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FRM知识点：两基金分离定理1前言美国经济学家马科维茨1952年发表论文《资产组合的选择》，标志着现代投资组合理论的开端。
他利用均值--方差模型对投资组合进行分析，提出投资组合理论，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，后得出这样的一条曲线（上双曲线）——有效前沿，在该前沿上的投资组，均满足一定风险下的高收益，一定收益下的低风险，给投资者资产组合的选择提供了理论基础。
然而，马科维茨组合理论虽然给出了组合选择的方法，在实务操作中却较难实施，因为要获得优组合的各个投资标的的权重，需要每个投资标的的收益、方差（或标准差），以及各个标的间的相关系数，计算要求极高，当时计算机硬件发展不匹配。
因此，资产组合理论后续发展的“两基金分离定理”、“单一因素模型”等，都极大的推动了投资组合理论的实际应用。
2文章思路两基金分离定理包括两层涵义，因此本文从以下两方面展开：其一，投资组合仅有风险资产，不包括无风险资产，因其引申自马科维茨组合管理理论（本文不再赘述），所以主要从定理、定理证明和现实意义进行阐述；其二，引入无风险资产的两基金分离定理，也主要从以上三方面展开，然而会引出资本市场线、市场组合等重要概念。
3仅有风险资产3.1定理在只有风险资产的情况下，有效前沿是一条上双曲线，在这条线上，任意两个分离的点都代表两个分离的有效投资组合，而有效组合边界上任意其他的点所代表的有效投资组合，都可以由这两个分离的点所代表的有效投资组合的线性组合生成。
3.2证明由马科维茨的投资组合理论可知，过任意两个分离的各自代表有风险资产的点可以生成一条双曲线。
所以，有效组合边界上的两个分离的点可以看作两项有风险资产，它们也就可以生成一条双曲线。
然而，有效组合边界本身是一条双曲线。
首先，任意两条不同的双曲线不可能在同一侧有两个分离的切点。
其次，如果这两条双曲线在这两个点是相交的话，则由两个点生成的双曲线一定会有一部分落在有效组合边界所围区域的外面。
浅谈效用函数模型在风险态度分析中的应用作者：张博王玉玮来源：《商情》2010年第25期[摘要]在现代经济激烈的市场竞争条件下,研究竞争对手和客户的心理动向变得尤为重要。
它是寡头们之间进行博弈的基础,是充分占领市场高地的必备条件。
本文试图寻求一种有效的方法,来研究不同心理承受能力及风险态度的决策者在面临风险的时候所采取的策略,从而揭示出决策者的风险态度与他们之后所采取的实际行动之间联系的一般规律。
[关键词]效用函数风险态度博弈一、效用论简介效用这个概念,是由西方经济学家给出来的。
它的具体定义可以写成:商品满足人们欲望的能力评价。
为了把效用这个概念数量化,以便能够在具体问题上建立合理的数学模型,人们经过长期的研究,得出了两大常用的量化效用的理论——基数效用理论,序数效用理论。
基数理论:基数是指1,2,3等这些数字。
基数是可以加总求和的,如3+8=11等。
将基数赋予效用概念之后,我们就可以直观的看出效用的大小了。
比如,商品A的效用是5,商品B的效用是10。
那么,显然能够直观的比较出这两种商品的大小关系,并且也可以直观的得到同时获得这两种商品时,所得到的效用为15。
运用建立在基数理论上的边际效用递减法则,就能够解决一些常见的关于效用的问题了。
序数理论:序数是指第一,第二,第三等,序数表示顺序或等级,它是不能够加总求和的,而是只能比较两者之间的大小,先后等等。
序数效用论者认为:效用是一种类似于香,臭,美,丑的东西,其大小无法具体的衡量,但是却可以相互比较。
因此,运用序数理论来描述效用这一概念更加合理,序数论者运用无差异曲线方法,在实践领域中也解决了相当多的问题,在理论研究上相对于基数理论来言,取得了更加丰厚的成果。
本文所讨论的效用函数问题,由于不影响讨论结果的正确性,且为了简便易懂,是采用了建立在基数理论上的效用模型来进行分析的。
二、模型建立设引起效用的满足物a的数量为x,则其所引起的效用大小可以即为U(x)。
效用、风险与风险态度简介效用是指个体对各种选择或决策结果的主观评价，也可以理解为满足程度或心理感受。
效用理论是经济学中一个重要的概念，用来描述个体在面临选择时如何进行决策。
根据效用理论，人们在做决策时会选择能够带来最大效用的选项。
风险是指在不确定性条件下，预期可能发生的不确定结果。
在风险决策中，个体往往需要在多个可能的结果之间做出选择，每个结果都有相应的概率。
风险与效用理论密切相关，因为个体会考虑不同结果的效用大小来决定选择哪个风险。
风险态度是指个体对风险的态度和偏好。
不同的人对风险会有不同的态度。
有些人可能更喜欢谨慎的决策，更倾向于避免风险，他们会选择较为确定的选项。
而有些人可能更愿意冒险，更容忍风险，他们愿意冒更高的风险来追求更高的收益。
风险态度可以分为三类：风险厌恶、风险中性和风险偏好。
风险厌恶者倾向于选择较为保守的选项，他们对于风险敏感，更倾向于避免风险。
风险中性者对风险持中立态度，他们会权衡风险与回报，选择平衡的选项。
而风险偏好者则更愿意承担风险，他们会选择更高的概率获得更高回报的选项。
风险态度会对决策产生影响。
不同的风险态度会导致不同的选择。
对于企业来说，了解员工的风险态度可以帮助管理者更好地分配任务和确定激励措施。
对于投资者来说，了解自己的风险态度可以帮助他们选择适合自己的投资组合。
然而，风险在决策中也存在一定的风险。
一些决策者可能会过于乐观或过于悲观地估计风险。
过于乐观的估计可能会导致对风险的低估，而过于悲观的估计则可能会导致对风险的高估。
这种偏差估计可能导致做出错误的决策或选择。
综上所述，效用、风险和风险态度是决策中非常重要的概念。
了解效用理论、风险和自身的风险态度可以帮助个体更好地进行决策，并在不确定条件下做出最优的选择。
然而，在决策中也需要注意风险的偏差和错误估计的可能性。
效用、风险和风险态度是现代经济学和决策理论中的重要概念，对于个体和组织的决策过程具有重要的影响。
在经济学和金融学中，效用函数常常用来衡量个体对不同选择或决策结果的主观评价。
投资者风险偏好效用一、风险与效用理论(一)风险理论风险是事件的不确定性所引起的,由于对未来结果予以期望所带来的无法符合期望结果的可能性。
简言之,风险就是结果差异引起的结果偏离,即期望结果的可能偏离。
把风险的概念影射到现实资本市场中,由于信息不对称和资本市场的不完善,投资者在追求超额报酬的同时,必然要承担类似于支付对价的投资风险,这是风险与报酬必然存在的矛盾。
从财务风险产生的机理分析:首先,财务风险是实现资本增值的内在障碍,由于财务风险的存在,资本增值难以实现;其次,财务风险失去的是超额增值的外部条件,没有财务风险的存在,资本的增值性又难以充分实现。
因此,投资者需要权衡二者的关系,进行风险管理,同时也就产生了投资者的风险偏好。
在财务理论中,常用马克维茨的方差模型来衡量风险程度;在微观经济学中则采用预期效用理论来分析人们的偏好及其投资风险。
(二)效用理论资本的效用表现为资本的有用性即资本报酬,资本报酬的效用表现为对资本使用的心理满意度。
若令u(C1)、u(C2)表示资本在状态1和状态2的效用值,令P1、P2表示二者实际发生的概率,则用预期效用函数表达的投资者在不确定条件下的合理偏好为u(C1、C2、P1、P2)=P1u(C1)+P2u(C2)。
预期效用函数用概率的形式良好地说明了:不确定条件下风险投资所发生的随机选择结果代表投资者对每种风险选择的偏好。
根据预期效用理论分析投资者的满足要求,在期望报酬相等时,风险越大,报酬的效用越低。
那么,根据人们对待风险的三种态度:追逐风险,厌恶风险、不关心风险,可以把风险投资者分为:风险偏好型、风险厌恶性、风险中立性。
它们的效用图示分别如下。
(注:本文仅对风险厌恶型与风险偏好型投资者的预期效用进行分析,因此仅给出这两种偏好的效用图示。
)如图一:如果投资者目前持有财富X*,预期值效用为Ux*,发生U1的概率为P1,发生U2的概率为P2,那么这项投资的预期效用为U1P1+U2P2,从图中显然可以看出预期值效用>预期效用,说明在期望报酬相等时,该投资者会偏好无风险投资项目以降低或避免风险,是风险厌恶者。
风险偏好类型与风险判断模式的实验分析李劲松 王重鸣(杭州大学心理系 310028)摘 要 测量了被试的风险偏好类型及其对一系列风险投资项目的风险判断值,从而分析风险偏好类型、任务结构与风险判断模式的特征之间的关系。
研究发现有4种风险偏好。
不同风险偏好类型、不同的风险判断任务结构会对风险判断模式产生不同的影响。
双极值的任务结构与风险偏好的交互作用显著,而单极值的任务结构与风险偏好类型的交互作用不显著。
被试的风险偏好类型在很大程度上影响了被试的风险判断模式。
另外还讨论了影响风险判断偏差的一些因素以及任务结构对风险敏感度的影响等。
关键词 风险 风险判断 风险偏好类型 任务结构1 引言现实生活中,决策者面对的往往是不确定的环境。
Knight(1922)提出把不确定分为可测的与不可测的两大类。
其中可测的不确定指人们不仅知道可能会出现的各种状态,而且知道各种状态(结果)出现的可能性(概率),人们通常把这种情况下的决策称之为风险决策。
对风险判断的模式特征,许多人做了大量的研究。
从最优化的角度,一般是采用期望值作为依据,常用的有最大期望效益决策准则和最小机会损失准则等。
考虑到决策者的主观因素,50年代Savage与Edwards通过主观概率来计算效用期望值,提出了主观效用期望模式(SEU模式),又普遍地以此模式作为风险决策分析的策略 1、2 。
后来,Kahneman和Tversky还提出了展望理论(1979) 3 ,这是关于决策者以可预计的决策后果为参照点选择决策行为的一种参照策略。
T ishburn(1982)提出了一种斜对称线形模式。
Payne的权变处理理论认为风险决策判断是一个高度权变性的信息处理方式,风险决策的策略与方法随任务变量与条件变量的不同而有所变化 4 。
本研究认为,风险判断还受到决策者本身的因素,如决策者的风险偏好类型等的影响。
M ellers等 5 曾用实验方法对风险判断的两种模式 加和模式(additive model)和复线形模式(bilinear model)进行检验分析,认为没有一种简单的判断模式可以描述全部的风险判断行为。
FRM模型丨效用函数和风险偏好的辨析
1.效用历史沿革
效用的概念是丹尼尔·伯努利（不是数学家伯努利，但是他们都是伯努利家族的。
）在解释圣彼得堡悖论时提出的，目的是挑战以金额期望值作为决策的标准，证明期望收益并不是人们在做决策时的唯一衡量标准。
经济学家对于效用的理解是有一个过程的。
●19世纪的威廉姆·斯坦利·杰文斯、里昂·瓦尔拉斯和阿尔弗雷德·马歇尔等早期经济
学家认为效用如同人们的身高和体重一样是可以测量的。
●而约翰·希克斯则尝试了只在序数性效用的假定下，也取得了很多的研究成果。
希
克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的数值。
因此，从分析消费者行为的方法来看，基数效用论者采用边际效用分析方法，序数效用论者采用无差异曲线分析方法。
从教科书等内容判断，现在比较通用的应该是后者的序数性效用。
1.1.效用概念的提出——圣彼得堡悖论
圣彼得堡悖论是尼古拉·伯努利在1738年提出的一个概率期望值悖论。
它来自于一种掷币游戏，圣彼得堡游戏。
游戏规则为：掷出正面或者反面为成功，游戏者如果投掷成功，
得奖金2元，游戏结束；若不成功，继续投掷，二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果n 次投掷成功，得奖金2n 元，游戏结束。
首先，我们用公式1()k k
k E X x p ∞==∑来计算这个游戏收益的数学期望值：
23423411111()2222222222
n n E X n n ==⨯+⨯+⨯+⨯++⨯= 从理论上来说，该游戏的期望值是无穷大的。
按照概率的理论，多次试验的结果将会
接近于其数学期望。
这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”。
如果仅仅以期望值标准，我们将无法给这个游戏进行定价。
圣彼得堡悖论反映了决策理论和实际之间的差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问
题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的 “近似的”模型。
在实际问题涉及到无穷大的时候，这种近似可能会带来极大的误差。
效用的概念首次由丹尼尔·伯努利在其对于对这个悖论的解答中提出。
在丹尼尔•伯努
利1738年的论文里，提出了效用的概念来说明以金额期望值作为决策标准的片面性。
论文提出了大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得大期望效用值而非大期望金额值。
2. 基数效用论
基数效用论基本观点是：效用是可以计量并可以加总求和的。
基数效用论采用边际效用的分析法。
这个理论有两个主要假设：1. 效用量可以具体衡量；2. 边际效用（MU ）递减规律。
2.1.效用曲线
效用曲线是用于反映决策者对风险态度的一种曲线，又可以被称作"偏好曲线"。
通常以益损值为横坐标，以效用值为纵坐标，把决策者对风险态度的变化在此坐标系中描点而拟合成一条曲线。
常见的效用曲线分为保守型、激进型、中间型和混合型四种，如图：
II为保守型：表示效用随着损益值的增多而递增，递增速度越来越慢，边际效用递减，这种类型厌恶风险。
III为激进型：表示效用随着损益值的增多而递增，而递增速度越来越快，即边际效用递增，这种类型风险偏好。
I为中间型：表示决策的效用与决策损益的货币效果成线性关系，这种效用函数的决策者对决策风险抱中立态度。
IV为混合型：表示损益额不太大时，决策者追求风险属于激进型，但当损益额增大到一定数量时，就转化为保守型，厌恶风险，其实这种类型更符合实际。
3.序数效用论
序数效用论基本观点是：效用作为一种心理现象无法计量，也不能加总求和，只能表示出满足程度的高低与顺序，因此，效用只能用序数来表示。
序数效用论主要采用无差异曲线的分析法。
无差异曲线早是从效用曲线得来的，而效用曲线本来是基数效用论中的概念。
这个理论有两个主要假设：1. 完备性，即指每个人对每一种商品都能说出偏好顺序。
2. 可传递性，即消费者对不同商品的偏好是有序的，连贯一致的。
3. 不充分满足性，即
消费者认为商品数量总是多一些好。
3.1.无差异曲线
无差异曲线所表示的含义可以用U(X11,X21) =U(X12,X22)来表达。
差异曲线上的任何一点所代表的两种物品的不同组合所提供的总效用或总满足水平都是相等的，因此消费者愿意选择其中任何一种组合。
我们通常所见的无差异曲线如下图：
Good Y
Good X
Indifference curves
这类图像是无差异曲线中的一种，存在假设前提条件：
1.消费者的偏好是无限的，在同一平面上可以有无数条无差异曲线。
2.越多的消费产品总能给消费者带来更大的效用。
4. 效用函数
运用无差异曲线只能分析两种商品的组合,而运用效用函数则能分析更多种商品的组
合。
效用函数(), , , U U x y z =⋯可以衍生出很多种表达式。
通常我们接触到的都是期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM 函数）。
如果某个随机变量X 以概率P i 取值x i ，i=1,2,…,n ，而某人在确定地得到x i 时的效用为u(x i )，那么，该随机变量带
来效用是：()()()()()1122 ? ?
? ?n n U X E u X Pu x P u x P u x ==++⎤⎣+⎡⎦，其中，E[u(X)]
表示关于随机变量X 的期望效用。
首先需要明确的一点是，在这个理论体系下，做决策的依据永远utility 。
能为你带来utility
的方面有很多: 可能是这个东西的实用价值，也可能是强烈的个人喜好（preference ），我们可以将这些因素挨个分开计量，并组合考虑。
我们所说的风险偏好也就是这里所说的
preference ，属于计量效用时，所有考虑因素当中的一个。
我们通常在讲utility 的时候，用的是两个商品来举例，比如说苹果和梨：在苹果和梨的
价格相等的情况下，我比起苹果更喜欢吃梨，我手里如果有两个梨，你要用三个苹果跟我换我才愿意做这笔交易。
这个地方隐藏了一个假设：我手里的东西越多越好，越多我得到的效用越高，而实际情况并不一定是这样的。
只是因为大多数人都是手中拿到的东西越多
5 4 3
2
越好，所以我们在计量一般资产的效用时都以效用系数默认为正为前提条件。
我们在这里选取我们在衡量资产组合效用时常见的一个期望效用函数来进行分析：
()212
p U A E r σ=+。
我们需要明确，这里讲风险和组合收益当做两个单独的商品来衡量它们分别所带来的效用。
4.1. 风险偏好辨析
这种对于效用系数默认为正的情况在我们对资产组合的效用进行效用测量的时候就会出现问题。
在使用()212
p U A E r σ=+进行计量的时候，我们的刻画标准有两个，一个是收益，一个是风险。
这个式子隐含了一个前提假设：人们对于多的收益会有偏好，对于风险人们的偏好方向未定。
由此引申出风险偏好有三种不同的方向：风险追求者，风险中性者，风险厌恶者。
风险效用图如下：
Good X Good Y
所以在式子()212
p U A E r σ=+，风险和收益是互相补偿的关系。
在带来的效用一
A
定的情况下，对于风险厌恶者，我们才会说风险越高，我们所要求的回报越高。
关系如下图：
5. 总结
总的来说，我们可以通过下图来明确风险偏好到底作用在决策论中的哪一点，从而避免我们将风险偏好与收益偏好相混淆。
Indifference curves
slope down ward
D
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