推荐-天津市和平区2018届高三第二学期第一次质量调查数学理 精品

2018 年天津市和平区高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1.已知全集 U=R， A={ x|x＜1} ， B={ x|x≥ 2}，则集合 ?U（ A∪B）等于（）A. { x|x＞1}B. { x|x≤2}C. { x|1＜x≤2}D. { x|1≤x＜2}2.设变量 x， y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y-1 的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输出的S=55，则判断框内可填入（）A.k≥6？B.k≥7？C.k≥8？D.k≥9？4.设 x∈R，则“ x＜ 0”是“ x-sinx＜0”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知抛物线 x2=-4by 的准线与双曲线=1（ a＞ 0，b＞ 0）的左、右支分别交于B，C 两点， A 为双曲线的右顶点，O 为坐标原点，若∠BOC=4∠AOC，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=xB. y=C. y=D. y=6.已知f x R上的函数，它的图象上任意一点P x0，y0）处的切线方程（）是定义在（y=x0232f x）为（-x0-2） x+（ y0-x0 +x0 +2x0），那么函数（）的单调递减区间为（A. （-1，2）B. （-2，1）C. （-∞，-1）D. （2，+∞）7.如图，在平行四边形ABCD 中，已知 =， =2，G 为线段 EF 上的一点，且A. B. C. D.8.已知定义在 R 上的奇函数 f（ x），当 x＞ 0 时， f（ x） =，则关于 x 的方程 6[f（ x）] 2+f（ x） =1 的实根的个数为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）9.设 i 是虚数单位，则复数的虚部为 ______．10.ABC中，AB =3，cosA=ABC的面积S=，则BC边长为______．在△，△lρ cos θ +sin=6θM211.在极坐标系中，直线：，为圆ρ=4ρ cos-3θ（）上的任意一点，设点 M 到直线 l 的距离为 d，则 d 的最大值为 ______．12.如图，已知正四面体 A-BCD 的棱长为 6，则它的内切球的体积为 ______．13.已知ab＞0，a+b=3，则+的最小值为______．14.从 0，1， 2， 3， 4， 5，6， 7 这八个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，则可组成的四位数中奇数的个数为______ （用数学作答）．三、解答题（本大题共 6 小题，共80.0 分）15.已知函数f（ x） = sin（ x+ ） sinx-sin （）cos（）-．（Ⅰ）求函数f（ x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（ x）的图象，若g（α） =-，且α∈（），求 sin（）的值．16.甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130 分的概率依次为、．甲若第一次成绩不低于130 分，则第二次成绩不低于130 分的概率为，若第一次成绩在130 分以下，则第二次成绩不低于130 分的概率为；乙若第一次成绩不低于130分，则第二次成绩不低于130 分的概率为，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于130 分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130分的概率为．（Ⅰ）设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130 分”， B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130 分”，分别求出事件 A、事件 B、事件 C 发生的概率；（Ⅱ）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130 分的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望．17.如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB=2CD =2，∠DAB =60°，1⊥平面ABCD，且CD 1．M 为 AB 的中点， CD=（Ⅰ）求证： C1M∥平面 A1ADD 1；（Ⅱ）求平面C1D 1M 与平面 A1D1M 所成角的正弦值；（Ⅲ）若 N 为 CC1的中点，求直线D1M 与平面 A1D1N 所成角的正弦值．18.已知数列 { a n } 满足条件 a1=1， a2=3 ，且 a n+2=（ -1）n（ a n-1） +2a n+1，n∈N* ．（Ⅰ）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设 b n=，S n为数列{ b n}的前n项和，求证：S n．19.已知椭圆 + =1（ a＞ b＞ 0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线l 与椭圆交于A、 B 两点．（ I）求椭圆的方程；（Ⅱ）若线段 AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D，与直线 l 交于 N，当＜＜时，求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅲ）在椭圆上是否存在定点M，使得对任意斜率等于且与椭圆交于P、Q 两点的直线（ P、Q 两点均不在 x 轴上），都满足 k PM+k QM=0（其中 k PM为直线 PM 的斜率，k QM为直线 QM 的斜率）？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知函数 f（ x） =ln （ x+a） - ，其中 a∈R，且 a≠0．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间；（Ⅱ）若 f（ x） - ＜ 0 恒成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）若存在 -a＜ x1＜0， x2＞ 0，使得 f（ x1） =f（ x2） =0 ，求证： x1+x2＞ 0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集 U=R，A={x|x ＜ 1} ，B={x|x ≥2}，∴A ∪B={x|x ＜1 或 x ≥ 2}，则 ?U（A ∪B）={x|1 ≤x＜2} ，故选：D．求出 A 与 B 的并集，根据全集 U=R，求出并集的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：作出变量 x，y 满足约束条件可行域如图，由 z=2x+y-1 知，y=-2x+z+1，所以动直线 y=-2x+z+1 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值．由得 A（2，-1）结合可行域可知当动直线经过点 A （2，-1）时，目标函数取得最大值 z=2．故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中 z 的几何意义，求出直线z=3x+y 的最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1不满足判断框内的条件，执行循环体，k=3，S=11不满足判断框内的条件，执行循环体，k=4，=19不满足判断框内的条件，执行循环体，k=5S=29不满足判断框内的条件，执行循环体，k=6，S=41不满足判断框内的条件，执行循环体，k=7，S=55由题意，此时应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 55，可得判断框内的条件应该为 k≥7？．故选：B．根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出 S=55，确定跳出循环的k的值，从而得判断框的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设 f（x）=x-sinx，则 f ′（x）=1-cosx≥0，则 f（x）是增函数，当 x＜0 时，f（x ）＜f（0）=0-sin0=0，此时 x＜sinx 成立，即“x＜0”是“x-sinx＜0”的充要条件，故选：C．构造函数 f（x）=x-sinx，求出函数的导数判断函数的单调性，结合函数充分条件和必要条件的定义判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性的性质进行转化判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：抛物线 x 2=-4by 的准线为 y=b ， 代入双曲 线 =1 可得x=±a ，即有 B （- a ，b ），C （ a ，b ），由 ∠BOC=4∠AOC ，可得∠BOC=2∠AOC ， 由∠BOC+∠AOC=90° ，可得 ∠AOC=30° ， tan ∠AOC= = ，即有=，则双曲线的渐近线方程为 y=± x ，即为 y=± x ，故选：C ．先求出抛物 线的准线方程，再代入双曲线的方程，可得 B ，C 的坐标，再得到=，再根据渐近线方程，即可得到结本题考查了抛物线的准线 方程和双曲 线 的方程和性 质，考查运算能力，属于中档题． 6.【答案】 A【解析】解：因为函数 f （x ），x （∈R ）上任一点（x 0，y 0）的切线方程为 y=（x 02-x 0-2）x+（y 0-x 03+x 02+2x 0），即函数在任一点（x 0，y 0）的切线斜率为 k=x 02-x 0-2，即知任一点的 导数为 f ′（x ）=x 2-x-2=（x-2）（x+1），∠AOC=30°，根据斜率公式得到论．由切线方程，可知任一点的 导数为 f ′（x ）=x 2-x-2=（x-2）（x+1），然后由f ′（x ）＜0，可求单调递减区间．本题的考点是利用 导数研究函数的 单调性，先由切线方程得到切 线斜率，进而得到函数的 导数，然后解导数不等式，是解决本 题的关键．7.【答案】 D【解析】解：如图，== ===，又=，λ= ， ，∴则．故选：D ．利用向量的加减法法 则把 用 ，结求得表示，合=λ，μ的值，则答案可求．本题考查平面向量基本定理的 应用，考查数学转化思想方法，是中档 题．8.【答案】 B【解析】解：设 t=f （x ），则关于 x 的方程 6[f （x ）]2+f （x ）-1=0，等价 6t 2+t-1=0，解得 t=-或 t= ，当 x=0 时，f （0）=0，若 1＜x≤2，则 0＜x- 1≤1，即 f（x）= f（x-1）2= [4 （x-1）-4（x-1）+1]=，若 2＜x≤3，则 1＜x- 1≤2，即 f（x）= f（x-2）= []=，作出当 x＞ 0 时，f（x）=的图象如图：当 t=时，f（x）=对应4个交点．∵函数 f（x）是奇函数，∴当 x＜ 0 时，由f （x）=-，可得当 x＞ 0 时，f（x）=，此时函数图象对应3个交点，综上共有 7 个交点，即方程有 7 个根，故选：B．先设 t=f （x），求出方程6[f （x）]2+f（x）-1=0 的解，利用函数的奇偶性作出函数在 x＞0 时的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．9.【答案】-2【解析】解：=．∴复数的虚部为-2．故答案为：-2．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．解：∵AB=3 ，cosA=，可得：sinA= =，∴△ABC 的面积 S== AB?AC?sinA=，解得：AC=3 ，∴由余弦定理可得：BC== = ．故答案为：．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用三角形面积公式可求AC 的值，进而根据余弦定理可求 BC 的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面 积公式，余弦定理在解三角形中的 应用，考查了转化思想，属于基础题．11.【答案】 2+1【解析】解：直线 l ：ρ（cos θ+sin ）θ=6，化为：x+y-6=0 ．22 222．由 ρ=4ρ cos-θ3可得：x+y =4x-3 ，配方为：（ ）+y =1x-2设 M （2+cos α，sin α）．设 点M 到直 线 l 的距离 为 则=≤d ， d==2+1．当且仅当=-1 时取等号．故答案为：2+1．直线 l ：ρ（cos θ+sin ）θ=6，化为：x+y-6=02ρθ可得： 22．由ρ=4 cos-3x +y =4x-3，配为2 2方 ：（x-2）+y =1．设 M （2+cos α，sin α）．再利用点到直线的距离公式、三角函数的单调性即可得出．本题考查了极坐 标化为直角坐 标、点到直线的距离公式、三角函数的 单调性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：设正四面体 为 PABC ，内接和外接球的两球球心设 PO 的延长线与底面 ABC 的交点为 D ，则 PD 为正四面体 PABC 的高，PD ⊥底面 ABC ，且PO=R ，OD=r ，OD=正四面体 PABC 内切球的高．设正四面体 PABC 底面面积为 S ．将球心 O 与四面体的 4 个顶点 PABC 全部连接，可以得到 4 个全等的正三棱 锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱 锥体积 V 1= ?S?r 而正四面体 PABC 体积 V 2= ?S?（R+r ）根据前面的分析， 4?V 1=V 2，所以，4? ?S?r= S?（R+r ），所以，R=3r ，由题意，正四面体 A-BCD 的棱长为 6，带入以上推 论：所以 AD=2，所以 PD=2，即内切球半径 r=内接球的体 积 V=．由正四面体的棱 长，求出正四面体的高，设内接球半径 为 x ，利用勾股定理求出 x 的值，可求内接球的体积本题考查球的内接多面体的知 识 ，考查计 算能力，逻辑 思维 能力，是基础题13.【答案】【解析】解：∵ab ＞ 0，a+b=3，∴a+2+b+1=6．则+ = [ （a+2）+（b+1）]≥≥ [a 2+b 2+2ab]==，当且仅当 b （b+1）=a （a+2），a+b=3，即，a=时取等号．故答案为： ．ab ＞0，a+b=3，可得 a+2+b+1=6．代入+ = [（a+2）+（b+1）]≥，再利用基本不等式的性 质即可得出．本题考查了基本不等式的性 质、方程的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档 题．14.【答案】 360【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论：① ，选出的 2 个偶数中不含有 0，在 2、4、6 中任选 2 个数，有 C 32=3 种选法，在 1、3、5、7 中任选 2 个数字，有 C 42=6 种选法，选出的 2 个奇数中任 选 1 个，作为个位数字，有 2 种情况，将选出的 3 个数字全排列，安排在前 3 个数位，有 A 33=6 种排法，则此时有 3×6×2×6=216 种取法，② ，选出的 2 个偶数中含有 0，在 2、4、6 中任选 1 个数，有 C 31=3 种选法，在 1、3、5、7 中任选 2 个数字，有 C 42=6 种选法，选出的 2 个奇数中任 选 1 个，作为个位数字，有 2 种情况，0 不能在首位，则 0 有 2 种安排方法，将剩下的 2 个数字全排列，安排在剩下的 2 个数位，有 A 22=2 种排法， 则此时有 3×6×2×2×2=144 种取法，则一共有 216+144=360 种不同的情况，即可以 组成 360 个四位奇数；故答案为：360．根据题意，分 2 种情况讨论：① ，选出的 2 个偶数中不含有 0，② ，选出的 2 个偶数中不含有 0，利用分步计数原理分 别求出每一种情况的四位奇数的个数，由加法原理 计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的 应用，注意要先选取，再排列．15.【答案】 解：函数 f （ x ） =sin （ x+ ） sinx-sin （ ） cos （ ） - ．化简 f （ x ） =cosxsinx-（ sin cosx-cos sinx ）（ cos cosx+sin sinx ） -= sin2x-（ cosx ） 2+ -= sin2x- cos 2xsin 2x-= sin2x-+ （cos2x ） -= sin2x- cos2x =sin （2x- ）．（ Ⅰ ）函数 f （ x ）的最小正周期 T=；令2x-， k ∈Z ．得：≤x ≤ +k π∴函数 f （ x ）的单调递减区间为 [，]， k ∈Z ．（ Ⅱ ）函数 y=f （ x ）的图象向左平移个单位，可得 y=sin （ 2x）；再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到y=sin （ x+ ），即 g （ x ）=sin （ x+ ），可得 g （ α）=sin （ α+） =- ，∵α∈（），∴α+∈（ π， ）则 cos （ α+）=- ，那么： sin （） =sin （ α + ） =sin （ α+） cos +cos （ α+） sin =- × = ．【解析】（Ⅰ）利用诱导 公式，二倍角、辅助角公式化 简即可求函数 f （x ）的最小正周期及单调递减区间；变 规 律求解 g （x 过 ，且α∈ （Ⅱ）根据三角函数的平移 化 ），通g （α）=- （），利用三角恒等式公式化简即可求 sin （）的值．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的公式化简函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握公式的变形应用．属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）甲、乙、丙均两次参加英语高考，取两次成绩中较高的为最终成绩，三人第一次成绩不低于130分的概率依次为、．甲若第一次成绩不低于130 分，则第二次成绩不低于130 分的概率为，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于130 分的概率为；乙若第一次成绩不低于130 分，则第二次成绩不低于130分的概率为，若第一次成绩在 130 分以下，则第二次成绩不低于130分的概率为；丙第二次成绩不受第一次成绩的影响，不低于130 分的概率为．设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”，事件 A 发生的概率 P（ A） =+（1- ）×= ，B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130 分”，事件 B 发生的概率 P（ B） == ，C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130 分”，事件 C 发生的概率 P（ C） == ．（Ⅱ ）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130 分的人数为 X，则 X 的可能取值为0， 1， 2， 3，P（ X=0） =P（） ==，P（ X=1） =P（++）==，P（ X=2） =P（）==，P（ X=3） =P（ ABC） ==，∴X 的分布列为：X0123P数学期望 E（ X） ==2．【解析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出结果．（Ⅱ）设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X ，则 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望E（X ）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17【.答案】证明：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD -A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1 D1，又 M 为 AB 的中点，∴AM =1∴CD ∥AM， CD =AM ，∴AM C1D1，∴AMC 1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又 MC 1? 平面 A1ADD 1，AD 1? 平面 A1ADD 1，∴C1M∥平面 A1ADD 1；解：（Ⅱ）作 CP ⊥AB 于 P，以 C 为原点， CD 为x 轴， CP 为 y 轴，CD 1为 z 轴建立空间坐标系，则 C1（ -1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），A1（，，），∴=（ 1， 0，0），=（，，-），=（，0），设平面 C1D 1M 的法向量=（ x1， y1， z1），则，取 y=2，得=（ 0， 2，1）．设平面 A1D 1M 的法向量=（ x， y， z），则，取 x=，得=（，-1，0），设平面 C1D 1M 与平面A1D 1M 所成角为θ，则 cosθ= ==，sin θ===．∴平面C1D M 与平面 A D M 所成角的正弦值为．111（Ⅲ）∵N 为 CC1的中点，∴N（- ，0，），=（，，-），=（， 0），=（- ，0，-），设平面 A1D 1N 的法向量=（ a， b，c），则，取 a=，得=（，-1，-1），设直线 D1M 与平面 A1D 1N 所成角为θ，则 sin θ===．∴直线D1M 与平面 A D N 所成角的正弦值为．1 1【解析】（Ⅰ）连接 AD 1，易证 AMC 1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得 C1M∥平面 A1ADD 1；（Ⅱ）作CP⊥AB 于 P，以C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 y 轴，CD1为 z 轴建立空间坐标系，利用向量法能求出平面C1D1M 与平面 A 1D1M 所成角的正弦值．（Ⅲ）求出=（，，-）和平面A1D1N的法向量，利用向量法能求出直线 D1M 与平面 A1D1N 所成角的正弦值．本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，数列{ a n } 满足 a n+2=（ -1）n（ a n-1） +2a n+1 ， n∈N* ．当 n 为奇数时， a n+2=-（ a n-1） +2 a n+1=a n+2，又由 a1=1，则 a n=n，当 n 为偶数时， a n+2=（ a n-1） +2a n+1=3a n，n又由 a2=3，则 a n=（）=，则 a n=，（Ⅱ）证明：设 b n=，则 b n=；则 S n= + +++①，则有 S n= +++②，① -②可得：S n=+2（+ ++） -，变形可得：S n=1-，若证明 S n．则需要证明 1-≥，n n即证明 3 ≥2+1，（ n≥1）即证明 3n n≥1-2，显然成立；故有 S n．【解析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式，分 n 为奇数、n 为偶数 2 种情况讨论，分析综a n+2与 a n的关系，合即可得答案；题结论，分析可得b错（Ⅱ）根据意，由（Ⅰ）的n =，利用位相减法分析可得 S n=1-，据此用分析法证明 S n即可得结论．本题考查数列的求和以及数列的递推公式，关键是求出数列的通项公式．19.+ =1 （ a＞ b＞0）的离心率为，可得 e== ，【答案】解：（ I）椭圆椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为，可得 ?b?2c=，又 a2-b2=c2，解得 a=2， b= ， c=1，则椭圆方程为 + =1；（Ⅱ）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），中点 N（x0，y0），设直线 AB： y=k（ x-1），代入椭圆方程3x2+4y2=12 ，可得（ 3+4k2）x2 -8k2x+4k2-12=0 ，即有 x1+x2=， x1x2=，可得中点 N（， -），AB 的垂直平分线的方程为y+=-（x-），可得 D（， 0），弦长 |AB|=?|x1 -x2|=?=?，|DN|=，由＜＜，可得＜＜，解得直线 l 的斜率范围是＜ k＜ 1 或 -1＜ k＜-；（Ⅲ ）在椭圆上假设存在定点M，满足题意，可取直线 PQ 的方程为 y=x，代入椭圆方程 3x2+4y2=12，可得 P（，）， Q（-， -），设 M（ s， t），可得 k PM QM=+=0，+k化简可得2st=3，又+=1，解得 M（1，）或 M（-1，- ），下面证明任意斜率为的直线与椭圆交于P（ x3， y3）， Q（ x4， y4），设直线方程为y=x+m，代入椭圆方程可得22x+mx+m -3=0 ，可得 x3+x4=-m，x3x4=m2-3，先考虑 M（1，），可得 k PM +k QM=+=+=1++=1+ （m-1）?=1+ （ m-1）?=1-=0，同理可得 M（ -1， - ），也有 k PM+k QM =0 成立．综上可得，椭圆上存在定点M （1，）或 M（ -1，- ），使得 k PM +k QM=0 成立．【解析】（I）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得 a，b，c，即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设 A （x1，y1），B（x2，y2），中点N（x0，y0），设直线 AB ：y=k（x-1 ），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、弦长公式和不等式的解法，即可得到所求斜率范围；（Ⅲ）在椭圆上假设存在定点 M ，满足题意，可取直线 PQ 的方程为 y= x，代入椭圆方程解得交点P，Q，可得直线 PM 和直线 QM 的斜率，再由椭圆方程可得M的坐标证为的直线与椭圆交于 P（x3，y3），Q（x4，；下面明任意斜率y4），设直线方程为 y= x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理即可得到定点M 成立．本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的运用，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线的斜率公式，考查存在性问题解法，注意先取特殊直线求得定点，再验证，考查化简整理的运算能力，属于难题．20.【答案】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（-a，+∞），f x =- =? ，其导数′（）①当 a＜0时， f′（ x）＞ 0，函数 f （ x）在（ -a， +∞）上是增函数；②当 a＞0时，在区间（ -a， 0）上， f′（ x）＞ 0；在区间（ 0， +∞）上， f′（ x）＜ 0，∴f（x）在区间（ -a， 0）上是增函数，在（0，+∞）是减函数；（Ⅱ）当 a＜ 0 时，则 x 取适当的数能使f（ x）＜，比如取 x=e-a，能使 f（ e-a） =1-（ e-a） =2- ＞ -1= （ e-a），∴a＜ 0 不合题意；当 a＞ 0 时，令 h（ x）= -f（ x），则 h（ x）= -ln（ x+a），问题化为求h（ x）＞ 0 恒成立时 a 的取值范围．由于 h′（ x） = -=，∴在区间（ -a， - ）上， h′（ x）＜ 0；在区间（ - ， +∞）上， h′（ x）＞ 0，第19 页，共 20页∴h（ x）的最小值为h（ - ），所以只需h（ - ）＞ 0，即 ?（ - ） -ln （- +a）＞ 0，∴ln ＜-1，∴0＜ a＜；（Ⅲ）证明：由于 f（ x） =0 存在两个异号实根 x1， x2， -a＜ x1＜ 0， x2＞ 0，构造函数： g（ x）=f（ -x）-f（ x）， -a＜ x＜ 0，∴g（ x） =ln （ a-x）-ln （ x+a）+，∴g′（ x） =-+ =＜0，∴g（ x）在 -a＜x＜ 0 为减函数，又-a＜ x1＜ 0，∴g（ x1）＞ g（0） =0 ，∴f（-x） -f（ x）＞ 0， f（ x1） =0 ，∵f（-x1）＞ 0=f （x2），∴x1+x2＞ 0．【解析】导导函数的函数值过导数大于 0 从而确定出函数 f （x）（Ⅰ）先求数，研究，通的单调递增区间单调递增区间必须注意函数的定义域；即可，求（Ⅱ）讨论 a＜0，取x=e-a，证明不合题意；a＞0，令h（x）=-f （x），求出导数和单调区间，可得所求范围；（Ⅲ）设 g（x）=f（-x）-f （x），求得导数 g′（x），判断符号，然后利用单调性，问题得以证明．本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．第20 页，共 20页。

2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V＝（2）3＝．球故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sin C﹣sin A）cos B﹣sin B sin A ＝0，∴2sin C cos B﹣（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin C cos B﹣sin（A+B）＝2sin C cos B﹣sin C ＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝13，①＝ac sin B＝ac＝3，解得：ac＝12，②又∵S△ABC∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF⊄平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x 2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝•（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n•（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n•（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，Q n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）•（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）•（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表）∴当x＝1时，g（x）＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣最小值2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞⇔+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0⇒函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0⇒lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．。

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天津市2018届高三数学下学期毕业班联考试题（一）(理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑; 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V =。

其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高。

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 设集合}}2{ 2,{ y=1A x N x B y x =∈≤=-，则A B ⋂=( )A 。

{} -21x x ≤≤B 。

}{0 ,1C 。

}{1 ,2D 。

}{ 01x x ≤≤2。

设变量,x y 满足线性约束条件03030y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的取值范围是( ）A. []36-，B. []66-，C. [)6-+∞，D. [)3-+∞，3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ )A ．21B ．58C ．141D ．3184。

设条件p ：函数)2(log )(23x x x f -=在),(+∞a 上单调递增，条件q :存在R x ∈使得不等式a x x ≤-++|12||12|成立，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5。

天津市2018届高三数学下学期毕业班联考试题（一）（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑； 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1. 设集合}}2{ 2,{ y=1A x N x B y x =∈≤=-，则A B ⋂=（ ）A. {}-21x x ≤≤ B. }{0 ,1 C. }{1 ,2 D. }{ 01x x ≤≤2.设变量,x y 满足线性约束条件03030y x y x y ≥-+≥+-≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的取值范围是（ ）A. []36-，B. []66-，C. [)6-+∞，D. [)3-+∞， 3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（ ） A ．21 B ．58 C ．141 D ．3184. 设条件p ：函数)2(log )(23x x x f -=在),(+∞a 上单调递增，条件q ：存在R x ∈使得不等式a x x ≤-++|12||12|成立，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)A ωπϕ>>-<<的部分图像如图所示，为了得到()cos g x A x ω=的图像，只需将函数()y f x =的图象（ ）A. 向左平移23π个单位长度 B. 向左平移3π个单位长度 C. 向右平移23π个单位长度 D. 向右平移3π个单位长度6. 已知定义在R 上的函数(1)f x -的图像关于1=x 对称，且当0>x 时，)(x f 单调递减，若),7.0(),5.0(),3(log 63.15.0f c f b f a ===-则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a b c >>7. 设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点， 12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点，212PF F F ⊥，若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的176倍，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 2或3D. 4或538．已知函数34)(,||)(2+-=+--=x x x g a a x x f ，若方程|)(|)(x g x f =恰有2个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1313(,)(,+228∞）B ．113513(,)+28⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．]813,23[]2135,21( -D ．)813,23[]2135,21( -第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共65分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．i a =_______. 10. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点为F ，动点P 在抛物线上.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点Q 在圆(8c o s )150ρρθ-+=上，则PF PQ +的最小值为__________．12. 已知0a b >>，则322a a b a b+++-的最小值为 . 13. 在等腰梯形中，AB ∥CD ,60,1,2=∠==DAB AD AB ，若3,,BC CE AF AB λ==1,AE DF ⋅=-且则λ=_______.14. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 (1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()1c f C ==-，若2s i n s i n A B =，求ABC ∆的面积．16．（本小题满分13分）2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界。

天津市和平区2018届高三第一次质量调查数学试卷（理）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数的值是A. B. C. 1 D.2. 若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是A. B. C. D.3. 设地球半径为R，若甲地在北纬，东经，乙地在北纬，西经，则甲、乙两地的球面距离为A. B. C. D.4. 已知，则的值为A. 7B.C.D.5. 已知点在经过A（3，0），B（1，1）两点的直线上，那么的最小值是A. 16B.C.D. 不存在6. 如图所示，是边长为2的等边三角形，直线截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y（见图中阴影部分）则函数的大致图形为7. 若，则的值是A. B. 8 C. D.8. 已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为A. B. C. D.9. 定义在R上的偶函数在是增函数，且，则x的取值范围是A. B.C. D.10. 过圆锥曲线C的一个焦点F的直线交曲线C于A、B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都有可能二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。

把答案填在题中的横线上。

11. 随机变量的分布列如图，则的数学期望是_______12. 表示下图中阴影部分的二元一次不等式组为______________13. 在正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F、G、H分别是棱的中点，请写出一个与垂直的正方体的截面___________.（截面以给定的字母标识，不必写出全部符合条件的截面）14. 已知在中，，则________度。

15. 已知函数，若，则的值是________。

16. 已知是首项为1，公比为2的等比数列，则等于_____________（用含n的代数式表示）三、解答题：本大题共6个小题，共76分。

本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V球＝（2）3＝．故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴?＝?（﹣）＝?﹣?＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBsinA ＝0，∴2sinCcos B﹣（sinAcosB+cosAsinB）＝2sinCcosB﹣sin（A+B）＝2sinCcosB﹣sinC ＝0，∵sinC≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝13，①又∵S△ABC＝acsinB＝ac＝3，解得：ac＝12，②∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF?平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝?（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n?（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n?（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1?（）+2?（）2+…+n?（）n，Q n＝1?（）2+2?（）3+…+n?（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1＝﹣n?（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）?（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）?（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝?×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表x（0，）（，1）1（1，2）2g′（x）+0﹣0+g（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2 ∴当x＝1时，g（x）最小值＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞?+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0?函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0?lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu第21页（共21页）。

天津市和平区2018届高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（ ）{}0,1,2,3,4A =---{}212B x x =<A B =I A ． B ．{}4{}1,2,3--C ． D ．{}0,1,2,3--{}3,2,1,0,1,2,3---2．“”是“关于的方程有实数根”的（ ）2a =x 230x x a -+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）x y 、24,20,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩3z x y =-A ．9 B ．5 C ．1 D ．-54．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一221412x y -=F F 个交点，则该直线斜率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．33⎛⎝(3,333⎡⎢⎣3,3⎡-⎣5．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）SA ．72B ．90C ．101D ．1106．将函数的图象向左平移个单位，得到图象对应的解析式为（ 1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭3π）A ． B ．1sin 2y x =12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．1sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．如图，正方形的边长为2，为的中点，，且与相ABCD E BC 2DF FC =u u u r u u u r AE BF 交于点，则的值为（ ）G AG BF ⋅u u u r u u u rA ．B ．C ．D ．4747-3535-8．已知函数若始终存在实数，使得函数的()2,1,25,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩b ()()g x f x b =-零点不唯一，则的取值范围是（ ）a A ． B ． C ． D ．[)2,4(),2-∞(),4-∞(],4-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知是虚数单位，则复数．i 3i 2i -=+10．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）622x x ⎛ ⎝3x 11．一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12．已知，则的最小值为 ．0a >()()141a a a--13．已知函数，若，则的值为 ．()2433x f x x -=+-()4f a =-()f a -14．现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．在中，角所对的边分别是，且.ABC ∆,,A B C ,,a b c 22a bc =（Ⅰ）若，求；sin sin A C =cos A （Ⅱ）若，求的面积.22cos 2A =6a =ABC ∆16．甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为、、，笔试、口试、实验通过考试分别记4分、2分、4分，没通342312过的项目记0分，各项成绩互不影响.（Ⅰ）若规定总分不低于8分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率；（Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.X X 17．如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，P ABC -PA ⊥ABC AC BC ⊥D PC 为的中点，点在线段上，，.E ADF PB 4PA AC ==2BC =（Ⅰ）求证：平面；AD ⊥PBC （Ⅱ）若，求证：平面；34PF PB =EF ∥ABC （Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.PE ADB18．已知是等差数列，是等比数列，其中，，{}n a {}n b 111a b ==234a b a +=.347a b a +=（Ⅰ）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （Ⅱ）记，求数列的前项和.()()12121n n n c a a a b b b n=++++++L L {}n c n n S 19．已知椭圆的离心率为，以椭圆的短轴为直径的圆与直()2222:10x y E a b a b +=>>12线相切.60x y -+=（Ⅰ）求椭圆的方程；E （Ⅱ）设椭圆过右焦点的弦为、过原点的弦为，若，求证：F AB CD CD AB ∥为定值.2CDAB 20．已知函数，，且曲线与在处有相同()2f x ax x =-()lng x b x =()f x ()g x 1x =的切线.（Ⅰ）求实数的值；,a b （Ⅱ）求证：在上恒成立；()()f x g x ≥()0,+∞（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.[)6,n ∈+∞()()f x x ng x +=()1,n e和平区2017—2018学年度第一学期高三年级数学（理）学科期末质量调查试卷参考答案一、选择题1-4:CABD 5-8:BDAC二、填空题9． 10．60 11．1i -4233π+12．-1 13．4 14．480三、解答题15．解：（Ⅰ）由及正弦定理，得.sin sin A C =a c =∵，22a bc =∴.2a c b ==由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=.222244144b b b b +-==（Ⅱ）由已知，，得.22a bc =6a =18bc =∵在中，为锐角，且ABC ∆2A 22cos 2A =∴.21sin 1cos 223A A =-=∴.12242sin 2sin cos 2223A A A ==⨯=由，及公式，18bc =42sin A =1sin 2S bc A =∴的面积.ABC ∆14218422S =⨯=16．解：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件，,,A B C 则事件“甲同学进入复赛的”表示为.ABC ABC U ∵与互斥，且彼此独立，ABC ABC ,,A B C ∴()()()P ABC ABC P ABC P ABC =+U ()()()()()()P A P B P C P A P B P C =+.32131134324328=⨯⨯+⨯⨯=（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.X ，()3211011143224P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1111211432432P X ==⨯⨯+⨯⨯31114324+⨯⨯=，()1213112432432P X ==⨯⨯+⨯⨯3211143224+⨯⨯=.()321134324P X ==⨯⨯=所以，随机变量的分布列为X数学期望.()1111123012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=17．（Ⅰ）证明：∵平面，平面，PA ⊥ABC BC ⊂ABC ∴.PA BC ⊥∵，，AC BC ⊥PA AC A =I ∴平面.BC ⊥PAC ∵平面，AD ⊂PAC ∴.BC AD ⊥∵，为的中点，PA AC =D PC ∴.AD PC ⊥∵，PC BC C =I ∴平面.AD ⊥PBC （Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，PA ⊥ABC AC BC ⊥以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐A ,,CB AC AP u u r u u u r u u u r x y z 标系.可得，，，，，，()0,0,0A ()2,4,0B ()0,4,0C ()0,0,4P ()0,2,2D ()0,1,1E .3,3,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵平面的一个法向量，，ABC ()0,0,4AP =u u u r 3,2,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ∴，即.0AP EF ⋅=u u u r u u u r AP EF ⊥∵平面，EF ⊄ABC ∴平面.EF ∥ABC （Ⅲ）解：设平面的法向量为，则，.ADB (),,n x y z =r 0n AD ⋅=r u u u r 0n AB ⋅=r u u u r 由，，得()0,2,2AD =u u u r ()2,4,0AB =u u u r 220,240,y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，，即.1z =1y =-2x =()2,1,1n =-r 设与平面所成角为，PE ADB θ∵，()0,1,3PE =-u u r ∴sin cos ,PE n PE n PE nθ⋅==⋅u u r r u u r r u u r r ()()021131215106⨯+⨯-+-⨯==⋅∴与平面.PE ADB 21518．解：（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公比为，{}n a d {}n b q 由，得，，111a b ==()11n a n d =+-1n n b q -=由，，得，，234a b a +=347a b a +=22q d =34q d =∴.2d q ==∴的通项公式，的通项公式.{}n a 21n a n =-{}n b 12n n b -=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，212n a a a n +++=L 1221n n b b b +++=-L 故.()21212n n n c n n n n=-=⋅-则.()()21222212n n S n n =⨯+⨯++⋅-+++L L 令，①231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L 则，②234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L 由②-①，得.()12322222n n n T n +=⋅-++++L ()1122n n +=-⋅+∴.()()112212n n S n n +=-⋅+-+++=L ()()111222n n n n ++-⋅-+19．解：（Ⅰ）依题意，原点到直线的距离为，60x y -+=b则有()226311b ==+-，得.2212a b -=22443a b ==∴椭圆的方程为.E 22143x y +=（Ⅱ）证明：（1）当直线的斜率不存在时，易求，，AB 3AB =23CD =则.24CDAB =（2）当直线的斜率存在时，AB 设直线的斜率为，依题意，AB k 0k ≠则直线的方程为，直线的方程为.AB ()1y k x =-CD y kx =设，，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y ()44,D x y 由得，()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22223484120k x k x k +-+-=则，，2122834k x x k +=+212241234k x x k-=+2121AB k x x =+-2222228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.()2212134k k +=+由整理得，则22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221234x k =+3424334x x k -=+.()22342311434k CD k x x k +=+-=+∴.()()2222248134434121k CD k AB k k ++=⋅=++综合（1）（2），为定值.24CDAB =20．解：（Ⅰ）∵，，，()11f a =-()10g =()()11f g =∴.1a =∵，，()21f x ax '=-()bg x x '=∴，.()121f a '=-()1g b '=∵，即，()()11f g ''=21a b -=∴.1b =（Ⅱ）证明：设，()()()()2ln 0u x f x g x x x x x =-=-->.()()()211121x x u x x x x+-'=--=令，则有.()0u x '=1x =当变化时，的变化情况如下表：x ()(),u xu x '∴，即在上恒成立.()()10u x u ≥=()()f x g x ≥()0,+∞（Ⅲ）设，其中，()()()2ln h x ng x f x x n x x =--=-()1,n x e ∈.()2222n n x x n h x x x x⎛+ ⎝⎭⎝⎭'=-=-令，则有.()h x '2n x =当变化时，的变化情况如下表：x ()(),h x h x '∴.()2ln 122n n n h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭极大值()3ln 310≥->，()()()22n n n n h e n e n e n e =-=+-设，其中，则，()x t x x e =-()6,x ∈+∞()10xt x e '=-<∴在内单调递减，，()t x ()6,+∞()()60t x t <<∴，故，而.x x e <()0n h e <()11h =-结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，()h x ()h x ()1,n e ∴方程在区间内实根的个数为2.()()f x x ng x +=()1,n e。

天津市和平区2018届高三第一次质量调查理科数学试题第I卷选择题(共40分)1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3、本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A B)P(A)P(B)=+柱体的体积公式V=Sh其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为(A)、(-1，1) (B)、(l，1) (C)、(1，-l) (D)、(-1，-l)(2)若f(x)a sin x b=+(a，b为常数)的最大值是5，最小值是-1，则ab的值为(A)、23- (B)、23或23- (C)、32-（D）、32(3)在如图所示的计算1+3+5+…+2018的程序框图中，判断框内应填入(A)、i≤504(B)、i≤2009(C)、i<2018(D)、i≤2018(4)己知函数1f(x)+是偶函数，当1x(,)∈-∞时，函数f(x)单调递减，设1122a f(),b f(),c f()=-=-=，则a，b，c的大小关系为(A)c<a<b (B)a<b<c (C)a<c<b (D)c<b<a(5)已知正四棱柱ABCD—A1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为(A)15 (B) 10 (C) 10（D ）35(6)若抛物线y 2=a x 上恒有关于直线x +y-1=0对称的两点A ，B ，则a 的取值范围是 (A)(43-，0) (B)(0，34) (C)(0，43) (D)403(,)(,)-∞+∞(7)已知函数12x f (x )x ,g(x )x ,h(x )x ln x ==+=+的零点分别为x 1，x 2，x 3，则(A) x 1<x 2<x 3 (B) x 2<x 1<x 3 (C) x 3<x 1<x 2 (D) x 2<x 3<x 1(8)已知命题p ：关于x 的函数221f (x )x ax =+-在[3，+∞)上是增函数；命题q ：关于x 的方程x 2-a x +4=0有实数根。

天津市和平区2018届高三数学摸底测试试题理本试卷分为第I卷（选择题）、第I I 卷（非选择题）两部分，共120 分，考试用时90分钟一、选择题：1．若z 1 2i，则4iz z 1A．1 B． 1 C．i D．i2．设常数aR ，集合A x ( x 1)( x a ) 0, B x x a 1，若A BR，则a的取值范围为A．,2C．2,B．,2D．2,3．执行如图所示的程序框图，若输入n10 ，则输出的S5 10A．B．11 1136 72C．D．55 554．命题x0 R ,1 f ( x0 ) 2 的否定形式是A．x R ,1 f ( x )2B．x R, f ( x) 1 或f ( x ) 2C．x R,1 f ( x )2D．x R, f ( x) 1 或f ( x) 2215．设axdx，则二项式ax展开式中含x项的系数是A．80 B．640 C．160 D．406．设a R ，函数f ( x ) ex a e x的导函数f( x) 是奇函数，若曲线y3f ( x ) 的一条切线的斜率是 2 A ．－ ln 22 ，则切点的横坐标为B ．－ l n 2C ． ln 2 2D ． l n 2 7．已知 p ：函数 f ( x ) x a 在 , 1 上是单调函数， q ：函数g ( x ) log a ( x 1), (a 0 且 a 1 ）在 1,上是增函数，则 p 是 q 的⎩n +1 n，若A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．双曲线x2 y 21(a 0, b 0) 的右焦点与抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点F重合，a2 b2两条曲线在第一象限的交点为M，若M F x 轴，则该双曲线的离心率eA．B ．1C．D． 19．某校从8名教师中选派4名同时去4个地区支教（每地一名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A．150种B．300种C．600 种D．900种10．设定义在R上的函数f ( x) 满足f (0) 1 ，其导函数f ( x) 满足f ( x ) k1 ，则下列结论中一定错误的是A． f (1)kB． f (1)1k 11 1k 11 1k 1 k 1C． f ( )k k 1D． f ( )k k二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是12．在平面直角坐标系中，已知圆C的参数方程为x a cosy sin，（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin() ．若直线l与圆C相切，则实数a13．设数列 a 前n项的和为Sa 14，且a 3S4 2n N* ，则S n _. 14．若点O,F 分别为椭圆x y2+ = 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则4 3OP FP的最大值为15．某校举行知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比3 4 3 赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题 者则被淘汰。

天津市和平区2015届高三下学期第一次质量调查数学（理）试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么ABP=. .P+A(B()P)()柱体的体积公式. 其中表示锥体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.锥体的底面积,表示锥体的高.（4）设函数若,则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（5）设R,则是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件（6）在△中, 已知是的中点, ,点在上且满足,则等于（A ） （B ） （C ） （D ）（7）设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-+--+-，，022033,042y x y x y x 则的最小值为 （A ） （B ） （C ） （D ）（8）如图,切圆于点,割线经过圆心,若,平分,交圆于点,连接交圆于点,则的长等于（A ）（B ） （C ） （D ）第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1．用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.（9）在的展开式中,的系数是 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积为 cm ³.（11）在△中, , ,若△的面积等于,则边长为 .（12）已知等比数列的公比为正数,且, ,则等于 .（13）已知直线的参数方程为（为参数）,圆的极坐标方程为,则圆的圆心到直线的距离等于 .（14）若不等式对满足≤≤的所有都成立,则的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知向量,)sin ,sin 3(cos x x x --,.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时,求函数的取值范围.（16）（本小题满分13分）在一次数学测试中,甲、乙两个小组各12人的成绩如下表:（单位:分）甲组 91 86 82 75 93 90 68 82 76 94 92 64乙组 77 84 95 81 98 69 72 88 93 65 70 85若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”,其余的等级都记为“合格”.（Ⅰ）在以上24人中,如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人,再从这6人中随机选出2人,求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人,用表示其中乙组的人数,求随机变量的分布列和的数学期望.（17）（本小题满分13分）如图,在三棱锥中,底面是正三角形, , , 侧面底面,分别为的中点.（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值.（18）（本小题满分13分）已知数列满足,其前项和,且,N*.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设,并记为数列的前项和,求证:, N*.（19）（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率,且它的左焦点与右顶点的距离.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作与轴不重合的直线交椭圆于,两点,连接,分别交直线于,两点,求证:直线与直线的斜率之积为定值.。