2013年高考解析分类汇编4：平面向量(师生)

F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算1．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．1.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 2．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 2．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 3．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.3．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.4．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．4．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算5．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．5．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y≤9，0≤x －2y≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B(5，1)到直线x －2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 6．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C .2＋1 D.2＋26．C [解析] 由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c|＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.7．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．7.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)． 8．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．8．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.9．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．9．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.F3 平面向量的数量积及应用10．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 10．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t＝2. 11．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．011．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m 2，解得m ＝2或－ 2. 12．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．12．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5.13．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝0 13．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a＝0，所以(b －a 3)b －a 3－1a＝0，故选C. 14．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.3 22 B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 15214．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22. 15．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－115．B [解析] (m ＋n)⊥(m －＋n)·(m －n)＝2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.16．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．16．－13[解析] 设|b|＝1，则|a|＝3，|a ＋2b|＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13. 17．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 17．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12. 18．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．18．2 [解析] b·c ＝b·[ta ＋(1－t)b]＝ta·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2. F4 单元综合19．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1019．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5， 20．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．420．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc.综上，选B.21．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．21．2 |x||b|＝|x|2|b|2＝x 2x 2e 21＋2xye 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x 2＝1y x ＋322＋1422．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2，0)B ．(－3，6)C ．(6，2)D ．(－2，0) 22．A [解析] MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)，则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.23．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( ) A.13OA →－43OB → B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB → D ．－13OA →－43OB → 23．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C. 24．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－224．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎨⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，解得λ＝1.故选C. 25．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．25.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3. 26．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( ) A ．1 B.32C ．2D ．3 26．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －mb)·a ＝0，即|a|2－ma·b ＝0，所以|a|2－m|a||b|cos 60°＝0，解得m ＝327．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝027．C [解析] 由题意知－5＝OP →·OA →|OA →|＝x ＋2y 5，所以点P 的轨迹方程是x ＋2y ＋5＝0，故选C.。

学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数学授课老师课时数2h 第次课授课日期及时段2018 年月日：—：历年高考试题集锦——平面向量1．（2012 四川）设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a b|a||b|成立的充分条件是（ C ）A、a b B 、a // b C 、a 2b D 、a // b 且|a||b|2. （2014 新标 1 文）设D, E,F 分别为ABC的三边BC , CA, AB 的中点，则EB FC （A ）A. ADB. 12AD C.12BC D. BC3. （2014 福建文）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA OB OC OD 等于（ D ）A.O MB.2OMC.3OMD.4OM4. （2012 大纲）ABC中，AB边上的高为CD ，若C B a, C A b, a b 0,| a | 1,| b | 2 ，则ADA．1 1a b B ．3 32 2a b C ．3 33 3a b D ．5 54 4a b5 5【简解】由 a b 0 可得ACB 90 ，故A B 5 ，用等面积法求得2 5CD ，所以54 5AD ，故54 4 4 4AD AB (CB CA) a b ，故选答案 D5 5 5 55.(2012 浙江) 设a，b 是两个非零向量．A．若| a +b |=| a |-| b | ，则a ⊥b ；B ．若a ⊥b ，则| a +b |=| a |-| b |C．若| a +b |=| a |-| b | ，则存在实数λ，使得a =λ bD．若存在实数λ，使得 a =λb ，则| a +b |=| a |-| b |【解析】| a +b |=| a |-| b | ，两边平方得到 a b =-| a || b |, 则 a 与 b 反向，选 Cword 完美整理版→→→6．(2013 四川) 在平行四边形ABCD中，对角线A C与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝____2____.6.(2014 新标1理) 已知A，B，C是圆O上的三点，若1AO (AB AC) ，则AB 与AC 的夹角为290 .8．（2012 安徽文）设向量a (1,2 m), b(m1,1),c (2, m) ，若(a c) ⊥b , 则a _____ 2 9．（2014 北京文）已知向量 a 2,4 ，b 1,1 ，则2a b （A ）A. 5,7B. 5,9C. 3,7D. 3,9 10．（2012 广东）若向量BA 2,3 ，CA 4,7 ，则BC （ A ）A. 2, 4B. 2,4C. 6,10D. 6, 10r 11．（2014 广东文）已知向量a (1,2)r r r，b (3,1)，则b a（ B ）A.( 2,1)B.(2, 1)C.(2,0)D.(4,3)12．（2013 湖北）已知点A( 1, 1)、B(1, 2) 、C( 2, 1) 、D (3, 4) ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ A ）A．3 22B．3152C ．3 22D．315213．（2012 辽宁文）已知向量a = (1, —1) ，b = (2,x). 若a· b = 1, 则x = （ D ）(A) — 1 (B) —12(C)12(D)1→14．（2013 辽宁）已知点A(1,3) ，B(4 ，－1) ，则与向量A B同方向的单位向量为( A )A. 3，－545B.45，－35C. －3 4，5 545D. －，3515．（2013 福建）在四边形ABCD中，AC (1, 2) ，BD ( 4, 2) ，则四边形的面积为（ C ）A． 5 B ．2 5 C ．5 D ．1016．（2013 安徽文）若非零向量a,b满足a 3 b a 2b ，则a,b夹角的余弦值为_____13__. π→→17．（2013 辽宁）设向量a＝( 3sin x，sin x) ，b＝(cos x，sin x) ，x∈0，2.→→→→(1) 若| a| ＝| b| ，求x 的值；(2) 设函数f( x) ＝a·b，求f( x) 的最大值．【答案】(1) π6. ；(2)3.2→→→→→18．（2014 大纲文）已知a、b为单位向量，其夹角为60 ，则（2a－b）· b =( B )word 完美整理版A. －1B. 0C. 1D.27.(2013 新标1理) 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝t a＋(1 －t) b，若b·c=0，则t =__2___.→→8.(2014 新标2) 设向量a,b→→→→满足| a+ b|= 10 ，| a-b→→|= 6 ，则a· b = ( A )A. 1B. 2C. 3D. 5→→9.(2013 新标2) 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝____2____.10.（2012 湖南文）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP 3且A P AC = 18 .【解析】设AC BD O ，则AC 2( AB BO) ，AP AC = AP 2( AB BO)2AP AB 2AP BO 22AP AB 2AP( AP PB) 2AP 18.11.（2012 江苏）如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E 为BC的中点，点F 在边CD上，若= ，则的值是．12.（2014 江苏）如图，在□ABCD中，已知，AB 8 ，AD 5，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是．【简解】AP AC =3( AD AP ),1AP AD AB ;43BP AD AB ; 列式解得结果22413.（2015 北京文）设a，b 是非零向量，“a b a b ”是“a//b ”的（ A ）A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14.（2015 年广东文）在平面直角坐标系x y 中，已知四边形CD 是平行四边形，1, 2 ，word 完美整理版D 2,1 ，则 D C （D ）A．2 B ．3 C ．4 D ． 515.（2015 年安徽文）ABC是边长为2 的等边三角形，已知向量a、b 满足AB 2a ，AC 2a b ，则下列结论中正确的是①④⑤。

2013年全国高考数学试题分类解析——平面向量部分1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。

3.（北京文科11）已知向量),(01),(a b c k ==-=。

若2a b -与c 共线，则k = .4.（福建理科第10题）已知函数x e x f x+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC 可能是直角三角形③△ABC 可能是等腰三角形④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④5.（福建理科15）设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量 1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有)()1()())1(b f a f b a f λλλλ-+=-+（，则称映射f 具有性质P 。

先给出如下映射：①V y x m y x m f R V f ∈=-=→),(,)(,:11；②V y x m y x m f R V f ∈=+=→),(,)(,:222；③V y x m y x m f R V f ∈=++=→),(,1)(,:33.其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号）6.（福建文科13）若向量)2,1(),1,1(-==b a ，则b a ⋅等于_____________.7.（广东理科3）若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．08.（广东文科3）已知向量)2,1(=a ，)0,1(=b ，)4,3(=c 。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】4平面向量1.（2013届北京朝阳区一模理科）（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35【答案】A(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.2．（2013届北京海淀一模理科）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A由题意知a a b =+ ，即2222a a a b b =+⋅+ ，所以2122b a b ⋅=-=- ，选A.3．（2013届东城区一模理科）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC =b ，则向量BC为（ ）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b【答案】C因为=BC AC AB - ，所以=BC b a -，选C.4．（2013届东城区一模理科）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA = ，且AB方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA经过一次(,)k θ变换得到AB.现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A -- 经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -= ，112n n θ-=，1cos n n k θ=，则y x -等于（ ）A ．1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- B ．1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- C ．1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- D ．1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【答案】B 根据题意，111111111,2cos cos1k θθ-====，所以一次（θ1，k 1）变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，即由逆时针旋转1弧度而得，且=设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为=（x'，y'）则有•=，所以'cos1sin1'sin1cos1x y =-⎧⎨=+⎩，即向量逆时针旋转1弧度，得到向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），再将的模长度伸长为原来的倍，得到=（cos1﹣sin1，sin1+cos1）=（1﹣，+1）因此当n=1时，=（x ，y ）=（1﹣，+1），即sin11cos1sin11cos1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此可得y ﹣x=+1﹣（1﹣）=。

2013年高考试题分类汇编（平面向量）考点1 平面向量基本定理1.（2013·广东卷·理科）设a 是已知的平面向量且0a ≠.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ,总存在向量c ，使a b c =+；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；③给定向量b 和正数，总存在单位向量c ,使a b c λμ=+.④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ,使a b c λμ=+.上述命题中的向量b , c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.42.（2013·陕西卷·理科）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“a b ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（2013·北京卷·理科）向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示， 若c a b λμ=+(,)R λμ∈，则λμ= .4.（2013·江苏卷）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 . 考点2 平面向量基本运算1.（2013·安徽卷·理科）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ==⋅=则点集{},1,,|P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是a b cA.2.在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==，12AP AB AB =+．若12OP <，则OA的取值范围是A.B.C.D. 3.（2013·安徽卷·文科）若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为 . 4.（2013·江西卷·理科）设12 e e ，为单位向量。

平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的【】A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 。

【考点】向量的线性运算性质及几何意义。

【分析】∵AB AB、AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB ACAB AC +的方向与∠BAC 的角平分线一致。

再由()AB ACOP OA AB ACλ=++可得到()AB AC OP OA AB AC λ-=+ ，即()AB ACAP AB ACλ=+可得答案：向量AP 的方向与∠BAC的角平分线一致。

∴一定通过△ABC 的内心。

故选B 。

2.（江苏2004年4分）平面向量b a ,中，已知a =(4，－3)，b =1，且b a ⋅=5，则向量b = ▲ . 【答案】43, 53⎛⎫- ⎪⎝⎭。

【考点】平面向量数量积的运算。

【分析】∵a =(4，－3)，∴5a =。

又∵b =1，b a ⋅=5，∴5cos , 151a b a b a b ⋅===⨯⋅。

∴, a b 同向。

∴()1143 4, 3, 5553b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 。

3.（江苏2005年4分）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC )⋅+的最小值是 ▲ 【答案】－2。

【考点】向量与解析几何的综合应用。

【分析】如图，由向量的运算法则，得OA (OB OC)2OA OM 2OA OM ⋅+=⋅⋅=-⋅。

设OA x = ，则由AM=2得，OM 2x =-。

则()()22OA (OB OC)2224212x x x x x ⋅+=--=-=-- 。

∴当x =1时，OA (OB OC)⋅+有最小值－2。

4.（江苏2006年5分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为【 】（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B 。

【专项冲击波】2013年高考数学讲练测系列专题05 平面向量（教师版）【考纲解读】1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2．了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义；3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示；;4.两个向量夹角的范围是:[0,]5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.【考点在线】考点一向量概念及运算例1. (2012年高考浙江卷理科5)设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是（）A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【答案】C【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．【名师点睛】本题考查向量的概念、向量的加法与减法以及向量共线的条件,考查分析问题、解决问题的能力.【备考提示】：熟练平面向量的基础知识是解答好本题的关键.练习1: （山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 文）如图，已知4,,,3AP AB OA OB OP OP =用表示则等于（ ）A ．1433OA OB -B ．1433OA OB +C ．1433OA OB -+D ．1433OA OB --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333OA AB OA OB OA OA OB =+=+-=-+,选C.考点二 平面向量的数量积例 2.（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文）已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a mb a -⊥ 则实数m 的值为（ ）A.1B.32C.2D.3【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积、向量的夹角等平面向量知识.【备考提示】：熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.练习2: （2012年高考辽宁卷文科1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴= ，故选D.考点三 向量与三角函数等知识的综合例3. (2012年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）已知向量(c o s s i n ,s i n x xx ωωω=-a ，(cos sin ,)x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（1） 求函数f （x ）的最小正周期； （2） 若y=f （x ）的图像经过点(,0)4π,求函数f （x ）在区间3[0,]5π上的取值范围.由305x π≤≤得556366x πππ-≤-≤,所以15sin()1236x π-≤-≤,得512sin()236x π--≤--≤-所以()f x 在区间3[0,]5π上的取值范围为[1-. 【名师点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，同时考查运用同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式来化简求值，考查分析问题与解决问题的能力.【备考提示】：熟练平面向量以及三角函数的基础知识是解答好本题的关键.练习3: (2012年高考陕西卷文科7)设向量a =（1.cos θ）与b=（-1， 2cos θ）垂直，则cos 2θ等于 （ ）A2B 12C .0 D.-1【答案】C【解析】22,0,12cos 0,cos22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C.【考题回放】1.(2012年高考辽宁卷理科3)已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ）(A) a ∥b (B) a ⊥b (C){0,1,3} (D)a +b =a -b 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |，平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ，故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a +b |=|a -b |，所以该平行四边形为矩形，所以a ⊥b ，故选B2. (2012年高考福建卷文科3)已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是（ ） A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0 【答案】D【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 ，D 正确。

各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】已知点(5,6)(1,2),3M a MN a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)MN a =-=--=-，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)MN x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A. 2.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】如右图,在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A.19 B 31C. 1D. 3 【答案】A【解析】因为13AN NC =，所以14AN AC=设BP BN λ=，则()AP AB BP AB BN AB AB AN λλ=+=+=+-(1)(1)4AB AN AB AC λλλλ=+-=+-,又29AP m AB AC −−→−−→−−→=+，所以有2491m λλ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，即8919m λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选A.3.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】定义行列式运算1234a a a a =3241a a a a -．将函数sin 2()cos 2x f x x=6π个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是 （ ） A ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．(,0)2π C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由行列式的定义可知sin 2()cos 2x f x x=sin 222sin(2)3x x x π==-，函数的图象向左平移6π个单位，得到的函数为()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=+-=，所以有()2s i n (2)2s i n 022g πππ=⨯==，所以(,0)2π是函数()g x 的一个零点，选B. 4.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++ A.a B.bC.cD.0【答案】D【解析】因为a b +与c 共线，所以有a b mc +=，又b c +与a 共线,所以有b c na +=，即b mc a =-且b c na =-+，因为,,a b c 中任意两个都不共线，则有11m n =-⎧⎨=-⎩，所以b mc a c a =-=--，即0a b c ++=，选D.5.【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理】已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为A. -71 B. 71 C. -61 D. 61【答案】A 【解析】(31,2),2(1a b a b λλλ+=---=-，因为向量a λ+b 与a -2b 垂直，所以()(2)0a b a b λ+-=，即3140λλ++=，解得17λ=-，选A.6.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 A ．4πB ．2πC ．43πD ．π【答案】A【解析】由题意知.2,02)(2=⋅∴=⋅-=⋅-=⋅-设a 与b 的夹角为θ，则.4,22c o s πθθ===故选A ，. 7.【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试理】在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若0cAC aPA bPB ++=，则ABC ∆的形状为A. 等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形.【答案】A【解析】如图，由AC c +aPA bPB +=知b c c a b a c )()()(-+-=-+-=，而与为不共线向量，0=-=-∴b c c a ，.c b a ==∴故选A.8.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +等于D.4【答案】C【解析】因为2223323a b a b a b +=++，所以231923cos 133a b π+=++⨯=，所以313a b +=，选C.9.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学理】如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅B.1214PP PP ⋅C.1215PP PP ⋅D.1216PP PP ⋅【答案】A 【解析】设正六边形的边长为1，则12131133cos3032PP PP PP PP ===,121412141cos 60212PP PP PP PP ==⨯=,12151215cos900PP PP PP PP ==,121612161cos1202PP PP PP PP ==-,所以数量积最大的选A.10.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k ===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a b c +与垂直，所以有2=0a b c +（），即2=0a c b c +0=，解得3k =-，选A.11.【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测理】非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C. ||||a ba b =D. a b = 【答案】B【解析】要使||||||a b a b -=+成立，则有,a b 共线且方向相反，所以当20a b +=时，满足2a b =-，满足条件，所以选B.12.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（ ）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -=，所以10+20k -=，即12k =，选D.13.【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b)50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++，解得可知=→b 5，选C14.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】设,,x y ∈R 向量(,1),(1,),(2,4),a xb yc a c b c a b===-⊥+且则A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为,a c ⊥所以240x -=，解得2x =，又//,b c 所以240y +=，所以2y =-，所以(1,1)(3,1)a b x y +=++=-，所以||10a b +=，选B. 15.【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试理】在△ABC 中，AB=4，∠ABC=30°，D 是边BC 上的一点，且,AD AB AD AC ⋅=⋅则AD AB ⋅的值等于A ．—4B ．0C ．4D ．8【答案】C【解析】由,A D A B A D A C ⋅=⋅得()0AD AB AC AD CB ⋅-=⋅=,即AD CB ⊥，所以2,60A D B A D =∠=,所以14242AD AB ⋅=⨯⨯=，选C. 16.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 偶函数D. 奇函数 【答案】C【解析】因为a b ⊥，所以0a b =，所以2222()()f x ax b a x b =+=+，所以2()()f x ax b =+为偶函数，选C.17.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点O 为△ABC 内一点，且230,OA OB OC ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】,延长OB 到'B ，使'2OB OB =,延长OC 到'C ，使'3OC OC =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',OB OC OA OA +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''AB C 的重心，18.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试理】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO OD =C ．3AO OD = D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++=得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO =,所以AO OD =，选B.19.【 山东省滨州市滨城区一中2013届高三11月质检数学理】已知向量a ，b ，则0=∙b a是a ⊥b 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】因为向量,a b r r中有可能为零向量，所以0a b ⋅=r r 时，推不出a b ⊥r r 。