（本部分满分40分，时间30分钟）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为21α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若x a A y b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求x ，y 的值．【答案】x ，y 的值分别为0，1． 【解析】试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x ，y 的值分别为0，1．试题解析：由条件知，2A αα=，即][1222111a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，即][2422ab +⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦，所以24,{22,a b +=-+= 解得2,{ 4.a b == 所以1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 则][][][12221444xx x y A y y x y +⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦，所以22,{44,x y x y +=-+= 解得0,{ 1.x y ==所以x ，y 的值分别为0，1．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线2sin()()4l m m R πρθ-=∈，圆C 的参数方程为13cos 23sin x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．当圆心C 到直线l 的距2时，求m 的值。
1 / 12 ——教学资料参考参考范本—— 2019-2020学年度高三数学12月月考试题 理 ______年______月______日 ____________________部门 2 / 12
高三 理科数学 总分150分 时间120分钟 一、选择题（每小题四个选项中只有一项是正确的，每小题5分，共计60分） 1、已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝( ) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 2、 下列命题正确的是 （ ）
A．已知; B．存在实数，使成立;011:,011:xpxp则Rx
2cossinxx C．命题：对任意的，则：对任意的;p01,2xxRxp
01,2xxRx D．若或为假命题,则,均为假命题p
3、 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 （ ）
A． B． C． D．8x4x4x2x
4、下列命题为真命题的是（ ） A．平行于同一平面的两条直线平行； B．与某一平面成等角的两条直线平行； 3 / 12
C．垂直于同一平面的两条直线平行； D．垂直于同一直线的两条直线平行． 5、已知数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。是等差数列，且错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。 （ ） A.错误！未找到引用源。 B.错误！未找到引用源。 C.错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 6、若非零向量满足，，则与的夹角是（ ）,ab(4)aba()babab
A． B． C． D．6
32 7、过双曲线左焦点，倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若线段的中点在轴上，则此双曲线的离心率为（ ）1
2019-2020年高三上学期12月月考数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（xx•江西）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解答：解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．（5分）已知t＞0，若∫0t（2x﹣2）dx=8，则t=（）A．1B．2C．4D．4或2考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出一次函数的f（x）=2x﹣2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．解答：解：∫0t（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|0t=t2﹣2t=8，（t＞0）∴t=4或t=﹣2（舍）．故选C．点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题．3．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：数形结合．分析：确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．解答：解：设f（x）=，则函数的定义域为R∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）∴函数为奇函数∵，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增故选C．点评：本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．4．（5分）（xx•泰安二模）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，π），sinx＞cosxC．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1考点：特称命题；全称命题．分析：选项A应把sinx+cosx化积求值域；B选项可取特值排除，C命题可用幂函数的单调性；D分析较为困难，可建立辅助函数，求导分析单调性解决．解答：解：由sinx+cosx=，最大值为小于x不存在∴A不正确；B选项（特值）可取x=，sin=cos，∴不是全部都符合，排除B．C选项，∀x∈（﹣∞，0），x一旦选定就是一个具体值，运用幂函数在幂指数小于0时为减函数，都有2x＞3x，排除C．D选项分析：可令辅助函数y=e x﹣x﹣1，y′=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时恒大于0，∴函数f（x）=e x﹣x﹣1在0，∞）上位增函数，∴f（x）＞0，即e x﹣x﹣1＞0，即e x ＞x+1．得到结论正确．故选D点评：对于全称命题和特称命题排除法是解决的常用方法，全称可以举反例验证，或者结合已知条件证明出来5．（5分）（xx•济宁二模）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正确，从而得到结论．解答：解：由于平面α和共面的直线m，n，若m，n与α所成的角相等，则直线m，n平行或相交，故A不正确．若m∥α，n∥α，则，直线m，n平行或相交，故B不正确．若m⊥α，m⊥n，则n与平面α平行或n在平面α内，故C不正确．若m⊂α，n∥α，根据直线m，n是共面的直线，则一定有m∥n，故D正确，故选D．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题．6．（5分）（2011•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：∵S==2∴a=1由余弦定理得=25∴b=5故选A点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．7．（5分）（xx•莆田模拟）若点（m，n）在直线4x+3y﹣10=0上，则m2+n2的最小值是（）A．2B．C．4D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，由此能求出m2+n2的最小值．解答：解：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直线与两轴交于A（，0），B（0，），直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边AB==，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，∵△OAB面积=×OA×OB=×AB×h，∴h===2，∴m2+n2的最小值=h2=4，故选C．点评：本题考查点到直线的距离的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（5分）（xx•郑州二模）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．分析：先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．解答：解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S===．故答案选D．点评： 本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．9．（5分）（xx •泰安二模）在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E ，F 为边BC 的三等分点，则=（ ）A ．B ．C ．D ．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1， ∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C 为坐标原点，CA 、CB 方向为x ，y 轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C （0，0），A （1，0），B （0，）又∵E ，F 分别是Rt △ABC 中BC 上的两个三等分点，则E （0，），F （0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A ．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．10．（5分）若函数，若af （﹣a ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣1，0）∪（1，+∞）D ． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：由已知中函数，分别讨论a ＜0时和a ＞0时不等式af （﹣a ）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：当a ＜0时，﹣a ＞0 若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=log 2（﹣a ）＜0，解得0＜﹣a ＜1∴﹣1＜a ＜0当a ＞0时，﹣a ＜0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=＞0，解得0＜a ＜1综上实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选A点评： 本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的11．（5分）（xx•泰安二模）已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，ϕ的值为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出ϕ的值即可．解答：解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（xx•泰安二模）已知，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b ＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．解答：解：∵在（0，+∞）上是减函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x0＜c，此时B，C成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＜a，此时A成立．综上可得，D不可能成立点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置．13．（4分）（xx•泰安二模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．14．（4分）（xx•泰安二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C 的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：确定三棱柱为直三棱柱，取AC中点D，连接BM，DM，则可得∠BMD为BM与平面AA1C1C所成角，由此可求结论．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C 所成设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=a，∴tan∠BMD=∴∠BMD=故答案为：点评：本题考查直线与平面所成的角，确定三棱柱为直三棱柱，正确作出线面角是关键．15．（4分）（xx•宝鸡模拟）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（4分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x ﹣1 0 2 4 5F（x） 1 2 1.5 2 1下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．综上可知①②④正确．故答案为①②④．点评：由导函数的图象和对应值表得出单调性、极值、最值及值域并画出图象是解题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．17．（12分）（xx•泰安二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）设数列的首项为a1，利用S5=35，且a2，a7，a22成等比数列，等差数列{a n}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{a n}的通项公式；（II）先求出S n，再用裂项法，可求数列的前n项和．解答：解：（I）设数列的首项为a1，则∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列∴∵d≠0，∴d=2，a1=3∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（II）S n=∴∴T n===﹣点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．18．（12分）（xx•泰安二模）已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值与单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；（II）将函数f（x）和f（﹣x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．解答：解：=1+2sincos﹣（1﹣cosx）∴f（x）=sinx+cosx（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=（II）∵f（x）•f（﹣x）=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x∴函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，化简，得数F（x）=sin（2x+）+1当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1令﹣+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ＜x＜+kπ∴函数F（x）单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）．点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．19．（12分）（xx•泰安二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）证明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可证平面ECD⊥平面PAD；（II）过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角，先利用AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE，在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．解答：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面PAD；（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE==，∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin60°=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确作出面面角，求出三角形的三边，利用余弦定理求面面角．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（12分）（xx•泰安二模）已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．解答：解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则△=16k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0，∴k2＜设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=﹣∴AB的中点的坐标为（）∴AB的垂直平分线的方程为y+=﹣（x﹣）将点C（m，0）代入可得0+=﹣（m﹣）∴m=∵0＜m＜2∴恒成立∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB 的垂直平分线的方程是关键．22．（14分）（xx•泰安二模）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a＞．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a 的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：（I）证明：求导数可得f′（x）=a﹣（x＞0）令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜∴x=时，函数取得最小值∴f（x）≥f（）=1+lna；（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae﹣1]∴，无解；当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae﹣1]，∴，无解综上知，＜a≤．点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
