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结构力学第四章

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《结构力学》第4章：静定结构的位移计算

《结构力学》第4章：静定结构的位移计算
4
4.1 结构位移计算的目的
计算结构位移的目的主要有如下几个方面：
01
03
02
材料的受力在弹性范围内，应力与应变的关系符合胡克定律； 结构的位移(或变形)是微小的。
应该指出的是本章研究的结构仅限于线弹性变形体结构，即结构必须具备如下条件：
4.2 变形体的虚功原理
添加标题
对于线性变形结构，在任一位置上的△x和作用力Px之间均保持线性关系，即有
4.5 图 乘 法
4.6 静定结构在支座移动时位移计算
4.7 功的互等定理
小 结
本章学习要求
理解静定结构位移计算的重要性。
了解实功、虚功、广义力、广义位移、虚功原理等概念和公式推导。
熟练掌握荷载作用下用单位荷载法，并采用图乘法计算结构位移；对于支座移动时结构位移计算只要求了解。
理解弹性体系的几个互等定理及其应用。
1
2
3
4
5
【例4.4】简支梁AB，作用有均布荷载如图4.6(a)所示，梁的EI为常数。求跨中C点的挠度△cr。
解：(1)画实际荷载作用下的弯矩图 如图4.6(b)所示。
图4.6
(2)在跨中C点加虚设单位力P=1，其弯矩图如图4.6(c)所示。
(3)计算ω，yc注意要分段。
(4)计算△cr。
符号规定如下：当 与实际支座位移c的方向一致时，所得乘积取正值，反之取负值。
由以上可见，不论属于哪种情况，虚设单位荷载必须是与所求广义位移相应的单位广义力。计算结构位移的基本步骤是：
(1)在欲求位移处沿所求位移方向虚设广义单位力，然后分别列出各杆段内力方程。
(2)列实际荷载作用下各杆段内力方程。
(3)将各内力方程分别代入式，分段积分后再求总和即可计算出所求位移。

结构力学 第四章 三铰拱

结构力学 第四章 三铰拱

杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
FP
曲梁
三铰拱
第四章 三铰拱
三、拱常用的形式
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 跨度 拱趾铰 拱轴线 拱（矢）高
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A ∑ M A = 0, VB l − M ABP = 0 H A
第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 §4-2 三铰拱的支座反力和内力 §4-3 压力线与合理拱轴
第四章 三铰拱
§4-1 概述 实例——拱桥 一、实例 拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承受轴向压力为主 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
第四章 三铰拱 [例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： 三铰拱及其所受荷载如图所示 y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。 求支座反力，并绘制内力图。 解: (1) 反力计算
4 × 4 + 1× 8 ×12 0 VA = VA = 16 = 7kN ( ↑ ) 7kN
M ABP VB = l l 同跨度同荷载简支梁(代 同跨度同荷载简支梁( 的支座反力： 梁）的支座反力：
i i
P
q
C
f
B
l1
l − l1
HB VB
∑ Pa =
VA

结构力学第四章知识讲解

结构力学第四章知识讲解
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为

结构力学第四章静定结构总论

结构力学第四章静定结构总论
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
2）三角形桁架
FP FP
各种桁架的受力特点
FP FP/2 h 4d
C
FP/2
简支梁C 点的弯 矩
（1）上弦杆
0 2.5FP 2d FP d 0.5FP 2d MC FN r r
在往下的竖向荷载作用下，三角形桁架的上弦杆受压，并 且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，而r是按三 角形变化的，因此上弦杆的内力中间小，两边大。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
D
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h 简支梁D 点的弯 矩
3）抛物线形桁架
6d （2）下弦杆
0 3FP 2d FP d 0.5FP 2d M D FN r r
在往下的竖向荷载作用下，抛物线形桁架的下弦杆受拉， 并且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，r也是按 抛物线变化的，因此下弦杆的内力相同。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
FP FP/2
各种桁架的受力特点
FP FP FP FP FP/2 h
3）抛物线形桁架
6d （3）腹杆
可以证明抛物线形桁架腹杆的内力等于零，剪力由上 弦杆受承受。
2008年10月13日星期一9时35分12秒
§4-6
各种桁架的受力特点
通过上述分析可以得出以下结论： 1、平行弦桁架 由于杆件内力分布不均匀，会造成材料的浪费。但构造 简单，经常应用于小跨度结构。 2、三角形桁架 在支座处，桁架的夹角小，内力大，构造复杂，因此一 般用于小跨度的屋架。 3、抛物线形桁架 由于上下弦杆的内力基本相同，因此最节省材料，但是 结点构造复杂，一般用于大跨度结构。

《结构力学》_第4章_2014-1

《结构力学》_第4章_2014-1

i
B
d
B

A
B
Q
d
B
A N
A 1
i
Q
FN
i A
N
1

A
B
FN

A
虚功方程：
F Q 1 sin
F N 1 cos
虚功方程：
1 Q F Q d 0
者的叠加，有：
Q F Q d
1 N F N d 0
N F N d
虚功方程
FR 1
b a
FR 1
b 1 FR 1 c1 0 c1 a
小结：⑴ 形式是虚功方程，实质是几何方程； ⑵ 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移 相应的支座反力。构造一个平衡力系； ⑶ 特点是用静力平衡条件解决几何问题。
4、支座移动时静定结构的位移计算
4 3
C C 1 D 3 2l
B
A
1 2l
2 l
1 c cA 3 1 (2) 1 c A 0 2l 1 cA 2l
求解步骤：⑴ 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； ⑵ 代入公式
FR k ck 解得，根据正负号定出方向。
D
C E
练习4-1：三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角φ。
B
d

A
m
i
a
B
d
a
A
m
虚功方程：
1 m M d 0 m M d
( c)
B
M

1
A
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对剪位移d ，试求A点在 i－ i 方向的位移 Q 。

结构力学第四章

结构力学第四章

注：无支座移动
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
N k(x)0,NP(x)0
Ah
l
b
Q k(x) 1 ,Q P (x) q (l x) M k (x ) x l,M P (x ) q ( l x ) 2 /2M P
P1 x
q
ip0[l[N qE P (N lG iA x)A Q G P Q qiA ( l2 M EE xP )M I3]iId]dxs设:MM i Q8qEP4lPI,Q1q2Gl2A
反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求A、B两点相对水平位移 。 AB
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。
虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
§4-4. 单位荷载法
一.单位荷载法
k
求k点竖向位移.
iP
故有Wex = Ude成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。
3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
由 MB0求得： YAb/a
虚功方程为： 1YAc0
解得：
bc/a

结构力学第4章静定拱(f)

结构力学第4章静定拱(f)

FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV

结构力学第4章

结构力学第4章
自测
静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理W =0， 因而不产生变形，应用刚体的虚功原理 e=0，得
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∆ ×1 + ∑ Rc = 0
式中， 为虚单位力引起的支座反力 为虚单位力引起的支座反力， 式中，R为虚单位力引起的支座反力，c 为实际支座 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 若结构是超静定的，则当支座移动时， 若结构是超静定的，则当支座移动时，将会产生内力和变 形，故 Wi≠0，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 ，因此应该用变形体的虚功原理求位移。 4.温度作用时的位移计算 4.温度作用时的位移计算 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变， 静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变，而轴向 线应变和曲率分别为 ／ ε =α t0， κ=α∆t／h
A B
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c
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第4章 静定结构的位移计算 章
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自测
若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变， 若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变，则 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题 变形体的位移计算问题。 此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题。 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变， 例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变，就属于 变形体的位移计算问题。 变形体的位移计算问题。 -t
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第4章 静定结构的位移计算 章

结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)

结构力学第四章(荷载作用下位移计算公式)

By

0l
MPM EI
ds


0 2
MPM EI
Rd
PR3
4EI
()
同理有：
Bx


PR3 2EI
()
三铰拱的分析同此类似，但一般要考
虑轴力对位移的贡献，也即
P


MM Pds EI

FN FNP ds EA
例 3：求对称桁架D点的竖向位移 Dy。图中
右半部各括号内数值为杆件的截面积A
2x6 2
3
AC段
0 x 2
80x qx 2
1 x 3

D

2720 9EI
()
例题：计算D处竖向位移，B处角位移？（EI为常数）
解：1.构造虚设状态
x
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D
DB段
0 x2
P 轴向

FN FNP EA

kFQ FQP GA

MM P EI
ds
式中：
剪切 弯曲
E 弹性模量； G 剪切模量；
A 横截面积； I
截面惯性矩；
k 截面形状系数。如：对矩形截 面k=6/5;圆形截面k=10/9。
例 1：求刚架A点的竖向位移。
解：1.构造虚设状态
2.分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程
x'
40kN 20kN/m
M
实际状态
虚拟状态
A
C
B
D

结构力学 第四章影响线

结构力学 第四章影响线

（ 注意有正负面积之分）
4 、用合力求影响量值(相同斜率段) F
FP1 FP2 FPn-1 FPn
合力矩定理
O
a
y1 y2
y
yn-1 yn
Z= FP1 y1+FP2 y2+…+FPn-1 yn-1+FPn yn =(FP1 x1+FP2 x2+…+FPn-1 xn-1+FPn xn)tanα =F x tana= F y
F
移动FP=1 荷载FP=1的位置 C截面的弯矩值 与内力单位差N
FP=1 C ab l
图 形 表 示
Fa Fa
用静力法求刚架影响线
A
FP=1
FP=1 C a
C
B b l d
b
l
E
l
x
l
a
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
FP=1
b
l
C a
l
求支座反力、MC、FQC、FNC的影响线
静力法求影响线的本质是： 求解单位集中力作用在x位置时的 某截面内力或反力的大小 方法是
剪力用合力计算时需分两段计算，为什么？
二、 求荷载的最不利位置
使某量Z达到最大（最小）的荷载位置
简单情况可用观察法。 判断原则：
把数量大，排列密的荷载放在影响线竖 标较大的部位。
1、均布荷载(长度可任意布置) Z=q· o A 求Z max 时，在+Ao内布满q 求Z min 时，在 -Ao内布满q
FP=1
1 3
4m 4m
2
4m
4m
4m
0
2 2 2 4 2 4
上承式
FN1影响线

结构力学第4章

结构力学第4章

定义：单位移动荷载作用下描述某物理 量随荷载位置变化规律的图形称 影响线。 确定影响线通常有两者方法： 静力法 机动法
§4-2 静力法做简支梁 影响线
将描述荷载位置的量作为固定值，通 过静力平衡的方式确定某物理量与荷 载位置的关系的方法称静力法。 正确的影响线应该具有“正确的外形、 必要的控制点纵座标值和正负号”等 基本特征。
FP=1
a a
b Nc b 1 c1
N1
d 上承 e d e
ff
g g h h
方法：结点法与截面法 1、I.L RA及RG MC 0 2、 I .L N1
P 1在Ⅰ Ⅰ以左 , 取右隔离体
A A
RA
C B C B C P=1
P=1 C
D D
E F E 下承 F
G G
N 1 h RG 4 d 0
lx l
a
bl 1 l
ab l
b
al 2
( a x l l2 )
4
l
MC
I.L M C
P=1
x
D
B
P=1
A
d
l2
l1
伸臂部分影 响线
(5 ) M x,
l
RA
RB
D
I .L M
d
D
0
x d

(6) Q D 1
1
I .L Q D
0
x d
影响线座标的意义：横座标表示单位荷载的位置； 纵座标表示单位荷载作用在本位置时指定位置物理 量的反应。 简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别
x 1
由比例可得： y C
5d 8
, yE

结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算

结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算

N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds

结构力学第4章静定刚架的内力计算

结构力学第4章静定刚架的内力计算

GDCB部分： 见图(c)右。计算如下：
FX 0
FCx 1kN (←)
MC 0
FBy

1 (q 6 3 8 6 1 4 4
FP
2)

30kN(↑)
MB 0
FCy

1 4
(q

4

2

q

2
1

8

2

1
4

FP
2) 2kN(↑)
2）作内力图：
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工程管理系
第四章
静定刚架的内力分析
§4.1 概 述
组成刚架的杆件主要产生弯曲变形， 可承受弯矩。
刚架的构造特点: 具有刚结点
(a)
(b)
(c)
刚结点的特点:
能传递力矩 （弯矩）
静定刚架有如下几种最简形式, 较复杂的刚架一般是由若干简 单刚架按基本组成规则构成的。
由 M A 0 得：
1 L L qL
FBy

q L
2

4

8
(↑)
(a)
由 M B 0 得：
FAy

1 q L
L (L 24

L) 2
3qL 8
(↑)
(b)
如取截面I-I以右部分，由 MC 0
得：
FBx

1 L
FBy

L 2

qL(←)
16
再由整体的平衡方程 FX 0
（右侧受拉）
结点C：
MCD
FNCD FQCD MCB
FQCB

4结构力学(李廉锟第五版)

4结构力学(李廉锟第五版)
q( x) p( x) ds dx
dx p(x) ds x
y
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
将 q( x) p( x)
2
结构力学
ds dx
代入方程（4-5），得
2
d y q( x) p( x) ds p( x) dy 1 2 dx FH FH dx FH dx
由于规定y 向上为正, x 向右为正，q 向下为 正，故上式右边为正号。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
或
结构力学
d dy dx dx dy 1 dx
1
2

p( x) FH
p ( x) dy sh dx. FH dx 如p(x)=常数=p ，则
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§4-2 三铰拱的数值解
(3) 求内力 由水平推力 FH 82.5 kN 得 0
结构力学
(2) 求支座反力,结果为： FVA 105 kN , FVB 115 kN
FSD 105 kN 100 kN 5 kN
FSD FS0D cos D FH sin D
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§4-2 三铰拱的数值解
与代梁相比较有：
0 FVA FV A 0 FVB FVB 0 MC FH f
结构力学
F F K A x x l/ 2 FVA f B l/ 2 FVB FHB C F
y
F HA
F1 A

《结构力学》第四章静定拱

《结构力学》第四章静定拱

实例演示
通过实例演示内力图的 绘制过程，帮助读者掌
握绘制技巧。
04 静定拱的位移计算
位移计算基本概念
位移的定义
位移是指在外力作用下，结构物 某一点或某一截面位置的变化。
静定拱的位移
静定拱在荷载作用下的位移包括 拱顶竖向位移、拱脚水平位移和
转角位移等。
位移计算的意义
位移计算是结构力学中的重要内 容，对于评估结构的安全性、稳 定性和使用功能具有重要意义。
虚功原理在位移计算中的应用
虚功原理的基本概念
01
虚功原理是结构力学中的一个基本原理，它建立了外
力功与结构内部应变能之间的关系。
虚功原理在静定拱位移计算中的应用
02 通过构建静力可能位移和虚力状态，利用虚功原理可
以求解静定拱在各种荷载作用下的位移。
虚功原理的适用条件
03
虚功原理适用于线弹性结构，即结构在受力过程中满
解题思路
同样需要构建静力可能位移和虚力 状态，利用虚功原理求解位移。
解题步骤
详细列出解题步骤，并解释每一步 的意义和计算方法。
05 静定拱的稳定性分析
稳定性分析基本概念
稳定性
结构在受到外部扰动后，能够恢复原有平衡状态的能力。
临界荷载
使结构失去稳定或发生破坏的最小荷载。
稳定性分析
研究结构在荷载作用下是否会发生失稳或破坏，以及如何提高结 构的稳定性。
通过截取拱的任意截面，利用静 力平衡条件求解截面上的内力。
叠加法
将复杂的拱结构分解为若干简单结 构，分别计算内力后再进行叠加。
力法
通过引入多余未知力，建立力法方 程求解拱的内力。
典型例题解析
圆弧拱内力计算
01
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M
(2将)虚位移X 与/ 实C 际 力a /状b 态代无入关得,故:可设
B
X X
0
X
P
x
b1P
/
a
C
0
(3通)求常解取时关键一步X 是找1出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
2、虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
所有微段的外力功之和:
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
Ude =∫dWi =δWi
故有Wex = Ude成立。
几个问题:
1. 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。
2. 原理的证明表明:原理适用于任何 (线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构。
二、结构的虚变形功 平面杆系结构k状态微段外力、m状态的变形为
微段受力 微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为 Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A
C
a
b C
YA
解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。
由 MB 0求得： YA b / a
虚功方程为： 解得：
1 YA c 0
bc/a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。
§4-4. 单位荷载法
一.单位荷载法
k
求k点竖向位移.
iP
由变形体虚功方程:
P 1
Wex=Ude
变形协调的 位移状态(m)
平衡的力 状态(k)
Wex 1 km R1K 1C R2K 2C
Ude
km
FNk mds
s
FNk mds
s
s
FQk mds
s
s
FQk mds M k
所有微段的外力虚功之和 Wex
所有微段的外力虚功之和 Ude
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两部分
变形位移ab ab
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 微段外力功 相互作用力功dWn 分为两部分
在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWe+dWn
(2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力
平衡关系。
(4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。
虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立。 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
3. 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，
将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，
将位移分析化为平衡问题来求解。
Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
二、虚功原理的两个运用
1、虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
(2) 超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 1、 线弹性 (Linear Elastic), 2、 小变形 (Small Deformation), 3、理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
（3）位移状态与力状态完全无关；
一些基本概念：
功：力×力方向位移之总和 广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项
实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 虚功：广义力与广义位移无关时所作的功
变力功 WW==FFPP11××ΔΔ11 2/2 WWW===FFFPP2Poo2×r×r×ΔΔΔ2/221/2
s
1
Mk1Leabharlann mds m
ds
Rik ic
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有： 求k点竖向位移.
m
FNm EA
,
m
FQm
GA
,
m
Mm EI
ds
荷载作用下，m 换成 p
适用于线弹性 直杆体系,
kp
[ FN P FNk FQ P FQk M P M k ]ds
EA
§4-2. 结构的外力虚功和虚变形功
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
两种状态
FP
力状态 （虚力状态）
位移状态 （虚位移状态）
q
FP /2
FP /2
（虚）力状态
无关
（虚）位移状态
注意：
（1）属同一体系；
（2）均为可能状态。即位移应满足变 形协调条件；力状态应满足平衡 条件。
引起结构位移的原因
荷载、 温度改变 T、 支座移动 c、 制造误差 等
二、 计算位移的目的
1、 刚度要求 如： 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下， 钢板桥梁和钢桁梁最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。直线
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
由外力虚功总和为零，即：
实际受力状态的平衡方程
功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
Wex =Ude
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功Wex,恒
等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和Ude。
变形体虚功原理的证明:
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利用变形连续性条件计算
2.利用平衡条件计算