结构力学 第六讲

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求图示桁架各杆轴力。 求图示桁架各杆轴力。
求支座反力。 求支座反力。 作截面切断杆AC 作截面切断杆 、 DE、BF。 ∑x=0 FN1=0
FyA=FP /4
a 2a
P
a a
FyB=3FP /4
a
∑M0=0 FN3= - FBy ∑y=0 FN2=0
O
FN1 FN3
再由结点法计算其 余杆轴力。 余杆轴力。 FN2
简单桁架
联合桁架
复杂桁架 简单桁架
9
3）桁架杆件轴力正负号规定及斜杆轴力的表示 ）
桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。 桁架杆件的轴力以拉力为正，压力为负。计算时通常假设 拉力为正 杆件的未知轴力为拉力，若计算结果为正，说明杆件受拉， 杆件的未知轴力为拉力，若计算结果为正，说明杆件受拉，反 之受压。 之受压。
将力S 点分解为X 将力S1在B点分解为X1、Y1 Pd 求出 X1 = h
桁架零杆的判断及结点平衡的特殊情况 零杆——内力为零的杆件。 零杆
（1）不共线的两杆结点，无荷载作用时，则 不共线的两杆结点，无荷载作用时， 不共线的两杆结点 两杆为零杆。 两杆为零杆。 N1
N1=N2=0
N2
（2）有两杆共线的三杆结点，无荷载作用时 有两杆共线的三杆结点， 则第三杆为零杆。 ，则第三杆为零杆。
SGE
4m
YGE=15kN（拉） 由∑Y=0 可得 然后依次取结点F、E、D、C计算。 4 YGE XGE= 由比例关系求得 SFE=+15kN 分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁15 × 3 =20kN(拉) 到结点B时，只有一个未知力SBA， XGE 5 SED=+60kN E 架，由基本三角形ABC按二元体规则依 G SGE=15× =25kN(+20kN 及 =-20kN 拉) SFC 3 最后到结点A时，轴力均已求出， SGF XEC=-40kN 次装入新结点构成。由最后装入的结点 F 20kN +15kN 再由∑X=0 可得EC=-30kN GE=-20kN(压） Y SGF=-X 故以此二结点的平衡条件进行校核。 G开始计算。（或由A结点开始）
例1.用结点法计算下图桁架各杆的轴力。
（1）首先由桁 HB=120kN D B +60 架的整体平衡条 件求出支反力。 HA=120kN 60 A （2）截取各结 -120 C 点解算杆件内力。 V =45kN
45
A
+60 40 30
E 20 G
15kN
-20
15kN 4m
F
-20
15kN 4m
取结点G隔离体
9根 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8根 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7根
0
0
18
FP
P
E
P
F
0
C
0 0
A
0
D
0
B
19
2.截 面 法 截
截面法的概念：截面法是作一截面将桁架分成两部分， 截面法的概念：截面法是作一截面将桁架分成两部分， 任取一部分为隔离体（含两个以上的结点）， ），用平衡方程 任取一部分为隔离体（含两个以上的结点），用平衡方程 计算所截杆件的内力。 计算所截杆件的内力。 有些情况下,用结点法求解不方便 如: 有些情况下 用结点法求解不方便,如 用结点法求解不方便
6
计算简图中引用的基本假定 桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。 （1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。 各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 （2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。 荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。 （3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。
D
YB 解: 1.求支座反力 YA = 7 P / 5(↑), YB = 3P / 5(↑) 求支座反力 2.作1-1截面 取右部作隔离体 截面,取右部作隔离体 作 截面 A O ∑ F = 0, N = 3 2 P / 5
YA
N HD
P
YB
N3
C
X3
D
∑ M D = 0, N1 = −6 P / 5
Y3 Y2
N X23 N
3
∑X=N1+X2+X3=0
∴N2=5X2/4=5P/8
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例4：求图示桁架杆1轴力。 ：求图示桁架杆 轴力。 轴力
B I 2FP
1
C D I FP FN1
解： 求反力。 求反力。 取截面I 取截面I-I。 由∑MD=0 FN1·2a+2FP(l+a)FN1·2a+2FP(l+a)(2lFP (2l-a)=0 FN1= - 2FP / 3
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杆的内力。 例.计算桁架中a杆的内力。 计算桁架中 杆的内力
1.3P
0.5P
T C a
Ι
D
P d d G
E
源自文库由结点T
NTD 2 =− P 4
0.5P T
ΙΙ
F
K A B 2d
ΙΙ Ι
H 2d
N TD
2 P 4 D
N DG
P 2d
由截面Ι- Ι右 ∑Y = 0 N DG = −1.25P 由截面ΙΙ - ΙΙ上
Ⅰ C 2m 1 2m P
P/2 1m 2m Ⅰ 4m 3
2 D 2m×6=12m N
1 X 2
1m
将它们去掉 【解】：先找出零杆， 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 ∑MD=3N1+P/2×6=0 得 N1=－P ∑MC=2X3－P/2×2=0 得 X3=P/2 ∴ N3=X3/4×4.12=0.52P ∴ X2=P/2
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桁架的各部分名称
上弦杆 腹杆
竖杆 斜杆
节间长度d
下弦杆
跨度 L
8
2）桁架的分类 ）
按几何组成分类： 按几何组成分类：
简单桁架—在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成。 简单桁架 在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成。 在基础或一个铰结三角形上依次加二元体构成 联合桁架—由简单桁架按基本组成规则构成 由简单桁架按基本组成规则构成。 联合桁架 由简单桁架按基本组成规则构成。 复杂桁架—非上述两种方式组成的静定桁架 非上述两种方式组成的静定桁架。 复杂桁架 非上述两种方式组成的静定桁架。
2d
1.3P
0.5P T C D
P
∑MF = 0
N a = 0.05 2 P
F
Na
1.25P
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4.组合结构计算 组合结构计算 组合结构:由链杆（受轴向力的二力杆） 组合结构 由链杆（受轴向力的二力杆） 由链杆 和梁式杆（可承受弯矩、剪力、轴力的杆 和梁式杆（可承受弯矩、剪力、 件）混合组成的结构。 混合组成的结构。
3
结构实例
1）桁架的计算简图 ）
实际桁架结点的构 造并非理想铰结。 造并非理想铰结。各 杆的轴线也不一定是 理想的直线， 理想的直线，结点上 各杆的轴线也不一定 完全交于一点。 完全交于一点。要完 全根据实际情况进行 内力分析比较困难。 内力分析比较困难。 因此，计算简图中引用如下的基本假定： 因此，计算简图中引用如下的基本假定：
15kN
15kN +15kN 12
计算中的技巧 当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算： 当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算： (1)改变投影轴的方向 (1)改变投影轴的方向
B A C
由∑X=0
Y1 X1 B r C S1
可首先求出S 可首先求出S1 P A
S2
x
d
(2)改用力矩式平衡方程 (2)改用力矩式平衡方程 由∑MC=0
拆开C铰和截断DE 拆开C铰和截断DE 取右部为隔离体。 杆，取右部为隔离体。
Ⅰ
51
2
VA=5kN
A a l a 2l
思考1 求图示桁架杆1轴力。 思考1：求图示桁架杆1轴力。
B
d A 1
P
d d d
思考2 求图示桁架杆1轴力。 思考2：求图示桁架杆1轴力。
P
a/2 a
1
a/2
a/2
a/2
a/2
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思考3 求图示桁架各杆轴力。 思考3：求图示桁架各杆轴力。
I
P
P
a a
I a a a a
按照两刚片相联规则组成的联合桁架， 按照两刚片相联规则组成的联合桁架，必须先用截面 法求出联接杆的内力。 法求出联接杆的内力。 联接杆的内力
第六讲 静定桁架和 组合结构
本讲内容： 本讲内容： 桁架的特点和组成分类 结点法 截面法 截面法和结点法的联合应用 组合结构的计算
2
1. 概述
桁架是由若干细长杆件在其端部相互连接而成 的一种空腹形式的结构， 的一种空腹形式的结构，它广泛地应用于各种工 程结构之中。 程结构之中。
特点及组成
所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下， 所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下，各杆 铰结点 内力中只有轴力。截面上应力分布均匀， 内力中只有轴力。截面上应力分布均匀，可以充 分发挥材料的作用。因此， 分发挥材料的作用。因此，桁架是大跨度结构中 常用的一种结构形式。 常用的一种结构形式。在桥梁及房屋建筑中得到 广泛应用。 广泛应用。
N3=0
N1 N3
N2
14
（3）四杆对称K结点，结构对称，荷载对称，K 四杆对称K结点，结构对称，荷载对称， 四杆对称 结点位于对称轴上，无荷载作用时， 结点位于对称轴上，无荷载作用时，则不在一直 线上的两杆为零杆。 线上的两杆为零杆。
N1 N2
N3=N4=0
N3 N4
结点平衡的特殊情况
（1）K结点，四杆对称K结点，无荷载作用时 K结点，四杆对称K结点， 则不在一直线上的两杆内力绝对值相等， ，则不在一直线上的两杆内力绝对值相等，但 符号相反。 符号相反。 N2
组合结构的计算步骤：
（1）求支座反力； （2）计算各链杆的轴力； （3）分析受弯杆件的内力。
30
例5.分析此组合结构的内力。 5.分析此组合结构的内力。 分析此组合结构的内力
HA=0
6 12 +12
解：
1. 由整体平衡条 件求出支反力 出支反力。 件求出支反力。
2. 求各链杆的内 力：作Ⅰ－Ⅰ截面
FyB 27
3.结点法与截面法的联合应用 结点法与截面法的联合应用
在解决一些复杂的桁架时， 在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往 不能够求解结构的内力，此时将两种方法联立问题可解。 不能够求解结构的内力，此时将两种方法联立问题可解。
为了使计算简捷应注意： 为了使计算简捷应注意： 1）选择一个合适的出发点； ）选择一个合适的出发点； 2）选择合适的隔离体； ）选择合适的隔离体； 3）选择合适的平衡方程； ）选择合适的平衡方程；
3.作2-2截面 取左部作隔离体 作 截面 截面,取左部作隔离体 ∑ M O = 0,Y3 ⋅ 3a + P ⋅ 2a − YA ⋅ a = 0,Y3 = − P / 5 13 N3 = − P 10
y
2
YA 2a 2a / 3
Y3
13a / 3
a
21
例3.用截面法计算下图桁架1、2、3杆的轴力。
N y B N x a L A N a lx ly x Y
N X Y = = l lx l y
10
2.结点法 结点法
桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。 桁架计算一般是先求支座反力后计算内力。 计算内力时可截取桁架中的一部分为隔离体， 计算内力时可截取桁架中的一部分为隔离体， 根据隔离体的平衡条件求解各杆的轴力。如果 根据隔离体的平衡条件求解各杆的轴力。 所取隔离体仅包含一个结点，这种方法称为结 所取隔离体仅包含一个结点，这种方法称为结 点法。 点法。 一个结点可以列出两个平衡方程， 一个结点可以列出两个平衡方程，从一个结 点可以求解两个杆件的未知轴力。 点可以求解两个杆件的未知轴力。
隔离体上的力是一个平面任意力系， 隔离体上的力是一个平面任意力系，可列出三个独立的 平衡方程。 平衡方程。取隔离体时一般切断的未知轴力的杆件不多余三 根。
20
例2.用截面法计算下图桁架1、2、3杆的轴力。
P 2F P 1
Ι
G
I
N1
a/3 2a / 3 N
2
E A
3
2 D Ι H 2 5× a
C
J
B
上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点， 上述假定，保证了桁架中各结点均为铰结点，各杆内只有 铰结点 轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。 二力杆 轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。但 工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是次要的， 工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是次要的，称 次应力。按理想桁架计算的应力是主要的，称为主应力 主应力。 为次应力。按理想桁架计算的应力是主要的，称为主应力。 本节只讨论产生主应力的内力计算。 本节只讨论产生主应力的内力计算。
N1 N3 N4
N3=-N4
（2）X结点，两两共线的四杆结点，无荷载作 X结点，两两共线的四杆结点， 用时，则同一直线上的两杆内力相等。 用时，则同一直线上的两杆内力相等。
N3 N1 N2 N4
N1=N2 N3=N4
16
D
C
P
7 8
10
4
1 C 2
P
5 9 11 6 3 A B
A
B
17
找出桁架中的零杆