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大学物理 力矩 转动定律 转动惯量

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大学物理-力矩

大学物理-力矩

dF PdA [ p0 g(h y)]Ldy
h
F 0 [ p0 g(h y)]Ldy
p0Lh
1 2
gLh2
y
dA
代入数据，得
hy
dy
F 5.911010 N
O
L
x
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
dF [ p0 g(h y)]Ldy
dF对通过点Q的轴的力矩 dM ydF
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
（2）刚体
质量元受外力
内力
Fij
Fej，
Mej Mij mjrj2
外力矩 内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
Байду номын сангаас
j
j
Mij M ji Mij 0
j
第四章 刚体的转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
Mej ( mjrj2 )α
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej

《大学物理》3.2转动定理

《大学物理》3.2转动定理
3.2 转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R

m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i

力矩 刚体定轴转动的转动定律

力矩 刚体定轴转动的转动定律

dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2

m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J

4.3 力矩 转动定律

4.3 力矩 转动定律

v −F v
i
v F
v ∑ Mi ≠ 0
i
∑ F = 0,
i
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
讨论
v 不在转动平面内， （1）若力 F 不在转动平面内，把力分 ）
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
力矩为零， 力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
v 其中 Fz 对转轴的 v
v v v F = Fz + F⊥
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
4.3 力矩 刚体的转动定律 一 力矩
用来描述力对刚体 的转动作用． 的转动作用．
M = Fr sin θ = Fd d : 力臂 v F 对转轴 z 的力矩 v v v M = r ×F
z
v M
v F
O
v r
*
d
P
θ
v −F
i
v F
v ∑ Mi = 0
i
v ∑ Fi = 0,
M = I β , β 与 M 方向相同． 方向相同．
(2) 为瞬时关系． ) 为瞬时关系． (3) 转动中 M = I β 与平动中F = ma ) 地位相同． 地位相同．
武汉纺织大学 物理教研室
大学物理学
第4章
刚体的定轴转动
质量为m 的物体A 例2 质量为 A的物体 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接， 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳 索跨过一半径为R、质量为m 索跨过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖 ，并系在另一质量为m 的物体B上 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与 轴承间的摩擦力可略去不计． ) 轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的 张力各为多少？ ) 张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 其速率是多少？ 离 y 时，其速率是多少？

转动定律、转动惯量讲解

转动定律、转动惯量讲解
Fit*ri+Fit'*ri= Δmi*(ri^2)*α
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0， 于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴 的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全 靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体 上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动 惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体 相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的 垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地 球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知， 需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没 有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲 解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转 动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动 定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大 的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。

大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料

大学物理力矩转动惯量定轴转动定律资料

Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
上页 下页 返回 退出
用 ri 乘以上式左右两端得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri 2
设刚体由N个质元构成，对每个质元可写出上述 类似方程，将这N个方程左右相加得
F r sin f r sin (m r
N i 1
刚体定轴 转动定律
2 2 r m 单位： kg· m i i
上页 下页 返回 退出
d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在合外力矩的作用下，所获 得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与刚体的转 动惯量成反比。
说明： α ，转动惯量是转动惯性 （1）Mz 一定，J 大小的量度；例如地球的转动惯量非常巨大，因此转 动惯性也非常巨大，地球的自转角速度亘古不变！
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩 F对O点的力矩： M r F M rF sin
Z
M
F
M
F
MZ
转 动 平 面

A
O r
r
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴的力矩 M Z
上页 下页 返回 退出
力不在转动平面内
M r F r (F1 F2 ) r F1 r F2
i i i
x
上页 下页 返回 退出
几种典型形状刚体的转动惯量
O' ω m O 圆环 J=mR2 细棒 R
l
1 J ml 2 12 ω
R2
L
R
R1
1 圆柱 J mR 2 2
1 2 圆筒 J m( R12 R2 ) 2

大学物理-力矩、转动定律、转动惯量


gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz

大学物理实验转动惯量

对形状简单且质量分布均匀的物体，转动惯量 可直接理论计算，如
这些物体绕其他与特定轴平行的轴转动时，转 动惯量由平行轴定理计算。
若刚体绕过质心的轴转动的转动惯量为I0，则 绕另一与之平行的轴转动的转动惯量为
I I0 mx2
x为两平行轴之间的距离。
四、弹簧扭转常数K和载 物盘转动惯量的测定
设载物盘的转动惯量为I0，转动周期可测量为 T0，另一转动惯量可理论计算的物体的转动惯 量为I1′，将该物体放在载物盘上，两轴重合， 复合摆周期T1,，则
I 2 转动周期 T K
由此可知，通过测量刚体转动的周期，再由已 知的扭转常数K，就可以计算出转动惯量I。
2
二、仪器描述
光电探头 实心球体
空心金属 圆柱体
扭摆 周期测定仪 挡光杆
塑料圆柱体
游标卡尺
夹具
滑块
金属杆
载物盘
转动轴 螺旋弹簧 水平调 节螺钉 气泡水 平仪
三、转动的平行轴定理
2 2 I0 T0 4 K
I1 K 4 2 T1 T02
2
I 0 I1 T 4 K
2 1 2
2 I T I 0 4 2 2 0 2 T1 T0
五、实验内容及步骤
计算各物体转动惯量的理论值 根据各待测物转动惯量计算公式，测量各物体 有关几何尺寸及质量，各测量三次取平均值。 扭转常数K的确定 ①调整扭摆基座底角螺丝，使扭摆水平。 ②装上载物盘，调整光电探头的位置，使挡光 杆处于缺口中央，测定周期T0。 ③将塑料圆柱体放在载物盘上，测定周期T1。 ④由T0 、T1及塑料圆柱转动惯量的理论值I1′ 计算扭转常数K和载物盘的转动惯量I0。
相关参数：
金属细杆夹具的转动惯量

力矩转动定律转动惯量jm汇总课件


力矩的物理意义
总结词
力矩描述了力使物体绕某点转动的趋势或转动效果。
详细描述
力矩决定了物体绕某点转动的趋势或转动效果，其方向与力和力臂的乘积方向 相同。力矩越大，物体转动的趋势或转动效果越明显。
力矩的计算方法
总结词
力矩的大小等于力和力臂的乘积，计中力臂是从转动轴（或转动中心）到力的垂 直距离。计算公式为 M=FL，其中 M 为力矩，F 为力，L 为力臂。同时，力矩的 方向与力和力臂的乘积方向相同。
转动惯量的大小决定了物体旋转运动 的加速度、角速度和角动量等参数的 变化规律，进而影响物体的运动状态 和稳定性。
转动惯量的计算方法
转动惯量的计算方法主要包括平行轴定理和垂直轴定理。
平行轴定理指出，对于一个质量分布均匀的刚体，其相对于某固定轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以质心到该轴的距离 的平方，再加上所有相对于此轴的离散质量的转动惯量之和。垂直轴定理则说明，一个质量分布均匀的刚体相对于任一垂直 于其对称平面的轴的转动惯量，等于该刚体的质量乘以其对称轴到质心的距离的平方。
车辆工程
在车辆工程中，力矩转动定律用于分析车辆动力学和稳定性 问题。例如，通过分析车轮的力矩，可以研究车辆的操控性 能和行驶稳定性。
力矩转动定律在科研中的应用
物理学研究
力矩转动定律是物理学中分析转 动问题的基本原理，广泛应用于 分析天体运动、刚体动力学等问 题。
生物学研究
在生物学研究中，力矩转动定律 用于分析生物体的运动和平衡机 制，如动物的行走、飞行等。
动惯量。
实验步骤
2. 将刚体安装到实验装置上 ，调整力矩计和角位移传感
器的位置和角度。
1. 准备实验器材：刚体、力 矩计、角位移传感器、数据

4-2力矩转动定律转动惯量


J r2dm
图1
图2
J1 J2
➢ 常用的转动惯量 （P110 表）
21
四 平行轴定理
质量为m 的刚体，
如果对其质心轴的转动 惯量为 JC ，则对任一与
该轴平行，相距为 d 的
转轴的转动惯量
JO JC md 2
d
C mO
J Jc
22
J Jc md2
圆盘对P 轴的转动惯量 P R O m
Fit Fit miait miri
11
➢ 质元绕Z轴转动的力矩
M i ri Fit ri Fit miri2
➢ 刚体绕Z轴转动的力矩
z
Fi内
Fi外
r O i m i 质量元
Mi riFit riFit
mi ri 2
M

r
F
M Frsin Fd
5
4、一对力偶的力矩
M Fd

F
F
o
l


F 0 M 0
M F l F l Fl
22
ro
F'
F

F 0

M 0
M Fr Fr 0
6
讨论
（1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
41
➢ 常用的转动惯量公式
m质点：J r2m 圆盘(圆柱): J 1 mR2
2
杆：
Jc

1 12
mL2
J
端

1 3
mL2
R Om
O1
O1’
d=L/2
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m1 m2 g
m m 1 m r 1 2 2
0 t
m2 g
m1 m2 gt
21
1 m1 m2 m r 2
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一端有一固定的 光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖 直位置, 由于微小扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。
1 2 J L / 2x dx ML 12
L/2 2
z M O L
dx
x
对端点
注意 二者关系：
J 0 x dx 0
2
L
L
M 1 2 x dx ML L 3
2
J 与转轴的位置有关
1 1 2 1 2 L 2 J O＋m mL mL mL J 端点 4 3 2 12
7
2 – 5 刚体的定轴转动
讨论
第二章 动力学基础
(1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 F ma M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。
dv F ma m dt
d M J J dt
(2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。
12
2
2 – 5 刚体的定轴转动
平行轴定理
第二章 动力学基础
z'
z M L C
J z' J z ML
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量；
Jz
刚体绕通过质心的轴的转动惯量； 两轴间垂直距离。
13
L
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例3 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何 计算？(棒长为L、圆盘半径为R）
k k k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
2 k k
第二章 动力学基础
( m r ) Fk rk f k rk
k k k
其中
F r
k k k
k
M z 称为合外力矩 ；
内力矩之和为零；
f k rk 0
k
令
2 J z m， r k k
称为刚体对z轴的转动惯量。
J r dm
2 0
m
R dr r
m

注意
R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
J 与质量分布有关
O
16
2 – 5 刚体的定轴转动
（2）用平行轴定理、迭加法
第二章 动力学基础
M
J = J 大– J 小 J = J 大+ J 小
o
. .
R
O
(3) 实验法
如三线扭摆法。
17
2 – 5 刚体的定轴转动
四、转动定律的应用举例
第二章 动力学基础
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
F
J L1
1 2 J o mo R 2
1 2 mL L 3
(棒对边缘轴) (圆盘对中心轴)
2
J L 2 J 0 m0 d
(圆盘对棒边缘轴)
1 1 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R ) 3 2
14
2 – 5 刚体的定轴转动
例4 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
两边积分：


0
d

0
3g sin d 2l
角速度：
3g 1 cos l
24
1 2 J ml 3
23
2 – 5 刚体的定轴转动
棒处于θ角时： 而
第二章 动力学基础
d dt
作变换：
1 mgl sin M 3 g sin 2 1 2 J 2l ml 3
3g d d d d sin d d d 2l dt d dt d
mg
19
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边 分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 >m2, 绳与滑轮间 无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。
求:滑轮转动角速度随时间变化的规 律。
m r
m2
m1
20
2 – 5 刚体的定轴转动
二、刚体绕定轴转动微分方程
第二章 动力学基础
作用在 mk 上的外力F ，内力 f k k dvk mk Fk f k dt
在圆规迹切线方向
z

o
vk
mk ak mk rk Fk f k
两边乘以rk，并对整个刚体求和
2 k k
mk
( m r ) Fk rk f k rk
则
J z M z
或
d Jz Mz dt
6
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角 加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力 矩的代数和。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比,与刚体的转动惯量成反比。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
M ij
O
M ji
d
ri
F ji i F
ij
rj
j
Mij M ji
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
2 不在转动平面内的力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
4
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
J 0 R dm 0 R dl
2 2
L
2 πR
R
2 3
2 πR
dl
0
dl
R
O
m
m 2 2 πR mR 2 πR
15
2 – 5 刚体的定轴转动
例5 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
第二章 动力学基础
m 2mr dm ds 2 2 πrdr 2 dr πR R
第二章 动力学基础
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体：

dm dl
dm dS
dm dV
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：

：质量体密度
2 – 5 刚体的定轴转动
（1）用定义式计算
第二章 动力学基础
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
解 (1)
第二章 动力学基础
Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2 J 0 .5
rO
mg T ma
(2)
Tr J
两者区别?
F
T
T
a r
mgr 98 0.2 2 21.8 rad/s 2 2 J mr 0.5 10 0.2
8
2 – 5 刚体的定轴转动
三、转动惯量 刚体质量不连续分布 刚体质量连续分布 确定转动惯量的三个要素: (1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。
第二章 动力学基础
J mi ri 2
J r dm
2
i
9
2 – 5 刚体的定轴转动
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
求:它由此下摆角

时的
l
O
角加速度和角速度。
l /2
P
22
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解: 棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对O 的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下 l 摆 角时, 重力矩大小为：
l /2
1 M mgl sin 2
J
O
P
重力对整个棒的合力矩与全部重力集中 作用在质心所产生的力矩一样。 因此棒绕 轴O的转动惯量为：
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
2.6 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。
力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析 m1：
Байду номын сангаас
第二章 动力学基础
m1 g T1 m1a1 m2： T m g m a 2 2 2 2

T2
T2 m2
m r
T1 T1
滑轮 m：
1 2 T1r T2 r J mr 2 a1 a2 a r

m1
m1 g
h θ
F Fn
F
1
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
矢量形式
M r F
z