当前位置：文档之家 › 微积分(第五章)

微积分(第五章)

  • 格式：ppt
  • 大小：471.00 KB
  • 文档页数：12

下载文档原格式

  / 12

合集下载

微积分(第五章)

微积分(第五章)
1 sin x dx 2、 sin x(1 cos x) dx 4、 (2 cos x) sin x
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一 、 降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
二 、 转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章 不定积分
§3 分部积分法
三 、 循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章 不定积分
§3 分部积分法
四 、 递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整 求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算 例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章 不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质

微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线

微积分的应用雨中行走 药物浓度 水流问题 最速降线
I sin 表示顶部的降雨强度。
•前表面淋雨量
C2
(v cos
v
u
I )wh(L
/
u)
v cos u I是前面的降雨强度。
v
•总淋雨量(基本模型)
C
C1
C2
wdL [sin
u
h d
(v cos
v
u)]
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前
面。分两部分计算淋雨量。
取参数v 4m / s, I 2cm / h
第五章 微积分的应用
本章通过用学习过的高等数学知识解决一些简单的问题， 以增加同学们学习数学的兴趣和应用数学的能力。同时，也 通过对其中一些问题的不断深入讨论来体会数学建模没有最 好、只有更好的精神。
1. 雨中行走问题 2. 体内药物浓度的变化 3. 水的流出问题 4. 最速降线问题
1. 雨中行走问题
16
2. 体内药物浓度的变化
医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂量 和服药的时间间隔。超剂量的药物会对患者产生不 良的后果，甚至死亡；剂量不足，则不能达到治疗 的效果。已知患者服药后，随时间推移，药物在体 内被逐渐吸收，发生化学反应，也就是体内药物的 浓度逐渐降低。药物浓度降低的速率与体内当时药 物的浓度成正比。当服药量为A、服药时间间隔为T 时，试分析体内药物的浓度随时间的变化规律。
2）在同样时间内，水从小孔流出的体积为 BS
--- S是从小孔流出的水时在时间段 内流t 经的距离
由质量守恒得
Ah BS
两端同除以 ，t 并令 t取极0 限得
25
可得一阶方程： dh B ds
dt
A dt
由于 ds v， 代入上式得 dt

微积分5-1

微积分5-1
则
推论: 若
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
n
微
积
分
三、 基本积分表 (P142)
(1) (2)
利用逆向思维
k dx
kx C
1 x dx
C
( 1)
dx (3) ln x C x
( x) F ( x) C0 (C0 为某个常数) 即 ( x) F ( x) C0 属于函数族 F ( x) C .
故
微
积
分
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
— 积分号;
其中
— 被积函数;
(P140)
— 积分变量;
若 则
— 被积表达式.
( C 为任意常数 )
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 d x dx 2 1 x x arctan x ln x C
微
积
分
x4 dx . 例8. 求(1) 2 1 x ( x 4 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 1 x2
微
积
分
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .
f ( x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
o
x0
x
微
积
分
说明: 1：区分原函数与不定积分 (1):原函数是一个函数必须可导，其导函数等于 已知函数 (2):不定积分是全体原函数的集合，是函数族

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

第五章微分的逆运算问题

第五章微分的逆运算问题

第五章微分的逆运算问题——不定积分志立则学思从之，故才日益而聪明日盛，成乎富有。

——王夫之没有任何一门学问的学习，能象学习算术那样强有力地涉及到国内的经济、政治和艺术。

数学的学习，能够激励那些沉睡和不求上进的年轻人，促使他们发展智慧和增强记忆力，甚至取得超越自身天赋的进步。

——柏拉图本章简介由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分，构成微积分学的微分学部分；同时由已知速度求路程、已知切线求曲线，和已知几何图形求面积与体积等问题，产生了不定积分和定积分，构成微积分学的积分学部分。

前面已学习过已知函数求导数问题，本章考虑其反问题：已知导数求其原函数，即求一个位未知函数，使其导数恰好是某一已知函数。

这种由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。

§1 逆向思维又一例——原函数与不定积分提出问题已知曲线)(x f y =，求过任意点的切线的斜率（设斜率存在）。

显然，只要对)(x f y =求导即可。

反之，若已知曲线求过任意点的切线的斜率，如何求曲线的方程？即已知函数的导数，如何求已知函数。

学习过程1.1 原函数与不定积分的概念定义 设函数)(x F 与)(x f 在区间I 上有定义。

若在I 上()()x f x F ='则称函数在区间I 上的原函数。

研究原函数必须解决的两个重要问题：⑴ 什么条件下，一个函数存在原函数？⑵ 如果一个函数存在原函数，那么原函数有多少？定理1 若函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在I 上存在原函数)(x F .定理2 设)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，则⑴C x F +)(也是)(x f 的一个原函数，其中C 为任意常数；⑵)(x f 的任意两个原函数之间，相差一个常数.定义2 )(x f 在区间I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分，记作⎰dx x f )(其中称⎰为积分号，)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量.不定积分的几何意义若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则称)(x f y =的图象为的一条积分曲线。

牛莱公式

牛莱公式
原式 = − lime
解: 原式 =
∴b = 0.
c ≠0 , 故 a =1. 又由
～
, 得 c = 1. 2
说明 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
证明 只要证
在 证:
内为单调递增函数 .
F′(x) > 0
x 0
x f (x)∫ f (t) dt− f (x)∫ t f (t) dt
0
x
( ∫0 f (t) dt )
d x, 因此
所以 其中
In = In−1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、积分上限的函数及其导数
定理1. 定理 若 则变上限函数 y = f (x) y x Φ(x) = ∫ f (t) dt
a
Φ(x)
x ξ b x 证: ∀x, x + h∈[a, b] , 则有 x+ h x Φ(x + h) − Φ(x) 1 x+h = [∫ f (t) dt − ∫ f (t) dt ] a h h a 1 x+h = ∫ f (t) dt = f (ξ) (x <ξ < x + h) h x
∫
x2
−x
e dt = ∫ 3
t
1
−x
e dt + ∫ e dt = ∫ et dt − ∫ 3
t t 1
x2
x2
− x3
1
1
et dt
d x2 t d x2 t d − x3 t ⇒ ∫−x3 e dt = dx ∫1 e dt − dx ∫1 e dt dx

微积分教学课件第5章不定积分第2节基本积分表


x dx 2
1
cos 2
x
dx
1 ( x sin x) C 2
(6)
1
dx sin
x
1 sin x dx
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x
cos2 x dx
(sec2 x secx tan x)dx tan x secx C
10
训练：求下列不定积分
(1) ( x2 1)2 dx ( x4 2x 2 1)dx 1 x5 2 x3 x C 53
11
1
( x2 1 x2 )dx x arctan x C
7
例3 求下列不定积分
(5)
x4 1 x2 dx
x4 11 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2 )dx
x3 3
x arctan
xC
8
例4 求下列不定积分
三角恒等变形
ln
|
x
|
C
6
例3 求下列不定积分
(3)
( x2 1)
1 x2 2x dx
x2 1
(
2
) dx
x 1 x2
x
1 x2
( x 1 2 )dx 1 x2 ln | x | 2arcsinx C
x 1 x2
2
(4)
1 x2 (1
x2 ) dx
x2 1 x2 x 2 (1 x 2 ) dx
1 sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C

@@@微积分基础(国家开放大学)---第5章---第1节---积分的几何应用

y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x， 由方程组 2 y ＝ x ，
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
曲边形面积的求解思路
y
A 0 a bX a
1
A2 b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b
(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)

第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质

性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.

第五章 范数及其应用

且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
(1) (正定性 )
(2) (正齐性 )
|| x || 0;
x || x || 0
|| x || | | || x || ; ( F )
（3）(三角不等式) ||x y|| ||x|| ||y|| ，x、y V
i
例 10 计算向量
α = (3i, - 4i, 0, - 12)T
的p范数，这里 p = 1, 2,
.
解 ：
|| α ||1 =
å
4
| xk | = | 3i | + | - 4i | + | - 12 | = 19.
k
k= 1
|| α ||¥ = max | xk | = max(3, 4, 0,12) = 12.
D( x , y) ? || x
y ||2 =
( x - y)T ( x - y)
其他距离测度还包括
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
d ( x , y) ? ( x
2
这里
y) Σ ( x - y) ,
T - 1 T
x, y
是从正态总体
N ( μ, Σ) 中抽取的两个样本。
例 14 对任意
定义的 || ||1 是 F n 上的向量范数，称为1-范数或 l1 范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。
B
A
C
遗憾的是，当
0 p1
时，由
2 1/ p
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪 琪 桫
i= 1
定义的 || || p 不是 F n 上的向量范数。 因为
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

3、
1 x
1 x dx x
dx
2、 (1 3 x) x
第五章 不定积分
§3 分部积分法
第二节 分部积分法
一 、 降次法
例1 求下列积分
1、 xcosxdx 3、 x2exdx
2、 xexdx
第五章 不定积分
二 、 转换法
§3 分部积分法
例2 求下列积分
1、 xlnxdx 3、 arcsixndx
性质2 非零常数可以提到积分号外，即
k(fx)d xkf(x)dx
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例5 求下列不定积分
1、
(x 1)3 x2 dx
3、 2xexdx
5、
x4 1 x2 dx
7、
sin2
x 2
dx
2、 (ex 3coxs)dx
4、
1 x x2 x(1 x2 ) dx
a2 x2
2、 2cos2xdx
3、
3
dx x
2
4、 xex2 dx
5、 x 1x2dx
6、 tanxdx
7、
dx a2 x2
8、
dx x2 a2
9、
earctanx
dx 1x2
10、
dx x(1 2ln
x)
11、cdoxxs
sexcdx12、
dx xlnxlnlnx
第五章 不定积分
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
三 、 基本积分表
求原函数或不定积分与求导函数互为逆运算，它们 之间的关系是：
1、先积分后求导（或微分），还原
ddx[f(x)dx]f(x) 或 d[f(x)d]xf(x)dx
2、先求导（或微分）后积分，差一常数
F'(x)d xF(x)C或 dF (x)F(x)C
都有
F'(x)f(x)
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
定义2 在区间 I上，函数 f (x) 的全体原函数，称 为函数 f (x) 在区间 I 上的不定积分，记作
f (x)dx 其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被
积表达式， x称为积分变量。 若 F (x) 是 f (x) 在区间 I上的任意一个原函数，则
大家好
章不定积分
§1不定积分的概念、性质 §2换元积分法 §3分部积分法
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
第一节 不定积分的概念、性质
一 原函数与不定积分的概念 二 不定积分的几何意义 三 基本积分表 四 不定积分的性质
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
一 、 原函数与不定积分的概念
定义1 若定义在区间 I 上的函数 f (x) 及可导函数 F ( x) 满足关系：对任一 xI ，都有
F'(x)f(x) 或 dF (x)f(x)dx 则称 F (x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。
原函数存在定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续，
则在区间 I 上存在可导函数 F ( x) ，使得对任 xI ，
8、c1 o 2xs d xse 2xcd txaxn C 9、s1 i2x nd xcs 2xcd xco xtC
10、sextcaxnd sxex cC
11、cs xcco xd t x cs x c C
12、 exdxexC 13、 axd x1axC,a0,a1
ln a
第五章 不定积分
6、tan2 xdx
8、
dx sin 2 x cos 2 x
22
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例3
已知
f (x)
的一个原函数为
sin x 1 x sin x
，求
f(x)f'(x)dx
例4 设 f (x) 的原函数 F(x)0，且F(0) 1 ，当 x0 时有 f(x)F(x)si2n2x，求 f (x)
§2 换元积分法
定理2 设 x(t) 是单调可导函数，并且 '(t)0 又设 f[(t)]'(t) 具有原函数，则有换元公式
f( x ) d x f[( t)'] ( t) d t t 1 ( x )
第五章 不定积分
§2 换元积分法
一、三角函数代换法
例 求下列不定积分
1、 a2x2d(xa0)
3、
dx (a0) x2 a2
2、 4、
dx (a0) x2 a2 a2 x2 dx
x4
第五章 不定积分
二、倒代换
§2 换元积分法
例 求下列不定积分
1、
dx x( x n 1)
dx
2、 x x2n 1
第五章 不定积分
§2 换元积分法
三、简单无理函数代换法
例 求下列不定积分
1、
x 1 dx x
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
1、kdxkxC（ k是常数）
2、 xdx 1 1x1C(1)
3、 1xdxlnx C 4、 1dxx2 arctxanC
5、
dx arcsxinC
1x2
6、 coxsdxsixnC
7、 sixndx cox sC
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
第五章 不定积分
§2 换元分法
定理1 设 f (u) 具有原函数，函数 u(x) 可导，
则有换元公式
f[( x )'( ] x ) d x f( u ) d u u ( x )
第五章 不定积分
例1 求下列不定积分
§2 换元积分法
dx
1、
f (x) 的不定积分可表为
f(x)dx F(x)C
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
例1 求 3x2dx
例2 求
1 x
dx
例3 某商品的边际成本为 1002x ，求总成本函数
C(x)
二 、 不定积分的几何意义
不定积分的几何意义是对应于积分曲线族。
例4 求经过点 (1,2) ，且切线的斜率为 2x 的曲线方 程。
§2 换元积分法
例2 求下列不定积分
1、
1sinx xcosx
dx
3、 (1 x)ex dx
1 xex
5、 sin2xco5sxdx
2、
cos2x (sinxcosx)3
dx
4、 sin3 xdx
6、 cos2 xdx
7、 sin4 xdx
8、 co3sxco2sxdx
第五章 不定积分
二 、 第二类换元积分法
§1 不定积分的概念、性质
例4 求下列不定积分
1、
dx x3
3、
dx x3 x
2、 x2 xdx
第五章 不定积分
§1 不定积分的概念、性质
四 、 不定积分的性质
性质1 函数代数和的不定积分对于各个函数不定积 分的代数和，即
[f(x ) g (x )d ] x f(x )d x g (x )dx