2018年秋湘教版九年级数学上册习题课件：3.4相似三角形的判定与性质 第4课时

∴ △ADE ∽ △ABC
1
三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。
2
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
相似三角形的判定（1）
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形
叫做相似三角形。
D
A
C
B
F
相似的表示方法 E
符号：∽ 读作：相似于
那么△ABC与△A/B/C/相似 记作△ABC∽△A/B/C/ 注意：通常把对应顶点写在对应位置上
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
A
相似。
D1
2
E
B
FC
你能证明吗？
知识要点
平行于三角形一边的定理 A型
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似。
你还能画出其 他图形吗？
D
B
A
即：
在△ABC中，
E
如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
C
即： 在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么
AD AE DE , AB AC BC
已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交 AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。
A 相似。
证明: ∵ DE // BC
12
D
E
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C

又 A' D AB, AB AC ,
AB AC ∴ A' D A' E AC .
A' B' A' C' A' C'
解 ∵ ∠C = 90°，∠F= 90°， ∠A=∠D ， ∴ △ABC ∽△DEF.
∴
AB BC . DE EF
又 AB = 5，BC = 4，DE = 3，
∴ EF = 2.4.
练习
1. 如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长 线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图
中有几对相似三角形，并说明理由.
成比例？ （3） 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？
由此你有什么发现？
我发现这两个三角形是相似的.
下面我们来证明：
D
E
如图，在△ABC 与△ABC 中， 已知 ∠A =∠A， ∠B =∠B .
在△ ABC的边 AB上截取点D，使 AD = AB. 过点D作DE∥BC ，交 AC于点E.
在△ABC 与△ ADE 中， ∵ ∠A =∠A，A' D = AB，
解 ∵ OE∥BC，OF∥CD ， ∴ △AEO∽△ABC ，
△AFO∽△ADC.
∴ AE AF , AB AD
又 FAE DAB,
∴ 四边形AEOF∽四边形ABCD.
动脑筋
任意画△ABC 和△ABC，使∠A=∠ A，∠B=∠B. （1） ∠C =∠ C 吗？ （2） 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应
解 由已知条件易知BC∥ED,由相似三角形
的判定定理可得 △ADE∽△ACB.
∴ AD ED . AC BC
设正方形EFCD的边长为x,则有 7.5 x x 7.5 5

△ABC ∽ △DBA 的条件是
( D)
A A. AC : BC = AD : BD
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD ·BC
B
D. AB2 = BD ·BC → AB BC BD AB
DC
3. 如图 △AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似”) .
F
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm， C
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
D
E
∴ DF EF 3 . AC BC 5
A
B
又 ∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE， AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
B
45
1 E 36 F
A
54
2 30
C
4. 如图，已知 △ABC 中，D 为边 AC 上一点，P 为边 AB
上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度
为 4 或 9 时，△ADP 和 △ABC 相似. 解析：当 △ADP ∽△ACB 时，AP : AB = AD : AC ，
A′
A
B
C
B′ B″
C′
结论：
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角 不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相 似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
典例精析 例1 根据下列条件，判断 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并说明理由： ∠A = 120°，AB = 7 cm，AC = 14 cm， ∠A′ = 120°，A′B′ = 3 cm ，A′C′ = 6 cm． 解：∵ AB 7， AC 14 = 7，

所AD:AF:AB= 1 : 2: 3 ，
又因为FG∥BC，所以
FG BCห้องสมุดไป่ตู้
AF AB
，且BC=12cm，所以FG
4 6 =cm。
能力提升
1．如图，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，DE⊥AC，DF ⊥BC，垂足分别为 E，F.已知 AC＝8，BC＝6. (1)求DDFE的值； (2)求四边形 DECF 的面积．
解：(1)∵∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD. 在 Rt△ACD 和 Rt△CBD 中，∵∠B＝∠ACD，∠ADC＝ ∠CDB，∴△ACD∽△CBD.又∵DF⊥BC，DE⊥AC，∴DDEF＝ CBCA.又∵BC＝6，AC＝8，∴DDEF＝CBCA＝68＝34
(2)由(1)可知DDEF＝34，设 DF＝3x，则 DE＝4x.∴S△ACD＝12
2、如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'；E、E' 分别为BC、B'C'的中点。试探究AD与
A'D'的比值关系，AE与A'E'呢？
A A′
B
DE
C
B′ D′ E′ C′
∵△ABC∽△A′B′C′
AB ∴A' B'
AC A'C'
BC B'C'
AF A' F'
求证：AADDk .
B
解: ∵△ ABC∽△ABC，
┓ DC
A′
∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ADB=∠ADB =90°，
┓
B′

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时20分22.4.1300:20April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时20分46秒00:20:4613 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
已知：DE//BC，且D是边AB的中点，DE交 AC于E .
猜想：△ADE与△ABC有什么关系?并证明。
A 相似。
证明: ∵ DE // BC
12
D
E
∴∠1 =∠B，∠2 =∠C
且 ∠A= ∠A
B
C ∴ △ADE与△ABC的对应角相等
过E作EF//AB交BC于F
又∵ DE // BC
∴ 四边形DBFE是平行四边形
相似三角形的判定（1）
相似三角形
对应角相等、对应边成比例的三角形
叫做相似三角形。
D
A
C
B
F
相似的表示方法 E
符号：∽ 读作：相似于
那么△ABC与△A/B/C/相似 记作△ABC∽△A/B/C/ 注意：通常把对应顶点写在对应位置上
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
A
D E F
B
G H I
C
5.如图，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若 AD：DB=2：3，BC=15，求DE的长。
A
D
E
B
C
• 不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面 上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三上午12时20分46秒00:20:4622.4.13

类似三角 形的判定
判定定理3
三边成比例的两个三 角形类似.
完成与本课教学内容相对应的习题
知识点 1 三边成比例的两个三角形类似
知1－导
我们学习过判定三角形全等的 SSS 方法，能不能通 过三边来判定两个三角形类似呢?
任意画 两个三角形△ABC 与△A′B′C′，使△ABC 的 边长是△A′B′C′ 的边长的 k 倍.
分别度量 ∠A和∠A′， ∠B 和 ∠B′ ，∠C 和∠C′ 的 大小，它们分别相等吗 ? 由此你有什么发现 ?
知2－讲
例2 图a、图b 中小正方形的边长均为1，则图 b 中的哪一 个三角形 ( 阴影部分 ) 与图 a 中的△ABC 类似?
图a
图b
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣
“三边成比例的两个三角形类似”判断 .
知2－讲
解：易知 AC = 2， BC =2， AB = 10. 图 b①中，三角形的三边长分别为 1， 5 ，2 2；
总结
知1－讲
由三边成比例判定两三角形类似的方法与三边对应 相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应 相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形 的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意 边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路 找定
∴ AD AE DE . AB AC BC
又 A′D = AB ，
AB AC BC , AB AC BC
∴ A′E = AC ，DE=BC.
∴△A′DE≌△ABC .
∴ △ABC∽△A′B′C′ .
知1－讲
归纳
由此得到类似三角形的判定定理 3： 三边成比例的两个三角形类似.
知1－讲

课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.

感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .

B
PD
Q
C
∴
40 x 40

x 60
解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
是方程思 想哦！
变式：
如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R
在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，
若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的
面积吗？
A
S ER
B PD Q C
第3章
图形的相似
3.4相似三角形的 判定与性质 第5课时
学习目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题． （难点）
导入新课
问题1： △ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B A1
B1
C C1
△ABC∽ △A1B1C1
A1
B1
A
B
C C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
P
2
A
B
4
C
D
典例精析
例1：如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，
点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，
AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ ASR的高吗？为什么？
A
(2) ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？ S E R
(3)求正方形PQRS的边长.
B PD Q C
A'

AADD
AB AB

k
B' D'
C'
归纳总结
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的 高的比也等于相似比．

课后作业
第十四页，共十六页。
课后作业
第十五页，共十六页。
课后作业
第十六页，共十六页。
第三页，共十六页。
课后作业
第四页，共十六页。
课后作业
第五页，共十六页。
课后作业
第六页，共十六页。
课后作业
第七页，共十六页。
课后作业
第八页，共十六页。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课后作业
第九页，共十六页。
课后作业
第十页，共十六页。
课后作业
第十一页，共十六页。
课后作业
第十二页，共十六页。
课后作业
第十三页，共十六页。
新湘教版九年级上册初中数学 3.4.1（课时2 相似三角形的判定定理1） 重 点习题课件
科 目：数学
适用版本：新湘教版
适用范围：【教师教学】
第3章 图形的相似
3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.1 相似三角形的判定
课时2 相似三角形的判定定理1
第一页，共十六页。
课后作业
第二页，共十六页。
课后作业