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第四讲效用函数与风险升水第一节不确定状态的描述一、两个变量1、结果：（兀］,兀2,…兀”）（非现金变量）（必』2…，儿）（钱数）2、概率分布（卩，02,…几）工门=1 Pi、0（i = \2・・・n）i=l二、彩票（Lottery）/赌局（gamble）:单赌与复赌n单赌：Lt =（P］%、卩2。
2「*、卩評斤）| 工i=l单赌：结果与出发点只有一个环节复赌：单赌当中的结果又是一张彩票（compound Lottery）复赌公理：如果卩=+（1 一。
2）* 04，则厶=厶2二、不确泄条件下选择公理公理1：［连续性公理］如A>B>C,则ape （0,1）使得"4 + （l_"）・C〜B注意：A与B相差很大（1000$—10$）如A=2$, B=l$,理性条件下则公理一般不成立公理2：［独立性公理］如A>B,考虑“C”则对Vpw(O,l) pA + (\-p)C> pE + Q_p)C对A,B之间偏好关系不受独立于(A,B)外的事件C的影响。
意味着，偏好关系不随时间，地点等而改变。
可以推广到『=("(,•••,”：), :b =(pf, C=(-X…x2,.--xJ在『与/间是相同的，『 >『〉r连续性：3CTG(0,1),使仅『+(1 —G)r〜/独立性：如『詔,则a^a + (1 -a)C >+ (1 -公理3：［次序完全公理］如存在4与B,偏好A>B,或者B>A,或者A〜B同时，如A>B,并且B>C,则A>C第二节期望效用理论一、期望Eg = p}x} + p2x2+ …+ p n x n问题：有些事件E(x)=8,但V(X)< OO二、圣彼得堡悖论(1738)Daniel BernoulliNicolas Bernoulli(1717)一枚均质硬币(丄)2如掷一次，第一次就背面朝上，获1兀1 1= 1 • • =002 2 实际发现v(x) < 20D. Bernoulli E(x)：客观的，评价可以一致;V(x)：主观的，人与人不同。
平新乔《微观经济学十八讲》第4讲 VNM 效用函数与风险升水1．（单项选择）一个消费者的效用函数为()bw u w ae c -=-+，则他的绝对风险规避系数为：（A ）a （B ）a b + （C ）b （D ）c 【答案】C【解析】由消费者的效用函数()bw u w ae c -=-+，可得()bw u'w abe -=，()2bw u w ab e -''=-，则可得该消费者的风险规避系数为：()()()2bwa bwab e R w u w w b abe ---=-"'=-=。
2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数c ，则其效用函数形式必为()cw u w e -=-，这里w 代表财产水平。
证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。
根据绝对风险规避系数的定义，就有：()()()a u w R w c u w "=-='对等式（1）最后一个等号两边积分得：()()d d u w w c w u w "=-⎰⎰' 即：()ln u w cw C '=-+。
进一步整理得：()cw C cw u w e Ce -+-'== ①其中0C C e =>，对①式两边积分得：()1cwC u w e C c-=-+ 其中1C 为任意实数。
根据效用函数的单调递增特性可知0c >（因为如果0c <，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。
又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以()1cwC u w e C c-=-+表示的偏好也可以用()cw u w e -=-表示。
3．若一个人的效用函数为2u w aw =-，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数。
证明：由效用函数()2u w w aw =-，可得()12u'w w α=-，()2u w α''=-，则该消费者的绝对风险规避系数为：()()()212a u w R w u w wαα"=-='-其中12w α≠。
第四讲 效用函数与风险升水第一节 不确定状态的描述一、两个变量1、结果：12(,,)n x x x （非现金变量）12(,,)n y y y （钱数）2、概率分布121(,,) 1 0(1,2,)nn i i i p p p p p i n ==≥=∑二、彩票（Lottery ）/赌局（gamble ）:单赌与复赌 单赌：11221(,,,)1,0ns n n i i i L p a p a p a p p ===≥∑单赌：结果与出发点只有一个环节复赌：单赌当中的结果又是一张彩票（compound Lottery ） 复赌公理：如果12324(1)p p p p p =⋅+-⋅，则12L L =三、不确定条件下选择公理公理1：[连续性公理]如A B C ≥≥，则(0,1)p ∍∈使得(1)~p A p C B ⋅+-⋅注意：A 与B 相差很大（1000$—10$）如A=2$，B=1$，理性条件下则公理一般不成立 公理2：[独立性公理]如A B ≥，考虑“C ”则对(0,1) (1)(1)p pA p C pB p C ∀∈+-≥+-对,A B 之间偏好关系不受独立于（,A B ）外的事件C 的影响。
意味着，偏好关系不随时间，地点等而改变。
可以推广到b 11(,,), (,,) a a a b bn n p p p p ζζ== c 12(,,)n x x x ζ= 在a ζ与b ζ间是相同的，a b c ζζζ>>连续性：(0,1)α∃∈，使(1)~a c b αζαζζ+-独立性：如a b ζζ≥，则(1)(1)a c b c αζαζαζαζ+-≥+-公理3：［次序完全公理］如存在A 与B ，偏好A B ≥，或者B A ≥，或者~A B 同时，如A B ≥，并且B C ≥，则A C ≥第二节 期望效用理论一、期望 1122()n n E x p x p x p x =+++问题：有些事件()E x =∞，但()V x <∞二、圣彼得堡悖论（1738）Daniel BernoulliNicolas Bernoulli(1717) 一枚均质硬币（12）获利赌局-1 2n n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩如掷一次,第一次就背面朝上,获1元 如 二 2 如 三 4 如11111()2()222n n n E x ∞-===++=∞∑ 实际发现()20v x <D ．Bernoulli ():E x 客观的，评价可以一致； ()V x ：主观的，人与人不同。
平新乔《微观经济学十八讲》第4讲 VNM 效用函数与风险升水1．（单项选择）一个消费者的效用函数为()bw u w ae c -=-+，则他的绝对风险规避系数为：（A ）a （B ）a b + （C ）b （D ）c 【答案】C【解析】由消费者的效用函数()bw u w ae c -=-+，可得()bw u'w abe -=，()2bw u w ab e -''=-，则可得该消费者的风险规避系数为：()()()2bwa bwab e R w u w w b abe ---=-"'=-=。
2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数c ，则其效用函数形式必为()cw u w e -=-，这里w 代表财产水平。
证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。
根据绝对风险规避系数的定义，就有：()()()a u w R w c u w "=-='对等式（1）最后一个等号两边积分得：()()d d u w w c w u w "=-⎰⎰' 即：()ln u w cw C '=-+。
进一步整理得：()cw C cw u w e Ce -+-'== ①其中0C C e =>，对①式两边积分得：()1cwC u w e C c-=-+ 其中1C 为任意实数。
根据效用函数的单调递增特性可知0c >（因为如果0c <，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。
又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以()1cwC u w e C c-=-+表示的偏好也可以用()cw u w e -=-表示。
3．若一个人的效用函数为2u w aw =-，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数。
证明：由效用函数()2u w w aw =-，可得()12u'w w α=-，()2u w α''=-，则该消费者的绝对风险规避系数为：()()()212a u w R w u w wαα"=-='-其中12w α≠。
