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大学物理力矩+转动定律+转动惯量-new复习过程

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大学物理。刚体转动课件

大学物理。刚体转动课件

解：杆上各质元均 受摩擦力作用， 受摩擦力作用，但 各质元受的摩擦阻 力矩不同， 力矩不同，靠近轴 的质元受阻力矩小， 的质元受阻力矩小， 远离轴的质元受阻 力矩大， 力矩大，
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
细杆的质量密度 m λ= l 质元质量 dm = λdx 质元受阻力矩
O
−l 2
O
l 2
r
dr
dr O´
O´
l
解 设棒的线密度为 λ ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm = λdr dJ = r 2 dm = λr 2 dr
r
1 3 J = 2λ ∫ r dr = λl 0 12 1 = ml 2 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3
4 –三 力矩 转动定律 转动惯量 2 转动惯量
2 j j j
第四章 刚体的转动
2
J = ∑ ∆m r , J = ∫ r dm
物理意义： 物理意义：转动惯性的量度 . 意义 转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
J = ∑ ∆m r = m r + m r + L
2 j j 2 11 2 2 2 j
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 ） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
v Mij
O
v rj
v Mji
d
v iF ri ij
j v Fji v
v v M ij = −M ji
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动

大学物理力矩转动定律转动惯量课件

大学物理力矩转动定律转动惯量课件

2 R
2
（2）求 d J
dJ R2dm R2 m d 2
（3）求 J
Jc mR2
J 2 R2 m d mR 2
0 2
相当于质量为m的质点对轴的J
14
例题
例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量
解：可视圆盘由许多小圆环组成。
CR m
（1） 选微元d m
dm ds
2rdr
m
R2
2
25
例题
解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
26
例题
FT1 mAa mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
M ji mi
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
10
转动定律 M J
（1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
11
转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2 ➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
元 dA Ldy，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
4
例题
令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)

大学物理 力矩 转动定律 转动惯量

大学物理 力矩 转动定律 转动惯量

2
第四章 刚体的转动
A mA
FT1
C mC FT2
FT2

(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0，可得
mB B
FT1

FT2

mAmB g mA mB
（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
dz
3
r
z
oR
J z2dm R z2 m (R2 z2 )dz
R 4 R3
3

3m 4
R z2 (
R R

z4 R3 )dz

1 mR2 5
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
精品课件！
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
精品课件！
2）刚体

质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
z

Fej
O
rj
m

j
外力矩
内力矩
Fij
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第四章 刚体的转动
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r 2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4

大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料

mg FT2 ma2

FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1

r

J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W


0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2

R

mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1

mAmB g
mA mB mC
2
T2

(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：

力矩 刚体定轴转动的转动定律

力矩 刚体定轴转动的转动定律

dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J

大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料

大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料

Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
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用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述 类似方程，将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位： kg· m i i
上页 下页 返回 退出
d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转 动惯量成反比。
说明： α ，转动惯量是转动惯性 （1）Mz 一定，J 大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转 动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩： M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面

A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
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力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
i i i
x
上页 下页 返回 退出
几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2

大学物理-力矩、转动定律、转动惯量


gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz

大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量


v Fej
v Fij
2 j j
外力矩
∑M
j
+ ∑ M ij = ∑ ∆ m r α
j
Q Mij = −M ji
∴∑ Mij = 0
j
14
∑M
j
ej
= ( ∑ ∆ m j r )α
2 j
z
O
定义转动惯量
v rj ∆m j
v Fej
J = ∑ ∆m r J = r 2dm ∫
2 j j j
v Fij
转动定律 M = Jα 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比
L
9
设水深h，坝长L， 解 设水深 ，坝长 ，在坝面上取面积 元 dA = Ldy ，作用在此面积元上的力
dF = pdA = pLdy
y
y
x
h y O Q O
L
dA
dy
x
10
令大气压为 p0 ，则 p = p0 + ρg (h − y )
dF = PdA = [ p0 + ρg(h − y)]Ldy
r F
OZo ⊗
xc
θ
l
dm
xmg r
ω
α
r dm⋅ g
dω 3g cosθ α= = 2l dt dω dω dθ dω = ⋅ =ω dt dθ dt dθ
}
3g cosθ dθ ⇒ωdω = 2l
4
对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 力矩M 的方向沿转轴（有正负） 力矩 的方向沿转轴（有正负） 多力作用在刚体上时的合力 的力矩： 的力矩： M = M1+M2+…+Mn 对刚体定轴转动： 对刚体定轴转动： 因力矩M 的方向沿转轴， 因力矩 的方向沿转轴，所以对转动 轴力矩矢量和变成为代数和 M2 M = M1 + M2 + … + Mn

7-31 刚体定轴转动的力矩 转动定律 转动惯量


r dr
dm 2 rdr
对转动惯量的贡献为: 所以有:
m
2
R
dI r dm 2 r dr
0
I 2
1 2 r dr mR 2
3
常用的几个转动惯量：
质 点：
C R m
I mr 2
均匀圆环：
C R
m
I c mR
2
均匀圆盘： 均匀杆：
I c垂直
1 2 mR 2
3、绕一端轴，杆的转动惯量
x dx
例2、均质细圆环的转动惯量 任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
ω m r
I r dm r
2
2
dm m r

2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量 可看作由半径不同的圆环构成，盘面 m 单位面积的质量为
ω
R
3
0
R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
1 2 I A ml 3
A
C l 2 l 2
m
1 2 I c ml 12
另外一些参见P224表7.1。
3、计算 I 的几条规律:
1）对同一轴 I 具有可叠加性
JC C d J m 2）平行轴定理 平行
I Ii
I Ic md
2
d --两平行轴距离
2） 平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
(m1 m2 ) gR M f 1 (m1 m2 m) R 2 2
不计轴上摩擦、不计滑轮质量(Mf = 0, m = 0)
T1 T2

4-2力矩转动定律转动惯量


J r2dm
图1
图2
J1 J2
➢ 常用的转动惯量 （P110 表）
21
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc
22
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
Fit Fit miait miri
11
➢ 质元绕Z轴转动的力矩
M i ri Fit ri Fit miri2
➢ 刚体绕Z轴转动的力矩
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
Mi riFit riFit
mi ri 2
M

r
F
M Frsin Fd
5
4、一对力偶的力矩
M Fd

F
F
o
l


F 0 M 0
M F l F l Fl
22
ro
F'
F

F 0

M 0
M Fr Fr 0
6
讨论
（1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
2
杆：
Jc

1 12
mL2
J
端

1 3
mL2
R Om
O1
O1’
d=L/2
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y
M 2.141012 N m
Q
7
转动定律
（1）单个质点 m与转
轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sin θ
M rFt mr2 M mr2
z
M
Ft
F
O
r m
Fn
8
转动定律
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
元 dA Ldy，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy
y
y
dA
x
dy
hy
x
O
Q
O
L
5
例题
令大气压为 p0 ，则 p p0 g(h y)
dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy

p0Lh
3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：
z
Jz Jx Jy
mC 质心 d
xi
yi ri
y
x
Δmi
1 2
m
R2
R
1 4
mR
2
21
讨论
竿
子
长
些
还
是
短
些
更
稳
飞轮的质量为什么
？
大都分布于外轮缘？
22
转动定律的说明
M J
(1) M J , 与M 方向相同。
M ij
rj
j

O
d
ri
i
Fij
Fji
M ji
Mij M ji
3
例题
例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深
100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.
求作用在大坝上的力，以及这个力对通
过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 .
y
y
x
h
O
Q
x
O
L
4
例题
解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
9
转动定律
Mij M ji
Mij 0
j
内力矩为零
z
M ij O


F
ex j
F in ij F in ji
Fi ex
M ji mi
Mej ( mjrj2 )α J mjrj2
L
Jc
dJ
2 L
x2
dx
m
2
1 ml 2
12
对质心轴
Jc

1 12
ml2
质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。 17
转动惯量
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（1）与刚体的体密度 有关。 （2）与刚体的几何形状及体密度 的分
布有关。 （3）与转轴的位置有关。 表4-2中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆
j
j
转动惯量
J r2dm 10转动定律转动源自律M J文字描述
z



F
ex j
M ij
F in ij

O
F in ji
Fi ex
M ji mi
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
11
转动定律 M J
（1）M 0， ω不变
（2） M
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平行轴定理
质量为m的刚体，
如果对其质心轴的转动
惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
19
平行轴定理 J Jc md2
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
6
例题
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
h
M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy
y

1 2
p0 Lh 2

1 6
gLh3

h dF O
dy 代入数据，得：
圆盘对P 轴的转动惯量
JP

1 mR2 2
mR2
P R Om
质量为m，长为L的细棒绕其一端的J
Jc

1 12
mL2
J

Jc

m( L)2 2

1 3
mL2
O1
O1’
d=L/2
O2
O2’
20
计算转动惯量的几条规律
1、对同一轴可叠加： J Ji i
Jc J
2、平行轴定理： J Jc md 2
J （3） M J J d
dt
12
转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
➢ 转动惯量的单位：kg·m2 ➢ J 的意义：转动惯性的量度 .
13
转动惯量的计算
➢ J 的计算方法
❖ 质量离散分布
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
（3）求 J
Jc mR2
J 2 R2 m d mR 2
0 2
相当于质量为m的质点对轴的J
15
例题
例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量
解：可视圆盘由许多小圆环组成。
CR m
（1） 选微元d m
dm ds
2rdr

m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
行和垂直于转轴方向的两个分量

F Fz F
力矩其为中零，Fz对故转F轴对的转
轴的力矩
M
z
k
r
F
z


F
k
O rFz
F

M z rF sin
点击进入动画
2
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
(3) 刚体内作用力和反作用力的力 矩互相抵消。
力矩
用来描述力对刚体
的转动作用。

FM对 转r轴
z的力矩 F
M Fr sin Fd
d: 力臂
F

Fi 0,
i
F

Mi 0
i
z
F
M
r
Od
P*
F
Fi 0,
i
F

Mi 0
i
1
讨论
(1) 若力F不在转动平面内，把力分解为平
r 0
(3) 求 J
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr

1 2
mR 2
dr
J 1 mR 2
2
16
例题
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 dm dx m dx
l
x
A
C
m
x
0 dx
L
L
2
2
对边缘轴
JA

1 ml2 3
dJ x2dm x2 dx
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm j
r2dV V
dm：质量元 dV：体积元
14
例题
例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量
CR m
dm （1） 选取微元 dm
dm dl m Rd m d
2 R
2
（2）求 d J
dJ R2dm R2 m d 2