1 3 mL2 O1 O1’ d=L/2 O2 O2’ 20 计算转动惯量的几条规律 1、对同一轴可叠加: J Ji i Jc J 2、平行轴定理: J Jc md 2 3、对薄平板刚体,有垂直轴定理: z Jz Jx Jy mC 质心 d xi yi ri y x Δmi 1 2 m R2 R 1 4 mR 2 21 讨论 Biblioteka Baidu 竿 子 长 些 还 是 短 些 更 稳 飞轮的质量为什么 ? 大都分布于外轮缘? 22 转动定律的说明 M J (1) M J , 与M 方向相同。 M ij rj j
O d ri i Fij Fji M ji Mij M ji 3 例题 例1 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,水深 100m,水面与大坝表面垂直,如图所示. 求作用在大坝上的力,以及这个力对通 过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 . y y x h O Q x O L 4 例题 解 设水深h,坝长L,在坝面上取面积 r 0 (3) 求 J J r 2dm m Rr2 0 m R2 2 rdr
1 2 mR 2 dr J 1 mR 2 2 16 例题 例3:求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量 对质心轴 dm dx m dx l x A C m x 0 dx L L 2 2 对边缘轴 JA
1 ml2 3 dJ x2dm x2 dx 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 点击进入动画 18 平行轴定理 质量为m的刚体, 如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ,则对任一与 该轴平行,相距为 d 的 转轴的转动惯量 JO JC md 2 d C mO 19 平行轴定理 J Jc md2 J (3) M J J d dt 12 转动惯量 J mjrj2 J r2dm j ➢ 转动惯量的单位:kg·m2 ➢ J 的意义:转动惯性的量度 . 13 转动惯量的计算 ➢ J 的计算方法 ❖ 质量离散分布 J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2 j j 转动惯量 J r2dm 10 转动定律 转动定律 M J 文字描述 z
F ex j M ij F in ij
O F in ji Fi ex M ji mi 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 11 转动定律 M J (1)M 0, ω不变 (2) M (3)求 J Jc mR2 J 2 R2 m d mR 2 0 2 相当于质量为m的质点对轴的J 15 例题 例2:求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量 解:可视圆盘由许多小圆环组成。 CR m (1) 选微元d m dm ds 2rdr
m R2 2 rdr (2) 求 d J 利用上题结果 dJ = r2 dm y M 2.141012 N m Q 7 转动定律 (1)单个质点 m与转 轴刚性连接 Ft mat mr M rF sin θ M rFt mr2 M mr2 z M Ft F O r m Fn 8 转动定律 (2)刚体 质量元受外力 内力 Fij Fej, Mej Mij mjrj2 L Jc dJ 2 L x2 dx m 2 1 ml 2 12 对质心轴 Jc
1 12 ml2 质量相同,形状相同,转轴不同,J不同。 17 转动惯量 刚体的转动惯量与以下三个因素有关: (1)与刚体的体密度 有关。 (2)与刚体的几何形状及体密度 的分 布有关。 (3)与转轴的位置有关。 表4-2中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆 ❖ 质量连续分布 J mjrj2 r2dm j r2dV V dm:质量元 dV:体积元 14 例题 例1:均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量 CR m dm (1) 选取微元 dm dm dl m Rd m d 2 R 2 (2)求 d J dJ R2dm R2 m d 2 外力矩 内力矩 z O rj Fej m j Fij Mej Mij mjrj2 j j 9 转动定律 Mij M ji Mij 0 j 内力矩为零 z M ij O
F ex j F in ij F in ji Fi ex M ji mi Mej ( mjrj2 )α J mjrj2 行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F 力矩其为中零,Fz对故转F轴对的转 轴的力矩 M z k r F z
F k O rFz F
M z rF sin 点击进入动画 2 讨论 (2) 合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3 (3) 刚体内作用力和反作用力的力 矩互相抵消。 元 dA Ldy,作用在此面积元上的力 dF pdA pLdy y y dA x dy hy x O Q O L 5 例题 令大气压为 p0 ,则 p p0 g(h y) dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy h F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh 1 2 gLh2 y dA 代入数据,得 hy dy F 5.911010 N O L x 6 例题 dF [ p0 g(h y)]Ldy dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF h M 0 y[ p0 g(h y)]Ldy y