用摩擦角巧解静力学问题

用全反力及摩擦角巧解力学问题力学问题中常涉及的平面与斜面上运动的模型，是高考经常考查的内容。

在求解力的过程中常涉及力的极值计算，常规的方法为将力正交分解，列方程组计算或讨论。

计算过程中有关三角函数的计算较为繁琐，若用全反力解题会是问题简洁明了。

我们知道，物体之间的滑动摩擦力与弹力总是垂直且成正比，如图1所示。

将支持力F N 与滑动摩擦力f 的合力叫做全反力，则全反力F 全与支持力F N 之间的夹角α=arctan NF f=arctan μ可知，夹角α是一个定值，这个角叫摩擦角。

摩擦角只决定于动摩擦因数，即全反力的大小可变，但方向不变。

一、用全反力巧解匀速直线运动状态的问题（1）平面类例：如图2所示，一物块置于水平地面上。

当用于水平方向成60°角的力F 1拉物块时，物块做匀变速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F 2推物块时，物块仍做匀速直线运动。

若F 1和F 2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（ ）A. 1-3B.32-C.2123-D.231-解析：两次作用力下物体都向右做匀速直线运动，两次全反力大小不同但方向相同，受力情况如图3所示，现将两次全反力F 全，重力mg 及拉力F 矢量平移可得到如图4所示的矢量图。

因∠2+∠3=60°，有∠1=30°，又因∠4=30°，则∠4+∠2+∠3=90°由题意知F 1，F 2相等，则F 1，F 2关于垂线段对称。

则∠2=45°；所以全反角α=15°。

既有αμtan =又tan15°=︒+︒30cos 130sin 可解得3-2=μ（2）斜面类例：如图5所示，将质量为m 的滑块放在倾角为θ的固体斜面上。

滑块与斜面之间的动摩擦因数为μ。

若滑块与斜面之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ，则A. 将滑块由静止释放，如果θμtan ＞，滑块将下滑B. 给滑块沿斜面向下的初速度，如果θμtan ＜，滑块将减速下滑C. 用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果θμtan =，拉力大小应是2mgsin θD. 用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果θμtan =，拉力大小应为mgsin θ解析：若拉力沿斜面向上，对物体受力分析如图6（a ）所示，滑块沿斜面向上匀速滑动，且θμtan =，则有摩擦角θα=，平移全反力F 全，重力mg 及拉力F 可构成首尾相接的闭合矢量三角形，如图6（b ）所示，显然F=2mgsin θ，选项C 正确。

来源于网络图4物体的平衡之巧妙方法——摩擦角的应用一、 摩擦角的定义摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力）f N F F μ=，支持面的支持力N F 的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力F （以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力F 与支持力N F 的方向成1tan μ-角（如图1所示），而这个角就称之为摩擦角。

解析：由摩擦公式: f N F F μ= 得tan fF μϕ==，解析：由μ=得，摩擦角110tan tan303ϕμ--===，作出力的三角形，如图5所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则00sin(45)sin15F mg mgϕ=-=方向与水平成15o斜向右。

即A正确。

例3，（2009.辽宁、宁夏理综）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。

现对木箱施加一拉力F，使木箱做从0逐渐sinFθ，F=F先减小P=F，蓝90°的过F先减小后增大。

对于F1F F G+=-，重力的功率显然为90o），功率11cosP F vψ=∙,显然F1不结论：对比两种方法，方法二显然要简单容易的多。

因此高中有必要掌握摩擦角的应用，而不一定非得参加竞赛的学生才掌握。

例4，（竞赛训练题）如图8所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素3μ=，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？答案：0160sin2mgFθ-≤-图9来源于网络 解析：摩擦角10tan 30ψμ-==，考虑临界情况，重力mg 、地面对物体的作用力以及推力F 构成闭合三角形时，则有00sin(60)sin mg F θϕ=-，临界角01060sin 2mg F θ-=-，由图9可知0θθ≤时物体可在地面上滑动。

自主招生物理静力学拓展知识定位静力学作为高中物理的重要基础，在自主招生的考试中也是常客，除了基础的物体的平衡以及受力分析技巧的考察外，摩擦角等技巧也是经常出现在自主招生考试中。

总体而言，静力学考点在自主招生考试中的难度（除了华约的计算题，以及早年清华大学外）相对比较容易。

知识梳理➢知识点一：摩擦角➢ 知识点二：一般物体的平衡条件例题精讲【试题来源】2011年卓越自主招生【题目】1、明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50kg 的物体。

一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=33≈0.58。

试求该同学向上拉动的重物质量M 的最大值? 【答案】70.7kg 【解析】设该同学拉动重物的力F 的方向与斜面成角度φ，根据力的平衡，在垂直于斜面的方向上有F N +F sin φ-Mg cos θ=0 ①式中F N 是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力。

沿斜面的方向上有F cos φ-μF N - Mg sin θ=Ma ②根据题意，重物刚能被拉动，加速度a 近似为零，由牛顿运动定律F cos φ-μF N - Mg sin θ=0 ③联立①③式得 θθμϕμϕsin cos sin cos ++⋅=g F M ④ 令Ω=tan μ⑤ 联立④⑤式得)sin()cos(Ω+-Ω⋅=θϕg F M ⑥ 要使质量最大，分子须取最大值，即1)cos(=-Ωϕ，ϕ=Ω⑦ 此时能拉动的重物的质量的最大值为 )sin(1Ω+⋅=θg F M max ⑧ 由题给数据，知33tan =Ω，︒=Ω30⑨ 于是该同学能拉动的重物质量不超过M max ，有 kg 7.702)1530sin(1≈=︒+︒⋅=<m g mg M M max ⑩ 评分参考：①②式各3分，得到⑦式5分，得到⑩式4分。

【知识点】静力学拓展 【难度系数】4【试题来源】2011复旦大学自主招生【题目】2、如图所示，竖直杆AB 在细绳AC 的拉力作用下处于平衡。

巧用摩擦角解决高考力学中的极值与临界问题作者：陈远奎来源：《读天下》2017年第21期摘要：巧妙利用摩擦角解决高考力学中的有关摩擦力的极值和临界问题。

关键词：摩擦角；高考试题；极值与临界问题摩擦角是力学中的一个基本概念，它是研究摩擦问题的另一个重要物理量。

灵活运用摩擦角及其相关知识，可以巧妙解决有关摩擦的力学问题。

下面结合几道高考物理力学中的极值与临界问题，就摩擦角的相关概念及其应用做一介绍。

一、摩擦角简介1. 全反力是物体所受的支持力N与摩擦力fk的合力。

2. 滑动摩擦角用φk表示（如图1所示），其大小由动摩擦因素来决定，tanφk=fkN=μ，在实际问题中，虽然全反力随外力大小发生变化，但方向不变。

3. 静摩擦角用φs表示（如图2所示），其大小满足tanφs=fsN，当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力fs达到最大值fsm，对应的夹角也达到最大值φsm，其值由静摩擦因数决定，tanφsm=fsmN=μs。

高中阶段认为φsm=φk。

二、拉力的极小值【例1】（2013山东卷22）如图3所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10m。

已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=33。

重力加速度g取10m/s2。

（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？解析：（1）略（2）对物体受力分析，如图4所示，先研究支持力FN与摩擦力f的合力，即为全反力F 全。

则有∠1=arctanfFN=arctanμ=30°。

现将其中支持力FN与摩擦力f用全反力F全来等效替代。

根据矢量运算法则，平移全反力F全至与重力mg首尾相接，如图5所示。

又依题意知，所受外力的合力F合为一定值，所以由图5可知，只有当拉力F垂直全反力F全时取得最小。

巧用摩擦角求解极值问题
发表时间：2012-03-06T09:39:57.133Z 来源：《学习方法报·理化教研周刊》2012年第34期供稿作者：陈永宁[导读] 动摩擦力与支持力的合力与水平方向的夹角为定值，这个角就称为摩擦角陕西省宝鸡市扶风县扶风高中陈永宁
什么是摩擦角？当一个质量为m的物体在动摩擦因数为的水平面上运动时，这个物体受到的支持力总是和动摩擦力垂直。

如图1所示：
，可见当一定时，动摩擦力与支持力的合力与水平方向的夹角为定值，这个角就称为摩擦角。

有这样一道题：一个重10 N的物体沿动摩擦因数的水平面上匀速运动，求所加拉力的最小值。

（）解法一物体受力如图2所示：
匀速运动时，则拉力等于摩擦力：
解法二我们知道了摩擦角就可以运用图解法求解。

我们先做出受力分析：
在受力图3上将动摩擦力和支持力合称为一个方向确定的力，此四力问题就可转化为三力平衡问题：一个重力，其大小和方向确定；一个方向确定的力——动摩擦力和支持力的合力；第三个力未知。

符合图解法求解条件，为此我们用图解法求解，由几何作图4就可知：当拉力与支持力和动摩擦力的合力垂直时拉力最小。

也就是说当拉力与水平方向的夹角等于摩擦角时拉力最小。

即
细心的读者，你说哪种方法正确呢？（方法二正确）。

摩擦力与静力学力的平衡与运动状态的探索摩擦力与静力学力是物体在运动中产生的两种相互作用力。

在许多日常生活和工业应用中，我们常常会遇到需要平衡这两种力以保持物体的稳定性或实现预期动作的情况。

本文将探讨摩擦力与静力学力之间的关系以及它们对物体的运动状态产生的影响和调节。

摩擦力是两个物体之间接触表面上产生的力，它的存在常常导致物体在运动过程中减速或停止。

摩擦力的大小与物体之间的接触面积、摩擦系数及施加在物体上的力的大小相关。

静力学力是物体受力平衡时的力，它包括对物体施加的垂直向下的重力以及垂直向上的支持力或正压力。

在静止状态下，当物体受到外力施加时，通过调节施加力的大小，我们可以平衡静力学力和摩擦力，使物体保持静止。

这种平衡的状态被称为静态平衡。

例如，当我们将书放在桌子上时，重力向下作用于书籍，而桌子提供的支持力向上抵消了重力。

此时，摩擦力阻碍了书籍下滑的运动，因此我们感觉到书籍是静止的。

然而，在某些情况下，当外力超过摩擦力和静力学力之和时，物体将开始运动。

这种平衡的状态被称为动态平衡。

例如，当我们推动一辆停放的自行车，刚开始由于摩擦力的作用，我们需要施加更大的外力才能克服静力学力和摩擦力。

一旦自行车开始运动，摩擦力的大小将减小，并且我们只需要施加相对较小的力来保持运动状态。

此外，摩擦力和静力学力也会对物体的运动状态产生影响。

在某些情况下，摩擦力可以使物体保持在平衡位置上，阻止其滑动或滚动。

例如，当我们将一个能滑动的方块放在斜坡上时，由于摩擦力的存在，方块将保持在原地不滑下斜坡。

这种摩擦力称为静摩擦力。

只有当我们施加足够大的外力超过静摩擦力时，这个方块才会开始滑动。

然而，在某些其他情况下，摩擦力会使物体产生运动，例如当我们将一个已经运动的方块推动到斜坡上时，摩擦力将加速方块下滑的速度。

这种摩擦力被称为动摩擦力。

在这种情况下，摩擦力不再是平衡物体的力，而是加速或减缓物体运动的力。

总的来说，摩擦力和静力学力之间的平衡与物体的运动状态密切相关。