动力学例题(供参考)

牛顿运动定律举例
例题1. 一个质量为m,悬线长度为l的单摆 的单摆, 例题 . 一个质量为 ,悬线长度为 的单摆,挂在架 子上,架子固定在小车上,如图所示. 子上,架子固定在小车上,如图所示.求在下列情况 下悬线的方向(用摆的悬线与竖直方向所成的角θ表 下悬线的方向 ( 用摆的悬线与竖直方向所成的角 表 和线中的张力: 示)和线中的张力: (1)当小车沿光滑水平面以加速 作匀加速直线运动时; 度a1作匀加速直线运动时; 当小车以加速度a (2)当小车以加速度 2沿光滑斜 面 ( 斜面与水平面成 α 角 ) 向上 作匀加速直线运动时. 作匀加速直线运动时.
例题2.如图所示,在水平转台上放置一质量为M=2kg 例题 如图所示,在水平转台上放置一质量为 如图所示 的小物块A,物块与转台间的静摩擦系数=0.2,一 的小物块 ,物块与转台间的静摩擦系数 , 条光滑的绳子一端系在物块A 条光滑的绳子一端系在物块A上,另一端则由转台中 心处的小孔穿下并悬一质量为m=0.8kg的物块B.转 的物块B 心处的小孔穿下并悬一质量为 的物块 台以ω=4πrad/s的角速度绕竖直中心轴转动,求:转 的角速度绕竖直中心轴转动, 台以 的角速度绕竖直中心轴转动 台上面的物块A与转台相对静止时,物块转动半径的 台上面的物块A与转台相对静止时, 最大值和最小值. 最大值和最小值. 分析:以地面为参照 作 分析 以地面为参照,M作 以地面为参照 圆周运动,摩擦力和张力 圆周运动 摩擦力和张力 提供向心运动的向心力; 提供向心运动的向心力 若以转台为参照,则 相对 若以转台为参照 则M相对 静止,此时作用在其上的 静止 此时作用在其上的 力还要考虑惯性离心力. 力还要考虑惯性离心力
v
代入(1)式 得 代入 式 ,得 两边积分 得
Rg sin θdθ = vdv
Rg sin θdθ = ∫ vdv
0
∫
2
v = 2 Rg(1 cos θ ) (5)
0
将(4)式代入(5)式,得 (4)式代入(5)式 式代入(5)
2 cos θ = 3
由 (3) 式得顶点至脱离球面处的 垂直距离
F + f max = Mrmax ω 2
F f min = Mrmin ω
2
m物块是静止的,因而 F = mg 物块是静止的, 物块是静止的 故
rmax
又 f max = s Mg
ω
A
mg + s Mg = = 37.2mm 2 Mω
rmin
mg s Mg = = 12.4mm 2 Mω
由于dθ很小,可取sin(d /2)=dθ/2,cos(dθ sin(dθ 由于 很小,可取sin(dθ/2)=dθ/2,cos(dθ/2)=1, 很小 再略去高价无穷小量, 再略去高价无穷小量,上述两式变为
N = Tdθ (3) f = dT (4)
又因为是静摩擦,所以 又因为是静摩擦 所以 f ≤ 0 N 于是,由上两式消去 后得到 于是 由上两式消去N后得到 由上两式消去 dT T+dT ≤ 0 dθ (5) T 两边积分 T α 1 dT ∫T0 T ≤ ∫0 0dθ (6) 得到 n(T1 / T0 ) ≤ 0α , 所以 T1 ≤ T0 e 0α 可见拉力T 可见拉力 1的最大值为
(
轻绳, 且不计摩擦: 轻绳 且不计摩擦
T+dT N f dθ θ T
在这四个力作用下,该段绳处 在这四个力作用下 该段绳处 于平衡,其平衡方程的法向分 于平衡 其平衡方程的法向分 量式为
dθ dθ (T + dT ) sin + T sin N = 0 (1) 2 2
N f T+dT dθ θ T
切向分量式为
dθ dθ (T + dT ) cos T cos f = 0 ( 2) 2 2
例题6 教材 例题6(教材 教材P72 题2.5) 图中A为定滑轮 为动滑轮 三个物体m 图中 为定滑轮, B为动滑轮 三个物体 1=200g, 为定滑轮 为动滑轮, m2=100g, m3=50g,求: 求 (1)每个物体的加速度 每个物体的加速度; 每个物体的加速度 (2)两根绳子中的张力 1与T2. 两根绳子中的张力T 两根绳子中的张力 假定滑轮及绳的质量以及摩擦 均可忽略不计. 均可忽略不计
dy vdv = gR 2 y
2
mg
dy 两边积分: 两边积分: ∫v0 vdv = ∫R R g y 2 1 2 2 1 2 1 (v v0 ) = gR ( ) 2 y R
v y 2
1 1 v = v 2 gR ( ) R y
2 2 0 2
飞船脱离地球引力时: 飞船脱离地球引力时: 令 v=0
l m
解 : ( 1 ) 小车水平加速 y 运动时,摆锤的受力如图. 运动时, 摆锤的受力如图. 在如图坐标系中有
T1 θ
x方向: T1 sin θ = ma1 方向: y方向: T1 cos θ mg = 0 方向:
O
m x
mg
θ m
a1
解得
T1 = m g 2 + a12 a1 tan θ = g a1 θ = arctan g
解:设地球半径为R,地球表面的重力近似等于引力 设地球半径为R mM 2 G 2 ≈ mg y v GM = gR R mM mgR 2 宇宙飞船受的引力: 宇宙飞船受的引力: F = G 2 ≈ 2 y y 2 dv mgR 运动方程: 运动方程: m = 2 dt y
dv dvdy dv = =v dt dydt dy
1 h = R R cos θ = R 3
(本题用机械能守恒定律求解更简单. ) 本题用机械能守恒定律求解更简单.
例题4 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船. 例题4,由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船. 求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度.( .(不 求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度.(不 计空气阻力及其它作用力,设地球半径为6378000m) 计空气阻力及其它作用力,设地球半径为 )
较大时, 较大. 当a1 = 0时,θ = 0;当a1较大时,θ较大.
T2
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y
α
x
G
θ′
m
a2
O
α
小车沿斜面向上时摆锤的受力如图.在如图坐标系 小车沿斜面向上时摆锤的受力如图. 中有
x方向:T2 cos[90° (θ ′ + α )] G sin α = ma 2 方向: y方向:T2 sin[90° (θ ′ + α )] G cos α = 0 方向:
为研究对象, 地面"参照系. 解1: 以m1,m2,m3为研究对象 选"地面"参照系 取坐标Oy向下为正 作受力分析如解图所示. 向下为正. 取坐标 向下为正 作受力分析如解图所示 设m1, m2向下 m3向上运动 并分别以 1, a2, a3表示 1,m2, 向下, 向上运动, 并分别以a 表示m m3对地的加速度 以a'2表示 2,m3相对滑轮B的加 对地的加速度, 表示m 相对滑轮 的加 速度. 速度 注意到 可得 a1 = ,可得 a B地
N f dθ θ T
(7 )
T1 = T0 e
0α
代入数据可求得 T1 = 10e 0.5×4π ≈ 5.36 × 103 ( N ) 如果绕上三圈,可得 的最大值约为1.24×105牛顿, 如果绕上三圈 可得T1的最大值约为 可得 × 牛顿, 即可以拉住大一万倍以上的力! 即可以拉住大一万倍以上的力!
ω
A
B 图 1-A-19
质量为M的物块作圆周运动的向心力 的物块作圆周运动的向心力, 解:质量为 的物块作圆周运动的向心力,由它与平 台间的摩擦力f和质量为 的物块对它的拉力F的合力 和质量为m的物块对它的拉力 台间的摩擦力 和质量为 的物块对它的拉力 的合力 同向, 提供, 物块有离心趋势 提供,当M物块有离心趋势时,f和F同向,而当 物 物块有离心趋势时 和 同向 而当M物 块有向心运动趋势时,两者的方向相反 向心运动趋势时 方向相反. 块有向心运动趋势时,两者的方向相反.因M物块相 物块相 对于转台静止, 对于转台静止,故有
mg sin θ = m
dt
(1)
v2 mg cos θ N = m ( 2) R
顶点至脱离球面处的垂直距离
h = R R cos θ (3)
脱离球面时, ,由(2)式 脱离球面时, N = 0 ,由(2)式,得
v = Rg cos θ ( 4)
2
将
ds Rdθ v= = dt dt
θ
Rdθ dt = v
B 图 1-A-19
例题3.在半径为R的光滑球面的顶点处, 例题 在半径为R的光滑球面的顶点处,一质点开始滑 在半径为 取初速度接近于零. 落 , 取初速度接近于零 . 试问质点滑到顶点以下多远 的一点时,质点离开球面? 的一点时,质点离开球面? 分析:小球沿球面下滑,作变加 分析:小球沿球面下滑, 速圆周运动.离开球面时, 速圆周运动.离开球面时,受光 滑球面对它的支持力为零. 滑球面对它的支持力为零. 解:以小球为研究对象.取自然坐 以小球为研究对象. 作受力分析见图.某时刻, 标,作受力分析见图.某时刻,设 小球沿球面运动的速率为v, 小球沿球面运动的速率为 ,由牛 顿运动方程: 顿运动方程: dv
y→∞ , v≥0
v0 = 2 gR = 11.2 km s 1
例题5. 一根缆绳绕在固定的圆柱形木桩上,绳与木桩之 例题 一根缆绳绕在固定的圆柱形木桩上 绳与木桩之 的力拉着,另一 间的静摩擦系数为 0 ,绳的一端用 T0 的力拉着 另一 绳的一端用 的力拉着而处于平衡.设缆绳所绕部分对应的 端用 T1 的力拉着而处于平衡 设缆绳所绕部分对应的 圆心角为 θ .问拉力 T1 的最大值是多少时才能使绕在 问拉力 木桩上的绳产生滑动?当 木桩上的绳产生滑动 当 0 = 0.5 , T0 = 10( N) ,绳在 绳在 木桩上绕两圈,问 的最大值是多少牛顿? 木桩上绕两圈 问 T1 的最大值是多少牛顿 解:在绕于木桩的绳上取长度 在绕于木桩的绳上取长度 的一段微元,考察其受力 为dl的一段微元 考察其受力 的一段微元 考察其受力. 两端的张力T和 两端的张力 和T+dT,木桩的 木桩的 法向作用力N和绳与木桩之 法向作用力 和绳与木桩之 间的切向静摩擦力f,方向如 间的切向静摩擦力 方向如 图所示. 图所示
m2对地的加速度大小 m3对地的加速度大小 对m1: 对m2: 对m3:
a 2 = a a1
' 2
a3 = a + a1
' 2
m1 g T1 = m1a1
(1)
' m 2 g T2 = m 2 a 2 = m 2 a 2 a1
(
)
)
(2) (3) 3 (4)
' m 3 g T2 = m 3a3 = m 3 a 2 + a1
分析:牛顿定律仅适用于惯性参照系 本题中 若以a 分析 牛顿定律仅适用于惯性参照系.本题中 若以 1, a2, 牛顿定律仅适用于惯性参照系 本题中,若以 a3分别表示 1,m2,m3相对地面 惯性系 运动的加速 分别表示m 相对地面(惯性系 惯性系)运动的加速 应注意m 相对滑轮B的加速度不是对地加速 度, 应注意 2,m3相对滑轮 的加速度不是对地加速 要运用相对运动的加速度关系.若取滑轮 若取滑轮B为参照 度, 要运用相对运动的加速度关系 若取滑轮 为参照 系时, 则应注意添加相应的惯性力. 系时 则应注意添加相应的惯性力
解得
T2 = m
2 ( g sin α + a2 )2 + g 2 cos 2 α = m g 2 + 2 gα 2 sin α + a2
tan(θ ′ + α ) =
g sin α + a2 g sin α + a2 ′ = arctan ,θ α g cos α g cos α
=0, 即为情况( 若α=0,a2=a1,即为情况(1) T2 = T1 , θ ′ = θ. 若a2= -gsinα,即为小车沿斜面自由下滑的情况, gsinα 即为小车沿斜面自由下滑的情况, 此时 T2 = mg cos α ≠ mg,θ ′ = α, 可见此时悬线方向与斜面垂直. 可见此时悬线方向与斜面垂直. 利用一个系统中的单摆悬线的取向, 利用一个系统中的单摆悬线的取向 , 可测定这个 系统直线运动时的加速度. 系统直线运动时的加速度.