微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第五章

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

习题五 （A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f 62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f3．已知)(x f 的一个原函数为2e x ，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]12arctan )(ln 11)(ln C x x f xx f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x xx f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分 （1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mn x x d （4）⎰+-x xx d 112（5）⎰++x xx d 1124 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22（10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+（11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xx d 85382 （14）x x x d 105211⎰-+-（15）⎰-x x x -x x d )e (e （16）⎰++x x x x d )31)(2e (（17）x x xx x d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222 （19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x xx xd sincos 1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x xx x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a212)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0 , m C x dx n m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 1212 （5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin （7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx x dx xx xx x x tan 2cos 12cos sin sin cos sin cos 2222222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x xx d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰+xe ed （8）⎰-xe ed（9）⎰-1tan cos d 2x xx （10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln 1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin 2（14）⎰-x x x d 212（15）x x x x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422（19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos 3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x （28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰- （33）⎰x x x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ（5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e e e d xx x x ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan 21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰22sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x xx xx xxx xxx1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰2221arctan 211arctan 1arctan 111arctan （18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51 （20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32（21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt tt tt x x x x d 3321)1(1)1(令 ⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x xx d 21arctan 414)1()1(212222 （29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1( （30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 21222（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin 34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d xx x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2（34）⎰⎰+==+=C x x d x x d x x22)(arctan arctan arctan 2)(1arctan 2 （35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132222 （40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分 （1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x xd 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21 （7）x x xd 11632⎰++（8）x x d e 1⎰+（9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(323⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1( （2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121 C x x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(11．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221xd x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x xa x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt tt t2221)cot(arcsin cot sin cos sincos（2）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan cos cos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C xaa a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt tt dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cos sin1cos sincosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x xx d arctan 2（12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xx d 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x x xd cos tan ln 2（17）⎰∙x x x d sin sec ln （18）⎰∙x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan 42)4ln(2（7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan )1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnCx x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x xxdx x x x x xxd 2211arctan 111arctan )1(arctanC x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln （14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx x xdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122 ⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan 2x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan（15）()()()dx x x x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 123623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31 ⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 31161arctan 312121233253 C x x x x x x ++-+-=arctan 313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1 （2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(122---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4xx（6）⎰++++x x x xx d 2541232 （7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 14 （10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222 ()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-x f x x xx d )e (e -2e e 43 . （6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x xxe e x f e x xe x xf C ex dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222 ⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln 11ln)(1111ln2ln)1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln 24121222⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx ee e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式 （6）C xf +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=sin cos )(sin )(x xx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((212原式 （8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ） A ．x tan B ．x cot C ．x arctan D ．x arc cot （3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412（4）设⎰⎰+∙=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f(x)dx C（2）A根据1)4f(=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f(x)2222--=-⇒= ⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f(x)d(dx x sin f(x)2取cotx g(x)-=则⎰+=xdf(x)cot f(x)g(x)上式 与条件比较，得cotxg(x) ,lnsinx f(x)cotx df(x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x xx x d 11ln 112-+-⎰（2）x x x x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d x（4）x xx d cos sin1⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xx4cos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示 令t x 2sin =） （11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示 令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法）（13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln 3⎰（提示 经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xxxxxde eee ede )111()1(2222C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x+--==⎰cot cot 31sin 13C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 18313 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x322tan 31tan tan )tan 1()(tan cos 1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2（9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t 2arctan )2(2cos 12C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1(（11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x xx xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 2512原式。

习 题5.1 选择题（1）答案D ，令y=0,z=0得a=1,令x=0,z=0得b=2,令x=0,y=0得c= 12-. (2) 答案C ，由y=0，则点)3,0,4(在xOz 平面上.（3）答案B ，关于原点对称则相应的坐标值变为相反数，所以点)1,2,3(-关于原点的对称点是)1,2,3(--.（4）答案C ，把x=0,y=e 带入函数中，得),0(e f =ln(0)1e +=. (5) 答案D ，只有当00(,)(,)lim x x y y f x y f x y →→=时),(y x f 在点),(00y x 处连续.(6) 答案A ，求对函数求关于x 偏导,'(,)1x f x y y =+-,所以)1,('x f x =1.或者，求解x x f =)1,(，因而有1)1,(='x f x ，类似的题型可以考虑这一方法，解题简便不少.(7) 答案D ，求偏导有(1)xy zxy e x∂=+∂. (8) 答案A ，由222(,)()f xy x y x y xy x y xy +=++=+-，令xy u =，x y v +=得2(,)f x y y x=-，所以'(,)1x f x y =-，'(,)2y f x y y = （9）答案A ，由链式求导法则dx dz =dz du du dx +dz dv dvdx =ln sin x u v x e v-+=x x x sin cos - （10）答案D ，有微分公式直接求得有dz =21xdx dy x y y xy-++，则在点)1,1(处，dz =)(21dy dx -.（11）答案C ，分别令),('y x f x 与),('y x f y 为零，有'(,)4220x f x y x y =--=,'(,)220y f x y x y =-+=解得1,1x y ==，有唯一驻点.(12) 答案C ，令'2(,)0x a f x y y x=-=，'2(,)0y b f x y x y =-=，将5,2x y ==代入得50,20==b a .5.2填空题(1)充分;必要 (2) 必要;充分 (3)充分; (4)充分5.3 解 当220x y +=时，0,0x y ==.按定义(0,0)(0,0)0lim x f f x x x ∆→∂+∆==∂∆ 当220x y +≠时， 有3'2222(,)()xxy f x y x y =+.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,)(2),(22222223'y x y x y x xy y x f x同理可求得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,0,0,)()(),(2222222222'y x y x y x y x x y x f y 5.4解(1),)()(2,)(2,)(1,2,122222222222222y x y x y z y x y y x z y x x z y x y y z y x x z +-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂+=∂∂+=∂∂(2)212222122,ln ,(1),(1ln ),(ln )y yy y y z z z yx x x y y x x y x z z x y x x x x y y---∂∂∂===-∂∂∂∂∂=+=∂∂∂5.5 证明 由于22223/20,((,)(0,0))()x y x y x y ≤→→+ 所以22223/2(,)(0,0)(,)(0,0)(,)0(0,0)()lim lim x y x y x y f x y f x y →→===+即),(y x f 在点)0,0(处连续.220(0,0)0,(0,0)0x y x y f f ∆→∆→====所以函数),(y x f 在点)0,0(处可偏导. 但23222(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]()(,)()x y f x y f f x f y x y f x y x y +∆+∆--∆+∆∆∆=∆∆=∆+∆222lim()()()x y x y ρρ→→∆⋅∆=∆+∆极限不存在，函数在点)0,0(处不可微. 5.6 解z z u z v u v v u x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 令(,)cos uF x u x e v =-，由隐函数求导法则uv x u u x e vF F x v e v F F x u ---=-=∂∂=-=∂∂sin 1,cos 1 所以()cos sin u z v u e x v v-∂=-∂ 同理求解()cos sin u z u v e y v v-∂=+∂ 5.7 解 (1) 2222z z x ydz dx dy dx dy x y x y x y∂∂=+=+∂∂++ (2)cos()cos()dz y xy dx x xy dy =+(3)令11ln()ln ,x x x u y x y==则1ln()(,,)xuy x f x y z e e ==111222111(ln )(),()x x f x x f xx x y x y y y y-∂∂=-+=-∂∂ 代入数据得dy dx df -=)1,1( (4)由ln(1)21(1,1)(,),(1)[ln(1)]1(1)(1,1)(1,1)2ln 21,1|(2ln 21)x xy x x f xyf x y e xy xy x xyfx xy y f f x y dz dx dy+-∂==+++∂+∂=+∂∂∂=+=∂∂=++5.8解对角线L =m y m x m y m x 1.0,05.0,8,600-=∆=∆==myL x L L y x 05.0)1.0(10805.0106)8,6()8,6(-=-⋅+⋅=∆'+∆'≈∆5.9解 (1)两边同时对x 求导zz ze yz xy x x∂∂⋅=+∂∂，得zz yz x e xy ∂=∂- 同理得z z xzy e xy∂=∂-; (2) 令xyz z y x z y x F 22),,(-++='''''121x y z x zF F F F zz x F y ===-∂∂∴=-==∂∂5.10解 ''''0242,42,20x xyy z x z x z y y z ⎧==⎧⎪=-=--⎨⎨=-=⎩⎪⎩令解得'''2,2,0xx yy xy z z z =-=-=由多元函数极值的充分条件20,0AC B A -><，函数有极大值代入为8. 5.11解 此题为条件极值可以化为无条件极值来求，或者利用拉格朗日函数求令22(1)20,20,10x y L x y a bL L L x y x y x a y b a b λλλλ=+++-∂∂∂=+==+==+-=∂∂∂得22222222222,,a b ab ba x y a b a b a b λ=-==+++很显然z 有极大值，代入得极大值2222),(222222|b a b a Z ba b a b a ab +=++ 5.12解 此题可以采用构造拉格朗日函数求解，这里采用直接代入法求解设采购甲原材料xkg ，乙原材料ykg.依题意可得0.50.9x y +=，代入产量函数中得2230.01(0.90.5)0.90.005Q y y y y =-=-21.80.0150Qx y y y∂=-=∂对求导，令解得 x=30kg, y=120kg而实际问题必有最大值，所以最大值Q=4320kg . 5.13 证明 因为2)11(2)11(1,1ye yz xe xz yx yx ⋅=∂∂⋅=∂∂+-+-所以z ee yz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂⋅+∂∂⋅+-+-5.14 证明xyz xy u xF xy yF xy yF u xF xy yz y x z x F x y zF x y u F y x z u u u u +=++='++'-+=∂∂⋅+∂∂⋅'+=∂∂'⋅-+=∂∂)()(,)( 5.15 解 （1） 对等式22()x y z x y z ϕ+-=++两端求微分得'22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ+-=⋅++得 ''''2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ--=+++ （2）由于ϕ'+=∂∂12x x z ，ϕ'+=∂∂12y y z代入得ϕ'+=12),(y x u 所以 32)1()12(2)1()1(2ϕϕϕϕ'+''+-=''∂∂+'+-=∂∂x x zx u5.16 解 设（1999数三，20分）设12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-令1112120F p x x x αβλα-∂=-=∂ ①1212220F p x x x αβλβ-∂=-=∂ ② 121220F x x αβλ∂=-=∂ ③由①和②得2112p x p x βα= 2121p x x p αβ= 将1x 带入③中得 1226()p x p αβα= 从而2116()p x p βαβ= 因驻点唯一，且实际问题有最小值，故2116()p x p βαβ=，1226()p x p αβα=时，投入总费用最小. 5.17 解 原式=22222222()(,)(0,0)sin[(1)()](1)()lim (1)()1y y y x y x y e x x y e x x y e x x y e +→++++⋅++- =2222()(,)(0,0)(1)lim1yxy x y x y e x e +→++⋅- （令222u y x =+）=220lim1u u u e →-=22lim2u u u ue→=1。

第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。

由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。

习题5.11.（1）（书本题目有问题。

考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；sin xx3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行2. ；23x 6x3.（1）（2）（3）3223x C --+323sin 3xx e x C +-+3132221(1565(2))15xx x x C-++-+（4 （5）（6）2103)x x C -++4cos 3ln x x C -++323x x x eC+-+（7）（8）sin 22x xC -+5cos x x C --+4. 3113y x =+5. ；32()0.0000020.0034100C x x x x =-++(500)1600;(400)(200)552C C C =-=习题5.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1a1711012-112122-15-12-2. （1） （2）（3）（4）515t e C +41(32)8x C --+1ln 122x C --+231(23)2x C--+（5）（6）（7）（8）C -+ln ln ln x C +111tan 11x C +212x e C --+（9）（10）（11）ln cos ln sin x x C -++ln cos-3sec sec 3xx C-++（12）（13）（14）C+43ln 14x C --+2sec 2x C +（15 （16）12arcsin 23x C +229ln(9)22x xC-++（17 （18）C ln 2ln 133x x C -+-+（19） （20）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++3cos ()3t C ϕωω+-+（21）（22）（23）cos 1cos5210x x C -+13sinsin 232x xC ++11sin 2sin12424x x C -+习题5.31.（1） （2）arcsin ,,u x dv dx v x ===,sin ,cos u x dv xdx v x===-（3）（4）231ln ,,3u x dv x dx v x ===,cos ,sin x u e dv xdx v x -===（5）231arctan ,,3u x dv x dx v x===2. （1）（2）（3）cos sin x x x C ++(1)xe x C ---+11cos 2sin 224x x x C-++（4）（5）（6）21((1)arctan )2x x x C -+++ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（7（8）41(4ln 1)16x x C -+arcsin x x C +21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1） （2）arctan x C +232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C+++-+--+（3）（4）2sin2cos sin 22xx C x x -++1(ln cos ln sin tan 2222x x xC-+-+（5）（6）（7）211(arctan )21x x C x -+++6ln 11x C x+-+-略（8）11ln 2cossin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++（9）（10）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x xC -++++ln 1sin x C ++复习题五1.（1）（2）（3）（4）2x2cos 2x ln 1x +2x e dx -（5）（6）（7）sin x C +1(23)2F x C -+21(1)2F x C--+（8）（9）（10）2sin 23-+0122. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1） （2）（3）322cos 3ln 3x x x C --++111(12)22x C --+1cos Cx+习题6.11.5032. （1） （2）1214a π3. （1） （2）4.略5.220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。

《微积分（⼆）》同步练习册（最终使⽤版）解析第五章不定积分 §5.3 凑微分法和分部积分法（第5.1~5.2节的内容，请参见本练习册末尾、第五章“⾃测题”前的附加材料）1. 求下列不定积分：(1) ?-dx e x2； (2)dx x x ln 1；(3)?+xx dx 2； (4) ?-dx x x 21； (5) dx x x x ?-+-2211； (6)()?-dx x 21sin 2；(7)?xdx x 32cos sin ； (8)dx x 4sin 1；(9) ?+dx xx 231；(10)；(11)?dx xx x cos sin 1； (12*)?+dx ex11；ln 1； (14*)()+2cos 2sin x x dx．3. 求下列不定积分： (1)[]?++dx x x )1ln(arcsin ； (2)?-dx e x x 22；(3)?xdx e x2sin ； (4)()dx e x x x221?+；(5) ?xdx ln sin ； (6)?+dx x 21．4. 求下列有理函数的不定积分：(1)+dx x x )1(17； (2)?++dx x x x 21.5. 求下列不定积分： (1) 已知)(x f 是2x e -的⼀个原函数，求?'dx x f x )(；(2) 已知2x e -是)(x f 的⼀个原函数，求?'dx x f x )(.§5.4 换元积分法1. 求下列不定积分： (1)?+dx x 1； (2)?+-dx x 3211；dx x x cos ；(6)?-dx e x； (7)()-dx x x 21012981(7) ?++dx xx)11ln(．2*. 求不定积分?-+dx x x xx cos sin cos sin 2.3*. 试求不定积分2ln 1(ln )x dx x -?．4*. 已知ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ?.第六章定积分 §6.1 定积分的概念与性质1. 利⽤定积分的⼏何意义，计算下列定积分： (1）?-201dx x ； (2）?-11sin xdx ；(3）--22121dx x .2. 不计算积分，⽐较下列各积分值的⼤⼩（指出明确的“=<>,,”关系，并给出必要的理由）. (1）?10xdx ； (2）?212dx x 与21xdx ；(3）?20sin πxdx 与20πxdx ； (4）?40tan πxdx 与40πxdx ．3. 利⽤定积分的性质，估计?-=20dx xe I x 的⼤⼩.4. 设()x f 在区间[]1,0上连续，在()1,0内可导，且满⾜()()?=31031dx x f f ，试证：在()1,0内⾄少存在⼀点ξ，使得()0='ξf .5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）?-111dx x ； (2）()?20dx x f ，其中()?=≠=1,21,2x x x x f ．6*.根据定积分的定义，试将极限+++∞→n n n n n n πππsin 2sin sin 1lim表§6.2 微积分基本定理1．求下列函数关于x 的导数： (1）()1/1 2sin3x tt dt -?； (2）?12xt dt te ；(3）22x xt dt e ； (4*）()?-xtdt t x 0sin ．2．求下列极限： (1）?→x x du x u 02tan lim； (2）()?+→xu x du u x 010211lim ；(3）?-→2040)cos 1(1lim x x du u x．3．求函数()()()?---=xudu e u u x f 0221的极值点．4．计算下列定积分： (1）?3231dx x x x ； (2）?ππ2121sin 1dx x x；(3）?-20cos 21πdx x ； (4）{}-322,1min dx x ；(5）()?-21dx x f ，其中()≥<=1,1,2x xe x xe x f x x ；(6）?-b dx x 1，其中b 为常数．5．设()x f 在[]1,0上连续，且满⾜()()?+-=132dx x f x x f ，试求()x f ．6*．试利⽤定积分的定义及计算原理求解数列极限n n S ∞→lim ，其中nn n n S n ++++++=21221121 ．§6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利⽤定积分的换元法计算下列积分： (1）?-2ln 01dx e x； (2）()?+-212(3）?-122221dx xx ； (4）?++202422dx x x x ；(5）-π3sin sin dx x x .2. 利⽤函数的奇偶性计算下列定积分：(1）()-++22221ln sin ππdx x x x ； (2）()-+-+1122513dx x x x x.3. 设()x f 是R 上的连续函数，试证：对于任意常数0>a ，均有()()??=2002321a a dx x xf dx x f x .4*. 设()x f 是R 上的连续函数，并满⾜()20x dt e t x f x t =-?5. 利⽤定积分的分部积分法计算下列积分：(1）?40sin πxdx x ； (2）()+121ln dx x ；(3）?21ln cos πe xdx .6*. 试计算()?20πdx x f ，其中()?=2sin πxdt ttx f .7*. 已知()x f 是R 上的连续函数，试证：()()()?=-x t x dt du u f dt t x t f 000.§6.4 定积分的应⽤1. 计算下列曲线围成的平⾯封闭图形的⾯积： (1）0,43=-=y x x y ； (2）x y x y x y 2,,===.2. 假设曲线()1012≤≤-=x x y 、x 轴和y 轴所围成的区域被曲线()02>=a ax y 分为⾯积相等的两部分，试确定常数a 的值.3. 求由下列曲线围成的平⾯图形绕指定轴旋转⼀周⽽成的⽴体体积： (1）1,41,0,14====x x y xy ；绕x 轴，（ii ）绕y 轴4. 已知某产品的固定成本为50，边际成本和边际收益函数分别为()642+-=q q q MC ，()q q MR 2105-=，其中q 为产品的销售量（产量），试求最⼤利润.5. 已知某产品在定价1=p 时的市场需求量a Q =，在任意价格p 处的需求价格弹性为Qb E p =，其中0,0<>b a 均为常数，Q 为产品在价格p 处的市场需求量。

微积分第二版习题二答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化的规律和量的计算方法。

而微积分的学习过程中，习题是非常重要的一环。

本文将为大家提供《微积分第二版》习题二的详细答案，希望能帮助大家更好地掌握微积分的知识。

第一题：计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 1 在 x = 2 处的导数。

解答：首先，我们需要求函数 f(x) 的导数。

对于多项式函数，我们可以使用求导法则来计算导数。

根据求导法则，我们有：f'(x) = d/dx (3x^2) - d/dx (2x) + d/dx (1)= 6x - 2将 x = 2 代入上式，我们得到：f'(2) = 6(2) - 2= 12 - 2= 10所以，函数 f(x) 在 x = 2 处的导数为 10。

第二题：计算函数 g(x) = e^x - x 在 x = 1 处的导数。

解答：函数 g(x) 包含了指数函数和多项式函数的运算。

对于指数函数 e^x，它的导数仍然是 e^x。

而对于多项式函数 -x，它的导数是 -1。

因此，我们可以得到函数 g(x) 的导数为：g'(x) = d/dx (e^x) - d/dx (x)= e^x - 1将 x = 1 代入上式，我们得到：g'(1) = e^1 - 1= e - 1所以，函数 g(x) 在 x = 1 处的导数为 e - 1。

第三题：计算函数 h(x) = ln(x^2 + 1) 在 x = 0 处的导数。

解答：函数 h(x) 是一个复合函数，它包含了对数函数和多项式函数的运算。

对于对数函数 ln(x)，它的导数是 1/x。

而对于多项式函数 x^2 + 1，它的导数是 2x。

因此，我们可以得到函数 h(x) 的导数为：h'(x) = d/dx (ln(x^2 + 1))= 1/(x^2 + 1) * d/dx (x^2 + 1)= 2x/(x^2 + 1)将 x = 0 代入上式，我们得到：h'(0) = 2(0)/(0^2 + 1)= 0所以，函数 h(x) 在 x = 0 处的导数为 0。

微积分二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，则下列说法正确的是（）。

A. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续B. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可导C. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可微D. \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处不可微答案：A2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，则下列说法正确的是（）。

A. \( f(0) = 0 \)B. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处可导C. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处连续D. \( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不可导答案：C3. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的原函数是（）。

A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( x^3 \)C. \( \frac{x^2}{2} \)D. \( \frac{x^3}{3} + C \)答案：D4. 设 \( y = \ln(x) \)，求 \( y' \) 的值是（）。

A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{x^2} \)C. \( x \)D. \( \frac{1}{\ln(x)} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，则 \( \int_{0}^{1} 2f(x) \, dx = \)。

答案：42. 设 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上连续，则 \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \) 的值等于 \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上的。

答案：定积分3. 函数 \( y = e^x \) 的导数是。

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ; (2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6)22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解 5151732222222210(1)(5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3P Q P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx += d(arctan x );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d a x b a x a x a x b a+=≠∴=+ 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7) 102tan sec d x x x ⎰; (8)2ed x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) tan ⎰(11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x -⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18)d (1)(2)xx x +-⎰;(192cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;(21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2xx x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tan sec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)x; (32)(33); (34),0x a >; (35)2d x x⎰; (36) 2d x x⎰; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38)(1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =).解5555111(1)5(5)555e d e d e d e t t t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a C C a a a --=-. (30)令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以2sec cos sin sec d d d d tt t t t t C t ====+⎰⎰tan ,sin 原式x t t C =∴=∴=.(31)令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时 故223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d tx t t t t t t t x t=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰ 3tan 3t t C =-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得tan t =,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x tt t x x===, 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分. 综上所述有33arccos d x C x x=+⎰. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)22d d x x x x ==+⎰由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t=, 当x >0时,(此时t >0) 当x ≤-2时,此时102t -≤<综上所述:原式=ln 1C x +. (37) 2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰. (38)令e x =t ,则x =ln t ,d x =1td t .习题5-31.求下列不定积分： (1) sin d x x x ⎰; (2)e d xx x -⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) e cos d xx x -⎰;(5)2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰;(7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰; (11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2xx x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)x ; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解(1)s i n c o s c o s c o s c o s s i d d d x xx x x x x x x x x x C=-=-+=-++⎰⎰⎰而c o s 2c o s 2c o s 22s i n 2c o s 22s e d d e ee d ed exx xxx x x x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰ (10)t =,则32,3d d x t x t t ==(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x xxx x x =-+=++++=-++⎰⎰令x =tan t ,(,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t∴原式C +.于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =+⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是注 本题亦可用万能代换法(4)令tan 2xt =,则 则。

微积分2习题答案⼀、填空题 1.2. 设P(x)是x 的多项式，且lim 凡门⼆6 '—= 2, lim — = 3 ,则P(x) = 0 X7Tlim (arcsin(vx 2+x ⼀ x))= .YT4-X 6A 3 + 2x 2 + 3x t3. lim 1 ⼀ — .V —4. x )设lim ⼀ "" ⼀ * + 4= A ,则有"=5. 6. 7. 8. 9. j X — 1 .? “ \ ? 2 sinx 设 / (A ) = xsm — d -----X X ? 3.1L +sin x-sin — lim ------------ ------ - = t 3*函数v = ⼀上］⼀的间断点是(x-l)(x + 2)为使函数/(x) = - ? tanx 在点x = 0处连续，应补充左义/(0)= x 3设函数y = ^-x )xK则 lim f (x)=X->X%⼯°在兀=0处连续，则参数K =x = 0 x + ae x +\⼆、单项选择题 1 ?设x n >Q,且lim x 存在,则 lim x HTX n->x @>0 ② no ③=0 2?极限 lim e 7^ = XT I ①8 ②1 10.函数f(x)= < x < 0 在点x = 0处连续，则“=x>0④<03. 4. ③不存在 lim(1 + x) x + lim xsiii —= -V — ②"： Jx 3 4, -2③ €+1: ④』+ly =-——-——-的连续区间是_ (x + lXx + 2)①(-s,-2)u (- 2,-l)U (- 1，T ③(-oo,-2)U (-2,400) ②［3，T④ co ⼚i)u(_l,+oo)函数『⼆⼆2X-l .Y+1 ①2个②3个 6.下列函数中，?当XT0时，与⽆穷⼩量x 相⽐是髙阶⽆穷⼩咼的是. 价⽆穷⼩量的是 ______________ ① l-cosxx + X 25. ④4个以上④ sin 2x__ ■⽦有①，②=24.7. 8. 9. 当x->0-时，sin 仮与Ixl 相⽐是_ ①髙阶⽆穷⼩咼③同阶但不等价的⽆穷⼩量当XT O 时，l —cos2x 与/相⽐是①髙阶⽆穷⼩量③低阶⽆穷⼩量(sin 3x 设 f(x) = ] x x = 0 ②⼀3 ②低阶⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量②同阶但不等价的⽆穷⼩量④等价⽆穷⼩量为连续函数，则k = ①1 10?函数/(x)在点勺处有⽴义是f(x)当x ->⼼时极限存在的. ①充分但⾮必要条件③充分必要条件 11?当JVT 0时，① x + sinx12.当XT0时， ?x + sin — x 13?当XT 8时，①x + sin 丄 x ②必要但⾮充分条件④既⾮充分⼜⾮必要条件下列函数中⽐x 髙阶的⽆穷⼩量是 ________ ② x-siiix ③ ln(l + x)下列函数中为⽆穷⼩量的是 ________②x ?sin 丄③丄+ sinx X X 下列函数中为⽆穷⼩量的是 _____ _ ② x-sin — ③—+ sinxX X14. 15. 16. ②④ hi(l-x)②④—?sin x x ③④—-siiix x 设在某个极限过程中函数/(X )与g(x)均是⽆穷⼤量，则下列函数中哪⼀个也必是⽆穷⼤量___________ ③④爲设/(x (J = c lim f(x) = b t lim f(x) = c ,则函数/(x)在点⼈)处连续的充分必要 .v —>.rj XfY ：① /(Q+g(x) ② /(x)-g(x) ③/(Q ?g ⑴②a = c v 2 -1 4------ C E X-l 0 ④a=b=c②跳跃间断点①连续点三、求下列极限 lim (Jx 2 +1 - x) = lim ________ ⼀⼀⼛？ + 1lim (Jx 2 +1 - x) = +xlini (J+ 2x + 2 - J③可去间断点④⽆穷间断点1.2. 3. =lim ，( ?— = = lim ⼀ y/x 2+2x + 2 + J ，—2x + 2 —1 lim arctanx-arcsin — =0 x)L r (x + l)2 +(2x + l)2 +(3x + l)2 + …+ (10x + l)2 z 7、 5. lim -- ----------- ------------- ---------------------------- -- (=—) — (10x-l)(lLv-l) 2 n n 、tr +n ［解］记⽿=G+t+…+⽃ ir +1 ir +2 n +ne .. n n n n n n 因为——+ —— + …+ —n +n ir +n n +n n ir即—< x /2 < 1,由于lim — = 1,所以由夹逼定理，得lim 兀=1 n +1〃―30n +1“a7?设辄⼚2叽求〃由于极限存在，故a = {3 — \°—=2006p = —, a : P 2006四、分析题1 .讨论极限lim " "［解］因为lim 1!巴丄1 = 1, Um ⼔巴⼝ = ⼀1,故原极限不存在。

练习5.11.（1）椭圆抛物面； （2）圆锥面；（3）椭球面； （4）圆柱面.2.（1）{}012),(2>+-=x y y x D ； （2）{}x y x y x D <<-=),(；（3）{}y x y x y x D ≥≥≥=2,0,0),(； （4）{}1,0),(22<+≥>=y x x y y x D ；（5）{}22222),,(R z y x r z y x D ≤++<=；（6）{}0,0),,(22222≠+≥-+=y x z y x z y x D . 3.（1）解 22(,)(0,1)110lim101x y xy x y →--==++； （2）解0(,)lim ln 2y x y →==； （3）解(,)(0,0)(,)1limlim 4x y x y →→==-； （4）解(,)(,)(0,0)lim lim 1)2x y x y →→==； （5）解(,)(2,0)(,)(2,0)(,)(2,0)sin()sin()sin()lim lim lim 2x y x y x y xy x xy xy x y xy xy→→→==⋅=； （6）解 222222222222222(,)(0,0)(,)(0,0)222222(,)(0,0)(,)(0,0)sin 1cos()2lim lim ()2sin 2lim (sin )lim 22010x y x y x y x yx y x y x y x y x y x y x y e e x y x y e x y →→-→→+-+=++++=⋅+=⨯=4.证明 由二元极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)ρρ→时，所得极限值不同即可.①当(,)x y ρ沿x 轴趋于0(0,0)ρ时，01),(lim ,1)0,(),(→→===y x y x f x f y x f② 当(,)x y ρ沿直线(0)y kx x =≠趋于（0,0）时1(,)1(0)1x kx k f x y k x kx k--==≠≠++ 综合①②可知函数极限不存在.5.解 当函数在区域{}02),(2=-=x y y x D 时没有意义，为间断点. 6.（1）解：原式=22(,)(0,0)1lim (1)x y x y →+=+∞+，极限不存在. （2）解：因为x, y 充分大时，22,x y e x e y >>22()110()x y x y x y e e e-+<+<+ 易见(,)(,)11lim ()0x y x y e e →+∞+∞+= 故22()(,)(,)lim ()x y x y x y e -+→+∞+∞+=0（3）解： 因为 220||||||||x y x y x y +<≤++ ，则22(,)(0,0)lim ||||x y x y x y →++=0 （4）解：33332222|sin()|||||||2||||x y x y x y x y xy x y x y +≤+=++-≤++ 所以，3322(,)(0,0)sin()lim 0x y x y x y →+=+ 7. 解：令（x,y ）沿直线y=kx 趋于(0,0)，得2242420222220)1(lim )(lim k x x k x k y x y x y x x kx y x -+=-+→→→当k=1时，上式极限为1；当1k ≠时，上式极限为零； 故22222(,)(0,0)lim ()x y x y x y x y →+-不存在.。

I 10.令 x = asect第四章 不定积分答案2 24. I = sin x sinxdx = - 1-cosxdcosx 、填空题 2.F x |亠 C 3.1 二-cosx — \ 3 1 31 3 cos x J ■ C cos x-cosx C3 3x C 5.4. -C In 2 」x 335.一丄Cxxe (e x ) +1dx 二一de _2 二 arctang XC ’1+(e x ) 6. 6e x C 7.-3sin x C I 二 t 2—1 t 2tdt =2 t 4 -t 2 dt8. 3x x arcta n x C 39.x r 2 C1-In 3x + 2x +C 2 1 2 10. In 2x C 2 -cos2x C 12. le 7x C7114. 丄 In 1+2x+C 2 13. 7. 令 t = 6x11.15.1—2x C 1 316. 「cosx cos x C 3 8. 17. e" 1 x C 18. 6"dt t 123t 2—6t +6ln t +1 +C1 13x^ -6x® +6 In x令 x= si nt3I =1 - sin 2t 2costdt - I i cost dt二、 单项选择题 1 . C 2 . A 3 . D 4 7 . D 8 . D 9 . 12.B 三、 计算题 1 .A10.A.B11.Bx二 sec 2 tdt 二 tant CCTT79 .令 x =ta ntseC tdt (1+tan 2t j2 .■sec 4-dt二 costdt sec t2 -.2 -x 2d 2 -x2 -x 2 C2. 1 x 2 = l n 1 x 2 C-exd ;1 111 cos2t dt t —sin2t C2 2 4 11 1x t sintcost C arctanx 2 C 2 2 21 x 23.1-e" C.a2 sect -1 asectantdt =a tarn tdtasec=a lise^t -1 dt =a tant -t Cf'-2—2 、x -a aarccos a x4C=Jx2 217. a-a -aarccos Cx2x 2 _xI = - x de = x e_ 2xe*dx-x2e» -2 xde^-x2e» -2xe" 2 e^dx_x2 _2x_2 e」C11. I =dx2、厂1_ 1 sect tant3 ta nt22令x^sect secttantdt 18.=1J322Jsec t -1dt^1sectdt31=Tn sect +tant 3 C = 】ln33x站4219.12.1 d 3x-1 _J(3X-12+6 3=]| n j9x2-6x+7+3x-1+C13. 2 2I =xln 1 X - xdln 1 x2 =xln 1 x2 =xln 1 x -x^dx；_2x 2arctanx C20.14.xde x = xe x - e x dx =xe x-e x C15.I = x arccosx - xd arccosxx arccosx dx1-x21「1 ,2 .= xarccosx-—J ；2d(1-x )21.16.x arccosx - 1 - x2 CI = lnxdl 」一hx ^dx — Sx」C x x x x x4 4二(ln x)2d£4(ln x)2-4 41 3x ln xdx = — (ln x)21 4| 1x ln x8 81 4 1 4--x ln x x C8 324x 2(ln x)44=—(ln x)24x4 (ln x)4=sin xde xx41(2ln x)—dx44 x4、4 1 .x dxx=e x sin x - e x cosxdx=e x sin x - cosxde xX ・x x .=e sin x -e cosx e dcosx= e x(sin x-cosx) - ' e x sin xdxe x sin xdx = - e x(sin x -cosx) C2I = sec x secxdx = secxd tan x=secxtanx- 'tanx tanx secxdx=secxtanx- '(sec x-1)secxdx=secxtan x- sef xdx亠i secxdx3=secxtanx- Jsec xdx + In secx +31[sec xdx = —(secxtanx + ln secx +2x-8 ln xdx4tanxtanx C令t=, xI二.eStdt = 2 tdd =2td -2 ddt= 2td -2& C =2 =e x-2e x C22. l=Jlnlnxdlnx =（lnlnx）nx —J Inxd（lnlnx） 21.=lnlnx lnx- lnx —-dxlnx x =lnlnx lnx-lnx C 23.24.F b —F a1e --e22.5ln623.d cos2x = 4 xcos2x sin2xC4 825.1 26. JI227. e-2 28.4 29. 2,3-2arctan f 3 - arctan f 124. l = ln xd3 1 3x lnx x ——■C3 9第五章定积分及其应用答案32.5633.e 34. _135.<36. 1 37. 38. 12 2 3兀 139. 一2 _2二单项选择题30.0 31.0、填空题[f （x pxb a4.2.03.5.负6.正7. l1>l28. 1. A 2 . D 3 . B 4 . C 5 . A 6 . C7. C 8 . B9 . A 10.C 11.C 12.D 13.C 14.C 15.B 16.C17.A 18.B 19.B 20.A 21.B22.C 23.B 24.A 25.C 26.A三、证明题1冃2 9. l1>l2 证：令u=a， b-a,则10.- 11. 12. baf x dx du 二b-a dx,所以13. 2xe x14. sin xb - a ] I f || a b - a x dx =1 1f u du = 0 f x dx-x sin3fi x 16.10,1 2x1 cos2 x215.2.证：令u)]17.1 18.fx3f （x2=x2,则du = 2xdx ,所以1 a2.d^=- 0 uf udu=? 0 1 a220xf x dx19. f 12f0=03 20. 3.证：令u -二-x,则du - -dx,则IT- -2：xf sinxdx 二：】灵-u f sin u du 二負「x f sinx dx 23x2sin 1 x3 31 u 2所以 o xf sinx dx 二 o 2xf sinx dx - xf sin0 0 5fnxdx 飞2x -3-2x x-1x-2 e ， x 二 = 二 02xf sinx ck 02 二-x f sinxck v 02得fin^dx 一1：： 0, f 2 二 e* 0, e JI 4.证：x 4令，有。

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注 本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。