鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质能力提升练习题(附答案)3

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形的判定与性质基础达标训练题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，已知△ABC的面积为15，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．52．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，，且AC：BD＝2：3，那么BC的长为（）A．B．2C．D．43．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，则∠B的余角是（）A．∠BCD B．∠D C．∠ACD D．∠CAD4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，△DEC的周长是（）A．3B．12C．15D．195．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC＝BD B．OB＝OC C．∠ABD＝∠ACD D．∠BCD＝∠BDC6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC7．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（）A．①B．②C．③D．④8．在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE 9．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．510．代号为（1）、（2）、（3）、（4）的4张三角形纸片都有一个角为50°，如果它们另有一个角分别为50°，70°，80°，90°，哪几张纸片能剪一刀就得到等腰梯形（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）二．填空题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠ACD＝．12．平行四边形的对角线长分别为10、16，则它的边长x的取值范围是．13．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则FC＝．14．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P是BC上一动点，PE∥AB交AC于点E，PF∥CD交BD于点F，则PE+PF＝．15．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B＝45°，高AE＝1，上底AD＝1，则其面积为．16．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④BC∥AD其中能判定四边形是平行四边形的组合是或或或．17．已知四边形ABCD，∠A＝∠C，对角线AC，BD交于点O．分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③OA＝OC；④∠B＝∠D，能使四边形ABCD成为平行四边形，则正确的选项有．（填写序号）18．小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是．19．如图，点F在▱ABCD的边AD上，连接BD，BF，AF＝8cm，BF＝12cm，∠FBD＝∠CBD，点E是BC的中点．若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向F运动，点Q 同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到点F时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动秒时，以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．20．已知：四边形ABCD是梯形，AD∥BC，请补充一个条件，使它成为等腰梯形．你补充的条件是．三．解答题（共8小题）21．如图，在▱ABCD中，＝，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB＝2FC，∠F＝38°，求∠B的度数．22．如图，E为平行四边形ABCD边AD上一点，过点E作EF∥AB，交边BC于点F，若AB＝3，DE＝2，求四边形CDEF的周长．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD．∠B 与∠E相等吗？说明理由．24．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD﹣DC﹣CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD＝10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．26．如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE 是平行四边形．27．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）如果AD＝5，DC＝，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？28．在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）如图1，求证：四边形BDAF是平行四边形；（2）如图2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，已知△ABC的面积为15，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF＝4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交ED延长线于K，过B作BH⊥ED于H，∵四边形DCFE是平行四边形∴DE∥BC，DE＝CF∵BF＝4CF∴BC＝3CF∵AG⊥BC，BH⊥ED∴AG⊥DE∴∠AGB＝∠GKH＝∠BHK＝90°∴四边形BGKH是矩形，∴BH＝GK∵AG＝AK+KG∴AG＝AK+BH∴S△ADE+S△BDE＝DE•AK+DE•BH＝DE（AK+GK）＝CF•AG∵S△ABC＝15，即：BC•AG＝15∴×3CF•AG＝15∴CF•AG＝5∴S△ADE+S△BDE＝5故选：D．2．如图，▱ABCD中的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，，且AC：BD＝2：3，那么BC的长为（）A．B．2C．D．4【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AC：BD＝2：3，∴OA：OB＝2：3，设OA＝2m，BO＝3m，∵AC⊥BD，∴∠BAO＝90°，∴OB2＝AB2+OA2，∴9m2＝5+4m2，∴m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴AC＝2OA＝4∴BC＝＝故选：C．3．如图，▱ABCD中，AB⊥AC，则∠B的余角是（）A．∠BCD B．∠D C．∠ACD D．∠CAD【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠B的余角是∠ABC．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD．∴∠CAD也是∠B的余角．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．4．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝6，BC＝8，且AB∥DE，△DEC的周长是（）A．3B．12C．15D．19【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形ABCD，AB＝6，∴DC＝AB＝6，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE＝5，AB＝DE＝6，∵BC＝8，∴CE＝8﹣5＝3，∴△DEC的周长是DE+EC+DC＝6+3+6＝15，故选：C．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（）A．AC＝BD B．OB＝OC C．∠ABD＝∠ACD D．∠BCD＝∠BDC 【解答】解：A、∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，故本选项正确；B、∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∠DAB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ABD≌△DCA，∴∠ABD＝∠DCA，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，故本选项正确；C、由B可知∠ABD＝∠ACD，故本选项正确；D、∵BC不一定等于BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误．故选：D．6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD＝BC B．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝DC，AD＝BC【解答】解：A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：A．7．一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①、②、④，而③无法判定．故选：C．8．在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）A．AF＝CE B．AE＝CF C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE 【解答】解：A、错误．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥EC，∵AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．∴选项A错误．B、正确．根据AE＝CF，所以四边形AECF可能是平行四边形，有可能是等腰梯形，故选项B正确．C、错误．由∠BAE＝∠FCD，∠B＝∠D，AB＝CD可以推出△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵AD＝BC，∴AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．故选项C错误．D、错误．∵∠BEA＝∠FCE，∴AE∥CF，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．故选项D错误．故选：B．9．如图：分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边作等边△ACD及等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF交AC于点O．给出下列说法：①AC＝EF；②四边形ADFE是平行四边形；③△ABC≌△ADO；④2FO＝BC；⑤∠EAD＝120°．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝2AF∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC＝EF；故①正确∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，AC＝AD，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC＝EF，AC＝AD，∴EF＝AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故②正确∵四边形ADFE是平行四边形∴AE＝DF＝AB，AE∥DF又∵AF＝BC，AD＝AC∴△ADF≌△CAB（SSS）∴△ABC与△ADO不全等故③错误∵AE∥DF∴∴BC＝2OF故④正确∵∠EAD＝∠BAE+∠BAC+∠CAD＝150°故⑤错误故选：B．10．代号为（1）、（2）、（3）、（4）的4张三角形纸片都有一个角为50°，如果它们另有一个角分别为50°，70°，80°，90°，哪几张纸片能剪一刀就得到等腰梯形（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（1）（3）【解答】解：作三角形的一边的平行线即可得到梯形，①两个角是50°、50°时，只要沿平行于三角形的底边的直线剪一刀即可得到等腰梯形；②两角是50°、70°时，第三个角是60°，沿任何平行于三角形的一边的直线剪一刀都不能得到同一底上两角相等，即不能得到等腰梯形；③如图：两角是50°、80°时，∠B＝50°，∠C＝80°，则∠A＝50°，作EF∥AB，沿EF剪一刀就能得到等腰梯形；④、两角是50°、90°时，第三个角是40°，沿任何平行于三角形的一边的直线剪一刀都不能得到同一底上两角相等，即不能得到等腰梯形；∴①③正确，②④错误，故选：D．二．填空题（共10小题）11．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠ACD＝87°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠EAB＝∠EAD，∴∠EAB＝∠AEB，∴BA＝BE，∵AB＝AE，∴AB＝BE＝AE，∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，∴∠EAD＝∠CDA＝60°，∵∠EAC＝27°，∴∠ACD＝∠BAC＝60°+27°＝87°．故答案为：87°．12．平行四边形的对角线长分别为10、16，则它的边长x的取值范围是3＜x＜13．【解答】解：根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是5和8．再根据三角形的三边关系，得3＜x＜13．故答案为3＜x＜13．13．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，则FC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝9，AD∥BC，AB∥DF，∴∠DAF＝∠BEA，∠BAF＝∠F，∵∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠BEA＝∠CEF＝∠F，∴AB＝BE＝6，CE＝CF，∴FC＝3，故答案为3．14．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P是BC上一动点，PE∥AB交AC于点E，PF∥CD交BD于点F，则PE+PF＝3．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥AB，∴，，∴＝1．∵AB＝DC＝3，∴+＝1，∴＝1，∴＝1，即PE+PF＝3．故答案为：3．15．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B＝45°，高AE＝1，上底AD＝1，则其面积为2．【解答】解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B＝45°，AE＝AD＝1，∴BE＝AE＝1，∴BC＝3AE＝3，∴S梯形ABCD＝（AD+BC）•AE＝（1+3）×1＝2．故答案为：2．16．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④BC∥AD其中能判定四边形是平行四边形的组合是①④或②④或①③或③④．【解答】解：由①④可以推出四边形ABCD是平行四边形，由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形，由①③也可以提出四边形ABCD是平行四边形，由③④也可以提出四边形ABCD是平行四边形，故其中能判定四边形是平行四边形的组合是①④或②④或①③或③④，故答案为：①④，②④，①③，③④．17．已知四边形ABCD，∠A＝∠C，对角线AC，BD交于点O．分别添加下列条件之一：①AB∥CD；②AB＝CD；③OA＝OC；④∠B＝∠D，能使四边形ABCD成为平行四边形，则正确的选项有①④．（填写序号）【解答】解：①由AB∥CD，∠A＝∠C可证明∠B＝∠D，然后可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；②根据AB＝CD，∠A＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不正确；③∠DAB＝∠DCB且OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不正确；④由∠A＝∠C，∠B＝∠D可根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确．正确的选项有①④，故答案为：①④．18．小明做了一个平行四边形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准，小聪用刻度尺量了这个四边形的四条边长，然后说这个纸板是标准的平行四边形，小聪的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴用刻度尺量了这个四边形的四条边长，判定两组对边是否分别相等即可；故答案为两组对边分别相等的四边形是平行四边形．19．如图，点F在▱ABCD的边AD上，连接BD，BF，AF＝8cm，BF＝12cm，∠FBD＝∠CBD，点E是BC的中点．若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向F运动，点Q 同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到点F时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动2或6秒时，以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠CBD，且∠FBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠FBD∴BF＝DF∵AF＝8cm，BF＝12cm＝DF∴AD＝20cm＝CB，∵点E是BC的中点∵点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ设当点P运动t秒∴8﹣t＝|10﹣2t|∴t＝2或6故答案为：2或620．已知：四边形ABCD是梯形，AD∥BC，请补充一个条件，使它成为等腰梯形．你补充的条件是AB＝CD（∠B＝∠C或∠A＝∠D）．【解答】解：已知ABCD是梯形，①则可以添加AB＝CD，从而利用两腰相等的梯形是等腰梯形进行判定；②或添加∠A＝∠D或∠B＝∠C，从而利用同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形来判定．故可填：AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．三．解答题（共8小题）21．如图，在▱ABCD中，＝，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE；（2）若AB＝2FC，∠F＝38°，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∵＝，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（ASA）；（2）解：由（1）中结论可得AD＝FC，∵AD＝BC，AB＝2FC，∴AB＝FB，∴∠BAF＝∠F＝38°，∴∠B＝180°﹣2×38°＝104°．22．如图，E为平行四边形ABCD边AD上一点，过点E作EF∥AB，交边BC于点F，若AB＝3，DE＝2，求四边形CDEF的周长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD．∴ED∥CF．∵EF∥AB，∴CD∥EF．∴四边形CDEF为平行四边形．∴CD＝EF＝AB＝3，DE＝CF＝2．∴▱CDEF的周长为6+4＝10．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD．∠B 与∠E相等吗？说明理由．【解答】解：∠B＝∠E．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠BCD．∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠BCD．∴∠B＝∠CDE．∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∴∠B＝∠E．24．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD﹣DC﹣CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD＝10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．【解答】解：（1）设AB＝10xkm，则AD＝5xkm，CD＝2xkm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BC＝AD＝5xkm，∴AD+CD+CB＝12xkm，∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x＝6：5；（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：＝+．解这个方程得x＝1．∴10x＝10，答：市区公路的长为10km．25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE ＝BF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFC＝90°，在Rt△DEC和Rt△BFC中，，∴Rt△DEC≌Rt△BFC（HL），∴EC＝AF，∴EC﹣EF＝AF﹣EF即AE＝FC；（2）∵Rt△DEC≌Rt△BFC，∴∠DCE＝∠BAF，∴AB∥DC，又∵AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图，已知点A、B、C、D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：△ACE≌△DBF；（2）如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G，连接BE和CG．求证：四边形BGCE 是平行四边形．【解答】证明：（1）如图1，∵OB＝OC，∴∠ACE＝∠DBF，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（AAS）；（2）如图2，∵∠ACE＝∠DBF，∠DBG＝∠DBF，∴∠ACE＝∠DBG，∴CE∥BG，∵CE＝BF，BG＝BF，∴CE＝BG，∴四边形BGCE是平行四边形．27．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）如果AD＝5，DC＝，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？【解答】（1）证明：在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴BE＝FC，∠ABE＝∠DCF，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥FC，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形，则BE＝EC，∵AD＝5，DC＝，AB＝DC，∴BC＝2，∵∠EBD＝60°，EB＝EC，∴△EBC是等边三角形，∴BE＝2．28．在△ABC中，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）如图1，求证：四边形BDAF是平行四边形；（2）如图2，若∠ACD＝90°，请写出图中所有的等腰三角形．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，∴AF＝BD，又∵AF∥BC，即AF∥BD，∴四边形BDAF是平行四边形；（2）解：∵∠ACD＝90°，E是AD的中点，∴CE＝AD＝AE＝DE，∴△ACE和△CDE是等腰三角形，由（1）得：△AEF≌△DEC，∴FE＝CE，∴CE＝AD＝AE＝DE＝FE，∴BF＝CF，∴△BCF、△AEF是等腰三角形，综上所述：图中所有的等腰三角形为△ACE、△CDE、△BCF、△AEF。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形的判定与性质基础达标训练题1（附答案）1．在平行四边形ABCD中，∠A＝73°，则∠D的度数是（）A．117°B．107°C．73°D．17°2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（）A．4B．6C．8D．103．如图，在平行四边形ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD ＝4cm，AP＝6cm，则△ABP的面积等于（）cm2．A．30B．C．24D．4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长（）cm．A．12B．15C．18D．215．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，∠B＝60°，BC＝11，且AB∥DE，△DEC 的周长是（）A．21B．20C．19D．186．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．∠ADB＝∠CBD，AB∥CD B．∠ADB＝∠CBD，∠DAB＝∠BCD C．∠DAB＝∠BCD，AB＝CD D．∠ABD＝∠CDB，OA＝OC7．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB∥CD B．AB＝DC，AD＝BCC．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥CD，AB＝CD8．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．169．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（）A．28或32B．28或36C．32或36D．28或32或36 10．已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC＝BD＝BC B．AB＝AD＝CDC．OB＝OC，AB＝CD D．OB＝OC，OA＝OD二．填空题（共10小题）11．以三角形的三个顶点为顶点的平行四边形可以作个．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为．13．在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝160°，则∠B＝．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝6，AD＝5，BC＝11，则梯形ABCD的面积为．15．已知等腰梯形的上、下底分别为4cm、8cm，且其对角线互相垂直，那么它的面积为．16．在四边形ABCD中，AB＝CD，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形．17．已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（2，3），（5，3），（1，1）．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为．18．如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件，可使四边形BFDE为平行四边形．19．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有个．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．当α＝度时，四边形EDBC是等腰梯形．三．解答题（共8小题）21．如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．（2）求证：△ABE≌△CDF；22．已知：如图，▱ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，分别交边DC、AB于点E、F，求证：AE＝CF．23．证明：等腰梯形下底边的中点到两腰的距离相等．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，求证：．证明：．24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过A点作AE∥DC交BC于E点，△ABE是等腰三角形吗？请说明理由．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．26．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．27．如图，四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形．求证：四边形AEFB是平行四边形．28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四边形ABCD的周长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在平行四边形ABCD中，∠A＝73°，则∠D的度数是（）A．117°B．107°C．73°D．17°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，且∠A＝73°，∴∠D＝107°，故选：B．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD 最小，即DE最小．∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，PQ∥AD，若AD ＝4cm，AP＝6cm，则△ABP的面积等于（）cm2．A．30B．C．24D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠P AB+∠PBA＝（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠P AB+∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠P AB，∵AB∥CD，∴∠P AB＝∠DP A∴∠DAP＝∠DP A∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝4cm，同理：PC＝CB＝4cm，即AB＝DC＝DP+PC＝8cm，在Rt△APB中，AB＝8cm，AP＝6cm，∴BP＝＝＝2cm，∴△ABP的面积＝×AP×BP＝6cm2，故选：B．4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3cm，∠A＝60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长（）cm．A．12B．15C．18D．21【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，DC∥AB，∠A＝60°，∴∠CBA＝∠A＝60°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠ABD＝30°∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝30°，∴DC＝BC＝3cm，∵∠A＝60°，∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝6cm，∴梯形ABCD的周长为AD+DC+BC+AB＝3cm+3cm+3cm+6cm＝15cm．故选：B．5．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，∠B＝60°，BC＝11，且AB∥DE，△DEC 的周长是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴∠C＝∠B＝∠DEC＝60°，∴DE＝CD＝CE＝6，EB＝AD＝5，则△DEC的周长＝DE+DC+EC＝6+6+6＝18．故选：D．6．已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．∠ADB＝∠CBD，AB∥CD B．∠ADB＝∠CBD，∠DAB＝∠BCD C．∠DAB＝∠BCD，AB＝CD D．∠ABD＝∠CDB，OA＝OC【解答】解：A、∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∵∠DAB＝∠BCD，∴∠BAD+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝∠ADC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、∠DAB＝∠BCD，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、∵∠ABD＝∠CDB，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．7．下列选项中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB∥CD B．AB＝DC，AD＝BCC．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥CD，AB＝CD【解答】解：A、由AD∥BC，AB∥CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；B、由AB＝CD，AD＝BC可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；C、由AD∥BC，AB＝DC不能判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项符合题意；D、由AB∥CD，AB＝CD可以判断四边形ABCD是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：C．8．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16【解答】解：如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等边三角形．所以AI＝AF＝3，BG＝BC＝1．所以GI＝GH＝AI+AB+BG＝3+3+1＝7，DE＝HE＝HI﹣EF﹣FI＝7﹣2﹣3＝2，CD＝HG ﹣CG﹣HD＝7﹣1﹣2＝4．所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3＝15；故选：C．9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（）A．28或32B．28或36C．32或36D．28或32或36【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，若以AC，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AC+BC）＝2×（6+8）＝28，若以AC，AB为边，则平行四边形的周长＝2（AC+AB）＝2×（6+10）＝32，若以AB，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+8）＝36，故选：D．10．已知四边形ABCD中，AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定四边形ABCD是等腰梯形的是（）A．AC＝BD＝BC B．AB＝AD＝CDC．OB＝OC，AB＝CD D．OB＝OC，OA＝OD【解答】解：A、AC＝BD＝BC，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；B、AB＝AD＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；C、OB＝OC，AB＝CD，不能证明四边形ABCD是等腰梯形，错误；D、∵OB＝OC，OA＝OD，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAD＝∠ODA，在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴∠ABO＝∠DCO，AB＝CD，同理：∠OAB＝∠ODC，∵∠ABC+∠DCB+∠CDA+∠BAD＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是梯形，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．故选：D．二．填空题（共10小题）11．以三角形的三个顶点为顶点的平行四边形可以作3个．【解答】解：如图所示：以点A，B，C能做三个平行四边形：▱ABCD，▱ABFC，▱AEBC．故答案为：3．12．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O的线段EF与AD，BC分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为12．【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF，∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF＝4+5+1.5+1.5＝12．故答案为：12．13．在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝160°，则∠B＝100°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，∴∠B＝180°﹣∠A＝100°；故答案为：100°．14．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝6，AD＝5，BC＝11，则梯形ABCD的面积为24．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，则EC＝（BC﹣AD）＝3，在直角△ADE中，根据勾股定理得到DE＝＝3，因而梯形ABCD的面积为：（AD+CB）•DE＝×（5+11）×3＝24．故答案为：24．15．已知等腰梯形的上、下底分别为4cm、8cm，且其对角线互相垂直，那么它的面积为36cm2．【解答】解：过O点作梯形对称轴EF，交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的对称性可知，OA＝OD，OB＝OC，又∵AC⊥BD，∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，∴OE＝AD＝2，OF＝BC＝4，EF＝OE+OF＝6，∴S梯形ABCD＝×EF×（AD+BC）＝×6×（4+8）＝36cm2．故本题答案为：36cm2．16．在四边形ABCD中，AB＝CD，请添加一个条件AD＝BC或者AB∥CD，使得四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：∵AB＝CD，∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为：AD＝BC或者AB∥CD．17．已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（2，3），（5，3），（1，1）．若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为（4，1）或（6，5）或（﹣2，1）．【解答】解：由图可知，满足条件的等D坐标为（4，1），（6，5），（﹣2，1）．故答案为：（4，1）或（6，5）或（﹣2，1）．18．如图，平行四边形ABCD中，AC为对角线，已知点E、F在AC上，添加一个条件此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE，可使四边形BFDE为平行四边形．【解答】解：连接BD交AC于点O．添加AE＝CF．理由：如图，设AC与BD交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形．故答案为：此题答案不唯一，如AE＝CF或AF＝CE19．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有6个．【解答】解：根据题意作图可发现符合题意的有6种情况：▱ABC2D3、▱ABC1D2、▱AC1BD1、▱AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．故答案为：6．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．当α＝30度时，四边形EDBC是等腰梯形．【解答】解：当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB＝∠B＝60°，而∠A＝30°，根据三角形的外角性质，得α＝∠EDB﹣∠A＝30°，故答案为：30．三．解答题（共8小题）21．如图，已知E、F是▱ABCD对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC．（1）请写出图中全等三角形（不再添加辅助线）．（2）求证：△ABE≌△CDF；【解答】解：（1）△ABC≌△CDA；△ABE≌△CDF；△CBE≌△ADF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF（AAS）．22．已知：如图，▱ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，分别交边DC、AB于点E、F，求证：AE＝CF．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，∠D＝∠B，AD＝BC．∵AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，∴∠DAE＝∠BCF．∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴AE＝CF．23．证明：等腰梯形下底边的中点到两腰的距离相等．已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，求证：EF＝EG．证明：见解答．【解答】求证：EF＝EG．证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B＝∠C，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵EF⊥AB于F，EG⊥CD于G，∴∠BFE＝∠CGE＝90°，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE（AAS）∴EF＝EG．故答案为：EF＝EG；见解答．24．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过A点作AE∥DC交BC于E点，△ABE是等腰三角形吗？请说明理由．【解答】解：△ABE是等腰三角形．理由：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，∵等腰梯形ABCD中，AB＝CD，∴AB＝AE，即△ABE是等腰三角形．25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E，F分别是边AB，CD的中点，且DE＝BF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠DBC＝∠BDA＝90°，∵在Rt△ADB中，E是AB的中线，∴DE＝AB，同理：BF＝DC，∵DE＝BF，∴AB＝CD，在Rt△ADB和Rt△CBD中，，∴Rt△ADB≌Rt△CBD（HL），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图，已知，AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∠1＝∠2，BE＝DF，连接AB，CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵AE⊥BD于E点，CF⊥BD于F点，∴∠AED＝∠BFC＝90°，∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即：BF＝DE又∵∠1＝∠2，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD＝BC，又∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．如图，四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形．求证：四边形AEFB是平行四边形．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CDEF都是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，EF∥CD，EF＝CD，∴AB∥EF，AB＝EF，∴四边形AEFB是平行四边形．28．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝8，求四边形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴AB＝CD．又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×AB＝32。

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质培优练习题（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6B．8C．10D．122．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（）A．10＜m＜12B．2＜m＜22C．1＜m＜11D．5＜m＜63．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．AE＝6cm B．ED＝2cm C．∠BED＝150°D．∠C＝140°4．等腰梯形的两底之差等于一条腰的长，这腰与底的较小的夹角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．等腰梯形的两条对角线将它分成的三角形中．下述结论正确的个数是（）①有两个等腰三角形②有三对全等的三角形③有三对面积相等的三角形A．0B．1C．2D．36．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：C：∠D可能为（）A．2：3：6：7B．3：4：5：6C．3：3：5：5D．4：5：4：5 7．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④8．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B 重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．9．E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．下列条件不能判断四边形BEDF是平行四边形的是（）A．BE＝DF B．BE∥DFC．AF＝CE D．DE⊥AC，BF⊥AC10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，交DC的延长线于点F，则下列结论：①CE＝4cm；②线段AF、BC互相平分；③AC ⊥DF．④DE⊥AF；其中正确的结论是：（填序号）．13．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝4，则阴影部分的面积为．14．如图，在梯形ABCD中，AD＝DC，AB＝DC，∠D＝120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC＝，梯形ABCD的面积为．15．等腰梯形的腰长为8cm，上底长为4cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为cm．16．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．18．如图，▱ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是．19．如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是形．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF ＝CE．22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD 的周长为40，则▱ABCD的面积为多少？23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．24．若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为（结果保留根号的形式）．25．如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3cm/s 的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．（1）、用含t的式子表示线段的长度（单位：cm）：AP＝，CQ＝，PD＝，BQ＝（2）当运动多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．28．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB上，点F在CD上，EF经过点O．求证：四边形BEDF是平行四边形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：如图，设AG交BD于H．∵AD＝AE，AG平分∠BAD，∴AG垂直平分DE，∴DH＝EH＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AGD＝∠GAB，∵∠DAG＝∠GAB，∴∠DAG＝∠DGA，∴DA＝DG，∵DE⊥AG，∴AH＝GH，在Rt△ADH中，AH＝＝＝4，∴AG＝2AH＝8．故选：B．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（）A．10＜m＜12B．2＜m＜22C．1＜m＜11D．5＜m＜6【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝12，∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝6，在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，∴6﹣5＜m＜6+5，∴1＜m＜11．故选：C．3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．AE＝6cm B．ED＝2cm C．∠BED＝150°D．∠C＝140°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠D＝40°，∴∠C＝180°﹣∠D＝140°，故D正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝20°，∴∠AEB＝∠EBC＝20°，∴∠BED＝180°﹣∠AEB＝160°，故C错误；∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝6cm，故A正确；AD＝BC＝8cm，∴ED＝AD﹣AE＝2cm，故B正确．故选：C．4．等腰梯形的两底之差等于一条腰的长，这腰与底的较小的夹角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E点，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB＝CD，又CE＝CD，所以△CDE为等边三角形，所以∠C＝60°．故选D．5．等腰梯形的两条对角线将它分成的三角形中．下述结论正确的个数是（）①有两个等腰三角形②有三对全等的三角形③有三对面积相等的三角形A．0B．1C．2D．3【解答】解：如图：∵等腰梯形ABCD，∴AB＝CD，AC＝BD，∴OB＝OC，OA＝OD，即△AOD，△BOC是等腰三角形，故①正确；△ABO≌△CDO，△ABC≌△BDC，△ABD≌△ADC，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；故选：D．6．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：C：∠D可能为（）A．2：3：6：7B．3：4：5：6C．3：3：5：5D．4：5：4：5【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．7．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：由①④，可以推出四边形ABCD是平行四边形；由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形；①③或③④组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形来判定．故选：A．8．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B 重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，∵AP BE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE∥AB，PE＝AB，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF∥BD，EF＝BD，即EF∥AB，∴P，E，F共线，设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE﹣EF＝3a，∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC，∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a，∵S△HBC：S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4，∴S△PBC：S△ABC＝3：4．故选：D．9．E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．下列条件不能判断四边形BEDF是平行四边形的是（）A．BE＝DF B．BE∥DFC．AF＝CE D．DE⊥AC，BF⊥AC【解答】解：B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明；D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明．故选：A．10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是3．【解答】解：∵四边形ADBE为平行四边形，∴AE∥BC，∴当DE⊥BC时，DE有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACDE为矩形，∴DE＝AC，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC＝3，∴DE的最小值为3，故答案为：3．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，交DC的延长线于点F，则下列结论：①CE＝4cm；②线段AF、BC互相平分；③AC ⊥DF．④DE⊥AF；其中正确的结论是：①②④（填序号）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD＝8cm，AB∥DF，AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝BE＝4cm，∴CE＝BC﹣BE＝8cm﹣4cm＝4cm，①正确；∴BE＝CE＝4cm，∵AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，在△BAE和△CFE中，，∴△BAE≌△CFE（ASA），∴∠EFC＝∠BAE，AB＝CF，AE＝EF，∴线段AF、BC互相平分，②正确；∵AB＝CF，AB＝CD，∴CF＝CD＝4，∴CE＝CF，只有∠B＝60°时，∠F＝∠ADF＝60°，才能AC⊥DF，而∠B没有给出60°的条件，∴AC不一定垂直DF，③错误；∵∠EFC＝∠BAE，∠BAE＝∠EAD，∴∠EFC＝∠EAD，∵AE＝EF，∴DE⊥AF，④正确；故答案为：①②④．13．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝4，则阴影部分的面积为3．【解答】解：如图，过A作AM⊥EF于E，AN⊥EG于N，连接AE．∵△ABC是等边三角形，AF＝AG，∴∠AEF＝∠AEN，∵AM⊥EF，AN⊥EG，∴AM＝AN，∵∠MEN＝60°，∠EMA＝∠ENA＝90°，∴∠MAN＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝120°，∴∠MAN＝∠DAB，∴∠MAH＝∠NAL，∴△AMH≌△ANL（ASA），∴S阴＝S四边形AMEN，∵EF＝4，AF＝2，∴AE＝2，AM＝，EM＝3，∴S四边形AMEN＝2××3×＝3，∴S阴＝S四边形AMEN＝3．故答案为：．14．如图，在梯形ABCD中，AD＝DC，AB＝DC，∠D＝120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC＝，梯形ABCD的面积为．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝DC∴梯形ABCD是等腰梯形∴∠D+∠DCB＝180°∵∠D＝120°∴∠B＝∠DCB＝60°∵对角线CA平分∠BCD∴∠ACB＝30°∵AD＝DC∴∠DAC＝∠ACD＝30°∴∠BAC＝90°∴BC＝2AB∵梯形的周长＝AD+DC+BC+AB＝5AB＝20∴AB＝4∴AC＝4，BC＝8过点A作AE⊥BC于点E∵AB＝4，AC＝4，BC＝8∴AE＝2∴梯形ABCD的面积＝（4+8）×2×＝12．故答案为：4，12．15．等腰梯形的腰长为8cm，上底长为4cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为12cm．【解答】解：如图，作AE⊥BC交BC于点E，作DF⊥BC交BC于点F，∵∠BAD＝120°，∴∠BAE＝30°，∵AB＝8cm，∴BE＝4cm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴同理可得FC＝4cm，∵EF＝AD＝4cm，∴BC＝BE+EF+FC＝12cm，故答案为：12．16．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形不一定是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）【解答】解：如果∠A+∠C＝∠B+∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，那么这个四边形不一定是平行四边形；故答案为：不一定．17．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．18．如图，▱ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．【解答】解：可添加条件：BE＝DF．证明证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．19．如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE（答案不唯一）．【解答】解：AF＝CE（答案不唯一），理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，故答案为：AF＝CE（答案不唯一）．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形．【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形，故答案为：等腰梯．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF ＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；又∵BF＝DE，∴AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD 的周长为40，则▱ABCD的面积为多少？【解答】解：∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，∴BC+CD＝20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，整理得，BC＝CD②，联立①②解得，CD＝8，∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．【解答】解：过点A作AE∥DC交BC于E．∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC＝AD＝3，DC＝AE．∴BE＝BC﹣CE＝7﹣3＝4．∴CD＝AB＝4．∴AE＝AB＝BE＝4．∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°．24．若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为4或（结果保留根号的形式）．【解答】解：已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD＝4，对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E．①当∠DOC＝60度时，∠ACE＝60°，△ACE是等边三角形，边长AC＝CE＝AE＝4，作CF⊥AE，CF＝4×sin60°＝4×＝2因而面积是×4×2＝4②当∠BOC＝60度时，∠AOB＝180°﹣60°＝120°，又∵BD∥CE，∴∠ACE＝∠AOB＝120°，∴△ACE是等腰三角形，且底边AE＝4，因而∠CEA＝＝30°，作CF⊥AE，则AF＝FE＝2，CF＝2×tan30°＝，则△ACE的面积＝×4×＝，而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积．因而等腰梯形的面积为4或．故答案为：4或．25．如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE和△BDC中，，∴△ADE≌△BDC（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C，∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠EDC＝1880°﹣2×72°＝36°；（3）证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DAE，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠OBE，∴∠ADB＝∠DAE，∴OA＝OD，∴AE＝BD，∵AD＝BD，∴AE＝AD，∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3cm/s 的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【解答】解：（1）设经过t秒钟MN第一次垂直于AB，∵∠A＝60°，∠AMN＝90°，∴AM＝AN，即8﹣3t＝（8﹣2t），解得：t＝2，∴经过2秒MN第一次垂直于AB；（2）①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图1所示：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DM＝AN，DM∥AN．∴∠MDC＝∠ABC＝60°∵△ABC为等腰三角形，∴∠C＝60°．∴∠DNC＝∠C＝∠NDC．∴CD＝CN＝2t，同理得：BD＝BM＝3t，∴BD+CD＝BM+CN＝8，即：3t+2t＝8，t＝此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③4＜t≤时，点M、N、D的位置如图所1示：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DN＝AM，AM∥DN．∴∠BDN＝∠ACB＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°．∴∠BND＝∠BDN＝∠B．∴BD＝BN＝16﹣2t．同理得：CD＝CM＝16﹣3t，∴BD+CD＝BN+CM＝8，即：16﹣2t+16﹣3t＝8，解得：t＝，此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），④当＜t≤8时，点M、N、D的位置如图所3示：则BN＝16﹣2t，BM＝24﹣3t，由题意可知：△BNM为等边三角形，∴BN＝BM，即：16﹣2t＝24﹣3t，解得t＝8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．答：运动了s或s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝cm或cm．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．（1）、用含t的式子表示线段的长度（单位：cm）：AP＝t，CQ＝4t或20﹣4t或4t﹣20或40﹣4t，PD＝10﹣t，BQ＝10﹣4t 或4t﹣10或30﹣4t或4t﹣30（2）当运动多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：（1）当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，CQ＝20﹣4t；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，CQ＝40﹣4t；故答案为：t，4t或20﹣4t或4t﹣20或40﹣4t，10﹣4t，10﹣4t或4t﹣10或30﹣4t或4t ﹣30；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t，∴10﹣t＝10﹣4t，方程无解；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，∴10﹣t＝4t﹣10，解得：t＝4；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．28．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB上，点F在CD上，EF经过点O．求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，∴DC∥AB，OD＝OB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO．∴△ODF≌△OBE，∴OF＝OE，∴四边形BEDF是平行四边形。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C（附答案）一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h13．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．44．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．35．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．2810．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是厘米．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为，平移距离．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是（写出一组符合条件的组合）．20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是．（填正确结论的序号）三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB（1）若∠DAB＝72°，∠2＝°，∠3＝°；（2）求证：AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定【解答】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（AC+BC+AB）＝×（6+8+10）cm＝12cm．故选：A．2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h1【解答】解：如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线，∴h1＝2OC，同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2＝2OC，∴h1＝h2．3．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B＝60°，∴AC＝BC，∴CD≠BC．②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③．故选：C．4．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．3【解答】解：∵面积为4的正方形折叠以后展开面积不变，∴若把最后折叠成的三角形展开后面积仍为4．沿中位线减去小三角形，小三角形的面积与原三角形面积之比为，故剩下部分展开所得图形的面积是×4＝3．故选：D．5．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形【解答】解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；（2）为菱形，有两个角为60°；（3）为等腰梯形．故选：D．6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵图中是一个正六边形和两个等边三角形，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣120°＝60°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣∠2﹣60°＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，∵∠3＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣70°＝50°．∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，即60°﹣∠1+120°﹣∠2+50°＝180°，∴∠1+∠2＝50°．故选：B．7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，∴OB＝EF＝OD，∴BE＝OF，OE＝DF，∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝，当AE⊥BD时，AE＝＝＝；若此时CF⊥BD，则AE+CF＝，而AE⊥BD时，CF与BD不垂直，当E为OB的中点，F为OD的中点时，∵∠BAC＝90°，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，∴选项A、B、C错误；故选：D．8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；B、∵AB∥CD，∴∠CDO＝∠ABO，∠OAB＝∠OCD，∵AO＝CO，∴△DCO≌△ABO，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；C、∵AB∥DC AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故本选项不能判定这个四边形是平行四边形；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项能判定这个四边形是平行四边形；故选：C．9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．28【解答】解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．10．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解答】解：①正确，等腰梯形同一底上的两角相等；②正确，可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而根据对应角相等可以得到∠DBC＝∠ACB；③错误，应该是S△ABC＝S△DCB；④错误，AC不一定等于BC，故∠CAB不一定等于∠CBA，故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝30°．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴∠CAB＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB＝30°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，故答案为：30°．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是6厘米．【解答】解：∵△ABC的周长是12cm，∴△ABC三条中位线围成的三角形的周长＝×12＝6（cm）．故答案为：6．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于3．【解答】解：如图，过E作EF∥AD，交BC于F，则∠CEF＝90°，∵E是AB的中点，∴F是BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AD＝2，∴Rt△CEF中，CF＝＝＝2，∵AD平分∠BAC，AD⊥CE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∴G是CE的中点，∵GD∥EF，∴D是CF的中点，∴CD＝DF＝BF＝，∴BC＝3，故答案为：3．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是1．【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝4，BD＝BC＝3，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝1．故答案是：1．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为AB方向，平移距离1．【解答】解：∵AF＝BF＝1，AE＝EC，∴EF∥BC，EF＝BC＝BD，同理FD∥AC，FD＝AC＝AE，∴△AFE沿AB方向平移1个单位得到△FDB；故答案为：AB方向，1．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝5，解得n＝7．故这个多边形是七边形．故答案为：七．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为720°．【解答】解：正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故答案为：720°．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝40°．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B﹣∠A＝100°，∴2∠A＝80°，∴∠A＝40°；故答案为：40°．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是①④或②④（答案不唯一）（写出一组符合条件的组合）．【解答】解：由①④，可以推出四边形ABCD是平行四边形，由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形．故答案为①④或②④．（答案不唯一）20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是①②④．（填正确结论的序号）【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，∴AB＝CD，CD＝EF，AB∥CD，CD∥EF，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形；故①正确；∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，∴AD＝BC＝（平行四边形ABCD的周长﹣AB﹣CD），CF＝DE＝（平行四边形的周长﹣CD﹣EF），∴AD＝BC＝CF＝DE，∴△ADE是等腰三角形；故②正确；∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵∠CFE＝110°，∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等；故③错误；∵∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝25°，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．【解答】解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝27°．∴∠BGA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAG＝83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．【解答】解：（1）连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，（2）∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝＝．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．所以共有132种分割方案．26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB （1）若∠DAB＝72°，∠2＝54°，∠3＝36°；（2）求证：AE∥CF．【解答】（1）解：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B＝360°，∠D＝∠B＝90°，∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠D+∠B）＝180°，∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∠DAB＝72°，∴∠1＝∠DAB＝36°，∠2＝∠DCB，∴∠1+∠2＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，∴∠2＝54°，∵∠3+∠2+∠B＝180°，∴∠3＝180°﹣∠B﹣∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，故答案为：54，36；（2）证明：由（1）得∴∠1＝36°，∠3＝36°，∴∠1＝∠3，∴AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠ABF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ABE和△ACD中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠CDF＝∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠CDF＝90°，∵DE＝AB，∴DE＝DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FEC＝135°．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，又∵∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∵∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形。