《线性代数》电子教案矩阵的初等变换与线性方程组

线性代数课程教案学院、部系、所授课教师课程名称线性代数课程学时45学时实验学时教材名称年月日线性代数课程教案授课类型 理论课 授课时间 3 节授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式§1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换本授课单元教学目标或要求：1. 会用对角线法则计算2阶和3阶行列式。

2. 知道n 阶行列式的定义。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1. 计算排列的逆序数的方法设12n p p p 是1,2,,n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。

先看有多少个比1p 大的数排在1p 前面，记为1t ； 再看有多少个比2p 大的数排在2p 前面，记为2t ； ……最后看有多少个比n p 大的数排在n p 前面，记为n t ； 则此排列的逆序数为12n t t t t =+++。

2. n 阶行列式1212111212122212()12(1)n n n n t p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a ==-∑其中12n p p p 为自然数1,2,,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数，求和符号∑是对所有排列12()n p p p 求和。

n 阶行列式D 中所含2n 个数叫做D 的元素，位于第i 行第j 列的元素ij a ，叫做D 的(,)i j 元。

3. 对角线法则：只对2阶和3阶行列式适用1112112212212122a a D a a a a a a ==-111213212223112233122331132132313233132231122133112332a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==++---重点和难点：理解行列式的定义行列式的定义中应注意两点：(1) 和式中的任一项是取自D 中不同行、不同列的n 个元素的乘积。

教案课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日100100000101j 11⎥⎥⎥⎦列乘矩阵某行或某列 记为11k⎤⎥⎥⎥⎥⎦列乘矩阵某行（列）加到另一行（列）上去i 111⎥⎥⎥⎦列j初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也是同类初等矩阵，)(j i kr r =E课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日12122212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦，2m b ⎥=⎥⎥⎦b ，2n x ⎥=⎥⎥⎦X ，则（1=AX b 定义增广矩阵：1112121222212(,n n m m mnm a a a a a a a a a b ⎡⎢⎢⎥==⎢⎥⎥⎦B A b ）有着一一对应关系。

如果方程组（1）有解，则称用一个不等于零的数乘某一个方程；课程名称:线性代数编写时间：20 年月日课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日1211220n n n nm m mn n a x a x a x a x a x +=++⎨⎪⎪+++=⎩课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日12122212n n m m mn a a a a a ⎤⎥⎥⎥⎥⎦，2n x ⎥=⎥⎥⎦X ，则（4=AX 齐次线性方程组（4）总是相容的，当 1 = 0、x 2 = 0组解称为零解，其它的解称为非零解。

齐次线性方程组是非齐次线性方程组的特例。

自然，非齐次线性方程组的一些结应齐次线性方程组。

于齐次线12121222120n n m m mna a a a a a ⎥⎥⎥⎦，显然有），因此，齐次线性方程组总是相容的。

进一步，（B ）= n 时，方程组（4）有唯一的零解；（B ）< n 时，方程组（4）有无穷解。

求解齐次线性方程组 123122222x x x x x x x x +++⎧⎪+--⎨⎪-⎩。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法．（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质．教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程§1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。

一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ↔ j i c c ↔ ② 数乘)0(≠k i r k i c k③ 倍加 j i r k r + j i c k c +矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换.n m A ⨯经过初等变换得到n m B ⨯, 记作n m n m B A ⨯⨯→．定义2 等价矩阵：若n m n m B A ⨯⨯→有限次, 称n m A ⨯与n m B ⨯等价, 记作n m n m B A ⨯⨯≅． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ≅ (2) 对称性：n m n m B A ⨯⨯≅n m n m A B ⨯⨯≅⇒(3) 传递性：n m n m B A ⨯⨯≅, n m n m C B ⨯⨯≅n m n m C A ⨯⨯≅⇒定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.例1 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41311221222832A ，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→413144606690行A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000044604131行行最简形：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→0000322104131行A B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→00003232102301行标准形：⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→O O O E H A 000000100001行与列§2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵．三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2.),()()(0110Δj i E j i E E E E j i r r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→↔ )]([Δk i E E kE E i r k =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ )0(≠k 3.)](,[)()(11Δk j i E j i E E k EE j i r k r =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→+设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n nm a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m j i αααα 1[]nj i nm A ββββ,,,,,,1 =⨯性质1 =A j i E m ),(⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m i j αααα 1, =A k i E m )]([⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡m j i k αααα 1, =A k j i E m )](,[⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+m j j i k ααααα 1由此可得：对A 进行一次初等行变换, 相当于给A 左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 =),(j i E A n []nijββββ,,,,,,1=)]([k i E A n []njik ββββ,,,,,,1=)](,[k j i E A n []3Δ1,,,,,,B k n i j i =+βββββ 注意：3B A ij c k c +→因此可得：对A 进行一次初等列变换, 相当于给A 右乘一个同类型的初等矩阵． 性质3 1),(det -=j i E , ),()],([1j i E j i E =- 0)]([det ≠=k k i E , )]1([)])(([1ki E k i E =-1)](,[det =k j i E , )](,[)])(,([1k j i E k j i E -=- 定理1 n n A ⨯可逆A ⇔可以表示为有限个初等矩阵的乘积．证 必要性 已知0det ≠A , 则A 满秩n E A ≅⇒, 故存在初等矩阵 PsP ,,1⋅⋅⋅及Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得 n E Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 111111----⋅⋅⋅⋅=Q Q P P A t s 而1-i P 与1-j Q 都是初等矩阵．充分性 设l P P P A ⋅⋅⋅=21，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A 可逆.定理2 设n m A ⨯,n m B ⨯, 则⇔≅⨯⨯n m n m B A 存在可逆矩阵m m P ⨯和n n Q ⨯, 使得B PAQ =． 证 必要性 已知n m n m B A ⨯⨯≅, 则存在m 阶初等矩阵PsP ,,1⋅⋅⋅和n 阶Qt Q ,,1⋅⋅⋅, 使得B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 令 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, ,则有B PAQ =． 充分性 已知B PAQ =, 则由定理1知, P 和Q 都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 Qs Q Q Ps P P ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=11, , 故B Qt AQ P Ps =⋅⋅⋅⋅11, 也就是n m n m B A ⨯⨯≅． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法）0det ≠⨯n n A s P P P A 21=⇒ （i P 都是初等矩阵） ⎭⎬⎫==-------11112111121A E P P P E A P P P s s ⇒ [][]111121----=A E E A P P P s由此可得：对n n 2⨯矩阵[]E A 施行“初等行变换”，当前n 列（A 的位置）成为E 时，则后n 列（E 的位置）为1-A ．例2 设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=431212321A . 用初等变换法求1-A解[]E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100431010212001321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101110012430001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→012430101110001321行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100101110203101行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→315100416010112001行故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3154161121A ． 例3 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010010001232a a a a a a A ，试用初等变换法求1-A解 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001010001001000100010001232aaa a a a 依次作初等行变换 34ar r -, 23ar r -, 12ar r -可得 []E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→10010000100100001001000010001aa a 故 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11111a a a A ．例4 判断方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2114415212211111A 是否可逆.若可逆，求1-A 解()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=---100401020011000123302330233011111000010000100001211441521221111113121424 r r r r r r E A因为2330233023311111-------，所以0||=A ，故A 不可逆，即1-A 不存在.[注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程B AX =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=141254121B . 解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010001523012101 E A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2112711521125100010001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∴-21127115211251A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----==-14125412121127115211251B A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=640892521 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5讲授内容§3.3 矩阵的秩教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩. 教学重点：矩阵的秩.教学难点：理解矩阵的秩的概念和基本性质，矩阵的秩的定义及计算.教学方法与手段：矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义的，因此，若R （A ）=r ，则意谓着，A 中必有一个r 阶非零子式，同时A 中所有的r+1阶子式（若存在的话）必为零.搞清楚了矩阵的秩的概念，便可进一步理解矩阵的秩的基本性质及其它性质．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程矩阵的秩是一个很重要的概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用. 一、矩阵的秩的基本概念定义4. 子式：在n m A ⨯中, 选取k 行与k 列, 位于交叉处的2k 个数按照原来的相对位置构成k 阶行列式, 称为A 的一个k 阶子式, 记作k D ．对于给定的k , 不同的k 阶子式总共有k nk m C C 个． 定义5. 矩阵的秩：在n m A ⨯中，若 (1) 有某个r 阶子式0≠r D ；(2) 所有的1+r 阶子式01=+r D （如果有1+r 阶子式的话）． 称A 的秩为r , 记作r A =rank , 或者 r A r =)(．规定：0rank =O 例6 求下列矩阵的秩⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=331211010011A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=3620130131120101B解()0110012≠==A D ，而A 的所有三阶子式（4个）0312101011=-，0312101011=-，0332111001=，0331110001=-所以 ()2=A R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=03690140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R3620130131120101-----=B 362014013312000113-----=-C C 362140331-----=0369140331132≠-=----=-r r ()4=∴B R二、矩阵的秩的性质及结论 性质：1. ()00=⇔=A A R ；2. 对于n m A ⨯，有()),min(0n m A R ≤≤；3. 若()r A R =，则A 中至少有一个0)(≠A D r ，而所有的0)(1=+A D r .4. 0≠k 时, ))A R(kA R(=5.))A R(A R(T= 6. A 中的一个0≠r D r A R(≥⇒) 7. A 中所有的01=+r D r A R(≤⇒)8. {}())()(,)(),(B R A R B A R B R A R max+≤≤ 9. {}R(B)R(A),minAB)R ≤( 10.若0B A l n n m =⨯⨯, 则n B R A R ≤+)()([注] n m A ⨯, 若m A =rank , 称A 为行满秩矩阵； 若n A =rank , 称A 为列满秩矩阵．n n A ⨯, 若n A =rank , 称A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若n A <rank , 称A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）．A 为满秩方阵 ⇔0||≠A (A 可逆 ⇔ A 为满秩方阵).定理1 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank =⇒．证 只需证明n m n m B A ⨯⨯→次1B A rank rank =⇒． 设r A =rank , 仅证行变换之(3)的情形：B k A j j ir k r j i j i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+ααααα(1) 若},{min n m r <, 则有)(1B r D +不含i r ：0)(1)(1==++A r B r D D)(1B r D +含i r , 不含j r ：0)(1)(1)(1=±=+++A r A r B r D k D D )(1B r D+含i r , 且含j r ：0)(1)(1==++A r B r D D 倍加故B 中所有的1+r 阶子式0)(1=+B r D A r B rank rank =≤⇒A B ji r k r -→B Ar a n k r a n k ≤⇒, 于是可得B A rank rank =． (2) 若m r =或者n r =, 构造矩阵 )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O A A , )1()1(1+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n m O O O B B 由(1)可得11B A ji r k r +→11rank rank B A =⇒⎭⎬⎫==B B A A rank rank rank rank 11B A rank rank =⇒其余情形类似．定理2 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000***0022111121r rr ri i i i i i b b b b b b A 行B =：行阶梯形][][][21r i i i⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000*1*01*00100 行A H =：行最简形定理3 若)0(rank >=⨯r r A n m , 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡→O O O E A r, 称为A 的等价标准形． 推论1 若n n A ⨯满秩, 则n E A ≅．推论2 n m n m B A ⨯⨯≅B A rank rank=⇔． 三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩)(A R 的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把A 变成阶梯形矩阵. 例7 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=14011313021512012211A解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→↔0000022200151201221143r r （阶梯形），有此可看出 .3)(=A R2．进一步，再进行列初等变换，A 可化为标准型I .在例7中，IA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000100000100000100000222001512012211I 的特点：左上角为一个)(A R 阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果A 经过几次初等变换后即可看出)(A R 的秩时，就不必再继续将A 化为阶梯形. 例8 求)(A R 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=07521321111321021101A解.26420131013210211011314B 2A r r r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→--至此，易知2)(=B R (B 不是阶梯矩阵)所以 2)(=A R .例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答. 已知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5321A ， 求1-A错误解答⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11310010113110010110113010110530121 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-113011A 错误原因: 没有注意到利用 )()(1-→A E E A 来求1-A 时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换. 正确答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-1325111*1A A A思考与作业：习题三 P79:6,7,10讲授内容§3.4 线性方程组的解教学目的和要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件．利用矩阵的秩，使学生清楚“线性方程组的解Ax=b 有解的充要条件是),()(b A R A R =和“n 元齐次线性方程组的解Ax=0有非零解的充要条件是n A R <)(”这两个线性方程组理论中的最基本的定理。

矩阵初等变换法解方程组教案一、教学目标：1. 理解矩阵初等变换的概念及其作用。

2. 掌握矩阵初等变换的法则，能够进行矩阵的初等变换。

3. 学会运用矩阵初等变换法解方程组，提高解方程组的能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 难点：矩阵初等变换的法则，运用矩阵初等变换法解方程组。

三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

2. 采用案例分析法，分析并解决实际问题。

3. 采用练习法，巩固所学知识。

四、教学准备：1. 教案、PPT、黑板。

2. 教学素材（如方程组、矩阵等）。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题，引出矩阵初等变换的概念。

2. 讲解：讲解矩阵初等变换的概念、法则及应用。

3. 案例分析：分析并解决实际问题，让学生理解矩阵初等变换在解方程组中的应用。

4. 练习：让学生运用所学知识，解决一些简单的方程组。

5. 总结：回顾本节课所学内容，强调矩阵初等变换在解方程组中的重要性。

6. 布置作业：布置一些有关矩阵初等变换和解方程组的练习题，巩固所学知识。

六、教学反思：在课后，对学生的学习情况进行总结，对自己的教学方法进行反思，以便改进教学，提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和作业，评价学生对矩阵初等变换的概念、法则及应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的创新能力和合作精神。

八、课时安排：2课时九、教学内容：第一课时：1. 矩阵初等变换的概念。

2. 矩阵初等变换的法则。

3. 矩阵初等变换的应用。

第二课时：1. 运用矩阵初等变换法解方程组。

2. 案例分析与练习。

十、教学拓展：引导学生深入研究矩阵初等变换的性质，探讨矩阵初等变换在实际问题中的应用。

鼓励学生参加相关竞赛，提高自己的数学素养。

六、教学案例与实例分析1. 案例一：解二元一次方程组给定方程组：\[\begin{cases}ax + = c \\dx + ey = f\end{cases}\]通过矩阵表示方程组，并利用初等变换将其化为行最简形式，从而求解未知数。