宁夏银川市第一中学2019-2020学年高二期末考试数学(文)试卷

2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．52．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）3．函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．C．D．4．下列函数中，是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x 5．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点（）A．f（3）＜0B．f（﹣1）＞0C．函数在定义域内为增函数D．函数在定义域内为减函数6．若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）A．B．C．D．7．函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）8．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元9．函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．11．函数的最大值是（）A．B．C．D．12．设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x 的方程f（x）＝x的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点．14．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝．16．已知函数，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有，则a的取值范围是．三、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．（1）A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C＝{x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．18．计算：（1）；（2）．19．已知函数f（x）＝，（1）求函数f（x）的定义域；（2）若f（a）＝f（b）＝，求a+b的值．20．已知函数f（x）＝2x﹣（1）判断函数的奇偶性（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x﹣在（0，+∞）上单调递增．21．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．（1）求函数的定义域；（2）若f（x）＝lg（1+x），求x的值；（3）求证：当a，b∈（﹣1，1）时，f（a）+f（b）＝f（）．22．已知函数是定义在R上的奇函数，其中g（x）为指数函数，且y＝g（x）的图象过定点（2，9）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围；（3）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2019-2020学年宁夏银川一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则集合A∪B的元素个数是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：∵A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，∴A∪B中元素的个数为6，故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣2，3）【解答】解：M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|﹣2＜x＜1}，则M∩N＝{x|﹣1＜x＜1}，故选：B．3．函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞）B．C．D．【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣2≥0得x≥，即函数的定义域为[，+∞），故选：B．4．下列函数中，是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝2|x|C．y＝﹣lgx D．y＝e x﹣e﹣x【解答】解：y＝x3和y＝e x﹣e﹣x都是奇函数，y＝﹣lgx是非奇非偶函数，y＝2|x|是偶函数．故选：B．5．若函数f（x）的图象是连续不断的，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0，则加上下列哪个条件可确定f（x）有唯一零点（）A．f（3）＜0B．f（﹣1）＞0C．函数在定义域内为增函数D．函数在定义域内为减函数【解答】解：A如图，A错B如图，B错Cf（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＜0则函数不会是增函数．C错D由已知，函数在（12）内有一个零点，函数在定义域内为减函数，则零点唯一．D对故选：D．6．若0＜x＜1，则之间的大小关系为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意考察幂函数y＝x n（0＜n＜1），利用幂函数的性质，∵0＜n＜1，∴幂函数y＝x n在第一象限是增函数，又2＞＞0.2∴故选：D．7．函数的单调递增区间为（）A．（﹣∞，1）B．（2，+∞）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【解答】解：由题意，此复合函数，外层是一个递减的对数函数令t＝x2﹣3x+2＞0解得x＞2或x＜1由二次函数的性质知，t在（﹣∞，1）是减函数，在（2，+∞）上是增函数，由复合函数的单调性判断知函数的单调递增区间（﹣∞，1）故选：A．8．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为（）A．3 000×1.06×7元B．3 000×1.067元C．3 000×1.06×8元D．3 000×1.068元【解答】解：随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067．2021年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．故选：B．9．函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点所在区间为（）A．（0，7）B．（6，8）C．（8，10）D．（9，+∞）【解答】解：∵f（6）＝log2 6+6﹣10＜0f（8）＝log2 8+8﹣10＞0故函数f（x）＝log2x+x﹣10的零点必落在区间（6，8）故选：B．10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选：A．11．函数的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵1﹣x（1﹣x）＝，∴∈（0，]．∴函数的最大值是．故选：A．12．设函数，若f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，则关于x 的方程f（x）＝x的解的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵f（﹣4）＝f（0），f（﹣2）＝﹣2，∴f（x）在（﹣∞，0）上的对称轴为x＝﹣2，最小值为﹣2，∴，解得b＝4，c＝2．∴f（x）＝，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）与直线y＝x有三个交点，∴方程f（x）＝x有三个解．故选：C．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷中的横线上．13．若a＞0，a≠1，则函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）；．【解答】解：方法1：平移法∵y＝a x过定点（0，1），∴将函数y＝a x向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝a x﹣1+2，此时函数过定点（1，3），方法2：解方程法由x﹣1＝0，解得x＝1，此时y＝1+2＝3，即函数y＝a x﹣1+2的图象一定过点（1，3）．故答案为：（1，3）14．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（x）＝．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），∴＝2a，解得a＝，∴f（x）＝．故答案为：15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣log23）＝﹣2．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣log23）＝﹣f（log23）＝﹣（2﹣1）＝﹣（3﹣1）＝﹣2，故答案为：﹣216．已知函数，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有，则a的取值范围是[﹣1，0）．【解答】解：根据题意，f（x）满足对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有，则f（x）在R上为增函数，又由函数，则有，解可得：﹣1≤a＜0，即a的取值范围为[﹣1，0）；故答案为：[﹣1，0）．三、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜10}，B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．（1）A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C＝{x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．【解答】解：（1）由B＝{x|（x﹣2）（x﹣7）≤0}．解得B＝{x|2≤x≤7}．∴A∪B＝{x|2≤x＜10}；（∁U A）∩（∁U B）＝∁u（A∪B）＝{x|x＜2或x≥10}；（2）∵集合C＝{x|x＞a}，若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．18．计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝1+＝＝；（2）原式＝＝．19．已知函数f（x）＝，（1）求函数f（x）的定义域；（2）若f（a）＝f（b）＝，求a+b的值．【解答】解：（1）由得：x≥0∴函数f（x）的定义域为[0，+∞）…（2）依题意有，即，故，解得：a+b＝1．20．已知函数f（x）＝2x﹣（1）判断函数的奇偶性（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x﹣在（0，+∞）上单调递增．【解答】（1）解：定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣2x+＝﹣（2x﹣）＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）证明：设0＜m＜n，则f（m）＝2m﹣﹣（2n﹣）＝2（m﹣n）+（﹣）＝2（m﹣n）+＝（m﹣n）•（2+），由于0＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．则f（x）在（0，+∞）上单调递增．21．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．（1）求函数的定义域；（2）若f（x）＝lg（1+x），求x的值；（3）求证：当a，b∈（﹣1，1）时，f（a）+f（b）＝f（）．【解答】解：（1）由函数有意义可得：，解得﹣1＜x＜1．∴f（x）的定义域为（﹣1，1）．（2）由f（x）＝lg（1+x）可得lg＝lg（1+x），∴＝1+x，即x2+3x＝0，又﹣1＜x＜1，∴x＝0．（3）f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝lg，∴f（a）+f（b）＝lg+lg＝lg，又f（）＝lg＝lg＝lg，∴f（a）+f（b）＝f（）．22．已知函数是定义在R上的奇函数，其中g（x）为指数函数，且y＝g（x）的图象过定点（2，9）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围；（3）若对任意的t∈[0，5]，不等式f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设g（x）＝a x（a＞0，且a≠1）），则a2＝9，所以a＝﹣3 （舍去）或a＝3，所以g（x）＝3x，f（x）＝．又f（x）为奇函数，且定义域为R，所以f（0）＝0，即＝0，所以m＝1，所以f（x）＝．（2）设t＝3x＞0，则f（x）＝a等价于＝a，解得t＝，由，解得a∈（﹣1，1）．（3）因为f（x）＝﹣1+，所以函数f（x）在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f（t2+2kt）+f（﹣2t2﹣4）＞0恒成立，因为f（x）为奇函数，所以f（t2+2kt）＞f（2t2+4）恒成立．又因为函数f（x）在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2+2kt＜2t2+4恒成立，即对任意的t∈[0，5]，t2﹣2kt+4＞0恒成立．当t＝0时，4＞0．此时，k∈R，当t∈（0，5]，t﹣2k+＞0，即2k＜t+，因为t+≥4，所以k＜2．综上，k＜2．。

宁夏回族自治区银川市兴庆区一中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：1.已知回归方程为ˆ32yx =-，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（ ） A. 增加2个单位 B. 减少2个单位 C. 增加3个单位 D. 减少3个单位【答案】B 【解析】分析：由回归方程ˆy=3﹣2x 的斜率为﹣2，得出解释变量与预报变量之间的关系． 详解：回归方程为ˆy=3﹣2x 时， 解释变量增加1个单位，则预报变量平均减少2个单位． 故选B ．点睛：本题考查了线性回归方程一次项系数的实际意义，属于基础题. 2.一质点的运动方程为cos s t =，则1t =时质点的瞬时速度为( ) A. 2cos1 B. sin1- C. sin1 D. 2sin1【答案】B 【解析】 【分析】 求1t s -'，就是1t =时质点的瞬时速度.详解】sin s t '=-，当1t =时，1sin1t s ==-'，所以当1t =时质点的瞬时速度为sin1-. 故选：B【点睛】本题考查利用导数求质点的瞬时速度，属于简单题型.3.点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ）A. (B. (,(2,)-∞+∞C. (2,2)-D. (1,1)-【解析】 【分析】根据点在椭圆内部得不等式，解不等式得结果.【详解】因为点(),1A a 在椭圆22142x y +=的内部，所以21142a +<,解得(a ∈,选A.【点睛】本题考查点与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基础题. 4.下列推理是类比推理的是（ ）A. A ，B 为定点，动点P 满足2PA PB a AB +=>，则P 点的轨迹为椭圆B. 由11a =，31n a n =-，求出1S ，2S ，3S ，猜想出数列的前n 项和n S 的表达式C. 由圆222x y r +=的面积2r π，猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=D. 以上均不正确 【答案】C 【解析】A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前3个S 1，S 2，S 3的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．C 选项由圆x 2+y 2=r 2的面积S =πr 2，猜想出椭圆22221x y a b+= 的面积S =πab ，用的是类比推理，不符合要求． 本题选择C 选项.点睛：合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．5.用反证法证明命题“若220a b +=，则a 、b 全为0(),a b R ∈”，其反设正确的( ) A. a 、b 至少有一不为0 . B. a 、b 至少有一个为0 C. a 、b 全部为0D. a 、b 中只有一个为0【解析】 【分析】由已知，a ，b 全为0的反面即为0a ≠或0b ≠，结合各选项，即可得出结论. 【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立， 所以用反证法证明命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”时， 应假设0a ≠或0b ≠，a ，b 不全为零，即a ，b 至少有一个不为0. 故选A.【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题. 6.已知()()21xf x e xf =+'，则()0f '等于（ ）A. 12e +B. 12e -C. 2e -D. 2e【答案】B 【解析】试题分析：由于()()()()121,121xf x e f f e f =+=+''''，所以()1f e '=-，()()00212f e e e =+⋅-=-'．考点：函数导数．7.考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：根据以上数据，则（ ） A. 种子经过处理跟否生病有关 B. 种子经过处理跟是否生病无关 C. 种子是否经过处理决定是否生病 D. 以上都是错误的【答案】A 【解析】计算出2K 的观测值，借助临界值表可得出结论.【详解】由表格中的数据可得()225383221319210122.45910.828224314133405K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，种子经过处理跟是否生病有关. 故选：A.【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，考查学生处理数据的能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.8.已知点A (2,0)，抛物线C ：24x y =的焦点F ．射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN =（ ）A. 2B. 1:2C. D. 1:3【答案】C 【解析】【详解】抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F （0，1），定点A （2，0）， ∴抛物线C 的准线方程为y=-1.设准线与y 轴的交点P ，则FM ：MN =FP ：FN ， 又F （0，1），A （2，0）， ∴直线FA 为：x +2y-2=0， 当y=-1时，x=4，即N （4，-1），FPFN∴==， :FM MN=【此处有视频，请去附件查看】9.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. f (b )>f (c )>f (d )B. f (b )>f (a )>f (e )C. f (c )>f (b )>f (a )D. f (c )>f (e )>f (d ) 【答案】C 【解析】 【分析】由图象判断函数的单调性，利用单调性可得结果., 【详解】导函数()'f x 的图象可得：()'f x 在(),a c 上为正数，()f x 在(),a c 上为增函数，所以f (c )>f (b )>f (a )． 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及导函数图象的应用，属于基础题.10.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为（ ） A.36B.13C.123 【答案】D 【解析】由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|3m ，故离心率e ＝1212233223F F c m a PF PF m m ===++选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【此处有视频，请去附件查看】11.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (,1]-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围．【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥；当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-， 所以14a -≤，综上可得，14a -≤或0a ≥，所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选B.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式. 【详解】构造函数()()xf xg x e=，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>， 所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：13.双曲线22236x y -=的焦距是________________．【答案】【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，即可求出该双曲线的焦距.【详解】双曲线22236x y -=的标准方程为22132x y -=，因此，该双曲线的焦距为=故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，解题时要将双曲线的方程化为标准方程，考查计算能力，属于基础题.14.设函数()xf x xe =，则()f x 的极值为_________. 【答案】1e- 【解析】 【分析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并分析导数的符号变化，将极值点代入函数()y f x =的解析式即可计算出结果. 【详解】()x f x xe =，定义域为R ，()()1x f x x e '=+，令()0f x '=，可得1x =-.列表如下：所以，函数()xf x xe =在1x =-处取得极小值，且极小值为()11f e-=-. 故答案为：1e-.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在解题时要注意分析导数符号的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.对任意的x ∈R ，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是__________.【答案】021a ≤≤ 【解析】 【分析】求出导数()2327f x x ax a '=++，可得出0∆≤，从而可求解出实数a 的取值范围.【详解】()327f x x ax ax =++，()2327f x x ax a '∴=++，由于函数()y f x =在R 上不存在极值点，则24840a a ∆=-≤，即2210a a -≤， 解得021a ≤≤.因此，函数()327f x x ax ax =++不存在极值点的充要条件是021a ≤≤.故答案为：021a ≤≤.【点睛】本题考查利用函数极值点求参数，解题时理解函数的极值点与导数零点之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题. 16.已知函数()([1,))x xf x ax x e=-∈+∞，其图象上存在两点M ，N ，在这两点处的切线都与x 轴平行，则实数a 的取值范围是____． 【答案】21(,0)e - 【解析】【分析】先对函数求导，由题意函数图象上存在两点M ，N 的切线都与x 轴平行，即是()´0fx =在[)1,+∞上有两不等实根，再由导数的方法求解即可.【详解】因为()x xf x ax e=-，所以()´1x xfx a e-=-，由函数图象上存在两点M ，N 的切线都与x 轴平行，所以()´10x x f x a e -=-=在[)1,+∞上有两不等实根，即1x xa e-=在[)1,+∞上有两不等实根；即直线y a =与曲线()1g x xxe -=在[)1,+∞上有两个不同交点. 因()´2g x xx e-+=，由()´g x 0>得2x >，由()´g x 0<得12x ≤<; 所以函数()1g x x xe-=在[)1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，所以()g x 有最小值()21g 2e =-；又()g 10=，当1x >时，()1g x 0x xe-=<，所以为使直线y a =与曲线()1g x x x e -=在[)1,+∞上有两个不同交点，只需210a e-<<.故答案为21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，将问题转化为导函数有两实根的问题，再转化为两函数有两交点的问题，结合函数单调性和值域即可求解，属于常考题型. 三、解答题：17.已知函数2()ln f x x x =.（Ⅰ）求函数()y f x =的图象在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若过点()0,0的直线l 与函数()y f x =图象相切，求l 的方程. 【答案】（1）1y x =-（2）1y x e=- 【解析】【试题分析】（1）对函数解析式2ln y x x =求导，再运用导数的几何意义求出切线的斜率'1y =，然后运用直线的点斜式方程求解；（2）先设切点坐标()2000,ln x x x ，再对函数2ln y x x =求导，借助导数的几何意义求出切线的斜率0002ln x x x +，然后运用直线的点斜式方程求由l 过点()0,0，∴()()2000000ln 2ln x x x x x x -=+-，∴00ln 2ln 1x x =+，∴0ln 1x =-，∴01x e =，求出l 切线的方程为1y x e=-： 解：（1）'2ln y x x x =+，1x =时，0,'1y y ==，∴这个图象在1x =处的切线方程为1y x =-. （2）设l 与这个图象的切点为()2000,ln x x x ，l 方程为()()2000000ln 2ln y x x x x x x x ==+-，由l 过点()0,0，∴()()2000000ln 2ln x x x x x x -=+-，∴00ln 2ln 1x x =+，∴0ln 1x =-，∴01x e=， ∴l 方程为1y x e=-. 18.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x 周）和市场占有率（%y ）的几组相关数据如下表：（1）根据表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：2211ni ii ini x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.0360.008y x =-；（2）预测在第12周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%. 【解析】【分析】（1）计算出x 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出a 和b 的值，即可得出回归直线方程；（2）在回归直线方程中，令0.40y >，解出x 的范围，即可得出结论. 【详解】（1）由题中的数据可得1234535x ++++==，0.030.060.10.140.170.15y ++++==，则22222210.0320.0630.140.1450.17530.10.0361234553b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==++++-⨯， 所以0.10.03630.008a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.0360.008yx =-； （2）由（1）知0.0360.008y x =-，令0.0360.0080.40y x =->，解得11.33x >， 所以预测在第12周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%．【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了利用回归直线方程解决实际问题，考查运算求解能力，属于基础题.19.某市高中某学科竞赛中，某区4000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求这4000名考生的平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点值作代表）；（2）记70分以上为合格，70分及以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关？ 不合格 合格 合计 男生 720女生 1020合计4000附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】（1）70.5x =；（2）填表见解析，能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关. 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，相加即可得出这4000名考生的平均成绩x ；（2）根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，利用临界值表可对题中结论进行判断.【详解】（1）由题意，得：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）， ∴这4000名考生的平均成绩x 为70.5分；（2）22⨯列联表如下：()22254000720102011801080400054000073.82 6.63518002200190021001822192110K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 故能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为该学科竞赛成绩与性别有关．【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算，同时也考查了独立性检验基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题.20.已知函数()ln 3f x x ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 的极大值为2，无极小值；（2）)2,e ⎡+∞⎣.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数求出该函数的极值点，并分析导数符号的变化，然后将极值点代入函数解析式即可得出该函数的极值； （2）由()0f x ≤，利用参变量分离法得出ln 3x a x +≥，构造函数()ln 3x g x x+=，0x >，可得出()max a g x ≥，利用导数求出函数()y g x =的最大值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()ln 3f x x x =-+，()0,x ∈+∞.()111xf x -'=-=，令()0f x '=，得1x =，列表如下：∴函数()y f x =的极大值为()12f =，无极小值；（2）0x，由()ln 30f x x ax =-+≤，可得ln 3x a x+≥， 构造函数()ln 3x g x x +=，0x >，则()max a g x ≥，且()2ln 2x g x x +'=-，令()0g x '=，解得21x e=，列表如下：x210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21e 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =在21x e =取得极大值，亦即最大值，即()22max1g x g e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2a e ∴≥，因此，实数a 的取值范围是)2,e ⎡+∞⎣.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，在含单参数的函数不等式问题中，可利用分类讨论思想或参变量分离法求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21.已知椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的左右焦点为,上顶点为,且为面积是1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y x m =-+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值. 【答案】（1）（2）6m = 【解析】 试题分析：（1）由题意可得M ，12,F F 的坐标，由等腰直角三角形得2112a =，b=c ，以及a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设A ()11,x y B ()22,x y ，联立直线方程和椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用判别式大于0和韦达定理，可得AB 中点坐标，运用弦长公式可得|AB|，AB 为直径的圆与y 轴相切可得半径1223r AB m ==，解方程即可得到m 的值试题解析：（1）由已知为面积是1的等腰直角三角形得所以椭圆E 的方程（2）设1122(,)(,)A x y B x y联立则AB 中点横坐标为以AB 为直径的圆半径r=整理得考点：椭圆方程及直线与椭圆相交的位置关系 22.已知函数()()321132f x ax x x a R =-++∈的定义域为()0,∞+. （1）当2a =时，若函数()f x 在区间()2,6t t-上有最大值，求t 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调区间. 【答案】（1）[)0,1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用导数求出该函数的极大值点1x =，并分析该函数在区间()0,∞+上的单调性，根据题意得出()21,6t t ∈-以及()()2,60,t t -⊆+∞，可得出关于实数t 的不等式组，解出即可；（2）求出函数()y f x =的导数()21f x ax x '=-++，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导函数()y f x '=在区间()0,∞+上符号的变化，即可得出该函数的单调区间. 【详解】（1）当2a =时，则()322132f x x x x '=-++，可得()()2210f x x x x '=-++>. 解得1x =或12x =-（舍），当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =在1x =时取得极大值， 函数()y f x =在区间()2,6t t-上要有最大值，2016t t t≥⎧∴⎨<<-⎩，解得01t ≤<.因此，实数t 的取值范围是[)0,1； （2）()321132f x ax x x =-++，则()21f x ax x '=-++.①当0a ≤时，0x，则()0f x '>，此时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+；②当0a >时，令()0f x '=得210ax x -++=，且140a ∆=+>.方程210ax x --=的两个实根分别为10x =<（舍），2x =. 此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '<.此时，函数()y f x =的单调递增区间为0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间为12a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间为10,2a⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭； 当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间．【点睛】本题考查利用函数的最值点求参数，同时也考查了含参函数单调区间的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。

2019-2020学年银川市名校数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列命题中正确的个数是（ ） ①命题“若,则”的逆否命题为“若，则;②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题，则，为假命题;④若命题,则，. A ．B ．C ．D ．2．是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（ ） A ．B ．C ．D ．3．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,24．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+>∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图像如图所示，其||213AB =，把函数()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()y g x =的解析式为( )A ．()2sin12g x x π=-B ．2()2sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C ．()2sin 123g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2cos3g x x π=5．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤6．在（x －3）10的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－27510CB ．27410CC ．－9510CD ．9410C7．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于( )A ．4B ．8C ．16D ．328．已知A ＝B ＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A 到B 的映射f 满足：①(1)(2)(3)f f f ≤≤ (4)(5)f f ≤≤；②f 的象有且只有2个，求适合条件的映射f 的个数为 ( ) A ．10B ．20C ．30D ．409．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（）A．288种B．144种C．720种D．360种11．已知复数22iz-=，则||z=（）A．1 B．2C．3D．212．已知集合{|ln0},{|1}A x xB x x=>=…，则（）A．B A⊆B．A B⊆C．A Bφ⋂≠D．A B=U R二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若函数()()222,2log,2x xf xx a x-⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为()2f，则实数a的取值范围为______.14．已知非零向量,a brr满足4a b=rr，且()2b a b⊥+r rr，则ar与br的夹角为______.15．()51a b-+的展开式中，2ab项的系数为______.（用数字作答）16．已知函数()32x xf x e e x x-=-+-，若()()2320f m f m--≤，则m的取值范围是___________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如果()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，求实数,x y的值.18．已知α.β为锐角，3tan4α=，()5sinαβ-=.（1）求cos2α的值；（2）求()tanαβ+的值.19．（6分）电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额都在5000元到10000元之间，其频率分布直方图如下：（1）求图中x的值，并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人；（2）若将频率视为概率，从购物者中随机抽取50人，记消费金额在7000元到9000元的人数为ξ，求ξ的数学期望和方差.20．（6分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=o，112BC CD AD ===，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(Ⅰ)求证：//PA 平面BEF ；(Ⅱ)若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值．21．（6分）设函数f （x ）＝｜3﹣2x ｜+｜2x ﹣a ｜ （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤3的解集； （2）若存在x∈R 使得不等式f （x ）≤t+4t+2对任意t ＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 22．（8分）为了研究家用轿车在高速公路上的速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有40人，不超过100/km h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有20人，不超过100/km h 的有25人.（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关，（结果保留小数点后三位）平均车速超过100/km h 人数 平均车速不超过100/km h 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h ？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）()2P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.8415.0246.6357.87910.828参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“”时，可能成立，当“”时，“”，故“”是“”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若为假命题，则，至少有一个假命题，故②错误.对于④，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知④正确.综上所述，正确命题个数为个，故选B.【点睛】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题.2．D【解析】试题分析：设，依题意有，故.考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3．A【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m的不等式，解出该不等式可得出实数m的取值范围.【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m >，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4．A 【解析】 【分析】根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． 【详解】解：()02sin 1f ϕ==Q ，即1sin 2ϕ=， ,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q56πϕ∴=， 则5()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，Q ||AB =22224T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭⎝⎭， 即241316T +=， 则2916T =，则34T =，即212T πω==，得6π=ω，即5()2sin 66f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin 126y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象， 即()()52sin 22sin 2sin 1261212g x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题．5．D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 6．D 【解析】试题分析：通项T r ＋1＝10r C x 10－r 3）r 3r 10r C x 10－r .令10－r ＝6，得r ＝4.∴x 6的系数为9410C考点：二项式定理 7．C 【解析】初如值n=11,i=1, i=2,n=13,不满足模3余2.i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C ． 8．D分析：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列，然后按照A 元素在B 中的象有且只有两个进行讨论. 详解：将元素1,2,3,4,5按从小到大的顺序排列， 因恰有两个象，将A 元素分成两组，从小到大排列， 有()(1),2,3,4,5一组；()(1,2),3,4,5一组；()(1,2,3),4,5一组； ()(1,2,3,4),5一组，B 中选两个元素作象，共有25C 种选法，A 中每组第一个对应集合B 中的较小者，适合条件的映射共有25440C ⨯=个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（1）分清象与原象的概念；（2）明确对应关系. 9．D 【解析】 【分析】利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则311534884T πππ=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388πππ-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调减函数．所以选择D 【点睛】本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题． 10．B 【解析】 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种 故选B 【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。

数学(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合中元素的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．函数的定义域为（） A ．(-2,1)B.[-2,1]C.D.(-2,1]4．已知命题p ：若a>|b|，则a 2>b 2；命题q ：R x ∈∀都有x 2+x+1>0．下列命题为真命题的是() A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝⌝∧5．若偶函数)(x f 在区间]1,(--∞上是增函数，则()A. B. C. D.6．函数的零点所在的一个区间是（）A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）7．若且满足的最小值是（） A ． B. C.6D.7 8．函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.9．函数的单调递增区间是A ． B. C.D. 10．当时，，则的取值范围是（） A ． B. C.)2,1( D.)2,2( 11．已知 ，若a,b,c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则的取值范围为()A.(1,15)B.(10,15)C.(15,20)D.(10,12)12．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且在),0[+∞上是增函数，不等式)1()2(-≤+f ax f 对于]2,1[∈x 恒成立，则a 的取值范围是)2lg(1)(++-=x x x f ）+∞-,2()2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f 2)(-+=x e x f xR y x ∈,1273,23++=+y x y x 则221+393xx x f 1cos 3)(+=)82ln()(2--=x x x f ()2,-∞-()1,∞-()+∞,1()+∞,4x a xlog 4<)22,0(210≤<x )1,22(⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<=10,351-100|,lg |)(x x x x x fA.]1,23[--B.]21,1[--C.]0,21[-D.]1,0[二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f ．14．在极坐标系中，点）（65,2π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为 ． 15．已知不等式对一切恒成立，则实数m 的取值范围 为 ．16．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知：()()()x x x f --+=1ln 1ln . （1）判断此函数的奇偶性; （2）若()2ln =a f ，求的值. 18．(本小题满分12分)已知函数()2f x x =-． （1）求不等式f(x)＜3的解集； （2）若0a >，0b >，且111a b+=，求证：()()314f a f b +++≥． 19．(本小题满分12分)在直角坐标系中，直线l 的参数方程为222212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点、，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值. 20．(本小题满分12分)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．53m x x ≤-+-x ∈R xOy xOy（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 21．(本小题满分12分)设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值. 22．(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f(x)，在x∈（0，1）时，f(x)=,142+x x且f(－1)=f(1).（1）求f(x)在x∈［－1，1］上的解析式； （2）证明：当x∈(0，1)时,f(x)＜21； （3）若x∈（0，1），常数)25,2(∈λ，解关于x 的不等式f(x)＞λ1.数学（文）答案一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DADADCDADBBA13.-2614.215.2m ≤. 16.m ＞3.解析：作出f(x)的图象如图所示．当x ＞m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m)2＋4m －m 2， ∴要使方程f(x)＝b 有三个不同的根，则4m －m 2＜m ，即m 2－3m ＞0.又m ＞0，解得m ＞3. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.已知：()()()x x x f --+=1ln 1ln .（1）判断此函数的奇偶性;（2）若()2ln =a f ，求的值. 答案：（1）由01>+x ，且01>-x 知11<<-x所以此函数的定义域为：（-1，1）又))1ln()1(ln()1ln()1ln()(x x x x x f --+-=+--=-)(x f -= 由上可知此函数为奇函数.（2）由()2ln =a f 知()()a a --+1ln 1ln 2ln 11ln=-+=aa得 11<<-a 且211=-+aa 解得31=a 所以的值为：3118.已知函数．（1）求不等式f(x)＜3的解集 （2）（2）若，，且，求证：．解：（1）(-1,5)． （2），因为，，，，所以，，由题意知，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以．19.在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为2212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）.再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点、，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值. （1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为22(2)4x y +-=（2）直线l参数方程2212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入圆方程得：210t -+=设、对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=121t t =于是1212MA MB t t t t +=+=+=20.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π． 【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．21.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=. （1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.【解析】（1）证明：因为()()22222222223x y z x y z xy xz yz x y z++=+++++≤++，当且仅当13x y z ===时，等号成立， 又∵1x y z ++=，∴22213x y z ++≥；(5分) （2）由（1）知：()()()()22221411111133x y z x y z -++++≥-++++=， 当且仅当111x y z -=+=+且1x y z ++=即53x =、13y z ==-时，等号成立， 所以()()()222111x y z -++++有最小值43.(10分) 22,已知定义在R 上的奇函数f(x)，在x∈（0，1）时，f(x)=,142+xx且f(－1)=f(1). （1）求f(x)上x∈［－1，1］上的解析式； （2）证明在x∈（0，1）时f(x)＜21； （3）若x∈（0，1），常数)25,2(∈λ，解关于x 的不等式f(x)＞λ1. （1）∵f（x ）是R 上的奇函数且x(0,1)时，f(x)=142+x x，∴当x （－1，0）时，f （x ）=－f （－x ）=142+--x x =－142+x x.……………1分又由于f(x)为奇函数,∴f（0）=－f （－0）,∴f（0）=0,……………2分 又f （－1）=－f （1）,f （－1）=f （1）,∴f（－1）=f （1）=0.………3分－142+x x，x∈（－1，0）；综上所述，当x∈［－1，1］时，f （x ）=142+x x，x∈（0，1）；………4分0，x∈{}1,0,1-(2)当x∈（0，1）时，f （x ）=142+x x =（x x 212+）1-，……………5分x x 212+≥2，当且仅当x2=x 21，即x=0取等号.………………6分 ∵x∈（0，1），∴不能取等号，∴xx 212+＞2.∴f（x ）＜21.…………8分 (3)当λ∈(25,2)时,λ1∈（21,52），f （x ）＞λ1，即x4－x 2⋅λ+1＜0，……9分 设t=x 2∈(1,2)，不等式变为t 2－λt+1＜0，∵λ∈(25,2)∴△=λ2－4＞0， ∴242--λλ＜t ＜242-+λλ.………………10分而当λ∈(25,2)时，242--λλ－1=42)2(22-+--λλλ＜0，且1＜242-+λλ＜2，∴1＜t ＜242-+λλ,即0＜x ＜2log 242-+λλ.综上可知，不等式f （x ）＞λ1的解集是（0，2log 242-+λλ）.…………………12分。

宁夏银川市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1-谶麝七书的焦屈标为()A. (-1,0)B. (1,0)C. (0,1)D. (0, 1)2・命题“若盘芥2,则"扳且"一也”的否命题为()A.若*'=2,贝|x二次且x#—血B.若X，了2, jjirj x = \/2 x = —y/2C.若盘=2,则工=旧或x = -yj2D.若盘工2,则工=逝或工=一梃4 13.己知命题p:Vx>0,x+-24； x0g L H XQ e(0,+OD)^1"=-,则下列判断正确的是x 2A.歹是假命题C. p A(—ig)是真命题4. £i x2-4x>0J,是“x>4” 的()A.充分不必要条件C.充要条件B. q是真命题D. (―ip)Aq是真命题B.必要不充分条件D.既不充分也不必受条件5.抛物线的顶点在原点，对称轴是坐同，点(一5,5)在抛物线上，则抛物线的方程为()“=-5x B. y2 =5xC x2 = 5y D. y1 = -5工期2 = 5y6.执行右图的程序框图，如果输入的N=4,那么输出的S=（） B. 1+C. 1-H-++7.己知川）=虹的0 = 了（工）+广（工），则点）的最小值为（）. 8.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论:其中一定不正确的结论的序号是（）9.己知椭圆25+16 一 1的两个焦点分别为耳，片，斜率不为0的直线I 过点片，且交椭圆于8两点，则△』叫的周长为（）.A. 10B. 16C. 20D. 2510-将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做 的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示.则7个剩余分数的方差为 （）11636 6^7 8 7 7 A. --- — C ・ 36 D,―― 9 4 0 1 0 x 9 1 ii. 己知函数，（x ）在x ＞。

宁夏银川市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．3010B．56C ．15D ．24【答案】A 【解析】分析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值．详解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=2， ∴A （1，0，0），D 1（0，0，2），D （0，0，0）， B 1（1，1，2），1AD u u u u r =（﹣1，0，2），1DB u u u u r=（1，1，2）， 设异面直线AD 1与DB 1所成角为θ，则cosθ=1111330130.1056AD DB AD DB ⋅===⋅⋅u u u u v u u u u vu u u uv u u u u v ∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为30．故答案为：A ．点睛：（1）本题主要考查异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化能力.(2) 异面直线所成的角的常见求法有两种，方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）；方法二：（向量法）•cos m nm nα=v vv v ，其中α是异面直线,m n 所成的角，,m nu r r 分别是直线,m n 的方向向量.2．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，则异面直线PB 与AC 所成的角是（ ） A ．90︒ B ．60︒C ．45︒D ．30°【答案】B 【解析】 【分析】底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM ∠就是异面直线PB 与AC 所成的角. 【详解】解：由题意：底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，//,//PM AD AD PM Q .∴PBCM 是平行四边形， ∴PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角. 设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===∴三角形ACM 是等边三角形.所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°. 故选：B . 【点睛】本题考查了两条异面直线所成的角的证明及求法.属于基础题.3．已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12-【答案】C 【解析】试题分析：由已知得，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，且过点(2,3)A -，故22p-=-，则4p =，(2,0)F ，则直线AF 的斜率303224k -==---，选C ．考点：1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率． 4．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ）A ．2-B ．2C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则正态分布的图象关于直线1x =对称，结合(0)(3)P P a ξξ<=>-有()0312a +-=，解得：5a =.本题选择C 选项. 【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．13m <B ．311m <C ．m <D ．103m <<【答案】B 【解析】 【分析】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦可判断函数为减函数，将2()(2)0f mt t f m -+>变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，再将函数转化成恒成立问题即可【详解】()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦Q ，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴为R 上减函数，故2()(2)0f mt t f m -+>可变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，即2()(2)f mt t f m ->-，根据函数在R 上为减函数可得22mt t m -<-，整理后得2212t m t t t+<=+，2y t t=+在[1,2]t ∈为减函数，[,3]2t ∈为增函数，所以112y t t=+在[1,2]t ∈为增函数，[,3]2t ∈为减函数 2212t m t t t +<=+在[1,3]t ∈恒成立，即1min m y <，当3t =时，1y 有最小值311所以311m <答案选B 【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“f ”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题6．已知函数()1n(3)x f x e x =-+,则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．1(3,),()3x f x ∀∈-+∞≥B ．1(3,),()2x f x ∀∈-+∞>- C ．00(3,),()1x f x ∃∈-+∞=- D ．min ()(0,1)f x ∈【答案】B 【解析】分析：首先对函数求导，可以得到其导函数是增函数，利用零点存在性定理，可以将其零点限定在某个区间上，结合函数的单调性，求得函数的最小值所满足的条件，利用不等式的传递性求得结果.详解：因为()ln(3)xf x e x =-+，所以1'()3xf x e x =-+，导函数'()f x 在(3,)-+∞上是增函数，又21'(2)10f e -=-<，1'(1)ln 20f e-=->，所以'()0f x =在(3,)-+∞上有唯一的实根，设为0x ，且0(2,1)x ∈--，则0x x =为()f x 的最小值点，且0013xe x =+，即00ln(3)x x =-+，故000()()ln(3)x f x f x e x ≥=-+00x e x =+12>-，故选B.点睛：该题考查的是有关函数最值的范围，首先应用导数的符号确定函数的单调区间，而此时导数的零点是无法求出确切值的，应用零点存在性定理，将导数的零点限定在某个范围内，再根据不等式的传递性求得结果.7．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．C ．2D ．3【答案】C 【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=11，联立可求公差d ． 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3=6，S 3=11，得：解得：a 1=1，d=1． 故选C ．考点：等差数列的前n 项和．8．已知x ，y 满足不等式组{2,2y xx y x ≤+≥≤则z="2x" +y 的最大值与最小值的比值为A ．12B ．43C ．32D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：因为x ，y 满足不等式组{2,2y xx y x ≤+≥≤，作出可行域，然后判定当过点（2,2）取得最大，过点（1,1）取得最小，比值为2，选D9．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( ) A ．192 B ．202C ．212D ．222【答案】C 【解析】∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里336+=，6410+=）， ∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6， 右边的底数为105621++=，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有333333212345621+++++=，故选C.点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．它与演绎推理的思维进程不同．归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得出的思维进程．解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可.10．设2012(1)n nn x a a x a x a x L -=++++，若12127n a a a +++=L ，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．第4项 B ．第5项 C ．第4项和第5项 D ．第7项【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项展开式的基本定理确定n 的数值，再求展开式中系数最大的项 【详解】令0x =，可得01a =，令1x =-，则()01212nn n a a a a -+++-=L ， 由题意得12127n a a a +++=L ，代入得2128n =，所以7n =，又因为3477C C =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故选C 【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题，属于基础题。

宁夏回族自治区银川一中2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试卷含答案银川一中2019/2020学年度(下）高二期末考试数学试卷（文科)命题人:一、选择题(本大题共12小题，共60分)1．已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为( ）A ．0B ．1C ．2D ．32．设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件3．函数 的定义域为（ )A ．(—2,1)B 。

[—2，1］ C. D. （-2，1]4．已知命题p ：若a >|b ｜，则a 2〉b 2；命题q :R x ∈∀都有x 2+x +1>0．下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧B ．q p ⌝∧C ．q p ∧⌝D ．q p ⌝⌝∧5．若偶函数)(x f 在区间]1,(--∞上是增函数，则( )A 。

B 。

C. D.6．函数 的零点所在的一个区间是（ ）A 。

（-2,-1）B.(—1,0）C.（0，1） D。

（1,2）)2lg(1)(++-=x x x f ）+∞-,2()2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-)23()1()2(-<-<f f f )1()23()2(-<-<f f f 2)(-+=x e x f x 1273,23++=+y x y x 则cb a ⋅⋅7．若 且满足 的最小值是（ )A ．B 。

C. 6D 。

78．函数 的部分图象大致是（ )A.B 。

C. D.9．函数的单调递增区间是A ． B. C 。

D.10．当 时, ，则 的取值范围是（ ）A ．B 。

C. )2,1( D 。

)2,2(11．已知 ，若a ,b ,c 互不相等，且f (a ）=f （b ）=f (c ）， 则 的取值范围为（ ） A 。

2019-2020学年宁夏银川二中高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，3]B．（1，3]C．（1，3）D．（1，2]2．已知p：|x|＝1，q：x＝1，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0D．对任意的x∈R，x2+x+1≤04．已知函数则的值为（）A．﹣2B．2C．D．95．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．直线y＝x是曲线y＝a+lnx的一条切线，则实数a的值为（）A．﹣1B．e C．ln2D．17．函数f（x）＝﹣（）x的零点个数为（）A．0B．1C．2D．38．已知幂函数的图象过点（8，4），则该函数的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e10．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）11．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+112．设函数f（x）＝ln（1+|x|）+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化简：＝．14．已知函数，则f（x）的单调递增区间是．15．若，则函数的值域是．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：x2﹣2x＜3，q：k﹣2≤x≤k+5，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．判断下列函数的奇偶性．（1）f（x）＝+；（2）f（x）＝．19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．20．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[a，a+1]（a∈R）上的最小值g（a）的表达式．21．已知定义在R上的函数．（1）若，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．[﹣2，3]B．（1，3]C．（1，3）D．（1，2]解：对于集合A，由x2﹣x﹣6≤0得，所以，（x+2）（x﹣3）≤0，解得，x∈[﹣2，3]，即A＝{x|﹣2≤x≤3}，而B＝{x|x＞1}，所以，A∩B＝{x|1＜x≤3}，故选：B．2．已知p：|x|＝1，q：x＝1，则p是q成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：由|x|＝1，得x＝±1，反之，由x＝1，可得|x|＝1．即p不能推出q，但q⇒p成立．∴p是q成立的必要不充分条件．故选：C．3．命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x0∈R，x02+x0+1＞0C．存在x0∈R，x02+x0+1≤0D．对任意的x∈R，x2+x+1≤0解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：存在x0∈R，x02+x0+1≤0．故选：C．4．已知函数则的值为（）A．﹣2B．2C．D．9解：∵∴f（）＝＝﹣2，则＝f（﹣2）＝＝9故选：D．5．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．6．直线y＝x是曲线y＝a+lnx的一条切线，则实数a的值为（）A．﹣1B．e C．ln2D．1解：曲线y＝a+lnx的导数为：y′＝，由题意直线y＝x是曲线y＝a+lnx的一条切线，可知＝1，所以x＝1，所以切点坐标为（1，1），因为切点在曲线y＝a+lnx上，所以a＝1．故选：D．7．函数f（x）＝﹣（）x的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y＝在定义域上为增函数，y＝﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）＝在定义域上为增函数而f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝＞0故函数f（x）＝的零点个数为1个故选：B．8．已知幂函数的图象过点（8，4），则该函数的单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）解：设幂函数的解析式为y＝x a，图象过点（8，4），即4＝8a，可得a＝，可知幂函数是偶函数，且a＝，在（0，+∞）单调递增；在（﹣∞，0）单调递减；故选：C．9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（）A．﹣e B．﹣1C．1D．e解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）∴f′（x）＝2f′（1）+，把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，解得f′（1）＝﹣1，故选：B．10．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）解：根据题意，ax2﹣4ax+2＞0的解集为R，①a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；②a≠0时，，解得，综上得，实数a的取值范围是．故选：D．11．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+1解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，即f（x）＝﹣e﹣x+1．故选：D．12．设函数f（x）＝ln（1+|x|）+x2，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数f（x）＝ln（1+|x|）+x2，那么f（﹣x）＝ln（1+|﹣x|）+（﹣x）2＝ln（1+|x|）+x2＝f（x）可知f（x）是偶函数，当x＞0，f（x）是递增函数，∴f（x）＞f（2x﹣1）成立，等价于|x|＞|2x﹣1|，解得：，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．化简：＝89．解：＝﹣1+＝10﹣1+23+（23•32）＝9+8+8×9＝89故答案为：89．14．已知函数，则f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）．解：根据题意，函数，则在区间[0，+∞）上，f（x）＝x2+1，为增函数，且f（x）≥1，在区间（﹣∞，0）上，f（x）＝﹣x2+1，为增函数，且f（x）＜1，故f（x）在R上为增函数，即其递增区间为（﹣∞，+∞）；故答案为：（﹣∞，+∞）15．若，则函数的值域是[，8]．解：由，得，则x2+1≤4﹣2x，解得﹣3≤x≤1．而函数在[﹣3，1]上为减函数，则当x＝1时，，当x＝﹣3时，y max＝8．∴若，则函数的值域是[，8]．故答案为：[，8]．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝﹣8．解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对称，∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．故答案为：﹣8．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知p：x2﹣2x＜3，q：k﹣2≤x≤k+5，若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．解：由x2﹣2x＜3得x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3即p：﹣1＜x＜3，q：k﹣2≤x≤k+5，∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，q⇒/p，∴⇒﹣2≤k≤1，即k∈[﹣2，1]．18．判断下列函数的奇偶性．（1）f（x）＝+；（2）f（x）＝．解：（1）要使函数f（x）＝+有意义，则，即x2＝1，则＝±1，即定义域为{1，﹣1}，则f（x）＝0，即函数f（x）既是奇函数又是偶函数；（2）由4﹣x2≥0得﹣2≤x≤2，此时f（x）＝＝＝，则函数的定义域为[﹣2，0）∪（0，2]．此时f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数为奇函数．19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x＝5时，y＝11，所以+10＝11，故a＝2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y＝所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：x（3，4） 4 （4，6）f'（x）+0﹣f（x）单调递增极大值42 单调递减由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．20．已知二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，及f（x+1）﹣f（x）＝2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在[a，a+1]（a∈R）上的最小值g（a）的表达式．解：（1）∵二次函数f（x）满足条件f（0）＝1，∴设f（x）＝ax2+bx+1，则f（x+1）﹣f（x）＝a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2ax+a+b＝2x∴2a＝2，a+b＝0，则a＝1，b＝﹣1，所以f（x）＝x2﹣x+1（2）f（x）＝x2﹣x+1＝（x﹣）2﹣当a+1≤，即a≤﹣时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调减函数，则g（a）＝f（a+1）＝a2+a+1当a＜＜a+1，即﹣＜a＜时，则g（a）＝f（）＝当a≥时，函数f（x）在[a，a+1]上是单调增函数，则g（a）＝f（a）＝a2﹣a+1综上：g（a）＝21．已知定义在R上的函数．（1）若，求x的值；（2）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）f（x）＝2x﹣＝，∵，∴2x﹣2﹣x＝，解得2x＝2或2x＝﹣（舍去），∴x＝1，（2）当t∈[1，2]时，2t f（2t）+mf（t）≥0，即2t（22t﹣2﹣2t）+m（2t﹣2﹣t）≥0，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．故m的取值范围是[﹣5，+∞）．22．已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．解：（1）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝e0（cos0﹣sin0）﹣1＝0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；（2）函数f（x）＝e x cos x﹣x的导数为f′（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，令g（x）＝e x（cos x﹣sin x）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）＝e x（cos x﹣sin x﹣sin x﹣cos x）＝﹣2e x•sin x，当x∈[0，]，可得g′（x）＝﹣2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）＝0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）＝e0cos0﹣0＝1；最小值为f（）＝cos﹣＝﹣．。

2019-2020学年宁夏银川一中高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合，则集合p 的非空子集个数是( )A. 2B. 3C. 7D. 82.设A ，B 是两个集合，则“A ∪B =A ”是“A ⊇B ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y =√4−x 2的定义域为( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. [−2,2]D. (−∞,−2]∪[2,+∞)4.已知命题p ：△ABC 所对应的三个角为A ，B ，C.A >B 是cos2A <cos2B 的充要条件；命题q ：函数y =1tanx+2+tanx +1(x ∈(0,π2))的最小值为1；则下列四个命题中正确的是( )A. p ∧qB. p ∧￢qC. ￢p ∧qD. ￢p ∧￢q5.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减．若f(−2)=0，则满足xf(x)>0的x 的取值范围是( )A. (−∞,−2)∪(0,2)B. (−2,0)∪(2,+∞)C. (−∞,2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)6.函数f(x)={1,(x 为有理数)0,(x 为无理数)，则下列结论错误的是( )A. f(x)是偶函数B. 方程f(f(x))=x 的解为x =1C. f(x)是周期函数D. 方程f(f(x))=f(x)的解为x =17.(非示高学生做)1+log (x−1)y =0，则4x +y 的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 108.函数f(x)=cos(π2−x)lg|2x −2−x |在区间[−3,0)∪(0,3]上的大致图像为( )A.B.C.D.9. 若集合A ={x ∈R|y =lg(2−x)}，B ={y ∈R|y =2x−1,x ∈A}，则 ( )A. RB. (−∞,0]∪[2,+∞)C. [2,+∞)D. (−∞,0]10. 已如a =0.90.2，b =0.90.3，c =1，则( )A. c >a >bB. c >b >aC. a >c >bD. b >c >a11. 函数f(x)=log 6|x|−sinπx 的零点个数为( )A. 10B. 11C. 12D. 1312. f(x)=log a (x +1)在区间(−1,0)上有f(x)>0则f(x)的递减区间是( )A. (−∞,1)B. (1,∞)C. (−∞,−1)D. (−1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设偶函数f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)>0的解集是______14. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =acosϕy =bsinϕ(a >b >0,φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M(2,√3)(对应的参数φ=π3，)θ=π4与曲线C 2交于点D(√2,π4)． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的方程；(Ⅱ)A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ12+1ρ22的值．15. 定义运算 a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b)则对x ∈R ，函数f(x)=1∗x 的解析式为f(x)= ______ ．16. 直线y =1与曲线y = x 2−| x |+ a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 例3：f(x)=log a x+bx−b (a >0)b >0a ≠1)求f(x)的定义域及奇偶性．18. 已知f(x)=(e +1e )lnx +1x −x ．(1)求函数f(x)的极值；(2)设g(x)=ln(x +1)−ax +e x ，对于任意x 1∈[0,+∞)，x 2∈[1,+∞)，总有g(x 1)≥e2f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．19. 【选修4−4：坐标系与参数方程】 (1)求点M(2,π3)到直线ρ=√3sinθ+cosθ上点A 的距离的最小值．(2)求曲线C ：{x =−1+cosθy =sinθ(θ为参数)关于直线y =1对称的曲线的参数方程．20. 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为：，(t 为参数)，直线与曲线分别交于两点．(1)写出曲线和直线的普通方程；(2)若成等比数列，求的值．21. 某新成立的汽车租赁公司今年年初用102万元购进一批新汽车，在使用期间每年有20万元的收入，并立即投入运营，计划第一年维修、保养费用1万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加1万元，该批汽车使用后，同时该批汽车第x(x ∈N ∗,x ≤20)年底可以以(30−12x)万元的价格出售(Ⅰ)求该公司到第x 年底所得总利润y(万元)关于x(年)的函数解析式，并求其最大值；(Ⅱ)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批汽车？说明理由．22. 已知二次函数f(x)=2x 2−(4−2k)x +12．(1)若方程f(x)=0的两个根x 1，x 2满足x 1<x 2<1，求k 的取值范围． (2)当k =0时，求f(x)在区间[2a,a +1]上的最值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的子集，根据集合子集的公式2n(其中n为集合的元素)，求出集合P的子集个数，然后除去空集即可得到集合P的非空子集的个数．解：因为集合P={(x,y)|x+y<4，x，y∈N∗}，所以集合P={(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合P有3个元素，故集合P的非空子集个数是：23−1=7．故选C．2.答案：C解析：解：若A∪B=A，则B⊆A，反之若B⊆A，则A∪B=A成立，即A∪B=A”是“B⊆A”的充要条件，故选：C．根据集合的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查集合的关系以及充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.答案：A解析：解：由题意得：4−x2>0，解得：−2<x<2，故函数的定义域是(−2,2)，故选：A．根据二次根式的性质以及分母不为0求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．4.答案：A解析：解：∵在△ABC中，cos2B>cos2A⇔1−2sin2B>1−2sin2A⇔sin2B<sin2A⇔sinA> sinB⇔A>B故A >B 是cos2A <cos2B 的充要条件，即命题p 为真命题； ∵x ∈(0,π2)，∴函数y =1tanx+2+tanx +2−1≥2−1=1，∴命题q 为真命题；由复合命题真值表知，p ∧q 为真命题；p ∧(￢q)为假命题；￢p ∧q 为假命题；￢p ∧￢q 为假命题， 故选A ．利用三角恒等变换证明在△ABC 中，A >B 是cos2A <cos2B 的充要条件；利用基本不等式求函数的最小值，证明命题q 为真命题，再根据复合命题真值表依次判断可得答案．本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及充要条件的判定，解题的关键是判断命题p ，q 的真假．5.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f(x)的取值范围，属于综合题． 根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)>0和f(x)<0时x 的取值范围，又由xf(x)>0⇔{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，分析可得答案．解：根据题意，函数f(x)为偶函数，则f(2)=f(−2)=0，又由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则在(0,2)上，f(x)>0，在(2,+∞)上，f(x)<0， 又由f(x)为偶函数，则在(−2,0)上，f(x)>0，在(−∞,−2)上，f(x)<0， xf(x)>0⇔{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，分析可得：x <−2或0<x <2； 即x 的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的值及函数的性质，正确理解新定义函数f(x)={1,(x 为有理数)0,(x 为无理数)是解答的关键．根据已知的函数f(x)={1,(x 为有理数)0,(x 为无理数)的解析式，结合函数奇偶性的定义，函数周期性的定义及函数值的确定方法，分别判断四个答案的真假，可得答案． 解：∵函数f(x)={1,(x 为有理数)0,(x 为无理数)，当x 为有理数时，−x 必为有理数，此时f(−x)=f(x)=1；当x 为无理数时，−x 必为无理数，此时f(−x)=f(x)=0.故f(x)是偶函数正确，故A 正确；若为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1，此时x =1；若为无理数，则方程f(f(x))=f(0)=1，此时无满足条件的x ；故方程f(f(x))=x 的解为x =1，故B 正确；对于任意的有理数T ，当x 为有理数时，x +T 必为有理数，此时f(x +T)=f(x)=1；当x 为无理数时，x +T 必为无理数，此时f(x +T)=f(x)=0；即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故f(x)是周期函数，故C 正确；若为有理数，则方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)恒成立；若为无理数，则方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x)，此时无满足条件的x ；故方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数，故D 错误； 故选D ．7.答案：C解析：解：1+log (x−1)y =0， 可得y =1x−1，(x >1,y >0)， 则4x +y =4x +1x−1=4(x −1)+1+4 ≥2√4(x −1)⋅1x−1+4=8，当且仅当4(x −1)=1x−1，即x =32，y =2取得等号， 则4x +y 的最小值为8． 故选：C ．由条件可得y =1x−1，(x >1,y >0)，则4x +y =4x +1x−1=4(x −1)+1x−1+4，运用基本不等式可得所求最小值．本题考查函数的最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：∵f(x)=cos(π2−x)lg|2x −2−x |=sinxlg|2x −2−x |，∴f(−x)=sin(−x)lg|2−x −2x |=−sinxlg|2x −2−x |=−f(x)， ∴f(x)为奇函数，排除选项A 和D ，又f(3)=sin3lg|23−2−3|=sin3lg(8−18)>0，排除选项B ，先判断函数的奇偶性，可排除选项A和D，再对比余下选项，不妨考虑f(x)与0的大小关系，从而得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．9.答案：B解析：此题考查了交、并、补集的混合运算，求出A中函数的定义域确定出A，求出B中函数的值域确定出B，求出A与B的交集，找出交集的补集即可．解：由A中的函数y=lg(2−x)，得到2−x>0，即x<2，∴A=(−∞,2)，由B中的函数y=2x−1，x∈A，得到0<y≤2，∴B=(0,2]，∴A∩B=(0,2)，则∁R(A∩B)=(−∞,0]∪[2,+∞)．故选B．10.答案：A解析：解：由指数函数y=0.9x图象可知，当x>0时，0<y<1，∴0<a<1，0<b<1，又∵指数函数y=0.9x在R上单调递减，0.2<0.3，∴0.90.2>0.90.3，即a>b，综上所述：c>a>b，故选：A．利用指数函数y=0.9x图象和单调性即可判断出三个数的大小．本题主要考查了利用指数函数图象和单调性比较指数幂的大小，是基础题．解析：解：因为函数f(x)=log6|x|−sinπx的零点的个数等价于函数y=log6|x|与y=sinπx图象交点的个数．画出函数y=log6|x|与y=sinπx的图象如图：由图象可知，共12个交点，故选：C．函数f(x)=log6|x|−sinπx的零点的个数⇔函数y=log6|x|与y=sinπx图象交点的个数．画出函数y=log6|x|与y=sinπx的图象即可．本题考查了函数与方程的思想、数形结合思想，是中档题．12.答案：D解析：解：∵x∈(−1,0)∴x+1∈(0,1)∵f(x)=log a(x+1)在区间(−1,0)上有f(x)>0∴0<a<1f(x)在其定义域上上单调递减．故选：D．先由题意确定a的范围，再根据对数函数的增减性确定．本题主要考查求函数增减区间的问题．13.答案：(−2,0)∪(0,2)解析：解：根据函数的图象可知，当x∈[0,5]时，f(x)>0的解集为(0,2)，根据偶函数的图象关于y轴对称可知，当x∈[−5,0]时，f(x)>0的解集为(−2,0)，综上可得，不等式的解集为：(0,2)∪(−2,0)，故答案为：：(0,2)∪(−2,0)．根据函数的图象可知，先求出当x∈[0,5]时，f(x)>0的解集，然后根据偶函数的图象关于y轴对称可求当x∈[−5,0]时的解集，从而可求．本题主要考查了利用偶函数的对称性求解不等式，体现了数形结合思想的应用．14.答案：解：(Ⅰ)∵曲线C 1的参数方程为{x =acosϕy =bsinϕ(a >b >0,φ为参数)，∴曲线C 1的普通方程为x 216+y 24=1，∵曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆， ∴曲线C 2的普通方程为：C 2：(x −1)2+y 2=1． (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16+ρ2sin 2θ4=1，将A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)代入曲线C 1的极坐标方程中，得到{1ρ12=cos 2θ16+sin 2θ41ρ22=sin 2θ16+cos 2θ4， ∴1ρ12+1ρ22=516．解析：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；由曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，能求出曲线C 2的普通方程． (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16+ρ2sin 2θ4=1，将A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)代入曲线C 1的极坐标方程，能求出1ρ12+1ρ22的值．本题考查曲线方程的求法，考查代数式求值，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15.答案：{1 (1≤x)x (x <1)解析：解：∵a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b)表示取a 与b 中较小的∴f(x)=1∗x ={1 (1≤x)x (x <1) 故答案为：{1 (1≤x)x (x <1)根据a ∗b ={a(a ≤b)b(a >b)表示取a 与b 中较小的可知只需比较1与x 的大小关系即可得到结论．本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，该题是新定义的问题，读懂题意是解题的关键．16.答案：(1,)解析：y = x 2−| x |+ a =．当其图象如图所示时满足题意．由图知，解得1< a <．17.答案：解：(1)要使函数有意义需x+bx−b >0，求得x >b 或x <−b故函数的定义域为{x|x >b 或x <−b}f(−x)+f(x)=log a−x +b −x −b +log a x +bx −b=log a 1=0 ∴f(−x)=−f(x)∴函数为奇函数．故函数的定义域为：{x|x >b 或x <−b}，为奇函数．解析：先看对数函数中真数需大于0，进而得到关系x 的不等式求得x 的范围即是函数的定义域．根据函数的解析式求得f(−x)−f(x)=0，进而可知f(−x)=f(x)根据奇偶性的定义判断出函数的奇偶性．本题主要考查了对数函数的性质．考查了学生对对数函数基础知识的把握．18.答案：解：(1)f′(x)=e+1ex−1x 2−1=−(x−e)(x−1e)x 2，x ∈(0,+∞)．令f′(x)=0，解得x =1e 或e x (0,1e )1e (1e ,e)e (e,+∞)f′(x) − 0 + 0 − f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴f(x)的极小值为：f(1e )=−2e ，极大值为：f(e)=2e ． (2)由(1)可知当x ∈[1,+∞)时，函数f(x)的最大值为2e ．对于任意x 1∈[0,+∞)，x 2∈[1,+∞)，总有g(x 1)≥e 2f(x 2)成立，等价于g(x)≥1恒成立， g′(x)=e x +1x+1−a ．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。