2009年成人高考数学试题(专升本)

试介绍成人高等学校招生全国统一考试（简称“成人高考”）是为我国各类成人高等学校选拔合格新生以进入更高层次学历教育的入学考试。

考试分专科起点升本科(简称专升本)、高中起点升本科（简称高起本）和高职（高专）三个层次。

全国成人高等学校招生统一考试成人高等教育属国民教育系列，列入国家招生计划，国家承认学历，参加全国招生统一考试，各省、自治区统一组织录取。

成考教材成考用书除了大纲全国统一以外，教材辅导书试题集都没有做统一规定。

考生在选择教材时应谨慎。

选择辅导书、习题集时要看看出书组织单位是否是合法的法人，编写小组是否有正式的名称，出版社、出版单位最好选正规的单位。

购书时应该到大书店或者各区县成考办购买以防盗版、假冒伪劣辅导资料回家害人，选择辅导书不能贪多也不可贪便宜。

一般而言，高中起点升专(本)科的教材就分为人民教育出版社、高等教育出版社，还有人大出版社和成教出版社出版等，专升本教材则由中央广播电视大学出版社、人民教育出版社、高等教育出版社出版等。

具了解，如果上辅导班的话高中起点的教材用人民教育出版社的，专升本的教材用电大版高教版的比较多。

但是如果是自学呢？最好用高教版的教材。

授课方式成人高考的授课方式大体分为脱产、业余及函授三种形式，考生应根据自身的情况来选择适合自己的学习形式。

业余：业余授课方式一般在院校驻地招收学生，安排夜晚或双休日上课，所以，适合在职考生报考。

脱产：年龄较小或者想进入大学校门体验大学生活的考生可选择脱产的形式。

脱产学习就是在校内进行全日制学习方式，其管理方式与普通高校一样，对学生有正常的、相对固定的授课教室、管理要求，有稳定的寒暑假期安排。

注：2008年起，普通高校停止招收成人脱产班。

函授：该种学习形式也适合上班族人，业余时间少的考生。

函授教学主要以有计划、有组织、有指导的自学为主，并组织系统的集中面授。

函授教学的主要环节有：辅导答疑、作业、试验、实习、考试、课程设计、毕业设计及答辩。

2009年成人高考专升本高数二试题一、选择题:1～10小,每小题4分,共40分. 1. 2tan(1)lim 1x x x →-=-A . 0B . tan1C .4πD . 22. 设2sin ln 2y x x =++，则y '= A . 2sin x x -+B . 2cos x x +C . 12cos 2x x ++D . 2x3. 设函授()ln xf x e x =,则(1)f '= A . 0B .1C . eD . 2e4. 函授()f x 在[]0,2上连续,且在(0,2)内()f x '＞0，则下列不等式成立的是 A . (0)f ＞(1)f ＞(2)f B . (0)f ＜(1)f ＜(2)f C . (0)f ＜(2)f ＜(1)fD . (0)f ＞(2)f ＞(1)f5. (2)x x e dx +=⎰A . 2xx e C ++B . 22x x eC ++ C . 2xx xe C ++D .22x x xe C ++6.12011d dx dx x =+⎰ A . 21dx x+ B .211x+ C .4πD . 07. 若22()x x f x e dx e C =+⎰,则()f x =A . 2xB . 2xC . 2xeD . 18. 设函数tan()z xy =,则z x∂=∂ A . 2cos ()x xy -B . 2cos ()xxyC .2cos ()yxyD .2cos ()yxy -9. 设函数()z f u =,22u x y =+且()f u 二阶可导，则2zx y∂=∂∂A . 4()f u ''B . 4()xf u ''C . 4()yf u ''D .4()xyf u ''10. 任意三个随机事件A ，B ，C 中至少有一个发生的事件可表示为( ) A . A B C ⋃⋃ B . A B C ⋃⋂ C . A B C ⋂⋂ D .A B C ⋂⋃二、填空题:11～20小题,每小4分,共40分.11. 22343lim 3x x x x x→-+=- . 12. 1lim 13xx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 13. 设函数223,1()2,11,1x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则0(lim ())x f f x →= .14. 已知3y ax =在1x =处的切线平行于直线21y x =-,则a = . 15. 函数sin y x x =,则y ''= .16. 曲线52108y x x =-+的拐点坐标00(,)x y = . 17.xdx ⎰= .18. 3x e dx =⎰ . 19.1ln exdx x=⎰. 20. 设函数2ln()z x y =+,则全微分dz = .三、解答题: 21～28题,共70分.解答应写出推理、演算步骤. 21. (本小题满分8分)求311ln lim1x x xx →-+-. 22. (本小题满分8分)设函数sin xy e =,求.dy23. (本小题满分8分)计算1ln xdx x +⎰.24. (本小题满分8分)计算arcsin xdx ⎰.25. (本小题满分8分)有10件产品,基中8件是正品,2件是次品,甲、乙两人先后各抽取一件产品,求甲先抽到正品的条件下,乙抽到正品的概率. 26. (本小题满分10分)求函数22()f x x x=-的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. 27. (本小题满分10分) (1)求在区间[]0,π上的曲线sin y x =与x 轴所围成图形的面积.S （2）求（1）中的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V . 28. (本小题满分10分)求函数222482z x y x y =++-+的极值.09年试题参考答案和评分参考一、选择题：每小题4分，共40分。

2009年成考专升本高数二真题|09年成考专升本高数二考试答案|答案解析|专升本答案2009-11-04 16:41:50| 分类：各类考试信息大全 | 标签：|字号大中小订阅2009年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(二) 答案必须答在答题卡上的指定位置，（答在试卷上无效）。

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂（在答题卡相应题号的信息点上）。

【答案】B 【解析】本题考查极限值与相同函数值选B 【点评】本题属于简单题，咱们在安通课堂上多次讲过，相信大家没有问题。

【答案】B 【解析】本题考查导数的基本运算，非常简单。

【点评】本题属于送分题非常简单。

【答案】B 【解析】考导数符号与单调性关系，选B 【答案】A 【解析】本题考查不定积分的运算。

属于简单题 【点评】本题属于高数基本题型，非常简单，有点高数基础的学员应该不会有问题。

【答案】D 【解析】本题考查求导与定积分概念题，常数的导数为0 选D 【点评】本题属于一个小的复合题，但是比较简单，咱们在安通课堂上专项练习过此题，上过课的学员应该不会有问题。

【点评】本题是微积分的最基本题型，咱们在安通脱产班专项练习过。

【答案】C 【解析】本题考查复合函数偏导选C 【点评】本题考查符合函数的偏导数，属于最基本题型，咱们在安通脱产班原题练过。

【答案】D 【解析】本题考查抽象复合函数二阶偏导选D 【点评】本题综合性比较大，但咱们在脱产班（）讲过类似题，大家做对本题应该没有问题。

10．任意三个随机事件A、B、C中至少有一个发生的事件可表示为随机事件关系运算题选A A．AUBUC B．AUBnC C．AnBUC D．AnBUC 【答案】A 【解析】本题考查随机事件关系运算题，选A二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分，把答案填写在（答题卡相应题号后）。

2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 参考答案一、单项选择题（每小题2分，共60分）1.D2.C3.D4.C5.B6.D7.D8.A9.B 10.A11.A 12.B 13.C 14A 15.B 16.C 17.D 18.C 19.C 20.C21.D 22.A 23.B 24.D 25.C 26.A 27.C 28.A 29.C 30.B二.填空题31.()[]()()21,121≠≠-=x x x x x f f 32. 21 33. 2ln34. 1 35. 0 36. 1 37. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡41,0 38. 7 39. {}12,8,4- 40. ()22212x e x + 41. ()0,0 42. 0 43. ()dx y x f dy yy ⎰⎰2,10 44. ()4/231x x x xe e c e c y ---+= 45. 1332+-n n三.计算题46. 2/1 47. ()()1ln /2cos 2++-y xe ye x xy xy48. ()()c e xex x ++-8/4/22 49. 43 50. ()()[]dy y x dx y x e y xy x 22/22-++-+ 51. ()2,2- 四.应用题54.解：设三面墙的长度分别为：y y x ,,（米），则三面墙之总长为()y x y x f z +==2, 问题化为求函数()y x f z ,=在条件()64,-=xy y x ϕ下的极值。

宜用拉格朗日乘数法解之。

令()()642,,-++=xy y x y x L λλ求()λ,,y x L 的驻点，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒=+==+=06428,24102'''xy L y o x y L y x L λλλ 则()28,24就是所求的条件极值点。

故当三面墙的长度分别为：m m m 24,28,24时，三面墙的总长最小。

2009年陕西省在校生专升本招生高等数学试题一、选择题（每小题5分，共25分）1. 当0→x 时，函数ax x f sin )(=与)21ln()(x x g -=为等价无穷小，则常数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．22. 已知函数x x f sin )(=，则=)()2009(x fA ．x sinB ．x cosC ．x sin -D ．x cos - 3. 已知C x dx x f +=⎰2)(，则⎰=dx x f x)2(1（ ）A ．C x + B ．C x +2 C ．C x +21 D ．C x +44. 幂级数nn nx n ∑∞=⋅121的收敛域为A ．)2,2(-B ．)2,2[-C . ]2,2(- D. ]2,2[-5. 已知闭曲线4:22=+y x L ，则对弧长的曲线积分=-+⎰ds y x L)644(22A ．π40B ．π12C . π6 D. π4 二、填空题 （每小题5分，共25）6. 定积分⎰-+112)sin 43(dx x x 的值为 .7. 极限∑=∞→nn nn e n111lim的值为 .8. 过点)1,1,1(且与向量}0,1,1{=a和}1,0,1{-=b 都垂直的直线方程为 。

9. 微分方程0=+xy dxdy 的通解为____________.10. 已知函数)sin(2y x z =，则_________|),1(=πdz .三、计算题（每小题8分，共80分）11. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0012sin )(3x a x xe x xf x ，在0=x 连续，求常数a 的值.12. 设参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰tudu y t x 02cos 2确定函数)(x y y =，求22,dx y d dx dy . 13. 求函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=在点)1,1,1(--P 处沿从点P 到点)1,1,2(--Q 的方向导数.14. 设),(22y x xy f z -=，其中f 有二阶连续的偏导数，求2222yz xz ∂∂+∂∂.15. 设方程0)sin(00=--⎰⎰xy dt e dt e yyxt 确定函数)(x y y =，求dxdy .16. 求函数2123)(32+-=x x x f 的单调区间和极值。

2009年数一 1、B 2、A评注：本题考察的是当0→x 时，12-x e与那个函数的比值的极限为13、B评注：本题考察的是向量的数量积. 4、C评注：本题考察的是函数的连续性及两个重要极限。

5、D评注：本题考察的是原函数及分部积分法⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdf dx x xf )()()()('6、A评注：本题考察的是二阶常系数微分方程的通解，特征方程：3,0322==--r r r 或1-，通解为。

7、B 8、A评注：本题考察的是二元函数的连续性、偏导数及可微的关系。

9、D评注：本题考查的是方阵及行列式的性质。

63,2,3,,3,2,3313213321=+=+=a a a a a a a a a a B10、D二、填空题。

11、)1(323t e t+- 评注：本题考察的是参数方程的导数。

12、132142--=-=-z y x 评注：本题考查的是函数的偏导数及空间直线方程。

13、⎰⎰21),(x dy y x f dx14、41-x 三、计算题。

15、解21yf f xz+=∂∂，2221212112xyf yf f xf f y x z ++++=∂∂∂ 16、解⎰⎰+=∴+====--)(2)(2)(,2)(2222C x ey C xxdx dx x p xe x q x x p x x评注：本题考察的是一阶 线性微分方程的通解。

17、解425arctan 25arctan )21()(1)1(1)(10201021102122π-+=+=+++=+++=⎰⎰⎰⎰-e e x x dx e e dx x dx e e dx x f x x x x x评注：本题考察的是分段函数的定积分。

18、令t x =-2，原级数化为∑∞=+∞→+∞→=+====11131)1(33,3lim lim n n n n n n n n n n n a a nt ρ ∑∞===∴133,3,3n n n n t R 当发散；∑∞=--=1)1(,3n nn t 当收敛∴ 收敛域[),3,3-∈t 即[)5,1-∈x19、解 设022:1=-++z y x π的法向量)2,1,1(1=n012:2=+++z y x π的法向量)1,2,1(2=n设直线的方向向量为s ，则)1,1,3(312121121-=++-==⨯=k j i kj i n n s所求平面方程0)1()2()1(3=-+-+--z y x 即03=--z y x评注：本题考察的是空间平面方程。

一、一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题参考答案：A第2题参考答案：B第3题参考答案：D第4题参考答案：C第5题参考答案：B 第6题参考答案：A 第7题参考答案：D 第8题参考答案：B 第9题参考答案：C第10题参考答案：C二、填空题：本大题共10小题。

每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。

第11题第12题参考答案：0第13题第14题第15题第16题第17题第18题过点M0(1,-1,0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为___.参考答案：(x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2) 因平面x-y+3z=1的法向量n={1，-1，3}，又因所求平面与平面x-y+3z=1平行，所以所求平面的法向量也为n，故所求平面的方程为(x-1)-(y+1)+3z=0（或x-y+3z=2）.第19题参考答案：4第20题设y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，且f(2)=3.则曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线方程为___.参考答案：y=3 因x0=2为f(x)的极小值点，所以f′(2)=0,即f(x)在点(2，3)处的切线的斜率为0，故此切线方程为y=3.三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。

解答应写出推理，演算步骤。

第21题第22题设y=xsinx,求y′.参考答案：y=xsinx y′=x′sinx+x(sinx)′(4分) =sinx+xcosx.（8分）第23题第24题第25题第26题第27题第28题。

河南省专升本考试高等数学真题2009年(1)(总分150, 做题时间90分钟)一、单项选择题在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案．1.下列函数相等的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D2.下列函数中为奇函数的是______A．B．f(x)=xtanxC．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D3.极限的值是______SSS_SINGLE_SELA 1B -1C 0D 不存在4.当x→0时，下列无穷小量中与x等价的是______ A．2x 2 -xB．C．ln(1+x)D．sin 2 xSSS_SIMPLE_SINA B C D5.设则x=0是f(x)的______SSS_SINGLE_SELA 连续点B 可去间断点C 跳跃间断点D 无穷间断点6.设函数f(x)可导，且则f"(1)=______SSS_SINGLE_SELA 2B -1C 1D -27.设函数f(x)具有四阶导数，且，则f (4) (x)=______ A．B．C．1D．SSS_SIMPLE_SINA B C D8.曲线在对应点处的法线方程为______A．B．y=1C．y=x+1D．y=x-1SSS_SIMPLE_SINA B C D9.已知d[e -x f(x)]=e x dx，且f(0)=0，则f(x)=______ •**+ex•**•**+e-x**SSS_SIMPLE_SINA B C D10.函数在某点处连续是其在该点处可导的______SSS_SINGLE_SELA 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件11.曲线y=x 4 -24x 2 +6x的凸区间为______SSS_SINGLE_SELA (-2，2)B (-∞，0)C (0，+∞)D (-∞，+∞)12.曲线SSS_SINGLE_SELA 仅有水平渐近线B 既有水平又有垂直渐近线C 仅有垂直渐近线D 既无水平又无垂直渐近线13.下列说法正确的是______SSS_SINGLE_SELA 函数的极值点一定是函数的驻点B 函数的驻点一定是函数的极值点C 二阶导数非零的驻点一定是极值点D 以上说法都不对14.设f(x)在[a，b]上连续，且不是常数函数，若f(a)=f(b)，则在(a，b)内______SSS_SINGLE_SELA 必有最大值或最小值B 既有最大值又有最小值C 既有极大值又有极小值D 至少存在一点ξ，使得f"(ξ)=015.若f(x)的一个原函数是lnx，则f"(x)=______ A．B．C．lnxD．xlnxSSS_SIMPLE_SINA B C D16.若∫f(x)dx=x 2 +C，则∫xf(1-x 2 )dx=______ A．-2(1-x 2 ) 2 +CB．2(1-x 2 ) 2 +CC．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D17.下列不等式中不成立的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D18.A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D19.下列广义积分中收敛的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D20.方程x 2 +y 2 =z=0在空间直角坐标系中表示的曲面是______ SSS_SINGLE_SELA 球面B 圆锥面C 旋转抛物面D 圆柱面21.设a={-1，1，2}，b={2，0，1}则a与b的夹角为______ A．0B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D22.直线与平面4x-2y-2z=3的位置关系是______SSS_SINGLE_SELA 平行但直线不在平面上B 在平面上C 垂直D 相交但不垂直23.设f(x,y)在点(a，b)处有偏导数，则SSS_SINGLE_SELA 0B 2fx(a，b)C fx(a，b)D fy(a，b)24.函数的全微分dz=______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D25.化为极坐标形式为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D26.设L是以A(-1，0)，B(-3，2)，C(3，0)为顶点的三角形区域的边界，方向为 (3x-y)dx+(x-2y)dy=______ABCA，则∮LSSS_SINGLE_SELA -8B 0C 8D 20下列微分方程中，可分离变量的方程是______A．B．(x 2 +y 2 )dx-2xydy=0C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D28.若级数收敛，则下列级数中收敛的是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D29.函数f(x)=ln(1-x)的幂级数展开式为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D30.级数在x=-1处收敛，则此级数在x=2处______SSS_SINGLE_SELA 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 无法确定二、填空题已知则f[f(x)]=______．SSS_FILL2.当x→0时，f(x)与1-cosx等价，则SSS_FILL3.若SSS_FILL4.设函数在(-∞，+∞)内处处连续，则a=______．SSS_FILL5.曲线在在(2，2)点处的切线方程为______．SSS_FILL6.函数f(x)=x 2 -x-2在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ=______．SSS_FILL7.函数的单调减少区间是______．SSS_FILL8.已知f(0)=2，f(2)=3，f"(2)=4，则SSS_FILL9.设向量b与a={1，-2，3}共线，且a·b=56，则b=______．SSS_FILL10.设SSS_FILL11.函数f(x，y)=2x 2 +xy-2y 2的驻点为______．SSS_FILL12.设区域D为x 2 +y 2≤9，则SSS_FILL13.交换积分次序后，SSS_FILL14.已知是微分方程y"-2y"-3y=e -x的一个特解，则该方程的通解为______．SSS_FILL15.已知级数的部分和Sn =n 3，则当n≥2时，un=______．SSS_FILL三、计算题(每小题5分，其40分)1.求SSS_TEXT_QUSTI2.设y=f(x)是由方程e xy +ylnx=sin2x确定的隐函数，求．SSS_TEXT_QUSTI3.已知∫xf(x)dx=e -2x +C，求SSS_TEXT_QUSTI4.求SSS_TEXT_QUSTI5.已知z=e x2+xy-y2，求全微分dz．SSS_TEXT_QUSTI6.求，其中区域D由直线y=x，y=2x，y=2围成．SSS_TEXT_QUSTI7.求微分方程y"-2xy=xe -x2的通解．SSS_TEXT_QUSTI8.求幂级数的收敛区间(考虑区间的端点)．SSS_TEXT_QUSTI四、应用题(每小题7分，共14分)1.靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为64m 2的条件下，问增加的三面墙长各多少时，其总长最小．SSS_TEXT_QUSTI2.设D是由曲线y=f(x)与直线y=0，y=3围成的区域，再中求D绕y轴旋转形成的旋转体的体积．SSS_TEXT_QUSTI五、证明题(6分)1.设其中函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)＞0，证明存开区间(a，b)内，方程F(x)=0有唯一实根．SSS_TEXT_QUSTI1。

共 10 页，第 1 页2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及【解析】析一、选择题（每小题2分，共计60分）1.答案D.【解析】：注意函数的定义范围、解析式，应选D.2.答案C.【解析】:，()ln(f x x -=-()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-++==，选C.()()f x f x -=-3．答案D.【解析】：，，应选D.11lim 11x x x +→-=-11lim 11x x x -→-=--4.答案C.【解析】：由等价无穷小量公式，应选C.5.答案B.【解析】：是的可去间断点,应选B.00e 1lim ()lim 1x x x f x x→→-==⇒0=x )(x f 6. 答案D.【解析】：，应选D.(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-7.答案D.【解析】：，，应选D.1(3)21()2f x x -=(4)()f x =3214x --8.答案A.共 10 页，第 2 页【解析】：，应选A.0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切9.答案B.【解析】:由得d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦把代入得,所以,应选B.(0)0f =1C =-2()e e x x f x =-10.答案A.【解析】:根据可导与连续的关系知，应选A.11.答案A.【解析】: ，，应选A.34486y x x '=-+212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-12. 答案B.【解析】: ，，应选B.e lim 0x x x →-∞=0e lim xx x→=∞13.答案D.【解析】: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 答案A.【解析】:根据连续函数在闭区间上的性质及的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,()()f a f b =应选A.15.答案B.【解析】: ,应选B.()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-16.答案C.【解析】: =,应选C.2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰221(1)2x C --+17.答案D.【解析】: 根据定积分的保序性定理，应有，应选D.22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰18.答案C.共 10 页，第 3 页【解析】:因,考察积分的可加性有1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，应选C.1111ln ln ln eeeex dx xdx xdx =-+⎰⎰⎰19．答案C.【解析】:由广义积分性质和结论可知:是的积分,收敛的,应选C.21(ln )edx x x +∞⎰2p =20.答案C.【解析】:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程在空间直角220x y z +-=坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21.答案D.【解析】:,应选D.0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒= :22.答案A.【解析】:因,直线在平面内或平行但直线不在平面{}2,7,3s =-- {}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒内.又直线上点不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A.(3,4,0)--23.答案B.【解析】:原式00(,)(,)(,)(,)limlim h h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=-00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=-应选B.24．答案D 【解析】：，应选D 22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---25．答案D.【解析】:积分区有{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭(,)ady f x y dx⎰共 10 页，第 4 页,应选D.20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰26.答案A.【解析】: 由格林公式知, ，(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰:应选A.27.答案C.【解析】: 根据可分离变量微分的特点,可化为220x y xdx e dy y++=知,应选C.22y x ye dy xe dx -=-28.答案A.【解析】: 由级数收敛的性质知,收敛,其他三个一定发散,应选A.110nn u ∞=∑29.答案C.【解析】: 根据可知,23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤ ,应选C.23ln(1),1123x x x x x -=-----≤< 30.答案B.【解析】: 令,级数化为,问题转化为:处收敛,确定处是否收敛.1x t -=1(1)nn n a x ∞=-∑1n n n a t ∞=∑2t =-1t =由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.答案：.⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-21,121x x x x 【解析】：.()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--32.答案：.21共 10 页，第 5 页【解析】：.2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12limlim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============:::33.答案：.2ln 【解析】：因，2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x ax x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭所以有 .38a e =ln 2a ⇒=34.答案：.1=a 【解析】：函数在内处处连续，当然在处一定连续，又因为(,)-∞+∞0x =，所以.0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=35.答案：.043=+-y x 【解析】：因.2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+36.答案：.1=ξ【解析】：.(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-37.答案：.⎪⎭⎫⎝⎛41,0【解析】：,应填或或或.1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭10,4⎛⎤⎥⎝⎦38.答案：.7【解析】：.222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰39.答案：.{}12,8,4-【解析】：因向量与共线,可设为，b a b{},2,3k k k -,所以.5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒={}4,8,12b =- 40.答案：.()222212y xe x ++共 10 页，第 6 页【解析】：.22222222222(12)x y x y x y z z z e xe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂41.答案：.()0,0【解析】：.40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩42．答案：0.【解析】：利用对称性知其值为0或.232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰43.答案：.()⎰⎰102,yydx y x f dy 【解析】：积分区域,{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤则有.21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰44.答案：.xx x xe e C e C y ---+=41231【解析】：的通解为，根据方程解的结构,原方程的通解为230y y y '''--=312x x y C e C e -=+.31214x x x y C e C e xe --=+-45.答案：.1332+-n n 【解析】：当时,.2n ≥3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+三、计算题（每小题5分，共40分）46．求.011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 【解析】：20001111lim lim lim1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭.0011lim lim 222x x x e x x x →→-===47.设是由方程确定的隐函数，求.()y y x =ln sin 2xy e y x x +=dxdy共 10 页，第 7 页【解析】：方程两边对求导得x ()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y'+=--所以 .dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+ 48.已知，求.2()x xf x dx e C -=+⎰1()dx f x ⎰【解析】：方程两边对求导得2()x xf x dx e C -=+⎰x ，即，2()2xxf x e-=-22()xe f x x--=所以.211()2x xe f x =- 故22111()24x xdx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ .222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰49.求定积分.44|(1)|x x dx --⎰【解析】：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx---=-+-+-⎰⎰⎰⎰ 01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx-=-+-+-⎰⎰⎰ 014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.641164118843323332=++-+--+=50.已知 求全微分.22xxy y z e +-=dz 【解析】：因,222222()(2)x xy y x xy y x z ex xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂共 10 页，第 8 页,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂且它们在定义域都连续，从而函数可微，并有22xxy y z e +-=.z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-51.求，其中区域由直线围成.(2)Dx y d σ+⎰⎰D ,2,2y x y x y ===【解析】：积分区域如图所示：D 把看作Y 型区域，且有D (,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dxσ+=+⎰⎰⎰⎰.2222025()4y y x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==52.求微分方程的通【解析】.22x y xy xe -'-=【解析】：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程的通【解析】为，20y xy '-=2x y Ce =设原方程的【解析】为代入方程得,2()x y C x e =22()x x C x e xe -'= 即有 ，22()x C x xe -'=所以 ,222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰ 故原方程的通【解析】为.2214x x y e Ce -=-+53.求幂级数的收敛区间（考虑区间端点）.212nn n n x ∞=∑【解析】：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数，212nn n n x ∞=∑x y→=2yx因,221112lim lim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯= 当，即是绝对收敛的；212x l =<||x <212n n n n x ∞=∑ 当，即是发散的；212x l =>||x >212n n n n x ∞=∑ 当，即化为，显然是发散的。

2009年江苏专转本⾼等数学真题（附答案）2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学⼀、单项选择题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 1、已知32lim 22=-++→x b ax x x ，则常数ba ,的取值分别为（）A 、2,1-=-=b aB 、0,2=-=b aC 、0,1=-=b aD 、1,2-=-=b a2、已知函数423)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的 A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、⽆穷间断点 D 、震荡间断点3、设函数??>≤=0,1s i n 0,0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为（） A 、10<<α B 、10≤<αC 、1>αD 、1≥α 4、曲线2)1(12-+=x x y 的渐的条数为（） A 、1B 、2C 、3D 、45、设)13l n ()(+=xx F 是函数)(x f 的⼀个原函数，则=+?dx x f )12('（） A 、C x ++461B 、C x ++463C 、C x ++8121D 、C x ++81236、设α为⾮零常数，则数项级数∑∞=+12n n n α（）A 、条件收敛D 、敛散性与α有关⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分） 7、已知2)( lim =-∞→xx Cx x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ?=20)(?，则)('x ?＝.9、已知向量)1,0,1(-=→a ，)1,2,1(-=→b ，则→→+b a 与→a 的夹⾓为.10、设函数),(y x z z =由⽅程12=+yz xz 所确定，则xz＝. 11、若幂函数)0(12>∑∞=a x na nn n 的收敛半径为21，则常数=a .12、微分⽅程0)2()1(2=--+xdy y ydx x 的通解为.三、计算题（本⼤题共8⼩题，每⼩题8分，满分64分）13、求极限：xx x x sin lim 30-→14、设函数)(x y y =由参数⽅程-+=+=32)1ln(2t t y t x 所确定，，求22,dx yd dx dy . 15、求不定积分：?-10222dx xx .17、求通过直线12213-=-=z y x 且垂直于平⾯02=+++z y x 的平⾯⽅程. 18、计算⼆重积分Dyd σ，其中}2,2,20),{(22≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D . 19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有⼆阶连续偏导数，求yx z2.20、求微分⽅程x y y =-''的通解.四、综合题（本⼤题共2⼩题，每⼩题10分，满分20分）21、已知函数13)(3+-=x x x f ，试求：（1）函数)(x f 的单调区间与极值；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值与最⼩值.22、设1D 是由抛物线22x y =和直线0,==y a x 所围成的平⾯区域，2D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平⾯区域，其中20<（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的⾯积与2D 的⾯积相等.五、证明题（本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，满分18分）23、已知函数≥+<=-0,10,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.24、证明：当21<-+>x x x x .2009年江苏省普通⾼校“专转本”统⼀考试⾼等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、2ln 8、xxe 249、3π 10、yxz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 2030=-=-→→xx x x x x x ，. 14、dt t dy dt tdx )22(,11+=+=，2)1(211)22(+=++=t dt tdt t dx dy ， 222)1(411)1(4+=++==t dt tdt t dx dx dyddx y d .15、令21,122-==+t x t x ，dt t t t t td tdt t dx x +-=-=?=+cos cos cos sin 12sinC x x x C t t t +++++-=++-=12sin 12cos 12sin cos16、令θsin 2=x ，当0,0==θx ；当4,1πθ==x .21404)2sin 21()2cos 1(cos 2cos 2sin 224421022-=-=-==-ππd d dx x x17、已知直线的⽅向向量为)1,2,3(0=s ，平⾯的法向量为)1,1,1(0=n .由题意，所求平⾯的法向量可取为)1,2,1(111123)1,1,1()1,2,3(00-==?=?=kj in s n .⼜显然点)2,1,0(在所求平⾯上，故所求平⾯⽅程为0)2(1)1)(2()1(1=-+--+-z y x ，即02=+-z y x . 18、-===242cos 222242)sin 22csc 8(31sin sin ππθππθθθρρθθθρθρσd d d d d yd DD242)cos 22cot 8(31=+-=ππθθ19、y f x f x z ?+?=??'2'1cos ；''22''12'22cos xyf f x x f yx z +?+= 20、积分因⼦为.1)(2ln 22xe==?=--µ 化简原⽅程22x y xy +=，为.2x x y dx dy =- 在⽅程两边同乘以积分因⼦21x ，得到.1232x xy dx x dy =- 化简得：.1)(2xdx y x d =-等式两边积分得到通解??=-.1)(2dx xdx y x d 故通解为C x x x y 22ln +=21、（1）函数)(x f 的定义域为R ，33)(2'-=x x f ，令0)('=x f 得1±=x ，函数)(x f 的单调增区间为),1[,]1,(∞+--∞，单调减区间为]1,1[-，极⼤值为3)1(=-f ，极⼩值为1)1(-=f .（2）x x f 6)(''=，令0)(''=x f ，得0=x ，曲线)(x f y =在]0,(-∞上是凸的，在),0[∞+上是凹的，点)1,0(为拐点.（3）由于3)1(=-f ，1)1(-=f ，19)3(=f ，故函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最⼤值为19)3(=f ，最⼩值为1)2()1(-=-=f f . 22、（1）4 20222122a dy x a a V a πππ=-=. )32(54)2(52222a dy x V a -==?ππ.（2）).8(322.32232223021a dx x A a dx x A a a-=====-→→--xx x e x f ，1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ，且1)0(=f ，所以函数)(x f 在0=x 处连续。