2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题1集合与常用逻辑用语 第4练

第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算[最新考纲]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________.{x|x≤2，或x≥10}[∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．]3．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.{－1,2} [在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．] 4．集合{－1,0,1}共有________个子集．8[由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集．]5．(2017·盐城期中模拟)若集合A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，则实数m 的取值范围是________．[2，＋∞) [∵A＝{x|x≤m}，B＝{x|－2<x≤2}，且B⊆A，∴2≤m，即实数m的取值范围是[2，＋∞)．](1)________个． (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________.【导学号：62172000】(1)5 (2)0或98 [(1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1； 当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.][规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．[变式训练1] (1)(2017·启东中学高三第一次月考)已知x 2∈{0,1，x }，则实数x 的值是________．(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． (1)－1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [(1)由集合中元素的互异性可知x ≠0且x ≠1.又x 2∈{0,1，x }，所以只能x 2＝1，解得x ＝－1或x ＝1(舍去)． (2)∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根， 当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98.](1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)4 (2)(－∞，4] [(1)∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }＝{1,2}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }＝{1,2,3,4}．∴由A ⊆C ⊆B 可知C 中至少含有1,2两个元素，故满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.][规律方法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解，如题(2)．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解．[变式训练2] (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________．(1)2 (2)(－∞，－1]∪{1} [(1)由题意可知a ，b ≠0，由集合相等的定义可知，a ＋b ＝0，∴a ＝－b ，即ba＝－1，∴b ＝1，故b －a ＝2b ＝2.(2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4 a ＋1 2－4 a 2－1 >0，－2 a ＋1 ＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1. 综上所述，所求实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.]☞角度1(1)(2017·南京二模)设集合A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝________.(2)(2017·如皋市高三调研一)设集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，则P ∩Q ＝________.(1){x |－2<x <1} (2){1,2} [(1)∵A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－2<x <1}．(2)∵P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }， ∴P ∩Q ＝{1,2}．]☞角度2 交、并、补的混合运算(1)(2017·苏锡常镇二调)已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分表示的集合是________．图1­1(1){1,2,5} (2)(－3，－1) [(1)由题意可知∁U B ＝{1,5}，又A ＝{1,2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,5}．(2)由题意可知，M ＝(－3,1)，N ＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M ∩(∁U N )＝(－3，－1)．]☞角度3 利用集合的运算求参数(1)(2017·南通二调)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________. 【导学号：62172001】(2)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝________.(3)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．(1)1 (2)0或3 (3)[1，＋∞) [(1)∵A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，∴a －1＝0或a ＋1a＝0(舍去)，∴a ＝1.(2)由A ∪B ＝A 可知B ⊆A ， 又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，所以m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或m ＝3或m ＝1(舍去)． (3)由A ∩B ＝∅可知，a ≥1.][规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．[思想与方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．[易错与防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．课时分层训练(一) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·苏州期中)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{－1,0}，则A ∪B ＝________. {－1,0,1} [A ∪B ＝{0,1}∪{－1,0}＝{－1,0,1}．]2．(2017·南京模拟)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 【导学号：62172002】{x |0≤x ≤2} [A ∩B ＝{x |－1≤x ≤2}∩{x |0≤x ≤4} ＝{x |0≤x ≤2}．]3．(2017·南通第一次学情检测)已知集合A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }，则A ∪B ＝________.{x |－1≤x ≤3，x ∈R } [∵A ＝{x |0<x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |－1≤x ≤2，x ∈R }， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．]4．(2017·如皋中学高三第一次月考)已知集合A ＝{1，cos θ}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，若A ＝B ，则锐角θ＝________.π3 [由A ＝B 可知cos θ＝12，又θ为锐角，∴θ＝π3.] 5．(2017·盐城三模)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________．8 [由题意可知A ∩B ＝{1,3,5}， ∴C ＝{1,3,5}，∴集合C 的子集共有23＝8个．]6．(2017·南京三模)已知全集U ＝{－1,2,3，a }，集合M ＝{－1,3}．若∁U M ＝{2,5}，则实数a 的值为________．5 [∵M ∪∁U M ＝U ，∴U ＝{－1,2,3,5}，∴a ＝5.]7．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝________.{1,2} [A∩B＝{x|x>0}∩{－1,0,1,2}＝{1,2}．]8．设全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，则B∩(∁U A)＝________.【导学号：62172003】{2} [∵A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4}，∴B∩(∁U A)＝{2,3}∩{2,4}＝{2}．]9．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为________．6[∵A＝{1,2,4}，B＝{2,3,4,5,6,8}，∴集合B中共有6个元素．]10．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．2[集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．]11．(2017·无锡模拟)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a＝________. 【导学号：62172004】0[∵1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，∴1＝a＋2，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1.①当a＋2＝1，即a＝－1时，此时a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；②当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2，又当a＝－2时，a2＋3a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性；③当a2＋3a＋3＝1时，a＝－1或－2，由①②可知，均不满足题意．综上可知，a＝0.]12．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)＝________.{3} [∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，又∁U B＝{3,4}，∴A∩(∁U B)＝{3}．]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·全国卷Ⅱ改编)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝________.{0,1,2,3} [B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]2．(2016·天津高考改编)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10. 即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]3．(2017·盐城模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝________.[2，＋∞) [∵A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}＝{y |y ≥2}，∴A ∩B ＝{x |x ≥2}．]4．(2017·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．4 [由题意可知P ＝{3,4}，故集合P 的子集共有22＝4个．]5．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________. 【导学号：62172005】0,1,2 [∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}． 由A ∩B ＝B 可知B ⊆A .①当a ＝0时，B ＝∅，满足A ∩B ＝B ；②当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，由B ⊆A 可知，2a ＝1或2a＝2，即a ＝1或a ＝2.综上可知a 的值为0,1,2.]6．若x ∈A ，且1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为________．3 [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]。

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④命题“若m >1，则不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③解析 ①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题为：“若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题. ②命题“如果△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB ＝BC ＝CA ”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a >b >0，则3a >3b >0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题：①“若a2<b2，则a<b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________.(填序号)答案③④解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1， 得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1；④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题.其中真命题的序号为____________.答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立.反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，此时x －4∈[－1，0]，∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数.∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________.答案 [32，＋∞) 解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 故所求λ的取值范围是[32，＋∞). *14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件.正确的是________.答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)， 当n ＝1时也成立.∴a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *. 又a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ， ∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p . ∴p p －1p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。

第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算A 应知应会1.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},那么∁U A=.2.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调)已知集合A={x|x<3,x∈R},B={x|x>1,x∈R},那么A∩B=.3.(2016·南京学情调研)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},那么A∩B=.4.(2016·苏北四市摸底)已知集合A={x|-1≤x≤1},那么A∩Z=.5.已知全集U={x|-1≤x≤4},集合A={x|x2-1≤0},B={x|0<x≤3},求A∩B,A∪B,∁U A,(∁U B)∩A.6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1) 若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2) 若A⊆∁R B,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},那么A∩B=.2.(2015·陕西卷)已知集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0}, 那么M∪N=.3.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知集合A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},那么A×B=.4.已知函数f(x)=2x-2log2x-10,x∈[2,+∞),那么集合M={n|f(3n2-n)≤2,n∈Z}的子集的个数为.5.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1) 9∈(A∩B);(2) {9}=A∩B.6.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.(1) 当k变化时,试求不等式的解集A.(2) 对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B,试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.第2课四种命题和充要条件A 应知应会1.命题“若a>b,则a+1>b”的逆否命题是.2.(2015·重庆卷) “x>1”是“lo(x+2)<0”的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.3.若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1},则实数a的值是.4.若n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.5.(2015·南京三模改编)记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.6.已知集合A=y y=x2-x+1,x∈,B={x|x+m2≥1}.若p:x∈A,q:x∈B,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.已知p:|x|>a,q:>0.若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.2.已知集合A={x|x2+2x-3≤0},B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.3.已知函数f(x)=x2-2x+3,若|f(x)-a|<2恒成立的充分条件是1≤x≤2,则实数a的取值范围是.4.(2015·广州二模)若不等式+≥对于任意正实数x,y总成立的必要不充分条件是k∈[m,+∞),则正整数m 只能取.5.设a,b,c为△ABC的三边的长度,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.6.已知函数f(x)=4sin2-2cos 2x-1,且p:x<或x>,x∈R.若q:-2<f(x)-m<2,且p是q的充分条件,求实数m 的取值范围.第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1.命题p“存在实数x,使得2x<0”是命题.(填“真”或“假”)2.(2015·徐州模拟)若命题p:∀x∈R,2x2-1>0,则命题p的否定是.3.(2015·苏州模拟)已知命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数.若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是.4.已知命题p:∃x∈R,2ax2+ax->0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围为.5.若命题“∃x∈[1,2],x2+2x+a≥0”是真命题,求实数a的取值范围.6.已知p:(x+1)(x-5)≤0,q:1-m≤x≤1+m(m>0).(1) 若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2) 若m=5,“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数x的取值范围.B 巩固提升1.若条件p:|x+1|≤4,条件q:2<x<3,则p是q的(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.2.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实数根,命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,则实数a的取值范围是.3.若对任意的x0<a,都满足-2x0-3>0,则实数a的最大值为.4.给出下列结论:①若命题p:∃x∈R,tan x=,命题q:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题“p∧(q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,那么l1⊥l2的充要条件是=-3;③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确的结论为.(填序号)5.已知a>0,命题p:关于x的方程a2x2+ax-2=0在[-1,1]上有解,命题q:有且仅有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0.若命题“p∨q”是假命题,求实数a的取值范围.6.已知a>且a≠1,命题p:函数f(x)=log(2a-1)x在其定义域上是减函数,命题q:函数g(x)=的定义域为R.如果“p∨q”为真命题,试求实数a的取值范围.高考总复习一轮配套检测与评估数学文科详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算A 应知应会1. {0}【解析】因为U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},所以∁U A={0}.2. (1,3)3. {2}【解析】因为B={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},A={-1,0,1,2},所以A∩B={2}.4. {-1,0,1}【解析】因为集合A={x|-1≤x≤1}中的整数有-1,0,1,所以A∩Z={-1,0,1}.5.【解答】因为A={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∩B={x|0<x≤1},A∪B={x|-1≤x≤3}.又∁U A={x|1<x≤4},∁U B={x|-1≤x≤0或3<x≤4},所以(∁U B)∩A={x|-1≤x≤0}.6.【解答】由题意得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1) 因为A∩B=[0,3],所以解得m=2.(2) 由题意知∁R B={x|x<m-2或x>m+2}.因为A⊆∁R B,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3.故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).B 巩固提升1. {1,3}【解析】因为集合A为奇数集,所以A∩B={1,3}.2. [0,1]【解析】由题设知M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].3.[0,1]∪(2,+∞)【解析】A=[0,2],B=(1,+∞),故A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).4. 4【解析】由函数f(x)的定义域是[2,+∞),得3n2-n≥2,解得n≥1或n≤-.因为n∈Z,所以n=1,2,3,…或n=-1,-2,-3,….当n=1时,f(2)=-8≤2;当n=2时,f(10)=210-2log2 10-10>2;当n=3时,f(24)>2;…;当n=-1时,f(4)=2≤2;当n=-2时,f(14)>2;….所以集合M={1,-1},故其子集有4个.5.【解答】(1) 因为9∈(A∩B),所以9∈A且9∈B,所以2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.(2) 因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B),所以a=5或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A∩B={9},满足题意.综上,a的值为-3.6.【解答】(1) 当k=0时,A=(-∞,4);当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪;当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);当k<0时,A=.(2) 由(1)知,当k≥0时,集合B中的元素有无限个;当k<0时,集合B为有限集.若k<0,因为k+≤-4,当且仅当k=-2时取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时A=(-4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.第2课四种命题和充要条件A 应知应会1.若a+1≤b,则a≤b2.充分不必要【解析】lo(x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1,故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分不必要条件.3. 0【解析】由题意可得或成立的充要条件为{x|0≤x<1},所以a的值是0.4. 3或4【解析】由x2-4x+n=0,得(x-2)2=4-n,即x=2±.因为n∈N*,方程有整数解,所以n=3或4,故当n=3或4时方程有整数解.5.【解答】由x2+x-6<0,得-3<x<2,即A=(-3,2).又由x-a>0,得x>a,即B=(a,+∞).因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以(-3,2)⊆(a,+∞),所以a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3].6.【解答】由y=x2-x+1,配方得y=+.因为x∈,所以y min=,y max=2,即y∈,所以A=.由x+m2≥1,得x≥1-m2,即B={x|x≥1-m2}.因为p是q的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤,解得m≥或m≤-.故实数m的取值范围是-∞,-∪.B 巩固提升1. (-∞,0)【解析】p:|x|>a⇔q:>0⇔x<或x>1.因为p是q的必要不充分条件,所以q中不等式的解集是p中不等式解集的子集,所以a<0.2.【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1},B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,所以A⫋B,所以且等号不能同时取得,解得a≤-,故实数a的取值范围是.3. (1,4)【解析】当1≤x≤2时,|f(x)-a|<2恒成立.|f(x)-a|<2⇒f(x)-2<a<f(x)+2,当1≤x≤2时,f(x)+2的最小值是4,f(x)-2的最大值是1,所以1<a<4.故实数a的取值范围是(1,4).4. 1或2【解析】因为+≥2×=,所以≥,所以3k≥6,即k≥log36=log32+.由题意知⫋[m,+∞),所以正整数m 只能取1或2.5.【解答】设m是两个方程的公共根,显然m≠0.首先证明必要性.由题意知m2+2am+b2=0,①m2+2cm-b2=0,②①+②得2m(a+c+m)=0,所以m=-(a+c),③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0,化简得a2=b2+c2,所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2,所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,它的两个根分别为x1=-(a+c),x2=c-a.同理,方程x2+2cx-b2=0的两个根分别为x3=-(a+c),x4=a-c.因为x1=x3,所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.6.【解答】由q可得因为p是q的充分条件,所以在≤x≤的条件下,恒成立.由已知得f(x)=21-cos-2cos 2x-1=2sin 2x-2cos 2x+1=4sin+1.由≤x≤,知≤2x-≤,所以3≤4sin+1≤5.故当x=时,f(x)max=5;当x=时,f(x)min=3.所以只需成立,即3<m<5.所以实数m的取值范围是(3,5).第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词A 应知应会1.假2.∃x∈R,2x2-1≤03.【解析】命题p:关于x的函数y=x2-3ax+4在[1,+∞)上是增函数,即≤1,解得a≤.命题q:关于x的函数y=(2a-1)x在R上为减函数,即 0<2a-1<1,解得<a<1.若“p∧q”为真命题,则有a≤且<a<1,所以<a≤.即实数a的取值范围是.4. [-3,0]【解析】因为命题p“∃x∈R,2ax2+ax->0”为假命题,所以对于任意的x,都有2ax2+ax-≤0.当a=0时,显然成立;当a<0时,Δ=a2+3a≤0,所以-3≤a<0.综上,实数a的取值范围是[-3,0].5.【解答】因为命题“∃x∈[1,2],x2+2x+a≥0”是真命题,所以命题“∀x∈[1,2],x2+2x+a<0”是假命题.又因为当x∈[1,2]时,x2+2x∈[3,8],所以8+a≥0,即a≥-8,所以实数a的取值范围为[-8,+∞).6.【解答】p:-1≤x≤5.(1) 因为p是q的充分条件,所以[-1,5]是[1-m,1+m]的子集,所以解得m≥4.所以实数m的取值范围为[4,+∞).(2) 当m=5时,q:-4≤x≤6.由题意知p与q一真一假.当p真q假时,由得x∈⌀.当p假q真时,由得-4≤x<-1或5<x≤6.所以实数x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].B 巩固提升1.充分不必要【解析】p:|x+1|>4⇒x<-5或x>3,q:x≤2或x≥3,所以p⇒q,但q⇒/p,故p是q的充分不必要条件.2. (-∞,-12)∪(-4,4)【解析】若p真,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;若q真,则-≤3,即a≥-12.由“p∨q”是真命题,“p∧q”是假命题,知命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4.故实数a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).3.-1【解析】由-2x0-3>0,得x0>3或x0<-1.又对任意的x0<a,不等式-2x0-3>0恒成立,故实数a的最大值为-1.4.①③【解析】①命题p为真命题,命题q为真命题,所以“p∧(q)”为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.所以正确的结论为①③.5.【解答】由a2x2+ax-2=0,得(ax+2)·(ax-1)=0,所以x=-或x=.只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0,即Δ=(2a)2-8a=0,因为a>0,所以a=2.因为“p∨q”是假命题,所以p,q均为假命题,所以解得0<a<1.所以实数a的取值范围是(0,1).6.【解答】若p为真命题,则0<2a-1<1,解得<a<1.若q为真命题,则x+|x-a|-2≥0对x∈R恒成立.令f(x)=x+|x-a|-2,则f(x)=所以f(x)的最小值为a-2,故q为真命题时,a-2≥0,解得a≥2.所以“p∨q”为真命题,即<a<1或a≥2.故实数a的取值范围为∪[2,+∞).。

第一章错误!集合与常用逻辑用语第一节集合本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念;2。

集合间的基本关系；3。

集合的基本运算.突破点(一）集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念（1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.（3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数）或已知元素个数求参数［例1](1))A．1 B．3C．5 D．9（2）若集合A＝｛x∈R|ax2－3x＋2＝0｝中只有一个元素，则a＝(）A.错误!B。

错误!C．0 D．0或错误!［解析］(1）∵A＝｛0，1，2},∴B＝｛x－y｜x∈A，y∈A｝＝｛0,－1，－2，1，2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时,Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝错误!。

故a＝0或错误!.［答案］（1)C（2）D［方法技巧]求元素(个数）的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝｛z|z＝x＊y,x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算"．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*"，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想）,从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数．元素与集合的关系［例2](1)设集合A＝｛2,3,4｝，B＝{2,4，6｝，若x∈A，且x∉B，则x＝()A．2 B．3 C．4 D．6（2)(2017·成都诊断)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m},若3∈A，则m的值为________．［解析］（1）因为x∈A，且x∉B，故x＝3.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组（建议用时:20分钟)1．已知命题p：所有指数函数都是单调函数,则綈p为________．解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称．则下列结论:①p为真；②綈p为假；③p∧q为假；④p∧q为真．其中结论正确的有________(填序号）．解析p为假命题，q为假命题,∴p∧q为假．答案③3．命题“∃x0∈错误!,tan x0>sin x0”的否定是________．答案∀x∈错误!，tan x≤sin x4．若命题“∃x0∈R，使得x错误!＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵“∃x0∈R，使得x2，0＋(a－1）x0＋1＜0"是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即（a－1）2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1）∪（3，＋∞)5．2016年巴西里约奥运会,在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p是“甲落地站稳"，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳"可表示为________．解析命题“至少有一位队员落地没有站稳"包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳"，故可表示为(綈p）∨（綈q)．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳"等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q"的否定．答案(綈p）∨（綈q）6．(2017·泰州调研)已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0;q:x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题:①p∧（綈q)；②（綈p)∧q；③（綈p)∧（綈q）；④p∧q.其中真命题有________（填序号）．解析由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧（綈q)是真命题．答案①7．下列命题：①∃x0∈R，e x0≤0；②∀x∈R,2x>x2；③a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1；④“a>1，b>1”是“ab>1"的充分条件．其中真命题有________(填序号）．解析因为y＝e x〉0，x∈R恒成立，所以①不正确．因为当x＝－5时，2－5〈(－5）2，所以②不正确．“ab＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件,③不正确．当a>1，b〉1时，显然ab>1，④正确．答案④8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．解析因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0,所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋1〈0,则a〈0或错误!解得a<0或a>4。

专题限时集训(一) 集合与常用逻辑用语(对应学生用书第77页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x ＜2}，则A∩B＝________.{x|－1＜x＜2}[集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，故答案为：{x|－1＜x＜2}．]2．(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．必要不充分[充分性不成立，如y＝x2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y 轴对称．]3．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知R为实数集，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}，则A∩(∁R B) ＝________.{1,2,3,4}[集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x(4－x)＜0}＝{x|x(x－4)＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，∴∁R B＝{x|0≤x≤4}，∴A∩(∁R B)＝{1,2,3,4}．故答案为：{1,2,3,4}．]4．(河北唐山市2017届高三年级期末)已知数列{a n}，{b n}满足b n＝a n＋a n＋1，则“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的________条件．充分不必要[若数列{a n}为等差数列，设其公差为d1，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n ＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝2d1，所以数列{b n}是等差数列；若数列{b n}为等差数列，设其公差为d2，则b n＋1－b n＝(a n＋1＋a n＋2)－(a n＋a n＋1)＝a n＋2－a n＝d2，不能推出数列{a n}为等差数列，所以“数列{a n}为等差数列”是“数列{b n}为等差数列”的充分不必要条件．] 5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)若集合A＝{x∈Z|－2＜x＜2}，B＝{x|y＝log2x2}，则A∩B＝________.【导学号：56394004】{－1,1}[因为A＝{x∈Z|－2＜x＜2}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝log2x2}＝{x|x≠0}，所以A∩B＝{－1,1}．]6．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的________条件 .充要 [由S 6＝3S 2，得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3＋q 4＋q 5)＝3a 1(1＋q )，即q 5＋q 4＋q 3＋q 2－2－2q ＝0，(q ＋1)2(q －1)(q 2＋2)＝0，解得q ＝±1，所以“|q |＝1”是“S 6＝3S 2”的充要条件．]7．(四川省2016年普通高考适应性测试)设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |ax ＝1，a ∈R }，则使得B ⊆A 的a 的所有 取值构成的集合是________．{－1,0,1} [因为B ⊆A ，所以B ＝∅，{－1}，{1}，因此a ＝－1,0,1.]8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n＋b (a ≠0，q ≠0,1)，则“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的________条件．充要 [当a ＋b ＝0时，a 1＝S 1＝aq ＋b ＝a (q －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q－1)，当n ＝1时，也成立，于是a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，即数列{a n }为等比数列； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq ＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －1(q －1)，∵q ≠0，q ≠1，∴a n ＋1a n ＝aq n q －aq n －1q －＝q (n ∈N *)，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝q ，aq 2－aq aq ＋b＝q ， 即aq －a ＝aq ＋b ，∴a ＋b ＝0，综上所述，“a ＋b ＝0”是数列{a n }为等比数列的充要条件．]9．(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是________．∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0 [命题“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1＞0”．]10．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)下列四个命题：p 1：任意x ∈R,2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0；p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x ＞x 2＋x ＋1.其中的真命题是________．p 1，p 4 [对于x ∈R,2x ＞0，p 1为真命题；x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，p 2为假命题；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞2－3π2，p 3为假命题；x ＝－12时，cos x ＞cos π6＝32＞34＝x 2＋x ＋1，p 4为真命题．]11．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)若命题p ：“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[1,2] [“∃x 0∈R,2x 0－2≤a 2－3a ”是假命题等价于∀x ∈R,2x －2＞a 2－3a ，即－2≥a 2－3a ，解之得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．]12．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)设集合S ＝{0,1,2,3，…，n }，则集合S 中任意两个元素的差的绝对值的和为________． 16n 3＋12n 2＋13n [设集合中第k 个元素，则其值为k －1. |(k －1)－k |＋|(k －1)－(k ＋1)|＋…＋|(k －1)－n | ＝1＋2＋…＋(n ＋1－k ) ＝n ＋1－kn ＋1－k ＋2，T n ＝12n 2·n ＋32n ·n ＋n －(1＋2＋…＋n )n －32(1＋2＋…＋n )＋12·(12＋22＋…＋n 2)＝n n ＋n ＋6＝16n 3＋12n 2＋13n .故答案是：16n 3＋12n 2＋13n .] 13．(泰州中学2016－2017年度第一学期第一次质量检测)设实数a ＞1，b ＞1，则“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的________条件．(请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中之一填空)充要 [令f (x )＝ln x －x (x ＞1)，则f ′(x )＝1x－1＜0，因此a ＜b ⇔f (a )＞f (b )⇔lna －a ＞lnb －b ⇔ln a －ln b ＞a －b ，即“a ＜b ”是“ln a －ln b ＞a －b ”的充要条件．]14．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)下列四个结论：①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0 ”． 其中正确结论的个数是________．4 [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，即x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0” 的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”正确；对于③，命题p ∧q 为真，则命题p ，q 均为真，命题p ∨q 为真，反过来，当命题p ∨q 为真时，则p ，q 中至少有一个为真，不能推出命题p ∧q 为真，所以“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件， 故③正确；对于④，由全称命题与特称命题的关系可知，命题“∀x ∈R ，x －ln x ＞0 ”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，所以④正确．]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1,1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x ∈[1,2]，log 12(x 2－mx ＋1)＜－1成立，如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求m 的取值范围.【导学号：56394005】[解] 若p 为真：对∀x ∈[－1,1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立， 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3， ∴f (x )在[－1,1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，2分∴p 为真时：12≤m ≤32；若q 为真：∃x ∈[1,2]，x 2－mx ＋1＞2成立，∴m ＜x 2－1x 成立.4分设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x，易知g (x )在[1,2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m ＜32，∴q 为真时，m ＜32，∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假，9分 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32，当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜12或m ＞32，m ＜32 ，∴m ＜12，12分综上所述，m 的取值范围是m ＜12或m ＝32.14分16．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2＜0}(m ＞0)． (1)若m ＝2，求A ∩B ；(2)若A ⊇B ，求实数m 的取值范围．[解] 集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m ＞0，所以B ＝(－3m ，m )，4分 (1)m ＝2时，B ＝{x |－6＜x ＜2}， 所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}.8分 (2)B ＝(－3m ，m )，要使B ⊆A ，10分只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2m ≤5⇒m ≤23，12分所以0＜m ≤23.综上，知m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.14分 17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |log 2x ＜log 23}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋2x －4＜0，C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}．(1)求集合A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围． [解] (1)由log 2x ＜log 23，得0＜x ＜3. 2分由不等式x ＋2x －4＜0得(x －4)(x ＋2)＜0， 所以－2＜x ＜4.5分 所以A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}. 7分 (2)因为B ∪C ＝B ，所以C ⊆B ，9分 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤4，a ≥－2.11分解得－2≤a ≤3.所以，实数a 的取值范围是[－2,3].14分18．(本小题满分16分)设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，求k 的取值范围． [解] ∵函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，∴k ＞0，2分由∃x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0得方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，4分∴Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52.6分 ∵p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，∴命题p ，q 一真一假，10分①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＞0，12＜k ＜52，∴12＜k ＜52； 12分②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12或k ≥52，解得k ≤0， 14分综上可得k 的取值范围为(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. 16分19．(本小题满分16分)已知命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立，若“p 且﹁q ”为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 因为命题p ：函数y ＝log a (2x ＋1)在定义域上单调递增，所以a ＞1.4分 ∴又因为命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对任意实数x 恒成立；所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝a －2＋a －＜0，综上所述：－2＜a ≤2，10分因为p 且﹁q 为真命题，∴p 真q 假， 12分 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤－2或a ＞2，∴a ∈(2，＋∞).14分 ∴实数a 的取值范围为(2，＋∞).16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知命题p ：函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数；命题q ：若函数g (x )＝e x －x ＋a 在区间[0，＋∞)上没有零点．(1)如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围.【导学号：56394006】[解] (1)如果命题p 为真命题，∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 4分 ∴Δ＝4a 2－12≤0⇒a ∈[－3，3].7分(2)g ′(x )＝e x－1≥0对任意的x ∈[0，＋∞)恒成立， ∴g (x )在区间[0，＋∞)上递增，9分若命题q 为真命题，g (0)＝a ＋1＞0⇒a ＞－1，11分由命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题知p ，q 一真一假，若p 真q 假，则⎩⎨⎧ －3≤a ≤3a ≤－1⇒a ∈[－3，－1]， 13分若p 假q 真，则⎩⎨⎧a ＜－3或a ＞3a ＞－1⇒a ∈(3，＋∞)， 14分 综上所述，a ∈[－3，－1]∪(3，＋∞).16分。

1.1 集合及其运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法2.集合间的基本关系AB (或BA )3.集合的基本运算【知识拓展】1.若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1. 2.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3.A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( × ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1.(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B ＝__________. 答案 {－1，1，5}解析 ∵A ＝{－1，5}，B ＝{－1，1}，∴A ∪B ＝{－1，1，5}.2.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B ＝__________. 答案 {x |3≤x ≤5}3.(教材改编)设全集U ＝R ，A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≥m }.若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，则m ＝________. 答案 1解析 ∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，∴B ＝∁U A ，故m ＝1.4.(2016·天津改编)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.答案 {1，4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4； 当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.(2016·苏州模拟)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{3，4}，A ∪B ＝{1，2，3，4}，则m ＝________. 答案 2解析 ∵A ∪B ＝{1，3，m }∪{3，4}＝{1，2，3，4}， ∴2∈{1，3，m }，∴m ＝2.题型一 集合的含义例1 (1)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)4 (2)0或98解析 (1)∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1，1，3， 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5，3，1，－1， 故集合A 中的元素个数为4.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·盐城模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________. ①－1∉A②－11∈A ③3k 2－1∈A (k ∈Z )④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________. (2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________.答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为____________.(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2017·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案(1){7，9} (2){x|－2≤x＜1}解析(1)U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A)∩B＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例 4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是____________.(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________. 答案(1)(－1，＋∞)(2)4解析(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)由题意可得{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为________.答案(1)a≤2或a>3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1，0，12，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________. 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1，1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1，1，12，2}，共7个.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－a 2－，－a ＋＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1； ②当B ≠∅且BA 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}.答案(1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得(1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验.(2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________.答案{0，－1，1}解析由集合并集的定义可得A∪B＝{0，－1，1}.2.(2017·扬州月考)已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝__________.答案{1}解析因为A＝{x|0<x<2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1}.3.(2016·盐城模拟)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________.答案8解析因为A∩B＝{1，3，5}，所以C＝{1，3，5}，故集合C的子集的个数为23＝8.4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.答案{1}解析因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A的真子集的个数是________.答案 3解析 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.6.已知集合A ＝{(x ，y )| x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素的个数为_____________________________________________________________. 答案 2解析 集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.7.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c ).由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8.(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝__________. 答案 {x |1<x <2}解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}.9.设集合Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是________. 答案 8解析 因为Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }＝{x |0≤x ≤52，x ∈N }＝{0，1，2}，所以满足P ⊆Q 的集合P 的个数是23＝8.10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________. 答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112. 11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________.答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意， ∴m ＝－32. 12.(2016·南通模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·江苏无锡新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________. 答案 3解析 按P *Q 的定义，P *Q 中元素为2，－2，0，共3个.14.已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________. 答案 5解析 当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时， x －y ＝1；当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时， x －y ＝－1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.15.已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________. 答案(－∞，－2]解析集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2].。

第2讲四种命题和充要条件基础巩固题组（建议用时：20分钟）1．(2015·山东卷改编）设m∈R，命题“若m〉0，则方程x2＋x －m＝0有实根”的逆否命题是______________．解析根据逆否命题的定义，命题“若m〉0，则方程x2＋x－m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根,则m≤02．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x ＝1”是“x2－2x＋1＝0"的充要条件．答案充要3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α,则“m∥β”是“α∥β"的________条件（从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析m⊂α,m∥βα∥β，但m⊂α,α∥β⇒m∥β，∴“m∥β"是“α∥β”的必要不充分条件．答案必要不充分4．“若a≤b,则ac2≤bc2",则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案25．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分"“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个）．解析cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立．∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件．答案充分不必要6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－错误!＋a为奇函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要"或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析显然a＝0时，f(x）＝sin x－错误!为奇函数；当f(x)为奇函数时，f (－x ）＋f （x ）＝0。

A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算2.A1,E3[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}2.B[解析] 因为A={x|x2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.2 .A1[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ()A.9B.8C.5D.42.A[解析] 当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.1.A1[2018·全国卷Ⅲ]已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}1.C[解析] A={x|x≥1},B={0,1,2},所以A∩B={1,2}.1.A1[2018·北京卷]已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}1.A[解析] ∵A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.20.A1、B10、B14[2018·北京卷]设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记M(α,β)=12[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值.(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值.(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.20.解:(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=12[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(α,β)=12[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1,所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素,所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=x k+1=…=x n=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},则B=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)=0,所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素可能同时是集合B的元素,所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k,x k=1且x1=x2=…=x k-1=x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B中元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.1.A1[2018·天津卷]设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=()A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}1.B[解析] ∁R B={x|x<1},所以A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.1.A1[2018·浙江卷]已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}1.C[解析] 由补集的定义可知,∁U A={2,4,5},故选C.1.A1[2018·江苏卷]已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=.1.{1,8}[解析] 由题意得,A∩B={1,8}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件13.A2[2018·北京卷]能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是.13.f(x)=sin x(答案不唯一)[解析] f(x)=sin x在[0,2]上先增后减,且满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,符合题意.4.A2[2018·天津卷]设x∈R,则“x-12<12”是“x3<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.A[解析] 由x-12<12,解得0<x<1,可推出x3<1,反之不成立,故为充分而不必要条件.A3 基本逻辑联结词及量词A4 单元综合1.[2018·南充一模]命题“∃x0∈R,x03-x02+1≤0”的否定是()A.∃x0∈R,x03-x02+1<0B.∀x∈R,x3-x2+1>0C.∃x0∈R,x03-x02+1≥0D .∀x ∈R,x 3-x 2+1≤01.B [解析] 否定为:∀x ∈R,x 3-x 2+1>0.故选B .3.[2018·甘肃张掖一诊] 若集合M={x|4<x<8},N={x|x 2-6x<0},则M ∩N= ( )A .{x|0<x<4}B .{x|6<x<8}C .{x|4<x<6}D .{x|4<x<8}3.C [解析] 因为集合M={x|4<x<8},N={x|x 2-6x<0}={x|0<x<6},所以M ∩N={x|4<x<6}.故选C .4.[2018·佛山调研] 若A={1,2},B={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A },则集合B 中元素的个数为 ( )A .1B .2C .3D .44.D [解析] B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},所以集合B 中有4个元素,故选D .5.[2018·天津期末] “α=π4”是“cos 2α=0”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 5.A [解析] 由cos 2α=0得2α=k π+π2,k ∈Z,即α=kπ2+π4,k ∈Z,则“α=π4”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.。