广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中2016届高三上学期联考数学理试题

2015-2016学年广西柳州市铁路一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），则|z|=( )A．B．C．D．2．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=( )A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数4．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( )A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx5．若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为( )A．B．﹣C．D．﹣6．已知向量，若，则实数λ=( ) A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣27．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72π B．48π C．30π D．24π8．一个袋子中有号码为1，2，3，4大小相同的4个小球，现从中任意取出一个球，取出后再放回，然后再从袋中任取一个球，则取得两个号码之和为5的概率为( )A．B．C．D．9．如图，正三棱锥ABCD内接于球O，底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为( )A．B．C．D．10．已知函数f（x）=lnx+3x﹣8的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=( ) A．5 B．4 C．3 D．211．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是( )A．B． C．D．212．设f（x）是定义在R上的函数，其函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）﹣e x＞2014（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A． B．（﹣∞，0）∪ C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．14．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于__________．15．已知圆心为（0，1）的圆C与直线4x﹣3y﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程是__________．16．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．18．某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：90 71 64 66 72 39 49 46 55 56 85 52 6l80 66 67 78 70 51 65 42 73 77 58 67（1）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计如图1；（2）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图如图2；i i对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x1﹣）（y i﹣）=4698，（x i﹣）=5524，≈0.85求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．20．椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．21．已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分【选修4－1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是⊙O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=AD•AE；（2）证明：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），则|z|=( )A．B．C．D．【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接通过复数方程两边求模，化简求解即可．【解答】解：复数z满足z（3﹣4i）=1（i是虚数单位），可得|z（3﹣4i）|=1，即|z||3﹣4i|=1，可得5|z|=1，∴|z|=，故选：D．【点评】本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．2．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁U P=( )A．[，+∞）B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到C U P=[，+∞）．故选A．【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了补集的运算，是一道基础题．3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与通常每天都否定关系，基本知识的考查．4．下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( )A．y=lgx B．y=cosx C．y=|x| D．y=sinx【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，A：y=lgx是非奇非偶函数，错误B：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误D：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确故选D【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（﹣x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验．5．若角α的终边过点（﹣1，2），则cos2α的值为( )A．B．﹣C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用任意角的三角函数的定义可求得cosα=﹣，再利用二倍角的余弦即可求得答案．【解答】解：∵角α的终边过点（﹣1，2），∴cosα==﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：B．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦，求得cosα=﹣是关键，属于基础题．6．已知向量，若，则实数λ=( ) A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由于，可得．于是=0，解得λ即可．【解答】解：∵，∴．∴=λ（λ+2）+1=0，解得λ=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A．72π B．48π C．30π D．24π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π故选C【点评】本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键8．一个袋子中有号码为1，2，3，4大小相同的4个小球，现从中任意取出一个球，取出后再放回，然后再从袋中任取一个球，则取得两个号码之和为5的概率为( )A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再由列举法求出取得两个号码之和为5的基本事件个数，由此能求出取得两个号码之和为5的概率．【解答】解：一个袋子中有号码为1，2，3，4大小相同的4个小球，现从中任意取出一个球，取出后再放回，然后再从袋中任取一个球，基本事件总数为n=4×4=16，取得两个号码之和为5的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4个，∴取得两个号码之和为5的概率p==．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．9．如图，正三棱锥ABCD内接于球O，底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为( )A．B．C．D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC中，底面边长为，侧棱长为2，高AE=得到球心O到四个顶点的距离相等，在直角三角形BOE中BO=R，EO=﹣R，BE=1，由BO2=BE2+EO2得R=∴外接球的半径为，表面积为：．故选C．【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．10．已知函数f（x）=lnx+3x﹣8的零点x0∈[a，b]，且b﹣a=1，a，b∈N*，则a+b=( ) A．5 B．4 C．3 D．2【考点】函数的零点．【分析】由f（2）f（3）＜0，和函数的单调性可得函数唯一的零点x0∈[2，3]，进而可得ab，可得答案．【解答】解：∵f（x）=lnx+3x﹣8，可得函数为（0，+∞）上的增函数，而且f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+1＞0，即f（2）f（3）＜0，故函数有唯一的零点x0∈[2，3]，且满足题意，故a=2，b=3，a+b=5，故选A【点评】本题考查函数的零点，涉及对数的运算，属基础题．11．F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2=，则C的离心率是( )A．B． C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设一渐近线OA的方程为y=x，设A（m，m），B（n，﹣），由 2=，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2=3b2，代入e==进行运算．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=x，则另一渐近线OB的方程为 y=﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵2=，∴2（c﹣m，﹣）=（n﹣c，﹣），∴2（c﹣m）=n﹣c，﹣=﹣，∴m=c，n=，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•=﹣1，∴a2=3b2，∴e===．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A的坐标是解题的关键．12．设f（x）是定义在R上的函数，其函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＜1，f（0）=2015，则不等式e x f（x）﹣e x＞2014（其中e为自然对数的底数）的解集为( )A． B．（﹣∞，0）∪ C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＜1，∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵e x f（x）﹣e x＞2014，∴g（x）＞2014，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=2015﹣1=2014，∴g（x）＞g（0），∴x＜0．∴不等式e x f（x）﹣e x＞2014的解集为（﹣∞，0）．故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为1．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合法；转化法；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象可知AD的斜率最大，此时直线x﹣y=﹣1的斜率k=1，即的最大值为1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率公式结合数形结合是解决本题的关键．14．若执行如图所示的框图，输入x1=1，x2=2，x3=3，=2，则输出的数等于．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】先弄清该算法功能，S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，依此类推，当i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，输出所求即可．【解答】解：S=0+（1﹣2）2=1，i=1，满足条件i＜3，执行循环体，i=2S=1+（2﹣2）2=1，i=2，满足条件i＜3，执行循环体，i=3S=1+（3﹣2）2=2，i=3，不满足条件i＜3，退出循环体，则S=×2=故答案为：【点评】本题主要考查了方差的计算，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．15．已知圆心为（0，1）的圆C与直线4x﹣3y﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程是x2+（y﹣1）2=10．【考点】圆的标准方程．【专题】直线与圆．【分析】利用点到直线的距离公式求出弦心距d，再利用弦长公式求出半径r=，可得圆的方程．【解答】解：由题意可得，弦心距为d==1，∴半径r===，故圆的方程为x2+（y﹣1）2=10，故答案为：x2+（y﹣1）2=10．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求圆的标准方程，属于中档题16．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，若A（﹣1，0），则的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．【解答】解：由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，则==sin∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，最小，故当PA和抛物线相切时，最小．设切点P（a，2），则PA的斜率为=（2）′=，求得a=1，可得P（1，2），∴|PM|=2|PA|=2sin∠PAM===，故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的公比q=3，前3项和S3=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式．【考点】等比数列的通项公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的前n项和的公式及q=3化简S3=，得到关于首项的方程，求出方程的解得到首项的值，然后根据首项和公比即可写出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通项公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函数中得到函数值等于1，根据φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值，把φ的值代入即可确定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以a n=×3n﹣1=3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n﹣2，所以a3=3，因为函数f（x）的最大值为3，所以A=3；又因为当x=时，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=．则函数f（x）的解析式为f（x）=3sin（2x+）．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式及通项公式化简求值，掌握正弦函数的图象与性质以及会利用待定系数法求函数的解析式，是一道中档题．18．某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：90 71 64 66 72 39 49 46 55 56 85 52 6l80 66 67 78 70 51 65 42 73 77 58 67（1）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计如图1；（2）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图如图2；（3）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为x i，y i（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x1﹣）（y i﹣）=4698，（x i﹣）=5524，≈0.85求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【专题】数形结合；数学模型法；概率与统计．【分析】（1）根据所给数据，可得物理成绩的茎叶图；（2）根据所给数据，可得数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；（3）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩【解答】解：（1）物理成绩的茎叶图如图所示；（3）由已知得b=0.85，a=64﹣0.85×86=﹣9.1，∴y=0.85x﹣9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．【点评】本题考查茎叶图、数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明： SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，作BK⊥EC，K为垂足，根据线面垂直的判定定理可知DE⊥平面SBC，然后分别求出SE与EB的长，从而得到结论；（Ⅱ）根据边长的关系可知△ADE为等腰三角形，取ED中点F，连接AF，连接FG，根据二面角平面角的定义可知∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角，然后在三角形AGF中求出二面角A ﹣DE﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG=GC=BG=1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD．又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．SB=，DE=EB=所以SE=2EB（Ⅱ）由SA=，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知AE==1，又AD=1．故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF=．连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．所以，∠AFG是二面角A﹣DE﹣C的平面角．连接AG，AG=，FG=，cos∠AFG=，所以，二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．【点评】本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．20．椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD|=时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；方程思想．【分析】（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程；（Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D 两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），由已知得b=1，c=1，所以a=，椭圆的方程为，当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k2+2）x2+2kx﹣1=0，则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，∴|CD|====，解得k=．∴直线l的方程为y=x+1；（Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），∴P点的坐标为（﹣，0），由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，将两直线联立，消去y得，∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，==，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，∴与y1y2异号，与同号，∴=，解得x=﹣k，故Q点坐标为（﹣k，y0），=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，故为定值．【点评】此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想．21．已知函数，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2﹣x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（I）根据分段函数中两段解析式，结合二次函数及对数函数的性质，即可得出函数f （x）的单调区间；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），再利用f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，斜率之积等于﹣1，得出（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，最后利用基本不等式即可证得x2﹣x1≥1；（III）先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件列出关系式，从而得出a=lnx2+（）2﹣1，最后利用导数研究它的单调性和最值，即可得出a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）=﹣1，当x＜0时，（2x1+2）（2x2+2）=﹣1，∵x1＜x2＜0，∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2﹣x1=[﹣（2x1+2）+（2x2+2）]≥=1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x2﹣x1≥1；（III）当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y﹣（x+2x1+a）=（2x1+2）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣lnx2=（x﹣x2）；两直线重合的充要条件是，由①及x1＜0＜x2得0＜＜2，由①②得a=lnx2+（）2﹣1=﹣ln+（）2﹣1，令t=，则0＜t＜2，且a=t2﹣t﹣lnt，设h（t）=t2﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．【点评】本题以函数为载体，考查分段函数的解析式，考查函数的单调性，考查直线的位置关系的处理，注意利用导数求函数的最值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分【选修4－1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是⊙O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=AD•AE；（2）证明：FG∥AC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明．（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行．【解答】证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线所以AB2=AD•AE，又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…（2）由（1）得．∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE．∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴GF∥AC…【点评】本题考查圆的切线、割线长的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x铀正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（I）设三点A、B、C的极坐标分别为（ρ1，φ），，．把三点A、B、C代入曲线C1即可证明；（II）由C2的方程知C2的倾斜角为α，过定点（m，0）．当φ=时，得出B，C的极坐标，化为直角坐标，再利用斜率计算公式和点斜式即可得出．【解答】解：（I）设三点A、B、C的极坐标分别为（ρ1，φ），，．φ∵三点A、B、C在曲线C1上，∴ρ1=4cosφ，，．∴|OB|+|OC|=ρ2+ρ3=+4=4cosφ=ρ1，∴|OB|+|OC|=|OA|；（II）由C2的方程知C2的倾斜角为α，过定点（m，0）．当φ=时，B，C的极坐标分别为，．化为直角坐标为B，C．∴斜率k=tanα=﹣，∵0≤α＜π，∴．直线C2的方程为：，令y=0，解得x=2，∴m=2．【点评】本题考查了极坐标方程的应用、极坐标与直角坐标直角的关系，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|（1）解不等式f（x）≥﹣2；（2）对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】（1）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（2）在坐标系中，作出的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2，当x≤﹣2时，x﹣4≥﹣2，即x≥2，∴x∈∅；当﹣2＜x＜1时，3x≥﹣2，即x≥﹣，∴﹣≤x≤1；当x≥1时，﹣x+4≥﹣2，即x≤6，∴1≤x≤6；综上，不等式f（x）≥﹣2的解集为：{x|﹣≤x≤6} …（2），函数f（x）的图象如图所示：令y=x﹣a，﹣a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，﹣a=2；∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时成立；…当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+，∴a≥2+，即a≥4时成立，综上a≤﹣2或a≥4．…【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．。

南宁三中、柳铁一中、玉林高中2015～2016学年度上学期高三联考数学（理）试题命题人：李春阳 韦国亮 审题人：陈康 2015.9.24第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题.每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果集合{|M x y ==，集合{}3|log N x y x ==则M N =（ ）A ．{}|04x x <<B ．{}|4x x ≥C ．{}|04x x <≤D ．{}|04x x ≤≤2．己知2(,)a ib i a b R i+=+∈．其中i 为虚数单位，则a b -=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-33．已知等差数列{}n a 满足：33,13133==a a ，求7a （ ）A ．19B ．20C ．21D ．224．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则g(f (π))的值为（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．π5．由曲线y y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103B ．4C ．163D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，已知2211(2)5x y -+=，22240x y -+=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ）A ．5B ．15C ．1215D ．57．右图是一个算法的流程图，则最后输出的（ ） A ．6 B ．-6 C ．9 D ．-98．定义运算a ⊕b =⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数()1f x =⊕2x的图象是（ ）9．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积等于（ ）A ．752π B ．30π C ．43π D ．15π10．261(2)(1)x x+-求的展开式的常数项是（ ）A ． 15B ． -15C ．17D ．-1711．已知21F F 、 是双曲线22221x y a b-= (00a b >>， )的左、右焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ． 3C ．2D ． 212．函数f(x)=1,1,11,1,2x a x x -=⎧⎪⎨⎛⎫+≠⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解12345,,,,x x x x x 求12345x x x x x ++++=（ ）A ．3B ．5C ．3aD ．5 a第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2016-2017学年广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三（上）8月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C．D．4．已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．165．求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．6．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．137．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）=A．90% B．95% C．99% D．99.9%8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．149．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣ C．D．﹣11．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π12．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若x，y满足约束条件，那么的最大值是．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是．15．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=．16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．2016-2017学年广西南宁二中、柳州高中、玉林高中高三（上）8月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞） C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤1或x≥3，即S=（﹣∞，1]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，1]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3．已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由•（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且•（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos ＜＞=1，cos ＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C ．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．4．已知等比数列{a n }中，a 3=2，a 4a 6=16，则=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 3=2，a 4a 6=16，可得=2，=16，解得q 2．可得=q 4．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=2，a 4a 6=16，∴ =2，=16， 解得q 2=2．则==q 4=4．故选：B ．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：sin16°cos134°+sin74°sin46°=﹣sin16°cos46°+cos16°sin46°=sin30°=，故选：A【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．7．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9% 【考点】独立性检验．【分析】计算观测值，与临界值比较，即可得出结论． 【解答】解：设H 0：饮食习惯与年龄无关． 因为K 2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 故选：C．【点评】本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为8，12，则输出的a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a ＞b ，则b 变为12﹣8=4，由b ＜a ，则a 变为8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：A ．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．若双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=4bx 的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，抛物线y 2=2bx 的焦点F （b ，0），由 （ b +c ）：（c ﹣b ）=5：3可求得b ，c 关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y 2=4bx 的焦点F （b ，0），线段F 1F 2被抛物线y 2=4bx 的焦点分成5：3的两段，∴（b +c ）：（c ﹣b ）=5：3，∴c=4b ， ∴c 2=a 2+b 2=a 2+，∴．∴此双曲线的离心率e=．故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b 是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．若二项式（）6的展开式中的常数项为m ，则=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】二项式定理．【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．=，【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1令12﹣3r=0，则r=4．即有m==3．则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．11．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．12．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g （x）在（0，+∞）为增函数，由（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0得到g （x﹣2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案【解答】解：令g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），∵2f（x）+x2f′（x）＞0，∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）为增函数，∵（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0，∴（x﹣2014）2f（x﹣2014）＞4f（2），∵g（2）=4f（2），∴g（x﹣2014）＞g（2）∴，解得x＞2016，故选D．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若x，y满足约束条件，那么的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，那么z=的几何意义是区域内的点到定点（0，0）的斜率由图象知OB的斜率最大，由可得B（2，4），∴z的最大值为z==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．14．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递增，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．15．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k ∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin （x+α）取得最大值，（其中，cosα=，sinα=﹣），∴θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= ln2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；∵y=lnx+1，y=ln（x+2）∴y′=，y′=，∴k==，∴x1﹣x2=2，切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，∴=0，解得x1=2，∴b=ln2故答案为：ln2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•玉林校级月考）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n ﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系可得，又a n＞0，即可求出．（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）依题意有①，当n=1时，（a1﹣1）2=0，解得a1=1，当n≥2是，（a n﹣1+1）2=4S n﹣1，②，①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n+a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0（n≥2），∴{a n}成等差数列，得a n=2n﹣1．（2），【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•广西月考）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）直接利用茎叶图，写出这组数据的众数和中位数；（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，然后求概率；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，写出分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）众数：87；中位数：88.5（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，；；；；分布列为．注：用二项分布直接求解也可以．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（12分）（2016•蚌埠一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．（12分）（2015•黄山一模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S．…（9分）△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21．（12分）（2016秋•安溪县期中）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016秋•玉林校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）利用圆的切线的性质、弦切角与等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可证明．（2）；△ABE中，，BE=2AOsin ∠ACB，代入化简基础即可得出．【解答】（1）证明：连接OE，AE，∵AC是⊙O的切线，DE也是⊙O的切线，∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠CEA．∴D是△AEC的外心，即是AC的中点．（2）解：；△ABE 中，，BE=2AOsin ∠ACB ；∴；解方程的，∴锐角∠ACB=30°．【点评】本题考查了圆与切线的性质、直角三角形的边角关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋•秀峰区校级月考）已知直线l 1：（t 为参数），圆C 1：（x﹣）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C 1的极坐标方程，直线l 1的极坐标方程； （2）设l 1与C 1的交点为M ，N ，求△C 1MN 的面积． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）因为，将其代入C 1展开整理得：，∴圆C 1的极坐标方程为：，l 1消参得（ρ∈R ），∴直线l 1的极坐标方程为：（ρ∈R ）．（2）⇒⇒，∴．【点评】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016秋•玉林校级月考）已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式组的解集，取并集即可；（2）通过讨论x的范围，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得或或﹣1≤x＜0．即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，，即在0≤x≤1时恒成立．因为0≤x≤1，所以当且仅当时，取到最小值3，故3≥2m+1，即m≤1．②当﹣1≤x＜0时，即在﹣1≤x＜0时恒成立；因为﹣1≤x＜0，所以当且仅当时取到最小值3，故3≥﹣2m+1，即m≥﹣1，综上可知，m的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

柳州铁一中学高2013级高三数学第三次月考数学试题(理科)第I 卷(选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知}1,log |{2>==x x y y U ，}2,1|{>==x xy y P ，则=P C U （ ） A.)21,0( B.),21[+∞ C.),0(+∞ D.),21[)0,(+∞-∞2.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201511i i （ ） A.i - B.1- C.i D.13.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （ ） A.所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个能被2整除的数不是偶数 D ．存在一个不能被2整除的数是偶数4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）A.B ． C. D.5.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的 函数是A.()xf x x=B ．())lnf x x =-C.()x x x xe ef x e e --+=- D.|4||3|1)(2x x x x f -++-=6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）C.1D.127．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于 （ ）A.23或2B.1322或C.12或2 D ．2332或8．在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是 （ ）A.]6,0(πB.]3,0(πC.),6[ππD.),3[ππ9．对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．． （ ） A.4和6 B.3和1 C.2和4 D ．1和210．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)231OC OP +=，则点P 一定为ABC ∆的 （ ）A.重心 B ．AB 边中线的中点 C.AB 边中线的三等分点（非重心） D ．AB 边的中点11.已知函数)(x f 满足)1(11)(+=+x f x f ，当]1,0[∈x 时，x x f =)(，若在区间]1,1(- 上方程0)(=--x mx x f 有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是 （ ）A.]21,0( B ．)21,0( C.]31,0( D ．)31,0(12.某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A ．5081 B ．4881 C ．3381 D ．3181第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设变量,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数11++=x y z 的最大值为 ．14.7)2(-x 展开式中所有项的系数的和为 ． 15.设{}n a 是等比数列，公比q =，n S 为{}n a 的前n 项和．记2117n nn n S S T a +-=，n +∈N ，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = ．16.正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长 为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比 是一个最简分数nm,那么积m ·n 是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

广西桂林市、柳州市2016届高三数学压轴考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-，则A B =I（ ）A ．()1,3-B ．(){}1,3-C ．{}1,3-D ．∅ 【答案】B考点：1、集合的表示；2、集合的交集. 2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25B ．35 CD 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）A ．调查的方式是普查B ．本地区约有15%的成年人吸烟C ．样本是15个吸烟的成年人D ．本地区只有85个成年人不吸烟【答案】B 【解析】试题分析：调查方式显然时抽样调查，∴A 错误．样本是这100个成年人．∴C 也错误，因为是样本中只有85个成年人不吸烟，显然D 不正确．故应选B ．. 考点：样本估计总体的应用. 4.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．15i ≥B ．15i ≤C ．14i ≥D ．14i ≤【答案】B考点：1、程序框图；2、循环结构.5.一个几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是（ ） A ．232cm B ．222cm C ．2322cm D ．112cm【答案】A 【解析】试题分析：该几何体是棱长为2的正方体1111CD C D AB -A B 截去一个三棱锥1C F -B E 后所得的多面体，如图，其表面积为1C F 11622112122322S S E =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+=．故应选A ．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因为3221b =T +，4321b =T +两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D.考点：1、等比数列的定义；2、公式()12n n n a S S n -=-≥的应用 .7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．23 【答案】A考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8.已知函数()346f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B考点：1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性. 9.()72x y +展开式中系数最大的项是（ ）A ．768y B ．34112x y C ．25672x y D ．251344x y 【答案】C 【解析】试题分析：设1r +项系数最大，则有11771177C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，即()()()()()()117!7!22!7!1!71!7!7!22!7!1!71!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩，2181271r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得163133r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又Q07r ≤≤，∴5r =．∴系数最大项为52552567C 2672x y x y T =⋅=．故应选C ．考点：二项展开式的通项与系数及组合式的运算.10.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为ab的值为（ ） A．2-B．3- C．2-D ．2327-【答案】A考点：1、直线双曲线的位置关系；2、直线的斜率及韦达定理.11.已知函数()3,02,0x x f x ax b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当()()23fa fb =成立时，则实数a b +=（ ）A ．62B ．62-C ．632+ D ．632-+ 【答案】D 【解析】试题分析：由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()23f a f b =有22393a +=，解得62a =-，故32a b +=-+．故应选D ． 考点：1、分段函数的解析式；2、数形结合思想与转化思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、数形结合思想与转化思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 本题将“对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =”根据图象转化为“()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调”是解题的关键. 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得nn a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于难题.等差数列性质很多，其中性质‘若2m n p q r +=+=，则2m n p q r a a a a a +=+=’应用非常广，它往往结合等差数列前n 项和公式（12nn a a S n +=⨯）综合出题，本题就是利用‘121121212,2n n n n a a a a a S ---++==’推出结论2121n n n n a b --A =B 后，再利用n 是整数这一特性进一步解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.二次函数21y x =-+的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】43考点：1、二次函数求定积分；2、定积分的几何意义.14.设四边形CD AB 为平行四边形，6AB =u u u r ，D 4A =u u u r．若点M ，N 满足3C BM =M u u u u r u u u u r ，D 2C N =N u u u r u u u r ，则AM ⋅NM =u u u u r u u u u r．【答案】9 【解析】试题分析：3D 4AM =AB +A u u u u r u u u r u u u r ，11C C D 43NM =M -N =-A +AB u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()()()22111143D 43D 169D 163691694124848AM ⋅NM =AB +A ⋅AB -A =AB -A =⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案为9.考点：1、向量运算的三角形法则；2、平面向量的数量积公式.15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】21n - 【解析】试题分析：因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意的()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，故答案为21n -. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，则满足()()12f f a =的实数a 的个数为 ． 【答案】8考点：1、分段函数的解析式及图象性质；2、方程的根与图象交点之间的关系.【方法点睛】判断方程()0f x = 根的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：方程()0f x =根的个数就是函数()y f x =零点个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数.本题就是先换元后法解出一元二次方程的根，再利用方法③解答的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．【答案】（1）1010；（2）14.考点：1、余弦定理及勾股定理；2、三角形面积公式.18.（本小题满分12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（1）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（2）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆；（2）1.【解析】试题分析：（1）根据频率和为1可求得b，根据频数和频率的关系可求出a，c；（2）随机变量服从二项分布14,4ξ⎛⎫B ⎪⎝⎭:，可根据公式()4413C 44k kk k ξ-⎛⎫⎛⎫P == ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出个随机变量对应概率，列出分布列，进而利用期望公式求解.试题解析：（1）根据频率定义，0.20.250.31b +++=，解得0.25b =．2000.20.25a =，解得250a =，2000.20.3c=，解得300c =． 第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．考点：1、频数与频率的应用；2、二项分布及其期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥底面CD AB ，D A ⊥AB ，//DC AB ，D DC 2A ==AP =，1AB =，点E 为棱C P 的中点．（1）证明：DC BE ⊥；（2）若F 为棱C P 上一点，满足F C B ⊥A ，求二面角F -AB-P 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2310. 【解析】试题分析：（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），求得()0,1,1BE =u u u r ，()DC 2,0,0=u u u r，可得DC 0BE⋅=u u u r u u u r，即可证结论；（2）先根据F C B ⊥A 确定F 的位置，在求出平面FAB 的一个法向量，可证平面ABP 一个的法向量为()20,1,0n =u u r，利用空间向量夹角余弦公式即可得结论.设()1,,n x y z =u r 为平面F AB 的法向量，则110F 0n n ⎧⋅AB =⎪⎨⋅B =⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩． 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u r为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =u u r，则121212cos ,10n n n n n n ⋅===-⋅u r u u ru r u u r u r u u r ．易知，二面角F -AB-P． 考点：1、空间直线垂直的判定；2、空间向量夹角余弦公式. 20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过点⎛ ⎝⎭，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆方程； （2）求证：OA ⊥OB ．【答案】（1）221443x y +=；（2）证明见解析.（2）当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率不存在，则:l 1x =±．在221443x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设()1,1A ，()1,1B -，则110OA⋅OB =-=u u u r u u u r．所以OA ⊥OB ．同理，当:l 1x =-时，也有OA ⊥OB ．当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、点到直线的距离公式及平面向量数量积公式. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及点到直线的距离公式和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.（本小题满分12分） 已知函数()2ln af x ax x x=--（R a ∈）．（1）若3a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）440x y --=；（2）当0a ≤时，在()0,+∞上单调递减，当01a <<时，递增区间为10,a ⎛ ⎪⎝⎭和1a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭．单调递减区间为11a a ⎛+ ⎪⎝⎭，当1a ≥时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；（3）0a >.（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．①当0a ≤时，()220h x ax x a =-+<在()0,+∞上恒成立，则()0f x '<在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递减， ②当0a >时，244a ∆=-，若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a+>；由()0f x '<，即()0h x <x <<．所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭．单调递减区间为11a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 若1a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增．（3）因为存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >，则002ln ax x >，等价于2ln x a x >． ………10分 令()2ln F xx x=，等价于“当[]1,x e ∈时，()min F a x >”．对()F x 求导，得()()221ln F x x x-'=．因为当[]1,x e ∈时，()F 0x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增． 所以()()min F F 10x ==，因此0a >．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间，令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ． （1）求证：2Q D P =P ⋅PB ；（2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）109.考点：1、弦切角定理；2、切割线定理及相识三角形. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围． 【答案】（1）222x y x +=-；（2）[]2,2-.【解析】试题分析：（1）先利用两角差的正弦公式展开4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后两边同乘ρ，再利用公式222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）将1212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-，首先求出ty +的取值范围.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）12a ≥. 【解析】试题分析：（1）当2a =-时，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找交集即可；（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，再根据基本不等式1321x x x -++≥+，进而得a 的取值范围为12a ≥.考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.。

【关键字】数学桂林市第十八中学13级高三第三次月考理科数学考试时间2015年11月07日15:00——17:00第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集, 集合, , 则集合可以表示为（）A．B．C．D．2. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.3．已知等差数列的首项，且是与的等比中项，则（）A．1 B．2 C．3 D．44. 已知，且，则A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6. 有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有A．26种B．32种C．36种D．56种7.已知不等式组构成平面区域(其中,是变量)，则目标函数的最小值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．68.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A. 14B. 15C. 16D. 17则的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]10. 已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移（＞0）个单位后，得到的函数图形的一条对称轴为，则的值不可能为（）A．B．C．D．11. 如图过拋物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（）A． B C．D．12. 已知，函数.记为的从小到大的第个极值点，则数列是（）A．等差数列，公差为B．等差数列，公差为C．等比数列，公比为D．等比数列，公比为第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 二项式的展开式中的常数项是________.14. 如图，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域.在内随机取一点，则该点落在中的概率为.15. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为_________.16. 已知数列的前n项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为_________.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）如图，在海岛上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛有多远？18.（本小题满分12分）某市工业部门计划度所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120 小型企业 240 200 440 合计320240560有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元。

2016届高三12月月考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题,每个小题只有一个正确的答案，每小题5分，计60分）1.若集合{}{}13,21,A x x B x x n n N =-<?=-?，则A B 中元素个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知,a b 为实数，且32a bi i i+=+-，则a b -=（ ） 错误！未指定书签。

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A ．5B ．10C ．7D ．83.向量()()5,3,9,6cos ,a b αα=-=--是第二象限角，若()2//a b a -，则tan α=（ ）A. 43-B. 34-C.45-D.43± 4.已知1313log 2, 2, ln 3a b c -===，则( )A.a b c >>B. b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石6.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．29C ．23 D ．37.设直线过点()0,a ，其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（ ）A.4±B.± C.2±D.±8.通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：参考右上附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“是否此零食与性别无关”9.已知等比数列{}n a 为递增数列，满足46286,8a a a a +=?，则 3a =（ ）A.2B.C.2D.10.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱与底面所成角为060，各顶点都在球O的球面上，且AB =则球O 的表面积为（ ） A. 16p B. 12p C. 323p D. 8p 11.已知斜率为2的直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的中点，则C 的离心率等于（ ）A. B. 2C.D.12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R Î，都有()()4f x f x =+，且当[]2,0x ?时，()112x f x 骣琪=-琪琪桫，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.)2 B. ()()30,14,2 C. ()1,2D. ( 二. 填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.)13.已知,x y 满足不等式组22y x x y x ì£ïïï+?íïï£ïî，则2z x y =-的最大值为 14.设函数()211log (2),1,2, 1x x x f x x -ì+-<ïï=íï³ïî则()()2log12f f -+= 15.直线14y x b =-+是函数()1f x x =的切线，则实数b = 16设函数()y f x =的图像与2log ()y x a =+的图像关于直线y x =对称，且()()246f f +=，则a =三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒．(1)求sin sin a b A B++的值； (2)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．18.（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]。

柳州铁一中学、南宁三中高二上学期联考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列的公差为2，且，则（）A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】C【解析】由等差数列的通项公式可知：，结合题意可得：，求解关于实数n的方程可得：.本题选择C选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．2.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：因为又,所以，选A.考点：集合包含关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，根据偶函数的定义知，不是偶函数，是偶函数，在区间上是增函数，是偶函数，在区间上不是单调函数，是偶函数，且在区间上是增函数，故选D.4.向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合向量的运算法则可得：据此有：，设两向量的夹角为，则：，即与的夹角为.本题选择A选项.5.以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位:分）已知甲组数据的中位数为,乙组数据的平均数为,则的值分别为（）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【解析】因为甲组数据的中位数为，所以，因为乙组数据的平均数为，所以由得，故选C.6.已知角的终边过点，且，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为角的终边过点，所以，，解得，故选A.7.已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为，因为抛物线上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线的距离是5.则点P到x轴的距离是4，所以的面积为，故选B.8.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A. ﹣4B. ﹣2C. 0D. 1【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数，得，如图所示，当直线过点B时，最小，把B代入，解得，故选C.点睛：线性规划问题，涉及到可行域中有参数问题，综合性要求较高．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题中显然直线越上移越小，结合可行域显然最小值在B点取得，从而求出．9.已知，若，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：关于对称,直线的斜率,其倾斜角为,故选D.考点：1.三角函数的对称性；2.直线的斜率与倾斜角.10.某四面体的三视图如右图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,此三棱锥的体积.故选A .11.已知点分别为椭圆与双曲线的公共焦点，分别是和的离心率，若是和在第一象限内交点，,则的值可能在下列哪个区间（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，如图：则，可得：，即，由重要不等式知，所以，故选A.12.若实数满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】实数满足，且，则，当且仅当，即时等号成立. 故选D.点睛：本题是均值不等式的灵活运用问题，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，所以把条件构造为，从而解决问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．只填结果）13.曲线在点处的切线方程为________.【答案】或.【解析】试题分析：，，故所求的切线的斜率为，故所求的切线的方程为，即或.考点：本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于中等题.【此处有视频，请去附件查看】14.设正四面体的棱长为，则它的外接球的体积为________.【答案】【解析】正四面体补成为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，正四面体的棱长为，即正方体面上的对角线长为，所以正方体棱长为1，对角线长为，所以球的体积为：,故填.15.直线与双曲线交于两点，则的中点坐标为_______.【答案】【解析】【分析】设，中点，分别将两个点代入双曲线作差化简可得，与已知直线联立，即可得解.【详解】设，中点，则，两式相减，化简得：，又中点在直线上，所以，联立解得：，故答案为：.【点睛】直线与圆锥曲线相交时，如果涉及相交线段的中点及直线的斜率，可考虑运用点差法求解，点差法就是把交点坐标代入圆锥曲线方程，两方程作差，变形处理后即可得到直线斜率与线段中点的关系式.16.已知椭圆方程为，M是椭圆上一动点，和是左、右两焦点，由向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为__________.【答案】【解析】如图所示，设交于点P，由已知可得：,,点为线段的中点.连接，则为的中位线，，，，即N点的轨迹方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17.已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得，联立解方程再由数列为递增数列可得则通项公式可得（2）根据等比数列的求和公式，有所以，裂项求和即可试题解析：（1）设等比数列的公比为q，所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q>1，所以数列的通项公式为（2）根据等比数列的求和公式，有所以所以考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和【此处有视频，请去附件查看】18.在中，角的对边分别为，已知向量，，且.（1）求角的大小；（2）若点为上一点，且满足，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据数量积的定义得，由正弦定理得，即可求出；（2）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出.试题解析：（1）由，得，由正弦定理可得，∴，∵，∴，∵，∴（2）∵，∴，又，两边平方：①∵②，由①②可得∴.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.19.某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间如下: 组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100](1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;(3)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.【答案】(1) a=0.005;(2) 74.5;(3)见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布图中小矩形面积和为1，能求出a的值（2）由频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表即可估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分．（Ⅲ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，则第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人，由此利用对立事件概率计算公式能求出从中随机抽取2名，第4组的至少有一位同学入选的概率．试题解析：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5（3）由直方图，得：第3组人数为0.3×100=30。

2015-2016学年广西柳州市铁路一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每个小题只有一个正确的答案，每小题5分，计60分）1．已知a，b为实数，且=3+i，则a﹣b=（）A．5 B．10 C．7 D．82．若集合A={x∈Z|2＜2x+2≤8}，B={x∈R|x2﹣2x＞0}，则A∩（∁R B）所含的元素个数为（）A．O B．1 C．2 D．33．向量是第二象限角，若（2﹣）∥，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．±4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a4+a7+a10=21，则S13=（）A．100 B．91 C．81 D．715．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．37．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2C．±2 D．±4由K2=算得K2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”9．下列程序框图的功能是寻找使2×4×6×8×…×i＞2015成立的i的最小正整数值，则输出框中应填（）A．输出i﹣2 B．输出i﹣1 C．输出i D．输出i+110．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱与底面所成角为60°，各顶点都在球O的球面上，且AB=，则球O的表面积为（）A．16πB．12πC．π D．8π11．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．f（x）=（2﹣x）6﹣6x（2﹣x）5的展开式中，含x3项的系数为（用数字作答）14．已知向量夹角为45°，且；则=．15．直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为．三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．18．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH中点，PA=AC=2，BC=1．（Ⅰ）求证：AH⊥平面PBC；（Ⅱ）求PM与平面AHB所成角的正弦值．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若=2，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当a＞0时求函数h（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第（22）（23）（24）题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）试比较BE与EF的长度关系．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年广西柳州市铁路一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每个小题只有一个正确的答案，每小题5分，计60分）1．已知a，b为实数，且=3+i，则a﹣b=（）A．5 B．10 C．7 D．8【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：由=3+i，得a+bi=（3+i）（2﹣i）=7﹣i，∴a=7，b=﹣1，则a﹣b=8．故选：D．2．若集合A={x∈Z|2＜2x+2≤8}，B={x∈R|x2﹣2x＞0}，则A∩（∁R B）所含的元素个数为（）A．O B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】求出A中其他不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出B中不等式的解集，确定出B，求出B的补集，找出A与B补集的交集，即可确定出元素个数．【解答】解：由集合A中的不等式变形得：21＜2x+2≤23，得到1＜x+2≤3，解得：﹣1＜x≤1，且x为整数，∴A={0，1}；由集合B中的不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＞2或x＜0，即B=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁R B=[0，2]，∴A∩（∁R B）={0，1}，即元素有2个．故选C3．向量是第二象限角，若（2﹣）∥，则tanα=（）A．﹣B．﹣C．﹣D．±【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理、同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：2﹣=（1，cosα），∵（2﹣）∥，∴5cosα+3=0，解得cosα=﹣．∵α是第二象限角，∴sinα==．则tanα==﹣．故选：A．4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a4+a7+a10=21，则S13=（）A．100 B．91 C．81 D．71【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a4+a7+a10=3a7，解得a7．再利用求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：a4+a7+a10=21=3a7，解得a7=7．则S13==13a7=91．故选：B．5．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．7．设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2C．±2 D．±4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定圆的圆心与半径，直线的方程，结合题意由点到直线的距离公式建立关于a 的等式，解之即可得到a的值．【解答】解：∵直线过点（0，a）且斜率为1，∴设直线为l，得其方程为y=x+a，即x﹣y+a=0∵x2+y2=2的圆心为C（0，0），半径r=由直线l与圆相切，可得点C到直线l的距离等于半径，即=，解之得a=±2故选：C．k 2.706 3.841由K2=算得K2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D．有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”【考点】独立性检验的应用．【分析】根据P（K2＞3.841）=0.05，即可得出结论．【解答】解：∵K2=≈4.762＞3.841，P（K2＞3.841）=0.05∴在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”．故选：A．9．下列程序框图的功能是寻找使2×4×6×8×…×i＞2015成立的i的最小正整数值，则输出框中应填（）A．输出i﹣2 B．输出i﹣1 C．输出i D．输出i+1【考点】程序框图．【分析】先假设最大正整数n使2×4×6×8×…×（2n）＞2015成立，然后利用循环结构进行推理出最后n的值，从而得到我们需要输出的结果．【解答】解：假设最大正整数n使2×4×6×8×…×（2n）＞2015成立此时的n满足S≤2015，则语句S=S×2n，n=n+2继续运行∴使2×4×6×8×…×（2n）＞2015成立的最小正整数，此时i=i﹣2，输出框中“？”处应该填入i﹣2．故选A．10．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱与底面所成角为60°，各顶点都在球O的球面上，且AB=，则球O的表面积为（）A．16πB．12πC．π D．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1==3，OO1=R﹣3，或OO1=3﹣R（此时O在PO1的延长线上），在Rt△AO1O中，R2=（）2+（R﹣3）2得R=2，∴球的表面积S=16π，故选：A．11．已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．12．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【考点】分段函数的应用．【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）=，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．f（x）=（2﹣x）6﹣6x（2﹣x）5的展开式中，含x3项的系数为﹣640（用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含x3项的系数．【解答】解：f（x）=（2﹣x）6﹣6x（2﹣x）5的展开式中，含x3项的系数为﹣•23 ﹣6••23 =﹣640，故答案为：﹣640．14．已知向量夹角为45°，且；则=．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】把已知式子平方，结合数量积的定义可得关于的一元二次方程，解方程可得．【解答】解：∵，∴==10，代入数据可得4×1+4×1××+=10，化简可得+﹣6=0，解得=，或﹣3（负数舍去）故答案为：15．直线y=﹣x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数，得切线斜率为﹣，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．【解答】解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=﹣x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=﹣2，n=﹣，b=﹣1综上所述，得b=±1故答案为：1或﹣116．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则+的最小值．【解答】解：由z=ax+2by（a＞0，b＞0）得y=﹣x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率﹣＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，1），此时目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，即a+2b=1，∴1=a+2b≥2，则ab≤，当且仅当a=2b时取等号，则+≥2=≥8，当且仅当a=2b时取等号，即+的最小值为8故答案为：8三、解答题（本题共6题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=，a=1，求边AC上的中线BD的长．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，条件化为2sinAcosB+sinA=0，即可求角B的大小；（Ⅱ）利用三角形的面积公式，求出c，利用余弦定理求出b，进而可求边AC上的中线BD 的长．【解答】解：（Ⅰ）由，可得2sinAcosB+sin（B+C）=0，…即2sinAcosB+sinA=0，…而sinA≠0，所以cosB=﹣，B=．…（Ⅱ）解：因S=acsinB，又S=，a=1，sinB=，则c=4．…由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得b=，…由cosC=，得，解得BD=．…18．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先求出符合条件的学生的人数，从而求出参加社区服务时间不少于90小时的概率估计；（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，代入公式求出相对应的概率，列出随机变量ξ的分布列，从而求出期望值．【解答】解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[90，95）小时的学生人数为60（人），参加社区服务时间在时间段[95，100]小时的学生人数为20先求出（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为．（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．由已知得，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3．所以；；；．因为ξ～，所以．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，H 为PC 的中点，M 为AH 中点，PA=AC=2，BC=1． （Ⅰ）求证：AH ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）根据条件可以得到BC ⊥平面PAC ，从而得到AH ⊥BC ，而根据PA=AC ，H 为PC 的中点可以得到AH ⊥PC ，这样根据线面垂直的判定定理即可得到AH ⊥平面PBC ； （Ⅱ）可作AD ∥BC ，这样便可以AD ，AC ，AP 三直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后可求出图形上一些点的坐标，从而求出向量的坐标．可设平面AHB 的法向量为，而根据便可得出平面AHB 的一个法向量，可设PM 与平面AHB 所成角为θ，而由即可求出sin θ．【解答】解：（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ； ∴PA ⊥BC ，即BC ⊥PA ； 又BC ⊥AC ，AC ∩PA=A ；∴BC ⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ； ∴BC ⊥AH ，即AH ⊥BC ； PA=AC ，H 为PC 的中点； ∴AH ⊥PC ，PC ∩BC=C ； ∴AH ⊥平面PBC ；（Ⅱ）过A 作AD ∥BC ，根据题意知，AD ，AC ，AP 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A （0，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），P （0，0，2），H （0，1，1），；∴；设平面AHB的法向量为，则：；取y=1，则x=﹣2，z=﹣1，∴；设PM与平面AHB所成角为θ，则sinθ==；∴PM与平面AHB所成角的正弦值为．20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（2）设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由=2得x1=﹣2x2，利用韦达定理，化简可得，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为，因为，所以，所求椭圆方程为…（2）由题得直线l的斜率存在，设直线l方程为y=kx+1则由得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，且△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则由=2得x1=﹣2x2…..又，所以消去x2得解得所以直线l的方程为，即x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0…21．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）．（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当a＞0时求函数h（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对h（x）求导，令h′（x）=0，（x＞0），解得x范围，进而得出单调性．（2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零．令=0，解得x=1+a，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，，x＞0．化为：，∵a＞0，∴a+1＞0，因此在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数在[1，e]上的最小值小于零．令=0，解得x=1+a．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴h（x）的最小值为h（e），由，可得，∵，∴．②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0，可得a＜﹣2；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2，此时，h（1+a）＜0不成立．综上讨论可得：所求a的范围是：或a＜﹣2．一、选修4-1：几何证明选讲请考生在第（22）（23）（24）题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）试比较BE与EF的长度关系．【考点】相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）先求出CE，再证明△PAC∽△CBA，利用相似比，即可求AC的长；（Ⅱ）由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF，求出EF，即可得出结论．【解答】解：（I）∵过A点的切线交DC的延长线于P，∴PA2=PC•PD，∵PC=1，PA=2，∴PD=4又PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，∴AC2=PC•AB=2，∴AC=；…（II），由相交弦定理可得CE•ED=BE•EF．∵CE=2，ED=1，∴EF=，∴EF=BE．…选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，从而得到它们分别表示什么曲线；（2）先求出过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l参数方程，然后代入曲线C1，利用参数的应用进行求解的即可．【解答】解：（1）∵C1：（t为参数），C2：（θ为参数），∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为（s为参数）将其代入曲线C1整理可得：s2﹣3s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，则s1+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s1﹣s2|==．选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|，a∈R（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．【考点】带绝对值的函数．【分析】（I）当a=2时，f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|），再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式，由此求得不等式的解集．（II）f（x）≤k恒成立，等价于k≥f（x）max，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2（|x﹣2|﹣|x+4|）=当x＜﹣4时，不等式不成立；当﹣4≤x≤2时，由﹣4x﹣4＜2，得﹣＜x≤2；当x＞2时，不等式必成立．综上，不等式f（x）＜2的解集为{x|x＞﹣}．…（Ⅱ）因为f（x）=|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|=12，当且仅当ax≤﹣8时取等号．所以f（x）的最大值为12．故k的取值范围是[12，+∞）．…2016年11月18日。

柳州铁一中学、南宁三中高二上学期文数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合，，则中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知，则等于（）A. B. C. D.3. 设，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. 5 C. 8 D. 284. “直线与圆相切”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 设向量，，，若与平行，则的值为（）A. B. C. D.6. 函数的最大值为（）A. 3B. 2C.D. 17. 设，，，则（）A. B. C. D.8. 已知函数的图象在点处的切线斜率是，则此切线方程是（）A. B. C. D.9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）学￥￥...A. 46B. 48C. 50D. 5210. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为10，则判断框图可填入的条件是（）A. B. C. D.11. 已知椭圆C：，的上、下顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A. B. C. D.12. 已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

)13. 已知，则的最小值为________________14. 已知等比数列满足，则___________15. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，则双曲线的标准方程是__________________16. 表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则棱锥体积的最大值为________三、解答题：(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．18. 若的内角所对的边分别为，且满足.（1）求；（2）当时，求的面积．19. 如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，E是的中点，求三棱锥的体积．20. 在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表：空气质量（0，50] （50，100] （100，150] （150，200）（200，300] （300，+∞）指数t质量等级优良轻微污染轻度污染中度污染严重污染天数K 5 23 22 25 15 10（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量（取整数）存在如下关系且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合的曲线为，现已取出了10对样本数据（t i，y i）（i=1，2，3，…，10），且知试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式．（附：线性回归方程中，，．）21. 已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于不同的两点，且以为直径的圆过坐标原点，求的面积。