2019～2020学年度广东省珠海一中、惠州一中高一第1学期期中联考数学试题试题解析

东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考试题数学本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只需将答题卡上交.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}220,ln 2A xx x B x y x =+->==-∣∣，则A B ⋂=（ ） A.{21}xx -<<∣ B.{12}x x <<∣ C.{2}xx <∣ D.{2x x <-∣或12}x << 2.在复平面上，复数34i z =-的共轭复数z 对应的向量OM 是（ ）A. B.C. D.3.已知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率等于（ ）B.3 D.24.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()210,N ξσ~，根据检测结果可知()9.9810.020.98P ξ=剟，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量10.02kg 以上的袋数大约是（ ）A.5B.10C.20D.405.已知等差数列{}n a 的公差不为10,1a =且248,,a a a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则（ ） A.20234045a = B.5434a a a a <C.119462a a a a +=+ D.1112n S n n ++=+ 6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（ ） A.0.475 B.0.525 C.0.425 D.0.5757.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()()0.8221log ,log 4.1,25a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.c b a <<B.b a c <<C.a b c <<D.c a b <<8.已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ）A.10,30⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,29⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.10,28⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,27⎛⎫⎪⎝⎭ 二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（ ）A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法10.已知函数()sin 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A.()f x 的图象关于直线6x π=对称B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C.()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.当2,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈- 11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（ ）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC 的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2e xf x x =-，则下列结论正确的是（ ）A.()0f x >的解集为()()2,02,∞-⋃+B.当0x <时，()()2e xf x x -=+C.()f x 有且只有两个零点D.[]()()1212,1,2,e x x f x f x ∀∈-…三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.14.已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________. 15.设函数()y f x =''是()y f x ='的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的图像都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=.已知三次函数()321f x x x =+-，若120x x +=，则()()12f x f x +=__________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆22:12x C y +=，则C的蒙日圆O 的方程为__________；在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆C 的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知等差数列{}n a 满足()218n n a n k +=-+，数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列.（1）求n a 和n b ； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的最大项. 18.（本小题12分）在ABC 中，4,AB D =为AB中点，CD =（1）若3BC =，求ABC 的面积； （2）若2BAC ACD ∠∠=，求AC 的长. 19.（本小题12分）.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，BC ∥平面1,1,2PAD BC AD E ==是棱PD 上的动点.（1）当E 是棱PD 的中点时，求证：CE ∥平面PAB ： （2）若1,AB AB AD =⊥，求点B 到平面ACE 距离的范围. 20.（本小题12分）某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm ）得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)）和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望()E ξ，（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中0.05; 3.841n a b c d x =+++=21.（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左､右焦点分别为12,F F ，短轴的顶点分别为12,B B ，四边形1122B F B F 的面积为,A B （点A 在x 轴的上方）为椭圆上的两点，点M 在x 轴上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线AB 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN . 22.（本小题12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围； （2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.东莞中学､广州二中､惠州一中､深圳实验､珠海一中､中山纪念中学2024届高三第一次六校联考数学参考答案一､单选题，二多选题：三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）13.7.85 14.6240x 15.-2 16.223,55x y r +=≤≤+四､解答题17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列， 所以13n n b -=，因为()218n n a n n k +=-+，所以12371215,,234k k k a a a ---===. 因为数列{}n a 是等差数列， 所以2132a a a =+，即127152324k k k ---⨯=+，解得9k =- 所以()()()218919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-. 所以()()()22111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，所以118,9d a k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以9n a n =-（2）因为193n n n n a n c b --==， 当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n …时，0n c >. 当10n …时，11891920333n n n n nn n nc c +-----=-=<，即，1n n c c +<. 所以数列{}n c 的最大项是第10项10913c =18.解：（1）在BCD中，2,3,BD BC CD ===由余弦定理可知2224971cos 22322BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，因为0B π<<，所以sin 2B =，所以1sin 2ABCSAB BC B =⨯⨯= （2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理sin2sin CD ADθθ=，2sin θ=，得()cos 0,θθπ=∈，所以3sin 4θ=，21sin22sin cos 2cos 188θθθθθ===-=-， 所以2ADC ∠πθθ=--， 所以()139sin sin 2848416ADC ∠θθ=+=-⨯=，.由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD∠∠=，即92316324AC ⨯==. 19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BC AD ∥.取PA 的中点F ，连接BF EF ､，因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且12EF AD =， 因为BC AD ∥且12BC AD =，所以，EF BC ∥且EF BC =， 所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB .. （2）取AD 的中点O ，连接PO . 因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ， 所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1,,2BC AD BC AD O =∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =， 所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥， 因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，设(()0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ剟，则()()()0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，所以()1111020n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令12z λ=-，得()3,,2n λλ=-，设点B 到平面ACE 距离为,7AB n d d nλ⋅==当0λ=时，0d =；当01λ<≤时，11λ≥，则0d <==≤=， 当且仅当1λ=时等号成立.综上，点B 到平面ACE 距离的取值范围是⎡⎢⎣⎦.20.解：（1）由题意得列联表如下：()()()()222()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.054.621 3.841x >=依据小概率值0.05α=. （2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为23282431004++=，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为1517163805++=，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()()()1221132393390,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为：()19927012.10202020E ξ=⨯+⨯+⨯= （3）由已知零件为三等品的频率为4221118020+++=，设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ()1402,20E X ∴=⨯= 设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，340300,>∴应对剩下零件进行检验..21.解：（1）由题意知2c e a ==，四边形1122B F B F 为菱形，面积为2bc =， 又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，由2AM MB =得122y y =-，联立221,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224240t y tmy m +++-=，()()()22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---则212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-， 得()()2212121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭， 化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB的距离d =又直线AB 与圆224:7O x y +=相切，=2271,4t m =- 由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩， 得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=， 解得243m =，则243t =，满足Δ0>，所以3M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， 在Rt OMN中，MN ==22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，则()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->， ()()()221112121x x x x h x x x x x'+---=--==， 令()0h x '=，得1x =（舍负），.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线， 则()()()()121212,f x g x f x g x x x -='-'=211212121ln 12x ax x a x a x x x -+--∴-==-， 12122a x x ∴=+，代入21211221ln .x x x ax x a x -=-+--. 得222221ln 20424a a x a x x ++++-= ∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解， 设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点， ()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭， 当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x--=--+='， 设()20002100x ax x --=>，则 当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-. 由200210x ax --=知0012a x x =-， 故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-. 设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->， 则()211220x x x x ϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤， ()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤. 又函数12y x x=-在(]0,1上单调递增， (]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。

2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合题目要求）1. 函数y=a x+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A.(0, 1)B.(1, 0)C.(2, 1)D.(0, 2)【答案】D【考点】指数函数的图象【解析】已知函数f(x)=a x+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答】解：∵函数y=a x+1，其中a>0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，∴函数y=a x+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(0, 2).故选D.2. 函数y=x2−2x−1，x∈[0, 3]的值域为()A.[−1, 2]B.[−2, 2]C.[−2, −1]D.[−1, 1]【答案】B【考点】函数的值域及其求法【解析】配方便得到y=(x−1)2−2，从而可看出x=1时y取最小值，x=3时，y取最大值，这样即可得出该函数的值域．【解答】解：y=x2−2x−1=(x−1)2−2；∴x=1时，y取最小值−2；x=3时，y取最大值2；∴该函数的值域为[−2, 2]．故选B．3. 已知集合A＝{0, 1, 2}，集合B＝{0, 2, 4}，则A∩B＝（）A.{0, 1, 2}B.{0, 2}C.{0, 4}D.{0, 2, 4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义求解．【解答】∵集合集合A＝{0, 1, 2}，集合B＝{0, 2, 4}，∴A∩B＝{0, 2}．4. 函数f(x)＝4x−x2的零点所在的大致区间是（）A.(−1,12) B.(−12,0)C.(0,12)D.(12,1)【答案】 A【考点】 函数的零点 【解析】确定f(−1)，f(12)函数值的符号，通过函数的连续性，根据零点存在定理，可得结论． 【解答】∵ 函数f(x)＝4x −x 2是连续函数，f(−1)=14−1=−34<0，f(12)＝2−14=74>0，f(−1)⋅f(12)<0，∴ 根据零点存在定理，可得函数f(x)＝4x −x 2的零点所在的大致区间是(−1, 12)，5. 已知不等式x 2−2x −3<0的解集为A ，不等式x 2+x −6<0的解集为B ，不等式x 2+ax +b <0的解集为A ∩B ，则a +b ＝（ ） A.−3 B.1 C.−1 D.3 【答案】 A【考点】 交集及其运算一元二次不等式的应用 【解析】解方程x 2−2x −3＝0和x 2+x −6＝0，求得集合A 和B ，求出A ∩B ，根据韦达定理求得a ，b ． 【解答】由题意：A ＝{x|−1<x <3}，B ＝{x|−3<x <2}，A ∩B ＝{x|−1<x <2}，由根与系数的关系可知：a ＝−1，b ＝−2，6. 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x −2)≤1的x 的取值范围是（ ） A.[−2, 2] B.[−1, 1] C.[0, 4] D.[1, 3] 【答案】 D【考点】抽象函数及其应用 【解析】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性． 【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数． 若f(1)=−1，则f(−1)=1，又∵ 函数f(x)在(−∞, +∞)单调递减，−1≤f(x −2)≤1， ∴ f(1)≤f(x −2)≤f(−1)， ∴ −1≤x −2≤1， 解得：x ∈[1, 3]， 故选D .7. 已知abc<0，则在下列四个选项中，表示y＝ax2+bx+c的图象只可能是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据各选项的图象，确定出a，b，c的正负，验证是否符合abc<0，作出解答．【解答】A由于图象开口向下，所以a<0．由图象可知f(0)＝c>0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b<0，∴abc>0，与已知abc<0矛盾所以A不可能B由于图象开口向上，所以a>0．由图象可知f(0)＝c<0，又抛物线对称轴x=−b2a<0，∴b>0，符合已知abc<0所以B正确．同样的方法得出C，D均不可能．8. 设a=log123，b＝(13)0.2，c=213，则（）A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c 【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】∵a=log123<0，0<b＝(13)0.2<1，c=213>1，∴a<b<c．9. 函数y=√log0.5(4x−3)+1的定义域为（）A.(−∞, 54] B.(34, 54] C.(34, 1] D.[54, +∞)【答案】B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 【解答】函数f(x)=√log 0.5(4x −3)+1， 令log 0.5(4x −3)+1≥0， 解得log 0.5(4x −3)≥−1， 即0<4x −3≤2， 解得34<x ≤54；所以函数f(x)的定义域为(34, 54]．10. 已知函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)a x ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞, −2]B.[−2, 0)C.[−3, 0)D.[−3, −2]【答案】 D【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据分段函数的性质，f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)ax ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数，二次函数开口向下，∴ (−∞,−b2a )是增函函，故得对称轴x =−a2≥1，那么反比例函数ax 在(1, +∞)必然是增函数．从而求解a 的取值范围．【解答】由题意：函数f(x)={−x 2−ax −5,(x ≤1)ax ,(x >1) 在(−∞, +∞)上是增函数， ∴ 二次函数−x 2−ax −5，开口向下，∴ (−∞,−b 2a)是增函函，故得对称轴x =−a2≥1，解得：a ≤−2．反比例函数ax 在(1, +∞)必然是增函数，则：a <0； 又∵ 函数f(x)是增函数，则有：a1≥−(1)2−a ×1−5，解得：a ≥−3．所以：a 的取值范围[−3, −2]．11. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（ ） A.1500元 B.1550元 C.1750元 D.1800元 【答案】 A【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，可得到获得的折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝50>25，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案． 【解答】设此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元 由题可知：y ={0,0<x ≤8000.05(x −800),800<x ≤13000.1(x −1300)+25,x >1300∵ y ＝50>25 ∴ x >1300∴ 0.1(x −1300)+25＝50 解得，x ＝1550， 1550−50＝1500，故此人购物实际所付金额为1500元．12. 已知函数f(x)={ln(x +1)+m,x ≥0ax −b +1,x <0 (m <−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f(s)＝f(t)，且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m2)有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A.(−4, −2) B.(−1, 0) C.(−2, −1)D.(−4, −1)∪(−1, 0) 【答案】 A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】根据f(x)在[0, +∞)上的单调性和值域结合函数性质判断f(x)在(−∞, 0)上的单调性和值域，得出a ，b ，m 的关系，根据|f(x)|＝f(m2)有4个不相等的实数根可知0<f(m2)<−m ，由此求出a 的范围得答案 【解答】由题意可知f(x)在[0, +∞)上单调递增， 值域为[m, +∞)，∵ 对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f(s)＝f(t)，且s ≠t ，∴ f(x)在(−∞, 0)上是减函数，值域为(m, +∞)， ∴ a <0，且−b +1＝m ，即b ＝1−m ．∵|f(x)|＝f(m2)有4个不相等的实数根，∴0<f(m2)<−m，又m<−1，∴0<am2<−m，即0<(a2+1)m<−m，∴−4<a<−2，∴则a的取值范围是(−4, −2)，二、填空题（本题满分20分，每小题5分）已知幂函数f(x)的图象过点(8, 12)，则此幂函数的解析式是f(x)＝________．【答案】x−1 3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设f(x)＝xα，将点(8, 12)的坐标代入可求得α，从而可得答案．【解答】设f(x)＝xα，∵幂函数f(x)的图象过点(8, 12)，∴8α=12，即23α＝2−1，∴3α＝−1，∴α=−13．∴f(x)=x−13．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x−1，则f(log210)＝________．【答案】910【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由f(−x)＝−f(x)，可得f(log210)＝−f(−log210)，代入x<0的表达式求出即可．【解答】已知f(x)为R上的奇函数，f(−x)＝−f(x)，∴f(log210)＝−f(−log210)＝−(2−log210−1)=−110+1=910，设a，b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6＝0的两个实根，则(a−1)2+(b−1)2的最小值是________． 【答案】 8【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】根据二次函数根与系数的关系确定参数m 的取值范围，从而求解(a −1)2+(b −1)2的值域． 【解答】∵ a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2−2mx +m +6＝0的两个实根， ∴ △＝(−2m)2−4(m +6)≥0，解得：m ≤−2或m ≥3， 且由根与系数的关系得：a +b ＝2m ，ab ＝m +6，∴ (a −1)2+(b −1)2＝a 2−2a +1+b 2−2b +1＝a 2+b 2−2(a +b)+2＝(a +b)2−2ab −2(a +b)+2＝(2m)2−2(m +6)−2×2m +2 ＝4m 2−6m −10=4(m −34)2−494，∵ m ≤−2或m ≥3， ∴ 4(m −34)2−494≥4(3−34)2−494=8，从而(a −1)2+(b −1)2≥8，所以其最小值为8．设函数f(x)=(x+1)2+tx x 2+1(t >0)的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝________．【答案】 2【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】把已知函数解析式变形，可得f(x)＝1+(t+2)xx 2+1，证明函数g(x)=(t+2)x x 2+1(t >0)为定义域上的奇函数，再由奇函数图象关于原点对称求解．【解答】 f(x)=(x+1)2+tx x 2+1=x 2+1+(t+2)xx 2+1=1+(t+2)x x 2+1，令g(x)=(t+2)x x 2+1(t >0)，函数的定义域为R ，且g(−x)=−(t+2)x x 2+1=−g(x)，则函数g(x)为奇函数，设其最大值为S ，则其最小值为−S ， ∴ M ＝1+S ，m ＝1−S ， ∴ M +m ＝2．三、解答题（本题满分70分，17-18题每题10分，19-21题每题12分，22题14分）求下列各式的值：（1）(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25；（2）(log 34+log 38)(log 43+log 163)． 【答案】(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25 =[(34)3]23⋅24+[(0.2)3]−23−(234)43−214⋅234＝9+25−2−2＝30；(log 34+log 38)(log 43+log 163)=(21og 32+3log 32)⋅(12log 23+14log 23)=(51og 32)⋅(34log 23)=154．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值； （2）直接利用导数的运算性质化简求值． 【解答】(2764)23⋅24+(0.008)−23−(√2√2)43−√24×80.25=[(34)3]23⋅24+[(0.2)3]−23−(234)43−214⋅234＝9+25−2−2＝30；(log 34+log 38)(log 43+log 163)=(21og 32+3log 32)⋅(12log 23+14log 23)=(51og 32)⋅(34log 23)=154．已知集合A ={y|y =(12)x 2−x}，B ={x|y =√−x 2+3x −2}，求A ∩B ．【答案】x 2−x =(x −12)2−14≥−14， ∴ 0<(12)x2−x≤(12)−14=214，∴ A =(0,214]，解−x 2+3x −2≥0得，1≤x ≤2， ∴ B ＝[1, 2]， 故A ∩B =[1,214]． 【考点】 交集及其运算 【解析】通过配方即可得出x 2−x ≥−14，从而得出A =(0,214]；通过解不等式−x 2+3x −2≥0即可求出B ＝[1, 2]，然后进行交集的运算即可． 【解答】x 2−x =(x −12)2−14≥−14，∴ 0<(12)x2−x≤(12)−14=214，∴ A =(0,214]，解−x 2+3x −2≥0得，1≤x ≤2， ∴ B ＝[1, 2]， 故A ∩B =[1,214]．已知函数的解析式为f(x)={−x 2+4(x >1)|e x −1|(x ≤1) ．（1）求f(f(√6))；（2）画出这个函数的图象，并写出函数的值域；（3）若函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，求k 的取值范围． 【答案】根据题意，f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2． 函数f(x)={−x 2+4(x >1)|e x−1|(x ≤1) 图象如下：根据图象观察可得： 值域为(−∞, 3)．函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，即k ＝f(x)，函数y ＝k 与y ＝f(x)有三个交点， 由图象知，k 的范围是(0, 1)． 【考点】分段函数的应用【解析】（1）根据分段函数求值f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2；（2）（3）画出函数图象，观察可得到答案． 【解答】根据题意，f(f(√6))=f(−2)=1−1e 2． 函数f(x)={−x 2+4(x >1)|e x−1|(x ≤1) 图象如下：根据图象观察可得： 值域为(−∞, 3)．函数F(x)＝f(x)−k 有三个零点，即k ＝f(x)，函数y ＝k 与y ＝f(x)有三个交点， 由图象知，k 的范围是(0, 1)．已知函数y =log 12(x 2−2mx +3)．(Ⅰ)如果函数的定义域为R ，求m 的范围；(Ⅱ)在(−∞, 1)上为增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】（I ）要使函数函数y =log 12(x 2−2mx +3)的定义域为R ， 必须x 2−2mx +3>0恒成立，∴ △＝4m 2−12<0，解得−√3<m <√3， (II)令y =log 12u(x)，则此函数在(0, +∞)单调递减， 要f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则u(x)＝x 2−2mx +3在(−∞, 1)递减，且恒为正， u(1)＝4−2m ≥0，且m ≥1，求得1≤m ≤2，故实数m 的取值范围为[1, 2]． 【考点】复合函数的单调性 【解析】(Ⅰ)由题意利用复合函数的单调性，可得x 2−2mx +3>0恒成立，故有△＝4m 2−12<0，由此求得m 的范围．(Ⅱ)令u(x)＝x 2−2mx +3，则u(x)＝x 2−2mx +3在(−∞, 1)递减，且恒为正，故有u(1)＝4−2m ≥0，且m ≥1，由此求得实数m 的取值范围． 【解答】（I ）要使函数函数y =log 12(x 2−2mx +3)的定义域为R ， 必须x 2−2mx +3>0恒成立，∴ △＝4m 2−12<0，解得−√3<m <√3， (II)令y =log 12u(x)，则此函数在(0, +∞)单调递减，要f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则u(x)＝x2−2mx+3在(−∞, 1)递减，且恒为正，u(1)＝4−2m≥0，且m≥1，求得1≤m≤2，故实数m的取值范围为[1, 2]．已知函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明．【答案】根据题意，因为函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数且其定义域为R，所以f(0)=1−42+a=0，解可得：a＝2；当a＝2时，可得f(−x)+f(x)＝0，则f(x)为奇函数，所以a＝2；根据题意，令y＝f(x)，即y＝1−42×2x+2，变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得−1<y<1；所以f(x)的值域为(−1, 1)；f(x)为R上的增函数．证明：对任意的x1，x2∈R，不妨设x1>x2，f(x1)−f(x2)=1−22x1+1−1+22x2+1=22x2+1−22x1+1=2⋅(2x1−2x2)(2x1+1)⋅(2x2+1)，又由x1>x2，则x1−x2>0，则2x1+1>0，2x2+1>0，2x1−2x2>0；所以f(x1)−f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的增函数．【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=1−42+a=0，解可得a的值，验证即可得答案；（2）根据题意，将函数的解析式变形可得2x=−1−yy−1>0，解可得y的范围，即可得答案；（3）根据题意，由作差法分析可得结论．【解答】根据题意，因为函数f(x)=1−42a x+a(a>0a≠1)为奇函数且其定义域为R，所以f(0)=1−42+a=0，解可得：a＝2；当a＝2时，可得f(−x)+f(x)＝0，则f(x)为奇函数，所以a＝2；根据题意，令y＝f(x)，即y＝1−42×2x+2，变形可得2x =−1−y y−1>0，解可得−1<y <1；所以f(x)的值域为(−1, 1)； f(x)为R 上的增函数．证明：对任意的x 1，x 2∈R ，不妨设x 1>x 2，f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−1+22x 2+1=22x 2+1−22x 1+1=2⋅(2x 1−2x 2)(2x 1+1)⋅(2x 2+1)， 又由x 1>x 2，则x 1−x 2>0，则2x 1+1>0，2x 2+1>0，2x 1−2x 2>0； 所以f(x 1)−f(x 2)>0，f(x 1)>f(x 2)， 所以f(x)为R 上的增函数．设函数f(x)＝x|x −a|．（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）求函数f(x)在[0, 1]上的最大值g(a)的解析式． 【答案】当a ＝0时，f(x)＝x|x|，f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)， 所以f(x)为奇函数；当a ≠0时，f(x)＝x|x −a|，f(1)＝|1−a|，f(−1)＝−|−1−a|， 则f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以f(x)为非奇非偶函数；f(x)=x|x −a|={x 2−ax,(x ≥a)−x 2+ax,(x <a)={(x −a 2)2−a 24,(x ≥a)−(x −a 2)2+a 24,(x <a)， 当a <0时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝1−a ．当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，f(x)在[0,a2],[a,1]上是单调递增函数，在[a2,a]上是单调递减函数． 其中f(a2)=a 24,f(1)=1−a ，当a ∈[0,−2+2√2)时a 24<1−a ，f(x)max ＝f(1)＝1−a ， 当a ∈[−2+2√2,1]时a 24≥1−a ，f(x)max =f(a2)=a 24，当12<a2≤1,1<a ≤2时，f(x)在[0,a2]上是单调递增函数，在[a2,1]上是单调递减函数.f(x)max =f(a2)=a 24，当a2>1,a >2时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝a −1，所以函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式g(a)={a −1,a >2a 24,−2+2√2≤a ≤21−a,a <−2+2√2．【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】（1）当a ＝0时，当a ≠0时，利用函数的奇偶性的定义判断即可．（2）化简函数为分段函数，当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，当12<a2≤1,1<a ≤2时，当a 2>1,a >2时，通过函数的单调性求和函数的最大值，然后求解函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式即可． 【解答】当a ＝0时，f(x)＝x|x|，f(−x)＝−x|−x|＝−x|x|＝−f(x)， 所以f(x)为奇函数；当a ≠0时，f(x)＝x|x −a|，f(1)＝|1−a|，f(−1)＝−|−1−a|， 则f(−1)≠f(1)且f(−1)≠−f(1)， 所以f(x)为非奇非偶函数；f(x)=x|x −a|={x 2−ax,(x ≥a)−x 2+ax,(x <a) ={(x −a2)2−a 24,(x ≥a)−(x −a 2)2+a 24,(x <a)， 当a <0时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝1−a ．当0≤a2≤12,0≤a ≤1时，f(x)在[0,a2],[a,1]上是单调递增函数，在[a2,a]上是单调递减函数． 其中f(a2)=a 24,f(1)=1−a ，当a ∈[0,−2+2√2)时a 24<1−a ，f(x)max ＝f(1)＝1−a ， 当a ∈[−2+2√2,1]时a 24≥1−a ，f(x)max =f(a2)=a 24，当12<a2≤1,1<a ≤2时，f(x)在[0,a2]上是单调递增函数，在[a2,1]上是单调递减函数.f(x)max =f(a2)=a 24，当a2>1,a >2时，f(x)在[0, 1]上是单调递增函数，f(x)max ＝f(1)＝a −1，所以函数f(x)在[0, 1]上的最大值的解析式g(a)={a −1,a >2a 24,−2+2√2≤a ≤21−a,a <−2+2√2．。

2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．函数y=a x +1（a ＞0且a≠1）的图象必经过点（ ） A ．（0，1） B ．（1，0） C ．（2，1） D ．（0，2）【答案】D【解析】试题分析：已知函数f （x ）=a x +1，根据指数函数的性质，求出其过的定点． 解：∵函数f （x ）=a x +1，其中a ＞0，a≠1， 令x=0，可得y=1+1=2， 点的坐标为（0，2）， 故选：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．2．函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A ．[-2，2] B ．[-1，2] C ．[-2，-1] D ．[-1，1]【答案】A【解析】试题分析：函数()222112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

故选A 。

【考点】二次函数的图象及性质。

3．已知集合{}0,1,2A =，集合{}0,2,4B =,则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}0,2C ．{}0,4D ．{}0,2,4【答案】B【解析】试题分析：两集合的交集为两集合相同的元素构成的元素，所以{}0,2A B ⋂= 【考点】集合的交集运算4．函数2()4x f x x =-的零点所在的大致区间是（ ） A ．1(1,)2- B ．1(0)2-，C ．1(0,)2D ．1(1)2，【答案】A【解析】利用零点存在定理计算区间(,)a b 端点的函数值，满足()()0f a f b <时可确定答案. 【详解】计算137(1)()()()0244f f -=-<，11()(0)()(1)024f f -=>，17(0)()(1)()024f f =>，1()(1)02f f >，由零点存在定理得函数()f x 在1(1,)2-存在零点.故选A.【点睛】本题考查函数的零点，零点存在定理的应用，注意若函数()f x 在(,)a b 存在零点，不一定有()()0f a f b <，考查计算能力，属于基本题.5．已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b=( ) A ．-3 B ．1 C ．-1 D ．3【答案】A【解析】由题意得，A={x|-1<x<3}，B={x|-3<x<2}， 故A∩B={x|-1<x<2}．即不等式x 2+ax+b<0的解集为{x|-1<x<2}， ∴-1，2是方程20x ax b ++=的两根， ∴(12)1,122a b =--+=-=-⨯=-。

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合，集合，则 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意得到集合B的元素，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故答案为：B.【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.已知复数，其中为虚数单位，则 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由复数的除法运算得到复数z，再根据复数的模长公式得到模长即可.【详解】复数=根据复数模长公式得到故答案为：D.【点睛】复数的常见考点有：复数的几何意义，z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．3.等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。

广东省惠州市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共10题；共11分)1. （1分） (2016高一上·清河期中) 设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则（∁UA）∪B=________．2. （2分） (2017高三上·北京开学考) 集合U={1，2，3}的所有子集共有________个，从中任意选出2个不同的子集A和B，若A⊈B且B⊈A，则不同的选法共有________种．3. （1分） (2020高二上·吉林期末) 下列有关命题的说法正确的是________.①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0②x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则非p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥04. （1分） (2016高一上·潍坊期中) 已知函数f（x）=x2﹣2x（x∈[﹣1，2]）的值域为集合A，g（x）=ax+2（x∈[﹣1，2]）的值域为集合B．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．5. （1分） (2016高三上·洛阳期中) a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣ =1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有________6. （1分）(2020·化州模拟) 若关于的不等式 (的解集为，则________.7. （1分） (2017高一上·高邮期中) 函数的定义域为________．8. （1分）若函数f（x）=是奇函数，则m= ________．9. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为________；10. （1分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有 .则 ________．二、二.选择题 (共4题；共8分)11. （2分）下列集合表示法正确的是（）A . {1，2，2}B . {全体实数}C . {有理数}D . 不等式x2﹣5＞0的解集为{x2﹣5＞0}12. （2分）若a＞b，则下列不等式正确的是（）A .B . a3＞b3C . a2＞b2D . a＞|b|13. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A . y=2xB . y=C . y=|x|D . y=﹣x2+114. （2分）已知是定义在上的奇函数，当时，。

2019-2020学年广东省珠海一中、惠州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数y = + “a > o,a 装1)的图象必经过点()A. (0,1)B. (1,2) C, (1,1) D. (2,1)2. 函数y = x2-4x+3・x G [-1,1]的值域为()A. [-L0]B. [0,8]C. [-1,8]3.己知集合』={1,2, 5}, B = [x\x < 2).则AC\B = ()D・[3,8]A. {1} B. (5) C. {1,2} D. (2,5)4.函数户(Q = 3' + 5x 的零点所在的区间是()A. (—I, — ?)B.(—!，— ：)C.(—9D.(—j,0)5. 已知集合A =。

| 一 1 V x V 3}, B = {x \x 2 + 2x -8>Q).则 A C\B = {)6. A. 0 B. (—1,2)C・(2,3)D・(2,4)函数f （x ）在（-x.+x ）单调递减,且为奇函数.若/*（1） = 一1,则满足一 1＜了。

一2）＜1的x 的取值范围是（ ）A. [-2,2]B. [-14]C. [0,4]D・[1,3]7.函^Ly = ax 2 + bx +。

与、=ax + b （ab 黄0）的图象叩能是（）A. Ob> aB. b>c> aC. b> a> c D・ a > b > c 9.函数f （x ）=岑碧的定义域为（）VAT • OA. (-3,2)10.若函数f(x) =B. [一3,2)C. [一3,+8)D. (一8,2)A. (1,+8)ax 2t x > 1(4 一沪 + 2/V 1B. (1,8)11-已知函颇小｛盘:制,。

是增函数，则实数a 的取值范围是（）C. （4,8） D. [4,8）若/'（0・1）2 /则实数a 的取值范围是（）A.(-2JJB.|-t2]C.(-8l2]U[1,+8)D・(-8,-1]U[2.+8)12.已知函数/(乂)=半(％6/?)，若关于x的方程/⑴一m+l=O恰好有3个不相等的实数根，则实数，”的取值范围为()A.(1,寺+1)B.(0,寺)C, (1,|+1) D.(手1)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知幕函数/'(X)的图象过点(8,2),则尸(号)=.14.己知尸⑴是定义在R上的奇函数，且当x＜。

2019～2020学年上学期高一级期中考试题数学2019年11月本试卷共4页,22小题,满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

3.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

一、 单选题（本大题共10小题,共50.0分）1. 设全集}987654321{，，，，，，，，=U ,{1357}A =，，，,{123469}B =，，，，，,则UB A =（）A. }31{， B. }642{，， C. }9642{，，， D. }8642{，，，2. 函数21()log (1)f x x =-的定义域为( )A.),1(+∞B.),2(+∞C.1,2(2,)+∞（） D.1,3(3,)+∞（） 3. 设554log 4,log 3,log 5a b c ===,则（ ）A.B.C.D.4. 已知点1(,)8a 在幂函数()(1)b f x a x =-的图象上,则函数()f x 是（ ）A. 定义域内的减函数B. 奇函数C. 偶函数D. 定义域内的增函数5. 已知函数2,10(),01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩,则下列图象错误．．的是 A. 的图象 B. 的图象C. 的图象D. 的图象6. 设()f x 是定义在实数集R 上的函数,且(2)()f x f x -=,当1x ≥时,()21x f x =-,则2()3f ,3()2f ,1()3f 的大小关系是（ ） A.231()()()323f f f << B. 123()()()332f f f <<C. 132()()()323f f f <<D. 312()()()233f f f <<7. 某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:记录时间 累计里程(单位:公里) 平均耗电量(单位: kW · h /公里) 剩余续航里程 (单位:公里)2019年1月1日 4000 0.125 280 2019年1月2日41000.126146(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,,）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( ) A. 等于B.到之间 C. 等于D. 大于8. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,(1)5f =,且(4)()f x f x +=-,则(2019)(2020)f f +的值为（ ）A. 0B. C. 2 D. 59. 函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数,则a 的取值范围是（ ）A. (],4-∞B. (]4,4-C. (],2-∞D.(]4,2-10. 已知定义在R 上的函数()f x 与(2)f x +均为偶函数,且在区间[]0,2上()f x x =,若关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根,则a 的范围为（ ）A.6,10B.6,22C. (2,22D.()2,4二、多项选择题（本大题共2小题,每小题至少有2个正确选项,共10.0分） 11. 关于函数1()ln1xf x x-=+,下列选项中正确．．的有（ ） A. ()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞ B.()f x 为奇函数C.()f x 在定义域上是增函数D. 函数()f x 与ln(1)ln(1)y x x =--+是同一个函数12. 给出下列命题,其中正确．．的命题有（ ） A. 函数()(21)1a f x log x =--的图象过定点(1,0) B. 已知函数是定义在R 上的偶函数,当时()(1)f x x x =+,则的解析式为2()||f x x x =-C. 若1log 12a>,则a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 若22ln ln()(0,0)x y x y x y -->--><则0x y +< 三、填空题（本大题共4小题,共20.0分） 13. 若函数11()1x f x x-=+, 则(2)f = _____.14. 计算:71log 2338log 27lg 25lg 47()27-+++-=______. 15. 函数()f x 在[1,1]-上为奇函数并在[0,1]上单调递减,且(1)(12)0f a f a -+-<,则a 的取值范围为______.16. 已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg ,设经过x 个小时后,药物在病人血液中的量为y mg . （1）y 与x 的关系式为______；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上,才有疗效；而低于500mg ,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过______小时（精确到0.1）.（参考数据:0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1） 四、解答题（本大题共6题,共80.0分）17.（10分）已知全集U R =,集合2{|60}P x x x =-≥,{|24}M x a x a =<<+. （1）求集合UP ；（2）若UMP M =,求实数a 的取值范围.18.（12分）已知函数4,0(),0ax x f x log x x +⎧=⎨>⎩且点(4,2)在函数()f x 的图象上.（1）求函数()f x 的解析式,并在图中的直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()1f x <的解集；（3）若方程()20f x m -=有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围. 19. （12分）已知函数1()21f x x x=+- . （1）判断函数()f x 在2()2+∞上的单调性并用定义法证明. （2）若对任意1[,)2x ∈+∞,都有()tf x x≥恒成立,求t 的取值范围. 20.（12分）某工厂生产甲、乙两种产品所得的利润分别为P 和Q （万元）,事先根据相关资料得出它们与投入资金x （万元）的数据分别如下表和图所示:其中已知甲的利润模型为P ax b =+,乙的利润模型为Q b ax α=+(,,0)a b a α≠为参数,且.（1）请根据下表与图中数据,分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x （万元）的函数模型（2）今将300万资金投入生产甲、乙两种产品,并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元.设对乙种产品投入资金m （万元）,并设总利润为y （万元）,如何分配投入资金,才能使总利润最大？并求出最大总利润.21. （12分）已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数,且当01x <<时,4()=42xx f x +,（1）求()f x 在()1,1-上的解析式； （2）求()f x 在()1,1-上的值域；（3）求1352017++++2018201820182018f f f f（）（）（）（）的值. 22. （12分）已知函数()g x 对一切实数x ,y ∈R 都有()()(22)g x y g y x x y +-=+-成立,且(1)0g = ()()g x f x x=（1）求(0)g 的值和()g x 的解析式；x 2040 60 80P 33 36 39 42（2）若关于x的方程2(|21|)30|21|xxkf k-+-=-有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.2019～2020学年上学期高一级期中考试数学试题答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C A D D B A BD BCD三、填空题13.1314. 4 15.2[0,)3 16. y =2500×0.8x 7.212.【解析】A .由2x ﹣1＝1得x ＝1,此时f （1）＝log a 1﹣1＝0﹣1＝﹣1,即函数f （x ）过定点（1,﹣1）,故A 错误；B .若x ＞0,则﹣x ＜0,则f （﹣x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x （x ﹣1）＝x 2﹣x , ∵f （x ）是偶函数,∴f （﹣x ）＝x 2﹣x ＝f （x ）,即f （x ）＝x 2﹣x , 即f （x ）的解析式为f （x ）＝x 2﹣|x |,故B 正确；C .若,则log a ＞log a a ,若a ＞1,则＞a ,此时a 不成立, 若0＜a ＜1,则＜a ,此时＜a ＜1, 即a 的取值范围是,故C 正确；D .若2﹣x ﹣2y ＞ln x ﹣ln （﹣y ）,则2﹣x ﹣ln x ＞2y ﹣ln （﹣y ）, 令f （x ）＝2﹣x ﹣ln x （x ＞0）,则函数f （x ）在（0,+∞）单调递减, 则不等式2﹣x ﹣ln x ＞2y ﹣ln （﹣y ）等价为f （x ）＞f （﹣y ）（y ＜0）, 则x ＜﹣y ,即x +y ＜0,故D 正确.17. 【解答】解:（1）由260x x -,得0x 或6x ,{|0P x x ∴=或6}x ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） {|06}U P x x ∴=<<.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（2）{|06}UP x x =<<.{|24}M x a x a =<<+,UMP M =UM P ∴⊆,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）∴当M =∅时,24a a +,解得4a -符合题意.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 当M ≠∅时,4a >-,且0246a a <+,解得01a ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 综上:a 的取值范围为(-∞,4][0-,1].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）18. 【解答】解:（1）由()f x 的图象经过点(4,2),可得log 42a =,即24a =,解得2a =,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 则24,0(),0x x f x log x x +⎧=⎨>⎩,函数()f x 的图象如右图:⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） （2）()1f x <即为041x x ⎧⎨+<⎩或201x log x >⎧⎨<⎩,即3x <-或02x <<,则解集为(-∞,3)(0-⋃,2)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） （3）()20f x m -=有两个不相等的实数根,即有()y f x =的图象和直线2y m =有两个交点,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 由图象可得24m ,即2m ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 可得m 的取值范围是(-∞,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）19. 解:(1). 对任意122,)x x ∈+∞,且12x x <⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）则:12121211()()2211f x f x x x x x -=-+--+ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 2112122()x x x x x x -=-+12121221()x x x x x x -=-⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）12121,20x x x x -><⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 12121221()0x x x x x x -∴-<⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）()f x ∴在(,)2+∞为单调递增函数 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） (2) 方法一:即1[,)2x ∈+∞上有()tf x x≥恒成立,所以 221t x x ≤-+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）2172()48t x ≤-+,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）令2172(),48y x =-+时,1[2∞在,+)上单调递增， 12=x 当,1min y =所以 (,1]t ∴∈-∞⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）20.解:（1）由甲的数据表结合模型P ax b =+代入两点可得（20,33）（40,36） 代入有20334036a b a b +=⎧⎨+=⎩得3,3020a b == 即330,020P x x =+≥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 由乙的数据图结合模型Q b ax α=+代入三个点可得(0,40),(36,58),(100,70)可得04013658,3,40,210070b b a a b b a ααα+=⎧⎪+====⎨⎪+=⎩即0x ≥⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（2）根据题意,对乙种产品投资m （万元）,对甲种产品投资(300)m -（万元）,那么总利润33(300)30401152020y m m =-+++=-+,⋯⋯⋯⋯（8分） 由7530075m m ⎧⎨-⎩,解得75225m ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以311520y m =-+,令t =[75m ∈,225],故t ∈,15], 则22333115(10)1302020y t t t =-++=--+, 所以当10t =时,即100x =时,130max y =,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 答:当甲产品投入200万元,乙产品投入100万元时,总利润最大为130万元⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21解:（1）当10x -<<时,01x <-<,41()=42124x x xf x ---=++⋅, ……………………………….1分因为()f x 是()1,1-上的奇函数,所以1()()=124xf x f x -=--+⋅, ...............................2分当=0x 时,(0)=0f , ...............................3分所以,()f x 在()1,1-上的解析式为1,10124()=0,04,0142x x x x f x x x ⎧--<<⎪+⋅⎪=⎨⎪⎪<<⎩+； .....................4分（2）当10x -<<时,131214(,1),124(,3),(,)4212433xxx -∈+⋅∈∈--+⋅,......5分当01x <<时,21244222124(1,4),(,),1(,)423342424233x x xx x x x+-∈∈==-∈++++,..........7分所以,()f x 在()1,1-上的值域为{}2112(,)0(,)3333--； ................................8分（3）当01x <<时,4()=42x x f x +,114444()+(1)=1424242424x x x x x x xf x f x ---+=+=++++⋅,10分所以120173201552013+=+=+==201820182018201820182018f f f f f f （）（）（）（）（）（）1.........11分故135********++++=20182018201820182f f f f（）（）（）（）. ................................12分22.【解答】解:（Ⅰ）令x ＝1,y ＝0得g （1）﹣g （0）＝﹣1,∵g （1）＝0,∴g （0）＝1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 令y ＝0得g （x ）﹣g （0）＝x （x ﹣2）,即g （x ）＝x 2﹣2x +1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） （2）当x ＝0时,2x ﹣1＝0则x ＝0不是方程的根, 方程f （|2x ﹣1|）3k ＝0可化为:|2x ﹣1|2﹣（2+3k ）|2x ﹣1|+（1+2k ）＝0,|2x ﹣1|≠0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分） 令|2x ﹣1|＝t ,则方程化为t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）＝0,（t ＞0）,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） ∵方程f （|2x ﹣1|）3k ﹣1＝0有三个不同的实数解,∴由t ＝|2x ﹣1|的图象知,t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）＝0,（t ＞0）,有两个根t 1、t 2, 且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t 1＜1,t 2＝1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 记h （t ）＝t 2﹣（2+3k ）t +（1+2k ）, 则,此时k ＞0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）或,此时k无解,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）综上实数k的取值范围是（0,+∞）.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）11。

2019-2020学年广东省珠海市一中高中部高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系内，与点O（0，0）距离为1，且与点B（-3，4）距离为4的直线条数共有（）A.条B.条C.条D.条参考答案：C略2. 函数y＝－xc os x的部分图象是（）参考答案：D略3. 某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量n= ( )A. 6B. 7C. 12D. 18参考答案：A【分析】根据容量为采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体可得为6的倍数，再利用样本容量为时，采用系统抽样法需要剔除1个个体，验证排除即可.【详解】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体，所以为的正约数，又因为，所以为6的倍数，因此，因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以为35的正约数，因此，故选A.【点睛】本题主要考查分层抽样与系统抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.4. 集合M=｛x|x= k·90°450}与P=｛x|x=m·45°}之间的关系为（）A．M P B．P M C．M=P D．M∩P=参考答案：A5. 直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）A．K AB=1 B．K AB=﹣1 C．D．K AB不存在参考答案：A【考点】I3：直线的斜率．【分析】直接利用斜率公式求出直线的斜率即可．【解答】解：直线L经过两点A（﹣1，3），B（2，6），则直线L的斜率是：K AB==1．故选A．6. 已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p∥,则k的值为 ( )A. B. C. D.参考答案：D略7. 为了得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移参考答案：C略8. （4分）如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z 轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故选C点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．9. 如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．直线PQ与平面PEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积D．△QEF的面积参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】A．由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．用排除法即可得出．【解答】解：A．∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离=为定值；D．∵点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，∴△QEF的面积=为定值；C．由A．D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B．直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B中的值不是定值．故选：B．10. 函数f（x）=的零点的情况是（）A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点C．有一正零点和一负零点D．有两个负零点参考答案：C【考点】函数的零点．【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得．【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，，∵函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，且在y轴的两侧，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为．参考答案：33.75由图可知，的频率为的频率为的频率为的频率为的频率为前两组频率前三组频率中位数在第三组设中位数为x，则解得故该组数据的中位数为12. 如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________ ．参考答案：-113. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T={f（x）|x∈S}；（2）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）．那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：①S={0，1，2}，T={2，3}；②S=N，T=N*；③S={x|﹣1＜x＜3}，T={x|﹣8＜x＜10}；④S={x|0＜x＜1}，T=R．其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）．参考答案：②③④【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义，能够找出存在一个从S到T的函数y=f （x）即可判断出结论．【解答】解：①由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对．②令f（x）=x+1，x∈S=N，f（x）∈T；③取f（x）=x﹣，x∈S，f（x）∈T，“保序同构”的集合对；④取f（x）=tan，x∈S，f（x）∈T．综上可得：“保序同构”的集合对的序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若a cos B＋b cos A＝c sin C.S＝(b2＋c2－a2)，则角B＝________.参考答案：45°略15. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．参考答案：函数的定义域为，∴恒成立，当时，恒成立，满足题意；当时，，即，解得；综上，实数的取值范围是．故答案为：．16. （5分）某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么，在一次射击训练中，该射手射击一次不够8环的概率是．参考答案：0.29考点：互斥事件的概率加法公式．专题：计算题．分析：由已知中射手射击一次射中10环、9环、8环为互斥事件，我们可以计算出射手射击一次不小于8环的概率，再由射击一次不小于8环与不够8环为对立事件，代入对立事件概率减法公式，即可得到答案．解答：由已知中某射手射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，则射手射击一次不小于8环的概率为0.24+0.28+0.19=0.71，由于射击一次不小于8环与不够8环为对立事件则射手射击一次不够8环的概率P=1﹣0.71=0.29[来源:学科网]故答案为：0.29．点评：本题考查的知识点是互斥事件的概率加法公式，其中分析出已知事件与未知事件之间的互斥关系或对立关系，以选择适当的概率计算公式是解答本题的关键．17. 不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为．参考答案：（﹣∞，﹣1）【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知得3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，由指数函数的性质得到﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，由此能求出不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集．【解答】解：∵3﹣2x﹣2＞（）x+1，∴3﹣2x﹣2＞3﹣x﹣1，∴﹣2x﹣2＞﹣x﹣1，解得x＜﹣1．∴不等式3﹣2x﹣2＞（）x+1的解集为（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要注意指数函数的性质的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第一次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则∁（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线（）的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B.C. D.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若满足约束条件则的最大值为______________．14.若，则的展开式中常数项为______________．15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节 合情推理与演绎推理[考纲要求]1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异．3．掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．突破点一 合情推理[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 22．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶83．(2018·咸阳二模)观察下列式子：1×2＜2，1×2＋2×3＜92，1×2＋2×3＋3×4＜8，1×2＋2×3＋3×4＋4×5＜252，…，根据以上规律，第n (n ∈N *)个不等式是____________________________．解析：根据所给不等式可得第n 个不等式是1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)＜(n ＋1)22(n ∈N *)．答案：1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)＜(n ＋1)22[全析考法]考法一 归纳推理[例1] (1)(2019·郑州模拟)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，依次类推，凸十三边形的对角线条数为( )A ．42B ．65C ．143D ．169(2)(2019·兰州实战性考试)观察下列式子：1,1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n ∈N *，则1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝________.[解析] (1)根据题设条件可以通过列表归纳分析得到：所以凸n 边形有2＋3＋4＋…＋(n －2)＝n (n －3)2条对角线，所以凸十三边形的对角线条数为13×(13－3)2＝65，故选B.(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n 2.[答案] (1)B (2)n 2[方法技巧]归纳推理问题的常见类型及解题策略考法二 类比推理1．类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：2.平面中常见的元素与空间中元素的类比：[例2] (1)(2019·宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.164 B.127 C.19D.18(2)(2019·沙市中学月考)“求方程⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫45x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x＋⎝⎛⎭⎫45x，则f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2的解集是________________．[解析] (1)从平面图形类比到空间图形，从二维类比到三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为13，所以正四面体的内切球的体积V 1与外接球的体积V 2之比V 1V 2＝⎝⎛⎭⎫133＝127，故选B. (2)不等式x 6－(x ＋2)＞(x ＋2)3－x 2变形为x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)， 令u ＝x 2，v ＝x ＋2，则x 6＋x 2＞(x ＋2)3＋(x ＋2)转化为u 3＋u ＞v 3＋v . 设f (x )＝x 3＋x ，知f (x )在R 上为增函数， ∴由f (u )＞f (v )，得u ＞v .不等式x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)可化为x2＞x＋2，解得x＜－1或x＞2.∴所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－1)∪(2，＋∞)[方法技巧]类比推理的步骤和关键(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[集训冲关]1.[考法一]如图，一个树形图依据下列规律不断生长，1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点，则第11行的实心圆点的个数是()A．21 B．34C．55 D．89解析：选C根据1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点知，第1行的实心圆点的个数是0；第2行的实心圆点的个数是1；第3行的实心圆点的个数是1＝0＋1；第4行的实心圆点的个数是2＝1＋1；第5行的实心圆点的个数是3＝1＋2；第6行的实心圆点的个数是5＝2＋3；第7行的实心圆点的个数是8＝3＋5；第8行的实心圆点的个数是13＝5＋8；第9行的实心圆点的个数是21＝8＋13；第10行的实心圆点的个数是34＝13＋21；第11行的实心圆点的个数是55＝21＋34.故选C.2.[考法二]我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x＝x求得x＝5＋12.类比上述过程，则3＋23＋2…＝()A．3 B．13＋1 2C．6 D．2 2解析：选A令3＋23＋2…＝m(m＞0)，则两边平方得，则3＋23＋23＋2…＝m2,即3＋2m＝m2，解得m＝3或m＝－1(舍去)．3.[考法一]某地区发生7.0级地震，为抗震救灾，地震后需搭建简易帐篷，搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要________根钢管．解析：由题意可知，图①的单顶帐篷要(17＋0×11)根钢管，图②的帐篷要(17＋1×11)根钢管，图③的帐篷要(17＋2×11)根钢管，……所以串7顶这样的帐篷需要17＋6×11＝83(根)钢管．答案：834.[考法二]“MN是经过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OP⊥MN，则2a|MN|＋1|OP|2＝1a2＋1b2.”类比椭圆的性质，可得“MN是经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥MN，则____________________．”解析：因为在椭圆中，2a|MN|＋1|OP|2＝1a2＋1b2，在双曲线中，和变为差，所以类比结果应是2a|MN|－1|OP|2＝1a2－1b2.答案：2a|MN|－1|OP|2＝1a2－1b2突破点二演绎推理[基本知识]1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( )(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)√ (2)× 二、填空题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是矩形；③所以三角形不是平行四边形”中的小前提是________(填序号)．答案：②2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三个去过同一城市． 由此判断乙去过的城市为________． 答案：A[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论) [方法技巧]演绎推理的推理过程中的2个注意点(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成． [针对训练]1．“因为指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)是增函数(大前提)，又y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错解析：选A 当a ＞1时，y ＝a x 为增函数；当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，故大前提错误．2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )＞af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数．证明：设x 1，x 2∈R ，取x 1＜x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]＞0， 即[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0，∵x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)＞0，f (x 2)＞f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数.[课时跟踪检测] 1．(2019·广东珠海一中、惠州一中联考)因为四边形ABCD 为矩形，所以四边形ABCD 的对角线相等，补充以上推理的大前提为( )A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：选B用三段论的形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，因为由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，所以大前提一定是矩形的对角线相等．故选B.2．(2019·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选B由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．3．(2019·南昌调研)已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：选C∵13＋23＝32＝(1＋2)2，13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，……∴13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝n2(n＋1)24.∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，∴n2(n＋1)24＝3 025，∴n2(n＋1)2＝(2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10.4．(2019·武汉外国语学校月考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 如果1号或2号选手得第一名，则乙、丙、丁对，如果3号选手得第一名，则只有丁对，如果4号或5号选手得第一名，则甲、乙都对，如果6号选手得第一名，则乙、丙都对．因此只有丁猜对，故选D.5．(2019·辽宁实验中学等五校期末)如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于( )A.2V KB.V 2KC.3V KD.V 3K解析：选C 类比，得H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK ，证明如下：连接Q 与三棱锥的四个顶点，将原三棱锥分成四个小三棱锥，其体积和为V ，即V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝V ，即13(S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4)＝V .又由S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，得S 1＝K ，S 2＝2K ，S 3＝3K ，S 4＝4K ，则K 3(H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4)＝V ，即H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3VK ，故选C. 6．(2019·大连模拟)“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是( )A ．男护士B ．女护士C ．男医生D ．女医生解析：选A 设女护士人数为a ，男护士人数为b ，女医生人数为c ，男医生人数为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≥c ＋d ，d ＞a ，a ＞b ，c ≥1，所以d ＞a ＞b ＞c ≥1.a ＋b ＋c ＋d ＝13，经检验得仅有a ＝4，b ＝3，c ＝1，d ＝5符合条件．因为无论是否把这位说话人计算在内，都满足条件，所以这位说话人是男护士．7．(2019·成都七中期中)如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来的，n∈N*，则在第n个图形中共有____________个顶点．(用n表示)解析：第n个图形是在第(n＋2)边形的基础上每条边加上n＋2个顶点，因此顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)＝(n＋2)(n＋3)．答案：(n＋2)(n＋3)8．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21，……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝1×3，[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝2×5，[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝3×7，……，以此类推，第n 个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n9．(2019·石家庄模拟)观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式可能为_______________．解析：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，根据上述规律，第n个不等式的左端是n＋1项的和1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2，右端分母依次是2,3,4，…，n＋1，分子依次是3,5,7，…，2n＋1，故第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1(n＋1)2＜2n＋1n＋110．(2019·长春质检)有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日11．(2019·台州中学期中)如图，正方形ABCD 的边长为1，分别作边AB ，BC ，CD ，DA 上的三等分点A 1，B 1，C 1，D 1，得正方形A 1B 1C 1D 1，再分别取边A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1上的三等分点A 2，B 2，C 2，D 2，得正方形A 2B 2C 2D 2，如此继续下去，得正方形A 3B 3C 3D 3，…，则正方形A n B n C n D n 的面积为________．解析：设正方形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1，∵AB ＝1，∴A 1B ＝23，BB 1＝13，∴A 1B 1＝53，S 1S ＝⎝⎛⎭⎫532＝59，∴相邻的两正方形的面积比为59，所有正方形面积构成等比数列，公比为59，首项为1，∴正方形A n B n C n D n 的面积为⎝⎛⎭⎫59n .答案：⎝⎛⎭⎫59n12．观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)·(n ＋3)； ……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝________________________________.解析：根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1·n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)·(n ＋4)． 答案：1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)。