“与圆有关的最值问题”教案(最新)

1《0106 圆轨迹最值问题模型的探索》教学设计学习目标:1.经历通过构造辅助圆来求线段最值问题的过程.2.会求圆轨迹问题的最值问题.学习重点：会求圆轨迹问题的最值问题.学习难点：根据条件找到动点的圆轨迹较难.教学过程：一、认识问题已知，如图1，⊙O 的半径为3，在⊙O 外有一点P ，且OP =5,在⊙O 上找一点A ，使得AP 最小,并求出该最小值.变式：⊙O 的半径为3，在⊙O 上找一点B ，使得BP 最大，并求出该最大值.设定点P 到圆心O 的距离为d ，半径为r发现：如图2，连结PO ，交⊙O 于点A ，此时AP 最小值=d-r ;如图3，连结PO 并延长，交⊙O 于点B ，此时BP 最大值=d+r .二、问题拓展例1 如图4，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点，将∆EFB 沿EF 所在的直线折叠得到∆EFB ’，连结B'D ，求B'D 的最小值.分析：由折叠可知，3=='BE E B ,所以动点B '在以E 为圆心，3为半径的圆上，连接DE ，易求得D B '的最小值.解答：如图5，以E 为圆心，3为半径的作圆，连结DE ,交圆于B ',此时D B '最小,2102-='-='E B DE D B .小结：利用“圆的定义” “找定点，寻定长” 现“圆”形.例2 如图6，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，6=AC ，4=BC ，点P 是ABC ∆所在平面内一动点，且︒=∠90APC ，求线段BP 的最小值和最大值．E A B CD F B'图4 B'E A B C D F B'图5 图2 图3 图12 图7 分析：因为︒=∠90APC ，由︒90的圆周角所对的弦是直径，所以可以以AC 为直径作圆，即可得到点P 的轨迹.解答：如图7，以AC 为直径作⊙O ，连结BO 交⊙O 于点P ，235=-=-=OP OB BP 最小值835=+=+=OP OB BP 最大值小结：见直角 找斜边（定长） 想直径 定外心 现“圆”形.三、感悟提升AC B P图6 圆轨迹模型 找定点，寻定长 见直角，想直径线段最值问题。

5初中数学最值系列之辅助圆教案教学目标：1.熟练掌握辅助圆在数学中的概念和性质；2.能够运用辅助圆解决初中数学中的最值问题；3.培养学生观察问题、提出问题和解决问题的能力。

教学重难点：1.学习掌握辅助圆在求解最值问题中的应用方法；2.培养学生运用辅助圆解决问题的思维能力。

教学准备：1.教师准备好黑板、彩色粉笔和辅助圆的相关课件；2.提前准备好一些与辅助圆相关的练习题。

教学过程：一、引入新知1.教师简单介绍辅助圆的概念和作用，提出辅助圆在数学中的应用意义。

2.教师通过示意图向学生展示辅助圆的基本构造，帮助学生理解辅助圆的含义和作用。

二、辅助圆的性质1.教师向学生介绍辅助圆的性质，如辅助圆的半径等于问题中的其中一边的一半，辅助圆上的弦等于问题中的其中一边等等。

2.教师通过具体例子向学生展示辅助圆的性质，在黑板上进行解释和分析。

三、辅助圆在求解最值问题中的应用1.教师给学生出几个最值问题，如一张长方形纸片的四个角各剪去一块正方形纸片，求剩下的纸片所能构成的最大面积。

2.教师引导学生观察问题，提出问题，并运用辅助圆解决问题。

3.学生们根据教师的引导，利用辅助圆来求解最值问题。

四、练习巩固1.教师提供一些与辅助圆相关的练习题，让学生独立解答并进行讨论。

2.学生们互相交流，共同解决练习题，教师及时给予指导和帮助。

3.教师对学生的答题情况进行点评和总结，对错误的解答进行纠正和解释。

五、拓展思考1.教师鼓励学生进一步思考，提出一个新的问题，如圆的直径与圆的面积有何关系？2.学生们积极思考，讨论并提出自己的见解。

3.学生们将自己的思考结果与其他同学进行分享和讨论。

六、课堂总结1.教师帮助学生总结今天学到的知识和方法，强调辅助圆在求解最值问题中的重要作用。

2.学生们对今天的学习进行总结，并主动回答教师提出的问题，巩固所学知识。

七、作业布置1.教师布置一些与辅助圆相关的作业，例如写一篇关于辅助圆在求解最值问题中的应用方法的小短文。

专题提升课四与圆有关的最值问题方法一利用距离的定义求最值【典例】圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线3x-4y+19=0的最大距离为() A.10B.11C.12D.13【解析】选B.由题意,x2+y2-2x+4y-20=0的圆心为(1,-2),半径为5,圆心到直线的距离d所以圆x2+y2-2x+4y-20=0上的点到直线l的最大距离是5+6=11.【思维提升】利用距离的定义求最值的方法关键是确定距离最大、最小时点的位置.一般通过圆心和点的连线和直线的垂线与圆的交点确定点的位置,再利用距离公式求最值.【即学即练】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是.【解析】圆x2+y2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为(2,2),半径r=32.圆心(2,2)到直线x+y-14=0=52>32,所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=62.答案:62方法二利用几何意义求最值【典例】已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求2m+n的最大值;(2)求(m+2)2+(n-3)2的最小值;(3)求r1的范围.【解析】由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,则圆心C的坐标为(2,7),半径r=22.(1)设2x+y=b,即2x+y-b=0,作出圆(x-2)2+(y-7)2=8与一组平行线2x+y-b=0,当直线2x+y-b=0与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d4+1=22,解得b=11+210或b=11-210,所以2m+n的最大值为11+210.(2)(m+2)2+(n-3)2表示点M(m,n)与点Q(-2,3)的距离的平方,又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42.所以|MQ|min=42-22=22,即(m+2)2+(n-3)2的最小值为8.(3)r1=-0-(-1)表示点过M(m,n)与点P(-1,0)的直线的斜率,令r1=k,则n=k(m+1),即km-n+k=0.当直线MP与圆相切时,斜率取到最大值、最小值.2+1=22,解得k=1或41,所以r1的范围是1,41.【思维提升】常见的三种几何意义的应用(1)形如t=--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题,即转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值;(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.【即学即练】已知实数x,y满足方程(x-2)2+y2=3,求的最大值和最小值.【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心,3为半径的圆,设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值,=3,解得k=±3.故的最大值为3,最小值为-3.方法三距离转化法求最值【典例】若圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,求由点(a,b)向圆C 所作的切线长的最小值.【解析】因为圆C:x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称,所以圆心C(-1,2)在直线2ax+by+6=0上,所以-2a+2b+6=0,即a-b=3.又圆的半径为2,当点(a,b)与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b)与圆心的距离为(+1)2+(-2)2=2(-2)2+18≥32,所以切线长的最小值为(32)2-(2)2=4.【思维提升】关于距离转化法求最值(1)利用勾股定理等方法,将切线长表示出来,分析决定切线长大小的要素,利用该要素的最值求切线长的最值;(2)常见的转化依据:直线外一点与直线上的点的距离的最小值是该点到这条直线的距离.【即学即练】直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,求△ABP 面积的取值范围.【解析】设圆心到直线AB的距离d =22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,所以S△ABP=12·|AB|·d'=2d',所以2≤S△ABP≤6.方法四利用对称转化求最值【典例】已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光线从点A出发经x轴反射到圆C上的最短路程.【解析】点A关于x轴的对称点为A'(-1,-1),A'与圆心(5,7)的距离为(5+1)2+(7+1)2=10.所以所求最短路程为10-2=8.【思维提升】利用对称转化求最值涉及光线反射可以利用对称性,将折线转化为直线解题,根据题意可以选择点对称,也可以选择圆对称.【即学即练】(多选题)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程时()A.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1)B.反射光线所在的直线方程是4x-3y+1=0C.光线的最短路程为4D.当光线的路程最短时,反射点的坐标为14,0【解析】选ABC.圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径r=1.点A(-1,1)关于x轴的对称点A'的坐标为(-1,-1).因为当反射光线是A'C时,光线的路程最短,所以最短距离为|A'C|-r,即[2-(-1)]2+[3-(-1)]2-1=4,此时,反射光线为直线A'C,其方程是4x-3y+1=0,反射点为直线A'C与x轴的交点,其坐标为-14,0.。

隐圆最值问题教学目标：灵活运用圆的一些重要定理、圆中的基本图形解决隐圆中的最值问题． 教学重点难点：隐圆问题，三角形底边、顶角不变和外接圆相关问题（正弦定理模型） 【例1】在△ABC 中，∠ABC=60°，AC=6，求△ABC 面积的最大值．分析：求面积最大值，AC 底边确定，只需找高的最大值，即B 到AC 的距离的最大值。

B 点在三角形ABC 的外接圆上运动。

当三角形ABC 为等边三角形时高最大11622ABC S AC BD =⋅=⨯⨯=【例2】如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E 、F 分别在CB 、AB 上，且AE ⊥CF 于G ，连BG ．则GB 的最小值是_______．A分析：求GB 的最小值，B 点是定点，关键找出G 点的运动轨迹。

G 点怎么来的呢？ AE ⊥CF 于G 点，即90AGC ∠=︒。

可得G 在以AC 为直径的圆上运动。

取AC 的中点 O连接OB 与圆O 的交点即为最小值时的G 点。

22GB OB OG ∴=-=【例3】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值 是 ．第16题图HGF E DC BA分析： 推出 90AHB ∠=︒ 是关键。

再回到上一题思路 总结：定弦定角的隐圆问题【反馈练习】1.如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，其中AB = 10，那么点O 到AB 的距离的最大值为__________．2．如图正方形ABCD ，AB=10，E 、F 分别为CD 、AD 上动点，且始终有CE=DF ，连接CF 、BE 交于O 点，连接AO ，求△AOB 面积的最小值FO EDCBA。

与圆有关的最值问题教学设计好嘞，今天我们聊聊与圆有关的最值问题，这可是个有趣的话题，听着就让人觉得充满了挑战感，嘿嘿。

大家知道，圆这个形状简单却又有无穷的奥秘。

就像咱们生活中的一些小事，有时候最简单的东西却蕴藏着深刻的道理。

圆形在数学中真的是个大明星，既有它独特的魅力，又能带给我们思考的乐趣。

想象一下，你在公园里看到小朋友在玩飞盘，飞盘一飞出去，就画出了一个圆。

这时候，问题来了，飞盘飞得多远才算是最远？这就得涉及到我们的最值问题了。

说到最值，咱们得先搞清楚什么叫“最值”。

就是在某个条件下，找到最大的或者最小的值。

比如说，你要在一个半径为R的圆里找到一个点，让它到圆心的距离最小。

小朋友们，听明白了吗？其实这就像是在找一块大蛋糕，想吃到最大的一块！所以，咱们要找到最适合的位置，这可不是一件简单的事哦。

想想，圆的中心就是那个“甜蜜点”，距离最短，吃起来最方便。

再说了，圆的周长和面积也跟最值有很大关系。

圆的周长公式是2πR，面积则是πR²。

哈哈，听起来像是数学公式背后的秘密，不是吗？如果把这个公式放在生活中，那就是你得根据半径来调整你的“吃货计划”！越大的圆，越大的面积，咱们的“吃货”就能吃得更爽，嘿嘿。

圆形的最值问题在生活中到处都是，比如你在超市选水果，挑最大的西瓜，那也是一种最值问题呢！谁不想买个大西瓜，回家吃得开心呢？再说到圆的切线问题，嘿嘿，这又是个有趣的事儿！想象一下，一个小球在圆边上滚，哇，那可真是风驰电掣。

小球的速度和切线的长度有什么关系呢？我们要想办法求出那个最合适的切线，才能让小球跑得又快又稳。

这就像是赛车，赛车手要根据赛道的曲线来调整自己的速度，不然可就得摔得粉身碎骨了！在这里，咱们要学会利用一些数学工具，比如导数，来找到这个切线的最优解。

说起来复杂，其实只要掌握了窍门，就像骑自行车一样，轻松自在。

还有一个事儿就是圆的内切多边形问题，哇，听着就觉得很神秘。

想象一下，把一个正方形放进圆里，正方形的每个角都碰到圆，这样的状态就是内切。

【教学目标】了解、掌握与圆有关的最值问题的常用解法：代数法，几何法，参数法【讨论学习】1. 代数法 建立函数关系，并将问题转化为一元函数的最值问题.例1 从点(),3P m 向圆()()22:221C x y +++=引切线PT ，求|PT |的最小值变式 已知P 是直线3480x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 的面积的最小值2. 借助几何意义常见二元函数的几何意义包括斜率、两点间的距离等。

如：的几何意义是动点(),x y 到定点(),a b 的距离，()()22x a y b -+-的几何意义是点(),x y 到点(),a b 的距离的平方，y b x a --的几何意义是动点(),x y 与定点(),a b 连线的斜率，等等 例2 若实数x 、y 满足x 2＋y 2－6x －4y ＋12＝0，试求x 2＋y 2的最大、小值.例3 如果实数x ，y 满足()2223x y ++=，求y x的最大值变式 设P 是圆225x y +=上任一点，P 点到直线l ：2100x y -+=的距离记为d ，求d的最小值点评：处理解析几何问题常有两种方法，即代数法和几何法。

几何法具有直观明了的特点，往往能收到事半功倍的效果，我们在学习中要有意识的多加应用。

3. 参数法 利用三角代换将问题转化为三角函数的最值问题例4 若P (),x y 是圆()()22324x y -+-=上任一点，求2x y +的最大值和最小值.【巩固练习】1．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为（A ） （B ）4 （C ）4 （D ）0 2．实数x ，y 满足方程40x y +-=，则22x y +的最小值为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）123．已知圆的方程x 2＋y 2－8x －2y ＋12=0，P (1，1)是一个定点，则此圆上与P 点距离最远的点的坐标是4．若实数x 、y 满足x 2+y 2=1，则21y x --的最小值为 5．已知圆C ：22(1)(2)25x y -+-=及直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=()m R ∈（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 始终交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程。

初中圆中最值教案一、教学目标：1. 知识与技能目标：让学生掌握圆中线段、角度的最值问题解决方法，能够运用轴对称、几何变换等知识解决一些简单的最值问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、分析、推理、交流等过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，感受数学的乐趣，培养学生的数学素养。

二、教学内容：1. 圆中线段的最值问题：圆的直径、弦长、弧长等。

2. 圆中角度的最值问题：圆心角、圆周角等。

3. 圆与其他几何图形的结合最值问题。

三、教学重难点：1. 教学重点：让学生掌握圆中线段、角度的最值问题解决方法。

2. 教学难点：如何运用轴对称、几何变换等知识解决圆中的最值问题。

四、教学过程：1. 导入新课：通过展示一些生活中的圆的图片，如圆桌、圆形操场等，引导学生发现圆的特性，引出本节课的主题——圆中的最值问题。

2. 自主探究：让学生通过观察、分析、推理等方法，探究圆中线段、角度的最值问题解决方法。

3. 教师讲解：针对学生的探究结果，进行讲解和总结，让学生掌握圆中线段、角度的最值问题解决方法。

4. 巩固练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

5. 拓展延伸：引导学生思考圆与其他几何图形的结合最值问题，激发学生的思维。

6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，让学生明确圆中最值问题的解决方法。

五、教学评价：1. 学生对圆中线段、角度的最值问题解决方法的掌握程度。

2. 学生在解决实际问题时，运用数学知识的灵活性。

3. 学生对数学的兴趣和数学素养的提升。

六、教学反思：通过本节课的教学，发现学生在解决圆中最值问题时，对于轴对称、几何变换等知识的运用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。

同时，要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高他们解决实际问题的能力。

此外，还要注重激发学生的学习兴趣，让他们在愉悦的氛围中学习数学。