结构力学第四章-1
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结构力学第四章
Wex =∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
2.利用平衡条件计算 所有微段的外力虚功之和 Ude 微段位移分 刚体位移 ab ab 为两部分 变形位移 ab ab 微段外力功 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功dWi 微段外力功 dW= dWg+dWi 所有微段的外力功之和:
1 YA c 0
bc / a
(1)所建立的虚功方程, 实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实际位移状 态无关，故可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 平衡关系。 (4)是用静力平衡法来解几何问题。
单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
三、图形分解 求 B
20 A
MP
20
A
B
40
B
20 kN m
A
20 kN m
EI
40 B
40 kN m 10 m
1
40 kN m
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
微段受力
微段拉伸
微段剪切
微段弯曲
整个平面杆系结构，结构的虚变形功为
Ude =Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds
§4-3. 虚功原理
一、变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功Wex，恒等于变 形体各微段外力在微段变形位移上作的虚 功之和Ude。也即恒有如下虚功方程成立
求 B
结构力学第四章习题参考解答
A B
l
l
C
1 ql 4
2
1 2 ql 4
5 ql 4
A
M P图
1 2 ql 8
l 2
1
1 2 1 2 1 l l ql EI 3 8 2 2
ql 4 1 1 1 ql 4 EI 48 24 48 24EI
A
M图
1 2 3
4－3 试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向 ql 位移。EI=常数。 2 q
（b）解：作 M图、M P图，
CV 1 1 1 2 l 2 l ql EI 2 4 2 3 2
1 1 1 2 1 2 ql l l EI 2 4 2 3
l
q
B
M 1
EI
A
在B点沿水平方向设单位力矩 M 1 。 故 M 1
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
MM P 1 qx3 ql 3 则 B dx dx EI EI 0 6l 24EI
l
q
4－2 试求桁架结点B的竖向位移，已知桁架各 杆的 EA 21 10 4 KN。
（c）求
BH、 B。
q qx x l
B
解：在B点沿水平方向设单位力 FP 1 。
q qx l x
故 M x 则
BH
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
EI
A
FP 1
MM P 1 x qx3 ql 4 dx dx EI EI 0 6l 30EI
BV FN FNP l EA
l
l
C
1 ql 4
2
1 2 ql 4
5 ql 4
A
M P图
1 2 ql 8
l 2
1
1 2 1 2 1 l l ql EI 3 8 2 2
ql 4 1 1 1 ql 4 EI 48 24 48 24EI
A
M图
1 2 3
4－3 试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向 ql 位移。EI=常数。 2 q
（b）解：作 M图、M P图，
CV 1 1 1 2 l 2 l ql EI 2 4 2 3 2
1 1 1 2 1 2 ql l l EI 2 4 2 3
l
q
B
M 1
EI
A
在B点沿水平方向设单位力矩 M 1 。 故 M 1
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
MM P 1 qx3 ql 3 则 B dx dx EI EI 0 6l 24EI
l
q
4－2 试求桁架结点B的竖向位移，已知桁架各 杆的 EA 21 10 4 KN。
（c）求
BH、 B。
q qx x l
B
解：在B点沿水平方向设单位力 FP 1 。
q qx l x
故 M x 则
BH
1 1 qx3 M P qx x x 2 3 6l
l
EI
A
FP 1
MM P 1 x qx3 ql 4 dx dx EI EI 0 6l 30EI
BV FN FNP l EA
结构力学第04章
A C
FRA
R FQC
R M C − FRA a = 0
∑ MC = 0
R C
a (l − x) M = FRA a = FP l
四. 影响线与内力图的比较
影响线是影响系数与荷载位置间的关系曲线，它与内力 分布图是有区别的。 影响线是描述单位集中荷载在不同位置作用时对结构中 某固定处某量的影响。 内力图是描述在固定荷载作用下，内力沿结构各个截面 的分布。 可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
第 四 章
影响线
第 5 章
影响线
在一般工程结构中，除了受固定荷载外，还会受到移 动荷载作用。显然，在移动荷载作用下，结构的内力或支 座反力（称为量值）不在是常量。 在进行结构设计时，需要计算出结构在固定荷载和移 动荷载共同作用下内力的最大值，为此，需要进一步研究 在移动荷载共同作用下结构某个内力或支座反力等量值的 变化规律，以便找出它们的最大值。 本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力或支座反 力的计算问题。影响线是研究移动荷载作用的基本工具。
FP
FQK
FNK
∑M
B
=0
B
x M K = FRB b = b l
当 FP = 1在截面K右 方时 ( a ≤ x ≤ l ) ，取 K左边为隔离体
A
B
FNK
FQK
FRB
∑M
l−x M K = FRAy a = a l
A
=0
则 M K 影响线为
FRAx
FRB
FRAy
ab l
M K 影响线
（3） FQK 影响线 当 FP = 1在截面K左 方时 ( 0 ≤ x ≤ a ) ，取 K右边为隔离体
FRA
R FQC
R M C − FRA a = 0
∑ MC = 0
R C
a (l − x) M = FRA a = FP l
四. 影响线与内力图的比较
影响线是影响系数与荷载位置间的关系曲线，它与内力 分布图是有区别的。 影响线是描述单位集中荷载在不同位置作用时对结构中 某固定处某量的影响。 内力图是描述在固定荷载作用下，内力沿结构各个截面 的分布。 可以通过简支梁内力图与影响线的比较讨论加深对影响线概 念的理解。
第 四 章
影响线
第 5 章
影响线
在一般工程结构中，除了受固定荷载外，还会受到移 动荷载作用。显然，在移动荷载作用下，结构的内力或支 座反力（称为量值）不在是常量。 在进行结构设计时，需要计算出结构在固定荷载和移 动荷载共同作用下内力的最大值，为此，需要进一步研究 在移动荷载共同作用下结构某个内力或支座反力等量值的 变化规律，以便找出它们的最大值。 本章着重讨论结构在移动荷载作用下的内力或支座反 力的计算问题。影响线是研究移动荷载作用的基本工具。
FP
FQK
FNK
∑M
B
=0
B
x M K = FRB b = b l
当 FP = 1在截面K右 方时 ( a ≤ x ≤ l ) ，取 K左边为隔离体
A
B
FNK
FQK
FRB
∑M
l−x M K = FRAy a = a l
A
=0
则 M K 影响线为
FRAx
FRB
FRAy
ab l
M K 影响线
（3） FQK 影响线 当 FP = 1在截面K左 方时 ( 0 ≤ x ≤ a ) ，取 K右边为隔离体
结构力学第四章知识讲解
位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由虚位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
《结构力学》_第4章_2014-1
i
B
d
B
A
B
Q
d
B
A N
A 1
i
Q
FN
i A
N
1
A
B
FN
A
虚功方程：
F Q 1 sin
F N 1 cos
虚功方程：
1 Q F Q d 0
者的叠加，有：
Q F Q d
1 N F N d 0
N F N d
虚功方程
FR 1
b a
FR 1
b 1 FR 1 c1 0 c1 a
小结：⑴ 形式是虚功方程，实质是几何方程； ⑵ 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移 相应的支座反力。构造一个平衡力系； ⑶ 特点是用静力平衡条件解决几何问题。
4、支座移动时静定结构的位移计算
4 3
C C 1 D 3 2l
B
A
1 2l
2 l
1 c cA 3 1 (2) 1 c A 0 2l 1 cA 2l
求解步骤：⑴ 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； ⑵ 代入公式
FR k ck 解得，根据正负号定出方向。
D
C E
练习4-1：三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角φ。
B
d
A
m
i
a
B
d
a
A
m
虚功方程：
1 m M d 0 m M d
( c)
B
M
1
A
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对剪位移d ，试求A点在 i－ i 方向的位移 Q 。
结构力学4-1移动荷载和影响线的概念
FP
显然：
S FP S
§4-2 静力法作影响线 ⒈ 支座反力影响线 由∑MB = 0
A
x
FP 1
l
B
x
FRA l 1 (l x ) 0 FRA l x , (0 x l ) l
FRA
O
FRB
y F RB FRB影响线 y
1
x
1
FRA影响线
§4-2 静力法作影响线 ⒉ 剪力（FQC）影响线 ⑴当FP=1 在C截面以左移 动时，取C截面以右部 分为隔离体。
E
A
x F 1 P
B
F
a
l1
C
b
D
d
FRA
1
l
①作FRA 影响线。
FRA影响线
FRB
l2
FRA l x , (l1 x l l2 ) l
②作FRB 影响线。 由∑MA=0，得：
以A点为坐标原点，横坐标 x 以向右为正。 由∑MB=0，得：
FRB影响线
l1 l
l2 l
1
1
l2 l
l
A
x
a
FP 1 C
b
l
B
x
FRA
FRB
M图
ab l
M则表示FP = 1 作用于C时， 梁的各截面弯矩值。
MC影响线表示截面C的弯矩 随FP = 1 作用位置的移动而 变化的规律。 ab l
MC 影响线
例 作FRA、FRB、FQC、FQD 的影响线。 解： ⑴ 支座反力的影响线。
l 1 1 l
FRB x , (l1 x l l2 ) l
x F 1 P 例 作FRA、FRB、FQC、FQD E A B F 的影响线。 D C 解： d b a ⑵作剪力FQC的影响线： l2 l1 l 当FP = 1 在C 截面以左时， FRA FRB 取C 截面的右边为隔离体： 1 l1 1 F 影响线 RA B F l
结构力学 第四章 作业参考答案
结构力学 第四章习题 参考答案2005级4－1 图示抛物线拱的轴线方程24(fy x l l=−)x ，试求截面K 的内力。
解：（1） 求支座反力801155 kN 16AV AV F F ×=== 0805(5580)0.351500.93625 kN 16BV BV F F ×==−×+×== 0Mc 55880350 kN 4H F f ×−×===（2） 把及代入拱轴方程有:16m l =4m f =(16)16xy =−x （1）由此可得:(8)tan '8x y θ−==（2） 把截面K 的横坐标 ,代入（1），（2）两式可求得: 5m x ==＞, 3.44m y =tan 0.375θ= 由此可得:20.56θ= 则有sin 0.351θ=,cos 0.936θ=最后得出截面k 处的内力为: (上标L 表示截面K 在作用力左边，R 则表示截面在作用力右边)055550 3.44103 kN m K H M M F y =−=×−×=i0cos sin 550.936500.35133.93 kN L sK s H F F F θθ=−=×−×= (5580)0.936500.35140.95 kN R sK F =−×−×==40.95 KN 0sin cos 550.351500.93666.1 kN L NK s H F F F θθ=+=×+×= (5580)0.351500.93638.03 kN R NK F =−×+×=4－2 试求拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
解：（1）以水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴取直角坐标系，可得K 点的坐标为：2m6mK K x y =⎧⎪⎨==⎪⎩ （2）三铰拱整体分别对A ，B 两点取矩，由平衡方程可解得支座反力：0 20210500 20210500 2100A By B Ay x Ax M F M F F F ⎧=×−××⎪⎪=×+××⎨⎪=−×=⎪⎩∑∑∑=== =＞ 5 kN ()20 kN () 5 kN ()Ay Ax By F F F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩向下向上向左（3）把拱的右半部分隔离，对中间铰取矩，列平衡方程可求得横拉杆轴力为：CN 0 105100MF =×−×∑=＞N 5 kN F =（4）去如图所示的α角，则有：=＞cos 0.6sin 0.8θθ=⎧⎨=⎩于是可得出K 截面的内力，其中：22(6)206525644 kN m 2K M ×=−+×−×−×=isK F (20265)sin 5cos 0.6 kN θθ=−×−×−×=− NK F (20265)cos 5sin 5.8 kN θθ=−−×−×−×=−13K M F r Fr ==（内侧受拉） K 截面作用有力，剪力有突变 且有01sin3032LSK 2F F F F =−=−×=− （2） 22R SK F FF F =−=（3）011sin30(326NKF F F F ==×=拉力）（4）4-4 试求图示三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线方程。
计算结构力学第四章
v(x) {X}T14[G]414{}
(7)
这里
[N(x)][N1(x) N2(x) N3(x) N4(x)]
1 3 x l 2 2 x l 3x 1 x l 23 x l 2 2 x l 3x x l 1 x l ( 8 )
1、选择位移函数
考虑图示桁架单元(等截面直杆)在杆端力作用 下杆内应力应变均为常量，根据轴力杆单元的几 何条件(应变-位移关系)，故可将单元位移场选为：
u=a1+a2x
(1)
其中：u=u(x)即为单元位移函数(单元位移模式)
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y
Fxi
EA,l
F xj
i
j
x
x
式(1)中：
a1——刚体位移项； a2——常应变项。 满足单元位移模式的选择准则。将(1)式写成矩阵形式
a1
a2l
(4)
可将上式写成矩阵形式
{
}
ui
u
j
1 1
0
l
a1 a2
[G
]{a}
(5)
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求 [ G ]的 逆 :
1 0
[G ]1
1
1
(6)
l l
代 入 (5), 便 可 求 出 常 数 (系 数 )矩 阵 {a} :
{a} [G ]1{ }
(7 )
将 ( 7 ) 代 入 ( 2 ), 即 可 求 出 u ( x )的 结 点 位 移 插 值 形 式
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Ni(x)仍满足： ①0—l 特性；
②在区间内仍按(1)式的形式变化(三次函数)。(7)式称 Hermite型插值(不考虑函数本身，包括函数的导数均作为 内插函数)。
同济大学朱慈勉 结构力学 第4章习题答案(1).
同济大学朱慈勉结构力学第 4章习题答案(14-5 试用静力法作图示结构中指定量值的影响线。
(alF P =1M A 、 F Q A 、 M C 、F Q C, 10, 0(( , 1(A QA P C QC P C QC M x F F C M F x a F C M x a a x F x a =-== =≤=--=-=≥坐标原点设在 A处,由静力平衡可知当在点以左时, 当在点以右时, M A 的影响线F Q A 的影响线M C 的影响线的影响线(b1R B 、 M C 、 F Q C/(/,(0(,( ,( ,( cos ,(0 (1,( C QC A x l x l a l x a l a x a M aa x a a x l x a l xx a l F x a x l l αα=-≤≤⎧⨯-≤⎧⎪==⎨⎨⨯>-≥≥⎩⎪⎩⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩RB RB RB RA 以为坐标原点,方向如图所示假设 F 向上为正,由静力分析知 F F F F R B 的影响线 M C 的影响线F 2a cos lα(1alα-F Q C 的影响线(cF N CD 、 M E 、 M C 、 F Q C R 3355 041(7 05121232(5,(05532,(5753,(030,(373311,(03 ,(03544371,(37 ,(37 544B NCD NCD NCDENCDCNCDRQCNCDM F x F xF x xMF xx xMxF x x xFF x x x=⨯⨯-⨯-=→=- ⎧⨯⨯--≤≤⎪⎪=⎨⎪⨯⨯≤≤⎪⎩-≤≤⎧=⎨≤≤⎩⎧⎧-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪≤≤-≤≤⎪⎪⎩⎩∑由知,3NCDF 的影响线 EM 的影响线CM 的影响线341RQCF 的影响线(d5mM C 、 F Q C 111 , ,848 RB C QC Dx x x F M F---===以点为坐标原点,向右为正1494189 8CM 的影响线 QCF 的影响线(e1,(0 0,(0, 0,(7 1,(70,(05 ,(05 , 1,(57 4,(57LR QAQA QC C x a x a F F a x a a x a x a x a x a F M a x a a a x a -≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩≤≤-≤≤⎧⎧==⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩2a 4a F Q A 、 F Q A 、 F Q C 、 M CL R(fF R A 、 F Q B 、 M E 、 F Q F1,(02 ,(02 , 220,(25 0,(25,(02 ,(0 423,(2, ,(242220,(25 5,(45 22RA QB E QF x xx a x a F F a aa x a a x a x xx a x a a x xM a a x a F ax a aa x a x a x a a ⎧⎧-≤≤-≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩⎩⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-≤≤=-≤≤⎨⎨⎪⎪≤≤⎪⎪-≤≤⎪⎪⎩⎩11RA F 的影响线QB F 的影响线a/21/21/21/2E M 的影响线QF F 的影响线4-6 试用机动法作图示结构中指定量值的影响线。
《结构力学》龙驭球第4章_影响线1
a
l
FRB
I.L FRA
⑵ 剪力、弯矩影响线 FP =1 在AC段，取CB段为隔离体
1
I.L FRB
b l a l ab l
x FQC FRB l
0 x a
x M C FRB b b 1 l
a
I.L FQC
FP =1 在CB段，取AC段为隔离体
1
b
lx FQC FRA l
支座的反力FRA 为：
FRA FP1 y1 FP 2 y2
当单位集中移动荷载 FP = 1 在结构上移动时，表示结构某量值 Z 变化规 律的曲线，称为 Z 的影响线。量值Z 可为某个支座反力、截面内力或位移。 影响系数 Z 是 Z 与FP 的比例系数，即： Z
Z FP
Z 与Z 的量纲不同，它们相差一个荷载FP 的量纲。
FRB
⑶ I.L MD 先作后证明，先假设为 非结点荷载，D点的纵标值
yC
15d 5d 16 8
C
I.L MC
3d 4
yE
I.L MD
1.5d 2.5d 15 yD d 4d 16 5d 3d , yE 由比例可得：yC 8 4
在C、E两点间连一直线，即 得 MD 影响线。
x 1
A FA
FNCD B Ⅰ C
FB
FNbc h FRG 4d 0 MC MC FNbc h M C FNbc h
FP=1
A
FA B C D
FP=1
E F
G
FP =1 在C点右边，取截面 Ⅰ－Ⅰ左部为隔离体
FB
FNbc h FRA 2d 0 MC MC FNbc h M C FNbc h
结构力学 第四章 作业参考答案
结构力学 第四章习题 参考答案2005级4－1 图示抛物线拱的轴线方程24(fy x l l=−)x ，试求截面K 的内力。
解：（1） 求支座反力801155 kN 16AV AV F F ×=== 0805(5580)0.351500.93625 kN 16BV BV F F ×==−×+×== 0Mc 55880350 kN 4H F f ×−×===（2） 把及代入拱轴方程有:16m l =4m f =(16)16xy =−x （1）由此可得:(8)tan '8x y θ−==（2） 把截面K 的横坐标 ,代入（1），（2）两式可求得: 5m x ==＞, 3.44m y =tan 0.375θ= 由此可得:20.56θ= 则有sin 0.351θ=,cos 0.936θ=最后得出截面k 处的内力为: (上标L 表示截面K 在作用力左边，R 则表示截面在作用力右边)055550 3.44103 kN m K H M M F y =−=×−×=i0cos sin 550.936500.35133.93 kN L sK s H F F F θθ=−=×−×= (5580)0.936500.35140.95 kN R sK F =−×−×==40.95 KN 0sin cos 550.351500.93666.1 kN L NK s H F F F θθ=+=×+×= (5580)0.351500.93638.03 kN R NK F =−×+×=4－2 试求拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。
解：（1）以水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴取直角坐标系，可得K 点的坐标为：2m6mK K x y =⎧⎪⎨==⎪⎩ （2）三铰拱整体分别对A ，B 两点取矩，由平衡方程可解得支座反力：0 20210500 20210500 2100A By B Ay x Ax M F M F F F ⎧=×−××⎪⎪=×+××⎨⎪=−×=⎪⎩∑∑∑=== =＞ 5 kN ()20 kN () 5 kN ()Ay Ax By F F F =−⎧⎪=−⎨⎪=⎩向下向上向左（3）把拱的右半部分隔离，对中间铰取矩，列平衡方程可求得横拉杆轴力为：CN 0 105100MF =×−×∑=＞N 5 kN F =（4）去如图所示的α角，则有：=＞cos 0.6sin 0.8θθ=⎧⎨=⎩于是可得出K 截面的内力，其中：22(6)206525644 kN m 2K M ×=−+×−×−×=isK F (20265)sin 5cos 0.6 kN θθ=−×−×−×=− NK F (20265)cos 5sin 5.8 kN θθ=−−×−×−×=−13K M F r Fr ==（内侧受拉） K 截面作用有力，剪力有突变 且有01sin3032LSK 2F F F F =−=−×=− （2） 22R SK F FF F =−=（3）011sin30(326NKF F F F ==×=拉力）（4）4-4 试求图示三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线方程。
结构力学：第4章 静定结构影响线1
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
4、 结点荷载作用下梁的影响线
实际结构的移动荷载有时并不是直接作用在主梁上， 而是如下图所示作用在次梁上，再通过横梁将荷载 传递到主梁上，这就是间接荷载。
作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力矩平
衡方程 M5 0 得
FNa
3Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
并注意到结点4、6间的影响线为线性变化，得
同样作截面Ⅰ-Ⅰ，分别由左部和右部隔离体的力
平衡方程 Fy 0 得
FNb
Fy11 Fy3
FP 1位于结点4以左 FP 1位于结点6以右
移动荷载作用于上或下弦时，影响线是有差异的
作截面Ⅱ-Ⅱ，分别由左部和右部隔离体取 Fy 0
FNc
2Fy11
2Fy3
FP 1位于结点6以左 FP 1位于结点8以右
同理，可作出移动荷载作用于下弦时的各内力
影响线。将会发现当移动荷载作用于上或下弦
时，FNa 、FNc 的影响线不变，但 FNb 的影响线略有 变化。
求右图中 M C 的影 响线
先将与 M C相应的联系撤除，即在C截面处插入一 个铰，并以一对大小等于M C 的力矩取代原有联系 中的作用力。如下图所示
然后使结构顺着 M C的 正方向发生一虚位移
列虚功方程为
1P MC ( ) 0
1P MC ( ) 0
MC
P
为 M C相应的广义位移
结构力学第4章
定义：单位移动荷载作用下描述某物理 量随荷载位置变化规律的图形称 影响线。 确定影响线通常有两者方法： 静力法 机动法
§4-2 静力法做简支梁 影响线
将描述荷载位置的量作为固定值，通 过静力平衡的方式确定某物理量与荷 载位置的关系的方法称静力法。 正确的影响线应该具有“正确的外形、 必要的控制点纵座标值和正负号”等 基本特征。
FP=1
a a
b Nc b 1 c1
N1
d 上承 e d e
ff
g g h h
方法：结点法与截面法 1、I.L RA及RG MC 0 2、 I .L N1
P 1在Ⅰ Ⅰ以左 , 取右隔离体
A A
RA
C B C B C P=1
P=1 C
D D
E F E 下承 F
G G
N 1 h RG 4 d 0
lx l
a
bl 1 l
ab l
b
al 2
( a x l l2 )
4
l
MC
I.L M C
P=1
x
D
B
P=1
A
d
l2
l1
伸臂部分影 响线
(5 ) M x,
l
RA
RB
D
I .L M
d
D
0
x d
(6) Q D 1
1
I .L Q D
0
x d
影响线座标的意义：横座标表示单位荷载的位置； 纵座标表示单位荷载作用在本位置时指定位置物理 量的反应。 简支梁弯矩影响线与弯矩图的区别
x 1
由比例可得： y C
5d 8
, yE
结构力学第四章习题及答案
静定结构的位移计算习题4—1 (a)用单位荷载法求图示结构B 点的水平位移解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为实际状态中各杆弯矩方程为M P =F P x4. 代入公式（4—6）得 △BH =l 实际状态 1虚拟状态5F P l 15l 1 M P 图图M 图M xM =141012118111EI F EI x F x EI x F x EI dx M M P l l P l P P =⨯⨯+⨯⨯=∑⎰⎰⎰(←)4—1 (b)单位荷载法求图示刚架B 点的水平位移 解：1. 设置虚拟状态选取坐标如图。
2. M P 图和 如图示3. 虚拟状态中各杆弯矩方程为 BD: DC: CA: 实际状态中各杆弯矩方程为 BD: M P =0 DC: M P =40x CA: M P =160+5x 24. 代入公式（4—6）得图M x M =3=M xM-=3△BH =4—2试求图示桁架结点B 的竖向位移，已知桁架各杆的EA =21×104KN 。
1M P 图图M 3KN •m340KN •m3KN •m3KN •m5160)3(40306012401301+⨯-+⨯+*=∑⎰⎰⎰⎰EI x x x EI x EI x EI dxM M P解：虚拟状态如图示。
实际状态和虚拟状态所产生的杆件内力均列在表中，4—1根据式4—7可得结点B 的竖向位移为表4—1中)(768.010215.16124↓=⨯•=∆cm KNm KNBV实际状态虚拟状态4—3 （a）、（b）试用图乘法求图示结构B处的转角和C处的竖向位移。
EI=常数。
（a ）解：M P 图、单位力偶下作用于BM=ql 2M P图ql 2/81M=1点的1M 图、单位力下作用于C 点的2M 图EIql ql l ql l EI B 3)21223232221(1222=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ϕ（ ）（b ）解：M P图、单位力偶下作用于B 点的1M 图、单位力作用于C 点的2M 图)2183232421(122⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=ql l l ql EI B ϕ=ql 3/24EI( ))23242212832232421(1222ql ql l ql ql l ql l ql EI cv ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=∆= ql 4/24EI(↓))(24)2852232322213221(14222↑-=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-=∆EI qll ql l ql l l ql l l EI CV（（b ）ql/2ll单位力偶作用于B点的1M图、单位力作用于C点时的2M图EIlFlFllFlEIPPPB1223121122322121(12=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=ϕ( ))(12231212232221(12↓=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-=∆EIlFlFlllFllEIPPPcv4—4（a）试求图示结构C点的竖向位移。
结构力学【王焕定】1.超静定结构-力法基本原理
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 0 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 a
其中1 , 2 , 3 为由于支座移动所产生的位移, 即 i FRici
单位基本未知力引起的弯矩图和反力
1 ( Δbl )1Δ、bl Δ,2Δ、2Δ 3Δ等(于bl )多 少bl？, 3 0 δ
EI
力法典型方程为：
FP
基
本
体
11 X1 12 X 2 13 X 3 1P 0
系
21 X1 22 X 2 23 X 3 2P 0
31 X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
单位和荷载弯矩图 Mi , MP 为：
FP
FPab l
由于
M
3
0,
FQ3 0
FN1 FN2 FNP 0
h2 2EI
hl 2EI
问题：如何建立如下基本结构的典型方程？
X3 X1 X2
基本体系2
X3 X1 X2
基本体系3
X3 X1 X2
i i
基本体系2
11 X1 12 X 2 13 X 3 1 b 21 X1 22 X 2 23 X 3 2 a 31 X1 32 X 2 33 X 3 3
所以
13 31 23 32 3P 0
又由于
33
M 32ds EI
FN23ds EA
M P图
k
FQ23ds GA
l EA
0
于是有
X3 0
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力
典型方程改写为
11 X1 21 X1
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
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lx M CFyAal a(ax5l4)
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
F
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
重新播放请点 重新播放
§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MKቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
点处和移动荷载作 用点处的虚位移
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P
剪力的正向以使微 段隔离体顺时针方 向转动为正，则
FQCFyBxl(0xa) FQCFyAl lx(ax5l4)
以下讨论指定截面C位 于梁的悬臂梁时，弯矩 和剪力影响线的绘制
为方便起见，可以将 荷载作用位置参数x的 原点取在上述指定截 面处，如右上图所示
则
MC x FQC 1
第四章 静定结构的影响线
§4- 2 静力法作影响线
按定义用静力平衡方程建立影响量方程，由函 数作图的方法称作静力法。 1、一端伸臂梁的影响线
若取向上为正，梁 支座反力 F y A 和 F y B 的影响线方程为：
FyA
l
l
x
F yB
x l
若弯矩以使梁下边 纤维受拉为正，则
MCFyBbxlb(0xa)
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
AK
B
C
D
E
F
G
2m 2m 2m 2m
4m
2m
I.L.MC I.L.MD
2m +
－ 2m
－ 2m
+ 2m + 2m
②作MC影响线 在基本梁ABC上竖标为零，在CDE梁单跨 梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F
点影响线竖标为零，由此绘出MK影响线如图所示。
时D截面内力等于零，
+
在D以外移动时D
截面才有内力
故伸臂上截面内力 _ 影响线在该截面以外 的伸臂段上才有非零 值。
x FP=1
C
a
b
l
DF
B
d
RB l2
－+ １1
RB.I.L
b/l + － a/l
ab/l +
QC.I.L
QDM.Ic.LI.L
MD.I.L
QB左.I.L
－
+1
_
-d
3、多跨静定梁的影响线
作多跨梁定梁的影响线，关键在于分清基本部分和附属部分。
①基本梁上某量值影响线，布满基本梁和与其相关的附属梁，在基本梁上与相应 单跨静定梁的影响线相同，在附属梁上以结点为界按直线规律变化。在铰结点处 影响线发生拐折，在滑动联结处左右两支平行。
②附属梁上某量值影响线，只在该附属梁上有非零值，且与相应单跨静定梁的 影响线相同。
如要作下图所示多跨静定梁MK的影响线时，先作伸臂梁HE的MK的影响线， 然后注意到将P =1置于C，D点时产生的MK等于零，所以MK影响线在C、 D点竖标为零，最后在附属梁上依结点E，F为界连成直线，影响线如图所示。 作RC影响线时，在EF范围按伸臂梁反力影响线绘制，在与其相关的基本梁HE 范围内RC影响线竖标为零，与其相关的附属梁FG范围RC影响线按直线规律变 化，RC影响线在D点竖标为零，影响线如图所示。
机动法可以将求解内力的静力学问题转化为求 位移图的几何学问题，绘制过程一般十分快捷
以下以伸臂梁为例，介绍如何按机动法作影响线
先将于 F y B 相应的 支座链杆撤除，代 之以支座反力 F y B
此时结构已化为具有一个自由度的机构。现使 结构顺着F y B 的正方向发生虚位移，如下图所示
B 和 P 分别表示B
2、两端伸臂梁的影响线
①作伸臂梁的反力及跨间截面内力影响线时，可先作出无伸臂简支梁 的对应量值的影响线，然后向伸臂上延伸即得。
②伸臂上截面内力影响线，只在截面以外的伸臂部分有非零值，而在 截面以内部分上影响线竖标为零。伸臂梁的一些量值影响线如下图。
伸臂梁的影响线绘制
E
由平衡条件可得:
A
x FP=1 C
于B点而得到。
反力影响线是基本的 弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出
例1 试用静力法作下图中所示梁的反力F y B 和弯矩M C 的影响线
先作反力 F y B 的影响线 由整体平衡条件
Fy 0 得
F yB 1
在作弯矩 M C 的影响线 时，取支座A为坐标原 点，有
MC M FyB Aa3aa( 0x(2 xa2a x)4a)
若指定截面取在支座B, M B 的影响线只需在 M C 影响线中取 d l 4 即可
对于支座截面处的剪力影
响线，因在支座处剪力会
发生突变，所以必须按左
右两个截面分别绘制，分
别记为
F
L QB
和
F
R QB
F
L QB
的影响线可以在右
图中使截面C趋近于
B点而得到
F
R QB
的影响线也可以在
右图中使截面C趋近
③作MD影响线 在DE梁段的基本梁ABCD上竖标为零，在 DE梁上悬臂梁影响线绘制，在铰E处影响线发生拐折，同时注
意到F点影响线竖标为零，由此绘出MD影响线如图。
点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。
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§4- 3 机动法作影响线
理论依据：刚体系虚功原理
刚体系在力系作用下处于平衡时，在任何可能 的无限小的位移中，力系所作功的总和为零。
力影响线方程与简支梁对应
( a, l ]
量值的影响线方程相同，只是范围向伸臂上延伸。
故欲作伸臂梁的反力及支座间的截面内力影响线，可先
作简支梁的影响线，然后向伸臂上延伸。
伸臂梁的影响线
故欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。
E A
l1 RA
+
－
当FP=1在D以里移动
例2、作图示多跨静定梁的 MK，MC，QB左，MD，影响线。
AK
B
C
D
E
F
G
ABC是基本 梁，CDE为 其附属梁，
同时也是 EFG的基本 梁，EFG是 附属梁。
2m 2m
1m
+
I.L.MKቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2m 2m
1m +
－
4m
2m
－
+ 1m
1m
I.L.QB左
1/2 +
－ 1 － 1/2
－ 1/2
+ 1/2
①作MK、QB左影响线：在ABC梁上按伸臂梁影响线绘 制，在CDE梁上影响线为一直线，且平行于C右的直线，在 铰E处影响线发生拐折，同时注意到在D、F点MK、QB左影 响线竖标为零，由此绘出MK、QB左影响线如图所示。
F B
RB=x/l [－l1，l+l2 ]
l1 RA
a
b
l
RB l2
当P=1在EC上时：
QC=－RB=－x/l [－l1，a）
x Aa
RA
FP=C1 b
l
B RB.
当P=1在CF上时：
QC=RA=（l－x）/l （a，l+l2]
伸臂梁支座反力及支座间内
RB=x/l [0 ,l ]
当P=1在AC上移动 QC=－x/l [0，a） 当P=1在CB上移动 QC=（l－x）/l
点处和移动荷载作 用点处的虚位移
B 取与 F y B 方向一致为正; P 取与 F P 方向一致为正
列出虚功方程： 1PFyBB0
1PFyBB0
若使 B 1 ，则有
FyB P