结构力学第四章
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《结构力学》第4章：静定结构的位移计算
4
4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
1
2
3
4
5
【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。
4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
1
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【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。
结构力学第四章
M
(2将)虚位移X 与/ 实C 际 力a /状b 态代无入关得,故:可设
B
X X
0
X
P
x
b1P
/
a
C
0
(3通)求常解取时关键一步X 是找1出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
所有微段的外力功之和:
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
Ude =∫dWi =δWi
故有Wex = Ude成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。
二、结构的虚变形功 平面杆系结构k状态微段外力、m状态的变形为
微段受力 微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为 Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
结构力学 第四章 三铰拱
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA
结构力学第四章
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
结构力学第四章知识讲解
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
结构力学第四章静定结构总论
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
2）三角形桁架
FP FP
各种桁架的受力特点
FP FP/2 h 4d
C
FP/2
简支梁C 点的弯 矩
（1）上弦杆
0 2.5FP 2d FP d 0.5FP 2d MC FN r r
在往下的竖向荷载作用下，三角形桁架的上弦杆受压，并 且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，而r是按三 角形变化的，因此上弦杆的内力中间小，两边大。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
D
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h 简支梁D 点的弯 矩
3）抛物线形桁架
6d （2）下弦杆
0 3FP 2d FP d 0.5FP 2d M D FN r r
在往下的竖向荷载作用下，抛物线形桁架的下弦杆受拉， 并且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，r也是按 抛物线变化的，因此下弦杆的内力相同。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h
3）抛物线形桁架
6d （3）腹杆
可以证明抛物线形桁架腹杆的内力等于零，剪力由上 弦杆受承受。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
各种桁架的受力特点
通过上述分析可以得出以下结论： 1、平行弦桁架 由于杆件内力分布不均匀，会造成材料的浪费。但构造 简单，经常应用于小跨度结构。 2、三角形桁架 在支座处，桁架的夹角小，内力大，构造复杂，因此一 般用于小跨度的屋架。 3、抛物线形桁架 由于上下弦杆的内力基本相同，因此最节省材料，但是 结点构造复杂，一般用于大跨度结构。
§4-6
2）三角形桁架
FP FP
各种桁架的受力特点
FP FP/2 h 4d
C
FP/2
简支梁C 点的弯 矩
（1）上弦杆
0 2.5FP 2d FP d 0.5FP 2d MC FN r r
在往下的竖向荷载作用下，三角形桁架的上弦杆受压，并 且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，而r是按三 角形变化的，因此上弦杆的内力中间小，两边大。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
D
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h 简支梁D 点的弯 矩
3）抛物线形桁架
6d （2）下弦杆
0 3FP 2d FP d 0.5FP 2d M D FN r r
在往下的竖向荷载作用下，抛物线形桁架的下弦杆受拉， 并且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，r也是按 抛物线变化的，因此下弦杆的内力相同。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h
3）抛物线形桁架
6d （3）腹杆
可以证明抛物线形桁架腹杆的内力等于零，剪力由上 弦杆受承受。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
各种桁架的受力特点
通过上述分析可以得出以下结论： 1、平行弦桁架 由于杆件内力分布不均匀，会造成材料的浪费。但构造 简单，经常应用于小跨度结构。 2、三角形桁架 在支座处，桁架的夹角小，内力大，构造复杂，因此一 般用于小跨度的屋架。 3、抛物线形桁架 由于上下弦杆的内力基本相同，因此最节省材料，但是 结点构造复杂，一般用于大跨度结构。
《结构力学》_第4章_2014-1
i
B
d
B
A
B
Q
d
B
A N
A 1
i
Q
FN
i A
N
1
A
B
FN
A
虚功方程：
F Q 1 sin
F N 1 cos
虚功方程：
1 Q F Q d 0
者的叠加，有：
Q F Q d
1 N F N d 0
N F N d
虚功方程
FR 1
b a
FR 1
b 1 FR 1 c1 0 c1 a
小结：⑴ 形式是虚功方程，实质是几何方程； ⑵ 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移 相应的支座反力。构造一个平衡力系； ⑶ 特点是用静力平衡条件解决几何问题。
4、支座移动时静定结构的位移计算
4 3
C C 1 D 3 2l
B
A
1 2l
2 l
1 c cA 3 1 (2) 1 c A 0 2l 1 cA 2l
求解步骤：⑴ 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； ⑵ 代入公式
FR k ck 解得，根据正负号定出方向。
D
C E
练习4-1：三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角φ。
B
d
A
m
i
a
B
d
a
A
m
虚功方程：
1 m M d 0 m M d
( c)
B
M
1
A
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对剪位移d ，试求A点在 i－ i 方向的位移 Q 。
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
结构力学第4章
自测
静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理W =0， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理 e=0，得
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∆ ×1 + ∑ Rc = 0
式中， 为虚单位力引起的支座反力 为虚单位力引起的支座反力， 式中，R为虚单位力引起的支座反力，c 为实际支座 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 若结构是超静定的，则当支座移动时， 若结构是超静定的，则当支座移动时，将会产生内力和变 形，故 Wi≠0，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 ，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 4.温度作用时的位移计算 4.温度作用时的位移计算 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变， 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变，而轴向 线应变和曲率分别为 ／ ε =α t0， κ=α∆t／h
A B
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c
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第4章 静定结构的位移计算 章
返回
自测
若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变， 若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变，则 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题 变形体的位移计算问题。 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题。 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变， 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变，就属于 变形体的位移计算问题。 变形体的位移计算问题。 -t
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第4章 静定结构的位移计算 章
静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理W =0， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理 e=0，得
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∆ ×1 + ∑ Rc = 0
式中， 为虚单位力引起的支座反力 为虚单位力引起的支座反力， 式中，R为虚单位力引起的支座反力，c 为实际支座 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 若结构是超静定的，则当支座移动时， 若结构是超静定的，则当支座移动时，将会产生内力和变 形，故 Wi≠0，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 ，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 4.温度作用时的位移计算 4.温度作用时的位移计算 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变， 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变，而轴向 线应变和曲率分别为 ／ ε =α t0， κ=α∆t／h
A B
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若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变， 若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变，则 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题 变形体的位移计算问题。 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题。 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变， 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变，就属于 变形体的位移计算问题。 变形体的位移计算问题。 -t
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第4章 静定结构的位移计算 章
结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)
By
0l
MPM EI
ds
0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx
PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P
MM Pds EI
FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
2x6 2
3
AC段
0 x 2
80x qx 2
1 x 3
D
2720 9EI
()
例题：计算D处竖向位移，B处角位移？（EI为常数）
解：1.构造虚设状态
x
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
DB段
0 x2
P 轴向
FN FNP EA
kFQ FQP GA
MM P EI
ds
式中：
剪切 弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。
解：1.构造虚设状态
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
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第四章 静定结构的位移计算
§4-1 概述 §4-2 外力虚功与虚变形功 §4-3 虚功原理 §4-4 虚位移原理与单位位移法 §4-5 虚力原理、单位荷载法 §4-6 杆件结构的位移计算公式
及荷载作用下的位移计算 §4-7 图乘法 §4-8 支座移动、温度改变时的位移计算 §4-9 互等定理
实用文档
§4-1 概 述
一、工程结构在荷载、温度变化、支座移动等因素下，结 构的形状一般会发生变化——变形（或形变），结构 的截面位置一般会发生改变——位移（线位移和角位 移）。
荷载作用
温度变化
支座移动
实用文档
相对位移
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
（3）刚体虚功原理：
或
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
（虚拟）
静力平衡系
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
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2.力偶虚功：
静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
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3.均布力虚功：
静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
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4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
平衡力系在刚体位移上的虚功=？
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四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析：
微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
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第i杆件的虚功：
平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边 界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
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例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移 动 ，中间铰C的竖向位移 。 解：
1.建立静力状态k：
2.建立虚功方程：
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§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
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二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
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例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
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取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
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2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E2100kN/cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP , FNk
静力状态k；
（2）虚设单位位移
，
得位移状态m；
（3）虚功方程：
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2.求截面E的弯矩
：
（1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态；
（2）沿 正向给单位虚位移 得m状态；
（3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当
有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚 功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
位移协调系 （真实）
静力平衡系 （虚拟）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
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虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协 调系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形 体系各微段外力在变形位移上虚功和。即：
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以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量： 微段外力满足平衡条件：
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位移协调系m：
各点的位移分量：
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按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
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按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功： 各截面内力虚功总和为零。 显然有：
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虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。
（2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。
（3）列表计算 （4）计算
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§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
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位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
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例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。
解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
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ห้องสมุดไป่ตู้
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
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三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
§4-1 概述 §4-2 外力虚功与虚变形功 §4-3 虚功原理 §4-4 虚位移原理与单位位移法 §4-5 虚力原理、单位荷载法 §4-6 杆件结构的位移计算公式
及荷载作用下的位移计算 §4-7 图乘法 §4-8 支座移动、温度改变时的位移计算 §4-9 互等定理
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§4-1 概 述
一、工程结构在荷载、温度变化、支座移动等因素下，结 构的形状一般会发生变化——变形（或形变），结构 的截面位置一般会发生改变——位移（线位移和角位 移）。
荷载作用
温度变化
支座移动
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相对位移
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
（3）刚体虚功原理：
或
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
（虚拟）
静力平衡系
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
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2.力偶虚功：
静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
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3.均布力虚功：
静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
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4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
平衡力系在刚体位移上的虚功=？
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四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析：
微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
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第i杆件的虚功：
平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边 界条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
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例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移 动 ，中间铰C的竖向位移 。 解：
1.建立静力状态k：
2.建立虚功方程：
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§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
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二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
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例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
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取
，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
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2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程 （3）
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例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E2100kN/cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP , FNk
静力状态k；
（2）虚设单位位移
，
得位移状态m；
（3）虚功方程：
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2.求截面E的弯矩
：
（1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态；
（2）沿 正向给单位虚位移 得m状态；
（3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当
有任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚 功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
位移协调系 （真实）
静力平衡系 （虚拟）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
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虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协 调系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形 体系各微段外力在变形位移上虚功和。即：
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以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量： 微段外力满足平衡条件：
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位移协调系m：
各点的位移分量：
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按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
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按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功： 各截面内力虚功总和为零。 显然有：
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虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。
（2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。
（3）列表计算 （4）计算
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§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
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位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
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例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。
解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
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2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
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三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功