新领航教育特供：北京市东城区普通校2013届高三12月联考 理科数学

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4}（C ）{1,2} （D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）22 （B ）62（C ）322 （D ）362（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A ）52（B ）3 （C ）2（D ）31+（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos n nk θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

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无锡新领航教育特供：各地解析分类汇编:直线、圆、圆锥曲线
1.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ）
A.1或-3
B.-1或3
C.1或3
D.-1或3
【答案】A
【解析】因为直线2-=ax y 的斜率存在且为a ，所以(2)0a -+≠，所以01)2(3=++-y a x 的斜截式方程为3122
y x a a =+++，因为两直线平行，所以32a a =+且122
a ≠-+，解得1a =-或3a =，选A. 2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知P （x,y)是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，PA ，PB 是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）
A.3
B.
2
12 C.22 D.2 【答案】D
【解析】由圆的方程得22(1)1x y +-=，所以圆心为(0,1)，半径为1r =，四边形的面积2S S PBC ∆=,所以若四边形PACB 的最小面积是2，所以S PBC ∆的最小值为1，而1
2
S PBC r
PB ∆=
，即PB 的最小值为2，此时PC 最小为圆心到直线的距离，此时d ===，即24k =，因为0k >，所以2k =，选
D.。

北京市东城区2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）（东城二模） （时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合<<-=∈<-=x x B R x x x x A 2|{},,0)1(|{},,2R x ∈那么集合B A是 ( ) ∅.A },10|.{R x x x B ∈<< },22|.{R x x x C ∈<<- },12|.{R x x x D ∈<<-2．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．则图中x 的值等于 ( )754.0.A 048.0.B 018.0.C 012.0.D3．已知圆的极坐标方程是,cos 2θρ=那么该圆的直角坐标方程是 ( )1)1.(22=+-y x A 1)1(.22=-+y x B 1)1.(22=++y x C 2.22=+y x D4．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是 直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为 ( )1.A2.B3.C4.D5．阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为 ( )1.A2.B3.C4.D6．已知,53)4(s =-x in π那么sin2x 的值为 ( ) 253.A 257.B 259.C 2518.D 7．过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若,10||=AB 则AB 的中点到y 轴的距离等于( )1.A2.B3.C4.D8．已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且当∈x )0,(-∞时，0)()(/<+x xf x f （其中)(/x f 是)(x f 的导函数），若=⋅=⋅=c f b f a ),3(log 3log ),3(33.03.0ππ),91(log 91log 33f ⋅则a ，b ，c 的大小关系是 ( )c b a A >>. a b c B >>. b a c C >>. b c a D >>. 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．已知向量),,1(),3,2(λ=-=b a 若a∥b，则λ=10.若复数ii a -+1是纯虚数，则实数a 的值为 11．各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为,n s 若=3a ,5,224s S =则1a 的值为 4,s 的值为12.如图，AB 为⊙0的直径，AC 切⊙0于点A ，且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若,ND MN CM ====CM AC 则,22 =AD ,13.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 种．14.在数列}{n a 中，若对任意的*,N n ∈都有t t a aa a n n n n （=-+++112为常数），则称数列}{n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列}{n a 满足,221n a n n -=则数列}{n a 是比等差数列，且比公差;21=t ③若数列}{n c 满足),3(,1,12121≥+===--n c c c c c n n n 则该数列不是比等差数列；④若}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，则数列}{n n b a 是 比等差数列．其中所有真命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数-=x x x f cos 3(sin )().sin x(I)求)(x f 的最小正周期；(Ⅱ)当)32,0(π∈x 时，求)(x f 的取值范围． 16.（本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：（单位：人）按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优秀的有30人．，(I)求a 的值；(Ⅱ)在合格的同学中按男、女分层，得到一个容量为的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．17.（本小题共14分）如图，△BCD 是等边三角形，=AB ,90, =∠BAD AD 将△BCD 沿BD 折叠到D BC /∆的位置，使得./B C AD ⊥(I)求证：;/AC AD ⊥(Ⅱ)若M ，N 分别是B C BD /,的中点，求二面角N-AM -B 的余弦值．18．（本小题共14分）已知函数).0(ln )(>+=a x a x x f (I)求)(x f 的单调区间； (Ⅱ)如果),(00y x P 是曲线)(x f y =上的任意一点，若以),(00y x P 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的最小值； (Ⅲ)讨论关于x 的方程212)(2)(3-++=x a bx x x f 的实根情况． 19.（本小题共13分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率,23=e 原点到过点),0(),0,(b B a A - 的直线的距离是⋅554(I) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若椭圆C 上一动点),(00y x P 关于直线x y 2=的对称点为2121111),(y x y x P +求的取值范围；(Ⅲ)如果直线)0(1=/+=k kx y 交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20.（本小题共13分）已知数列===-1421,,1},{n n n n a a a a a *).(1,014N n a n ∈=+(I)求⋅74,a a(Ⅱ)是否存在正整数T ，使得对任意的*,N n ∈有T n a +n a =? (Ⅲ)设,10101010321 +++++=n a a a a S 问：S 是否为有理数？说明理由，。

2013北京市东城区高三数学一模理科试题及答案（已导入）一、选择题（共1小题；共5分）1. 已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到．现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，，如此下去，经过一次变换后得到．设，，，则等于______A. B.C. D.二、填空题（共3小题；共15分）2. 如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是______，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是______．3. 如图，已知与圆相切于，半径，交于，若，，则______， ______．4. 的展开式中的系数是______．三、解答题（共1小题；共13分）5. 如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．四、选择题（共7小题；共35分）6. 已知全集，集合，那么集合为______A. B. C. D.7. 已知为平行四边形，若向量，，则向量为______A. B. C. D.8. 已知圆的方程为，那么该圆圆心到直线（为参数）的距离为______A. B. C. D.9. 某游戏规则如下：随机地往半径为的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为______A. B. C. D.10. 已知数列中，，，，那么数列的前项和等于______A. B. C. D.11. 已知，分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为______A. B. C. D.12. 已知定义在上的函数的对称轴为，且当时，．若函数在区间上有零点，则的值为______A. 或B. 或C. 或D. 或五、填空题（共3小题；共15分）13. 复数的虚部是______．14. 有甲、乙、丙在内的个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．15. 数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第行的第列的项等于______；在图中位于______．（填第几行的第几列）六、解答题（共5小题；共65分）16. 在中，三个内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，求的最大值．17. 某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有，，，，，六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．（1）求所得奖品个数达到最大时的概率；（2）记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望．18. 已知函数，（为常数，为自然对数的底）．（1）当时，求；（2）若在时取得极小值，试确定的取值范围；（3）在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线（为确定的常数）相切，并说明理由．19. 已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于、两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．20. 设是由个有序实数构成的一个数组，记作：．其中称为数组的"元"，称为的下标．如果数组中的每个"元"都是来自数组中不同下标的"元"，则称为的子数组．定义两个数组，的关系数为．（1）若，，设是的含有两个"元"的子数组，求的最大值；（2）若，，且，为的含有三个"元"的子数组，求的最大值；（3）若数组中的"元"满足．设数组含有四个"元" ，且，求与的所有含有三个"元"的子数组的关系数的最大值．答案第一部分1. B第二部分2. ；3. ；4.第三部分5. （1）取的中点，连结，．因为是的中点，所以，．因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．（2），平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内．由已知可得，，，．所以，，设平面的法向量为．由所以取，所以．又因为平面的一个法向量为．所以．即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．第四部分6. B7. C8. C9. A 10. C11. D 12. A第五部分13.14.15. ；第行的第列第六部分16. （1），由正弦定理得．在中，，，所以．（2）由余弦定理，因为，，所以．因为，所以，当且仅当时，取得最大值．17. （1）所得奖品个数最大为，其概率为（2）的可能取值是，，，，，．的概率分布如下所以18. （1）当时，，则，从而．（2）令，得或．①当，即时，恒成立，此时在上单调递减，没有极小值；②当，即时，若，则；若，则．所以是函数的极小值点．③当，即时，若，则；若，则．此时是函数的极大值点．综上，的取值范围是．（3）由（2）知，当，且时，，因此是的极大值点，且极大值为于是，则令，则恒成立，即在区间上是增函数．所以当时，即恒有．又直线的斜率为，所以曲线不能与直线相切．19. （1）根据椭圆的定义，得，即．由，得，从而．因此，椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，可设，．由，两点在椭圆上，得解得．所以点到直线的距离为．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去，得由已知，得设，，则由，得由，，得整理，得由韦达定理，得化简，得它满足．所以点到直线的距离为综上，点到直线的距离为定值，且这个定值为．20. （1）依据题意，当时，取得最大值为．（2）①当是中的"元"时，由于的三个"元"都相等及中三个"元"的对称性，可以只计算的最大值，其中．因为所以．当且仅当，且时，达到最大值．于是的最大值为．②当不是中的"元"时，计算的最大值．由，得当且仅当时，等号成立．即当时，取得最大值，此时综上所述，的最大值为．（3）因为满足．根据的对称性，只需考虑与的关系数的情况．当时，则有从而即，且，，时，的最大值为．当时，，此时的最大值小于．综上，的最大值为．。

北京市东城区高三综合练习数学 （理科）．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、 已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么集合AB是（ ） A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、 已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A ．()2211x y -+= B ．()2211x y +-= C ．()2211x y ++= D ．222x y +=4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．46、 已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2x 的值为（ ）A ．325 B ．725 C ．925 D ．18257、 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点频率x俯视图侧（左）视图正（主）视图到y 轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、 已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________． 10、 若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为________． 11、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．12、 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==，AC =则CM =________，AD =________．13、 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．14、 在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na at a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）已知函数())sin sin f x xx x =-．⑴ 求()f x 的最小正周期；⑵ 当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人． ⑴ 求a 的值；⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．k B 1 . c o m17、 （本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴ 求证：AD AC '⊥；⑵ 若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．DC B ANMDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln af x x =+（0a >）．19（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 若椭圆C 上一动点()00P x y ，关于直线2y x =的对称点为()111P x y ，，求2211x y +的取值范围．⑶ 如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．19、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=； ⑶设3122310101010nna a a a S =+++++，问S 是否为有理数，说明理由．。

北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设集合{1,2,3,4},{|||2,}P Q x x x ==≤∈R ，则PQ 等于（ ）A ．{1}B ．{1,2}C ．{3,4}D ．{2,1,0,1,2}-- 2．复数81i ()1i-+的值是（ ） A ．2i B ．1i -+ C ．1i + D ．1 3．下面四个条件中，使a b >成立的充分不必要条件为（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b > D ．33a b > 4．已知向量(1,)x =a ，(1,)x =-b ，若2-a b 与b 垂直，则||=a ( )A B C ．2 D ．4 5．某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为( )A ．8+B ．20C ．D ．8+6．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是( )A ．5B ．4C ．3D ．27．已知函数()()af x ax a x=-∈R ，下列说法正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(,0)-∞上是减函数 C ．a ∃∈R ，()f x 是R 上的常函数 D ．a ∃∈R ，()f x 是(0,)+∞上的单调函数8．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形, PA ⊥底面ABCD ，1,AB =π1,(0)2PA AC ABC θθ⋅=∠=<≤，则四棱锥P ABCD -的体积V 的取值范围是（ ）A．1[)63B．1(]126C．1]63 D．1)126第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若实数,x y 满足不等式组2,24,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则23z x y =+的最小值是__________．10. 公比为2的等比数列{}n a 的各项都为正数，且2616a a =，则4a =_______；12310a a a a +++⋅⋅⋅+=_________________.11．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3b =，4cos 5B =，则sin A的值为__________．12．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()0f x '>，且1()02f -=，则不等式()0f x <的解集为__________．13．已知直线:l 20x y +-=和圆:C 221212540x y x y +--+=,则与直线l 和圆C 都相 切且半径最小的圆的标准方程是_______________．14．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y -+=的两侧，给出下列命题： ① 2310a b -+>；② 0a ≠时，ba有最小值，无最大值；③ 存在正实数m m >恒成立 ； ④ 0a >且1a ≠，0b >时, 则1ba -的取值范围是12(,)(,)33-∞-+∞.其中正确的命题是__________（把你认为所有正确的命题的序号都填上）． 三、解答题15．（本题满分13分） 已知函数2()2cossin 2xf x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值．16．（本题满分13分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且25a =，511a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令*21()1n n b n a =∈-N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．已知ABCD 是矩形，2AD AB =，,E F 分别是线段,AB BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．DB（Ⅰ）求证：DF ⊥平面PAF ；（Ⅱ）在棱PA 上找一点G ，使EG ∥平面PFD ，并说明理由．18．（本题满分13分）已知函数32()25f x x ax x =+-+． （Ⅰ）若()f x 在区间2(,1)3-上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增，求实数a 的值； （Ⅱ）求正整数a ，使得()f x 在区间1(3,)6-上为单调函数．已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）过点()0,2P 的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点，当以线段AB 为直径的圆经过坐标原 点时，求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知函数()y f x =的图象与函数()11xy a a =->的图象关于直线x y =对称．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在区间[,](1)m n m >-上的值域为[log ,log ]a a p pm n，求实数p 的取值范 围；（Ⅲ）设函数2()log (33)a g x x x =-+，()()()f x g x F x a -=，其中1a >.若()w F x ≥对(1,)x ∀∈-+∞恒成立，求实数w 的取值范围．北京市东城区普通高中示范校2013届高三综合练习（一）数学试卷（文科）参考答案一、选择题9．410．4；10232 11．25 12．1{|2x x <-或}210<<x 13．22(2)(2)2x y -+-= 14．③④ 三、解答题15．解：（Ⅰ）由已知可得2()2cos sin 2xf x x =+cos 1sin x x =++)14x π=++． ……………………4分()f x 的最小正周期是2π．……………………5分 由22,242k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ， 得322,44k x k πππ-≤≤π+ 所以函数()f x的单调递增区间为3[2k ,2k ],44k πππ-π+∈Z ． (7)分 （Ⅱ）由（Ⅰ）())14f x x π=++．因为[0,]x ∈π，所以5444x πππ≤+≤， 当sin()14x π+=时，即π4x =时，()f x 1； 当sin()4x π+=πx =时，()f x 取得最小值0． ………………13分 16． 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件得 115411a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得 13a =，2d =．……………………4分所以1(1)21n a a n d n =+-=+． ……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知2+1n a n =．所以211n n b a =-=21=2+1)1n -（114(+1)n n ⋅=111()4+1n n ⋅-．………………10分所以n T =111111(1)4223+1n n -+-++-=11(1)=4+1n -4(+1)n n ． 即数列{}n b 的前n 项和n T =4(+1)nn ． ……………………13分17．（Ⅰ）证明：在矩形ABCD 中，因为AD =2AB ,点F 是BC 的中点, 所以∠AFB =∠DFC =45°． 所以∠AFD =90°,即AF ⊥FD ． ……………………4分 又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥FD ．所以FD ⊥平面PAF ． ……………………7分 （Ⅱ）过E 作EH//FD 交AD 于H,D则EH//平面PFD ,且 AH =14AD ． 再过H 作HG//PD 交P A 于G , ……………………9分 所以GH //平面PFD ,且 AG=14P A ． 所以平面EHG//平面PFD ． ……………………12分 所以EG //平面PFD ． 从而点G 满足AG=14P A ． ……………………14分18． 解：（Ⅰ）()'2322fx x ax =+- ………………………………2分 因为()3225f x x ax x =+-+在2(,1)3-上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以'(1)0f =.……………………4分 所以12a =-． ……………………………5分 （Ⅱ）令()'23220fx x ax =+-=.得12x x ==．……………………7分当a 是正整数时，120x x <<．()x f 在区间1(3,)6-上为单调函数．只需'(3)0f -≤，且1'()06f ≤，……………………………9分 即23(3)620a ⨯---≤，且2113()2063a ⨯+-≤， 所以252364a ≤≤.……………………12分 由已知a 为正整数，得5a =.……………………13分19．解：（Ⅰ）由已知椭圆C 的离心率c e a ==，因为2a =,得1c b ==．所以椭圆的方程为2214x y +=．……………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为2y kx =+.由方程组222,44y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)16120k x kx +++=．（1） ………………6分因为方程（1）有两个不等的实数根，所以0∆>．所以 22(16)4(41)120k k -+⨯>，得||k >.…………7分 设11(,)A x y ,22(,)B x y ，则1221641k x x k -+=+，1221241x x k =+.（2） 因为以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，所以 OA OB ⊥,0OA OB ⋅=,即有12120x x y y +=. ……………9分所以 ()()1212220x x kx kx +++=，所以()()212121240k x x k x x ++++= （3） 将（2）代入（3）得()2222121216404141k k k k +⨯-+=++， 所以 ()()2221212164410k k k +-⨯++=，解得 2k =±． ……………………13分满足||k >所求直线l 的方程为22y x =±+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）由已知得()log (1)a f x x =+； ……………………3分（Ⅱ）因为1a >，所以在()+∞-,1上为单调递增函数.所以在区间[,]m n (1)m >-.()log (1)log a a p f m m m =+=， ()log (1)log a ap f n n n=+= 即1,1,1->>=+=+m n npn m p m ． 所以,m n 是方程xpx =+1 即方程()()+∞-∈=-+,00,1,02x p x x 有两个相异的解，这等价于()()2140110112p p ⎧∆=+>⎪⎪-+-->⎨⎪⎪->-⎩， ……………………6分解得041<<-p 为所求． ……………………8分 （Ⅲ）()()()()2log (1)log (33)21, 1.33a a f x g x x x x x F x aax x x -+--++===>--+因为(),5725171-≥-+++x x 当且仅当17-=x 时等号成立，(),3572,0517113312⎥⎦⎤ ⎝⎛+∈-+++=+-+∴x x x x x ()(),357217max +=-=∴Fx F 因为()x F w ≥恒成立，()max x F w ≥∴， 所以3572+≥w 为所求． ……………………13分。

东城区 2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二数学 (理科学校 _____________班级 _______________姓名 ______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1至 2页,第Ⅱ卷 3至 5页,共 150分.考试时长 120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 (选择题共 40分一、本大题共 8小题, 每小题 5分, 共 40分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1、已知集合 ({}|10A x x x x =-<∈R , , {}|22B x x x =-<<∈R , ,那么集合 A B 是(A . ∅B . {}|01x x x <<∈R ,C . {}|22x x x -<<∈R ,D . {}|21x x x -<<∈R ,2、如图是某班 50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[4050, , [5060, , [6070, ,[7080, , [8090, , []90100,,则图中 x 的值等于( A . 0.754 B . 0.048C . 0.018D . 0.0123、已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=,那么该圆的直角坐标方程是(A . (2211x y -+= B . (2211x y +-= C . (2211x y ++= D . 222x y +=4、已知一个三棱锥的三视图如图所示, 其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( A . 1B . 2C . 3D . 4 5、阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 25-时,输出 x 的值为( A . 1 B . 2C . 3D . 46、已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,那么 sin 2x 的值为(A .325 B . 725 C . 925 D . 18257、过抛物线 24y x =焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 10AB =,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于(A . 1B . 2C . 3D . 4频率x俯视图侧(左视图正(主视图8、已知函数 (y f x =是定义在 R 上的奇函数, 且当 (0x ∈-∞, 时, ((0f x xf x '+<(其中 (f x '是 (f x 的导函数 ,若 ((0.30.333a f =⋅, ((log 3log 3b f ππ=⋅, 3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是(A . a b c >>B . c b a >>C . c a b >>D . a c b >>第Ⅱ卷 (共 110分二、填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分.9、已知向量 (23a =- , , (1b λ=, ,若 a b ∥ ,则λ=________. 10、若复数i1ia +-是纯虚数,则实数 a 的值为 ________. 11、各项均为正数的等比数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ,若 32a =, 425S S =,则 1a 的值为 ________,4S 的值为 ________.12、如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A ,且过点 C 的割线CMN 交 AB 的延长线于点 D ,若 CM MN ND ==, AC =,则 CM =________, AD =________.13、 5名志愿者到 3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 ________种.14、在数列 {}n a 中,若对任意的 *n ∈N ,都有 211n n n na at a a +++-=(t 为常数 ,则称数列 {}n a 为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题:①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;②若数列 {}n a 满足 122n n a n-=,则数列 {}n a 是比等差数列,且比公差 12t =;③若数列 {}n c 满足 11c =, 21c =, 12n n n c c c --=+(3n ≥ ,则该数列不是比等差数列; ④若 {}n a 是等差数列, {}n b 是等比数列,则数列 {}n n a b 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是 ________.三、解答题:本大题共 6小题,共 80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13分已知函数 (sin sin f x xx x =-.⑴求 (f x 的最小正周期;⑵当2π03x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,求 (f x 的取值范围.某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试结果如下表:(单位:人按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50人,其中成绩为优的有 30人. ⑴求 a 的值;⑵若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5的样本,从中任选 2人, 记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.17、 (本小题共 14分如图, BCD △是等边三角形, AB AD =, 90BAD ∠=︒,将 BCD △沿 BD 折叠到BC D '△的位置,使得 AD C B '⊥. ⑴求证:AD AC '⊥;⑵若 M , N 分别是 BD , C B '的中点,求二面角 N AM B --的余弦值.DC B ANDCBA18、 (本小题共 14分已知函数(ln af x x =+(0a > .已知椭圆 C :22221x y a b+=(0a b >>的离心率 e =,原点到过点 (0A a , , (0B b -, 的.⑴求椭圆 C 的方程;⑵若椭圆 C 上一动点 (00P x y , 关于直线 2y x =的对称点为 (111P x y , ,求2211x y +的取值范围.⑶如果直线1y kx =+(0k ≠交椭圆 C 于不同的两点 E , F ,且 E , F 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.20、 (本小题共 13分已知数列 {}n a , 11a =, 2n n a a =, 410n a -=, 411n a +=(*n ∈N . ⑴求 4a , 7a ;⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 *n ∈N ,有 n T n a a +=; ⑶设 3122310101010n n a a a a S =+++++ ,问 S 是否为有理数,说明理由.北京市东城区 2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二数学参考答案(理科一、选择题(本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分(1 B (2 C (3 A (4 D (5 D (6 B (7 D (8 C 二、填空题(本大题共 6小题,每小题 5分,共 30分(9 32- (10 1 (11 12 152(12 2(13 150 (14①③注:两个空的填空题第一个空填对得 3分,第二个空填对得 2分.三、解答题(本大题共 6小题,共 80分 (15 (共 13分解:(Ⅰ因为 ( sin sin f x x x x =-2cos sin x x x -=21cos 2sin 2x x x -11=2cos2 22x x +-1s i n (262x π=+-. 所以 ( f x 的最小正周期2T π==π2. (Ⅱ因为203x π<<,所以 32662x πππ<+<.所以 ( f x 的取值范围是 31(, ]22-. ……………………………… 13分(16 (共 13分解:(Ⅰ设该年级共 n 人,由题意得 5030180120n =+,所以 500n =. 则 500(180120702030 80a =-++++=. (Ⅱ依题意, X 所有取值为 0,1, 2.22251(0 10C P X C ===,1123253(1 5C C P X C ===,23253(2 10C P X C ===.X 的分布列为:． 10 5 10 5 （17）（共 14 分）（Ⅰ）证明：因为所以AB ，………………………………………13 分又因为，且，所以平面 C AB ，因为平面 C ' AB ，所以' ．（Ⅱ）因为△ BCD 是等边三角形，，，不防设，则，又因为 M ， N 分别为 BD ， C B 的中点，由此以 A 为原点， AB ， AD ， AC ' 所在直线为坐建立空间直角坐标系 A ． ' N A D M B x y 标轴则有 A(0,0,0 ， B(1,0,0 ， D(0,1,0 ， C ' (0,0,1 ， 1 1 1 1 M ( , ,0 ， N ( ,0, ．所以， AN． 2 2 2 2 设平面 AMN 的法向量为．则即令，则．所以．又平面ABM 的一个法向量为．所以． m n 3 3 3 ． 3 所以二面角的余弦值为（18）（共 14 分）解:(Ⅰ则分 a ，定义域为 (0, ，． x x2 x因为，由得，由得, a ，所以 f ( x 的单调递增区间为，单调递减区间为 (0, a ． (Ⅱ由题意，以P( x0 , y0 为切点的切线的斜率 k 满足，1 所以对恒成立．2 1 1 又当时，， 2 2 所以 a 的最小值为 1 ． 2 (Ⅲ由题意，方程化简得 2令，则． 2 2 x x 当时，，当时，，所以 h( x 在区间 (0,1 上单调递增，在区间上单调递减． 1 1 所以 h( x 在处取得极大值即最大值，最大值为 2 ． 2 2 所以当，即时，的图象与 x 轴恰有两个交点，方程有两个实根， 2x 2 当时，h( x 的图象与 x 轴恰有一个交点，方程有一个实根，2x 2 当时，的图象与 x 轴无交点，方程（19）（共 13 分）解: (Ⅰ因为 c ，， a 2 所以．无实根．2x 2 ……14 分因为原点到直线 AB ：解得，． ab 4 5 x y ，的距离故所求椭圆 C 的方程为． 16 4 2 (Ⅱ因为点关于直线的对称点为， 1所以解得，． 5 5 2 2 所以．因为点在椭圆 C : 2 2 所以上， 16 4 2 3 x0 ． 4 2 因为，所以16 ．所以的取值范围为． (Ⅲ由题意消去 y ，整理得．可知．设 E ( x2 , y2 ， F ( x3 , y3 ， EF 的中点是 M ( xM , yM ，1 ，．．所以 k BxM k 则所以．．4k 2 又因为，即 2 1 ．所以． 4 8 （20）（共 13 分）所以 k 2分解：）；（Ⅰ．（Ⅱ）假设存在正整数 T ，使得对任意的，有an ．则存在无数个正整数 T ，使得对任意的，有．设 T 为其中最小的正整数．若 T 为奇数，设（），则．与已知矛盾．若 T 为偶数，设（），则，而从而．而，与 T 为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数 T ，使得对任意的，有．（Ⅲ）若 S 为有理数，即 S 为无限循环小数，则存在正整数 N 0 ， T ，对任意的* ，且，有．与（Ⅱ）同理，设 T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设（），当时，有．与已知矛盾．若 T 为偶数，设（），当时，有，而从而．而，与 T 为其中最小的正整数矛盾．故 S 不是有理数．……………………………………………………13 分。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合UA 为（A ）{3} （B ） {3,4}（C ）{1,2} （D ）{2,3}（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B ）2 （C ）2 （D ）2（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50（6）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（A（B（C ）2（D1（7）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-（8）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB .现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nn k θ=，则y x -等于 （A ）1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- （B ）1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- （C ）1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- （D ）1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n ---第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B =U 的集合B 的个数是（A ）1 (B) 3 (C)4 (D)8 （2）已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于 （A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）2- （3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（A ）1 （B ）53（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]（7）已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32（8）给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）2 （10）160 （11）84 2（12）3 3 （13）144 （14）89a 第45行的第77列注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为sin 3cos b A a B =，由正弦定理可得sin sin 3sin cos B A A B =， 因为在△ABC 中，sin 0A ≠， 所以tan 3B =. 又0B <<π， 所以3B π=. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-， 因为3B π=，23b =， 所以2212a c ac =+-. 因为222a c ac +≥， 所以12ac ≤.当且仅当23a c ==时，ac 取得最大值12. （16）（共14分）证明（Ⅰ）取AB 的中点F ，连结PF ，EF ． 因为P 是BC 的中点，所以AC FP //，AC FP 21=． 因为//ED AC ，且1122ED AB AC ==，所以FP ED //，且ED FP =， 所以四边形EFPD 是平行四边形． 所以EF DP //．因为EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， 所以//DP 平面EAB ．（Ⅱ）因为90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面ABC ，所以以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面EACD 内．由已知可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,1,3)E ，(0,2,3)D ．所以(2,1,3)EB =--u u u r ，(0,1,0)ED =u u u r，设平面EBD 的法向量为(,,)x y z =n ．由0,0.EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n 所以230,0.x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩取2z =，所以 (3,0,2)=n ．又因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．所以27cos ,⋅<>==n m n m n m ． 即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值为277． （17）（共13分）（Ⅰ）由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：2226115A p A ==．（Ⅱ）X 的可能取值是：0,2,4,6,8,10．X0 2 4 6 8 10p15 15 15 415 115 115所以02468104555151515EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．高考必胜！（18）（共14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()xf x x e -=．2()2(2)x x x f x xe x e xe x ---'=-=-．所以(2)0f '=．（Ⅱ）22()(2)ee ()e [(2)]xx x f x x a x ax a x a x ---'=+-++=-+-e [(2)]x x x a -=-⋅--．令()0f x '=，得0x =或2x a =-． 当20a -=，即2a =时，2()e 0x f x x -'=-≤恒成立，此时()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，没有极小值； 当20a ->，即2a <时， 若0x <，则()0f x '<． 若02x a <<-，则()0f x '>． 所以0x =是函数()f x 的极小值点． 当20a -<，即2a >时，若0x >，则()0f x '<． 若20a x -<<，则()0f x '>． 此时0x =是函数()f x 的极大值点．综上所述，使函数()f x 在0x =时取得极小值的a 的取值范围是2a <． （Ⅲ）由（Ⅱ）知当2a <，且2x a >-时，()0f x '<， 因此2x a =-是()f x 的极大值点，极大值为2(2)(4)e a f a a --=-．所以2()(4)e(2)x g x x x -=-<．222()e e (4)(3)e x x x g x x x ---'=-+-=-．令2()(3)e(2)x h x x x -=-<．则2()(2)e0x h x x -'=->恒成立，即()h x 在区间(,2)-∞上是增函数．所以当2x <时，22()(2)(32)e 1h x h -<=-=，即恒有()1g x '<．又直线320x y m -+=的斜率为32， 所以曲线()y g x =不能与直线320x y m -+=相切． （19）（共13分）解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e =所以222222314b ac e a a -==-=， 所以23b =．高考必胜！所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.又A ，B 两点在椭圆C 上，所以2200143x x +=，20127x =． 所以点O 到直线AB的距离7d ==． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．由已知0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．所以122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．因为OA OB ⊥， 所以12120x x y y +=．所以1212()()0x x kx m kx m +++=． 即．所以22222224128(1)03434m k m k m k k-+-+=++． 整理得)1(12722+=k m ，满足0∆>． 所以点O 到直线AB 的距离d ===为定值． （20）（共13分）解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可以只计算(,))C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=， 得a b ≤+≤当且仅当0c =，且a b =b a +，于是(,)()33C A S a b =+=． ②当0不是S中的“元”时，计算(,)()3C A S a b c =++的最大值， 由于1222=++c b a ，所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++． 3)(3222=++≤c b a ， 当且仅当c b a ==时，等号成立． 即当33===c b a 时，c b a ++(,))1C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．（Ⅲ）因为1234(,,,)m m m m m B b b b b =满足22221234m m m m b b b b m +++=．由1234,,,m m m m b b b b 关系的对称性，只需考虑234(,,)m m m b b b 与123(,,)a a a 的关系数的情况． 当10m b =时，有2221++=．2222222341232222m m m b b b a a a m m m a a a ++++≤++ 22222212323422m m m a a a b b b m ++++=+11122=+=．即10m b =，且1a，2a =3a 时，122334m m m a b a b a b ++当10m b ≠时，222234m m m b b b m ++<， 得122334m m m a b a b a b ++所以(,)m C A B(1,2,3,,)m n =L ．。

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教课一致检测高三数学（理科）学校 _____________ 班级 _______________ 姓名 ______________ 考号 ___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、本大题共 8 小题，每题 5 分，共40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

（1）设会合A{1,2} ，则知足 A B{1,2,3} 的会合B的个数是（A）1(B)3(C) 4(D) 8（2）已知a是实数，a i是纯虚数，则 a 等于1i（A）1（B）1（ C）2（D）2（3）已知{ a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a36， S3 12，则公差d等于（A）1（B）5（C）2（D）3 3（4）履行如下图的程序框图，输出的k 的值为（A）4（B）5（C）6（D）7（5）若a ，b是两个非零向量，则“ a b a b ”是“a b”的（ A）充足不用要条件（ C）充要条件（ B）必需不充足条件（ D）既不充足也不用要条件x 0,（6）已知x ，y知足不等式组y 0,当 3s 5 时，目标函数z3x 2 y的最大值的x y s,y 2x 4.变化范围是（ A）[6,15]（B）[7,15]（C）[6,8]（D）[7,8]（7）已知抛物线y2 2 px 的焦点F与双曲线x2y2 1的右焦点重合，抛物线的准线与79x 轴的交点为K，点A在抛物线上且 | AK | 2 | AF | ，则△AFK的面积为（A）4（ B）8（C）16（ D）32(0,) 上，函数y 1 ,11)2, y x3中有三（8）给出以下命题：①在区间x y x2, y ( x个是增函数；②若log m 3log n 30，则0n m1；③若函数 f ( x) 是奇函数，则f (x1) 的图象对于点A(1,0) 对称；④已知函数 f ( x)3x 2 ,x2,log3 (x1),x 则方程2,f (x)1有 2 个实数根，此中正确命题的个数为2（A）1（B）2（C）3（D）4第Ⅱ卷（共 110 分）yy=3x2二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。