第02讲定义与命题证明一、定义、命题、基本事实与定理1.定义一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.2.命题一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论.要点：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．3.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.要点：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.二、证明1.证明从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.三、三角形外角的性质三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。
例1．下列语句中，不是命题的是()A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同位角相等D．作∠A的平分线【答案】D【解析】判断一件事情的语句叫命题，以此进行判断．A.两点确定一条直线,是一个真命题；B.垂线段最短,是一个真命题；C.同位角相等，是一个假命题；D.作∠A的平分线，没有判断的意义，不是命题.故选D．【点睛】本题考核知识点：命题.解题关键点：理解命题的意义.例2．下列命题是假命题的是（）A．和为180°的两个角互补B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】D【解析】根据互补的定义，平行线的判定与基本事实，进行判断．A、和为180°的两个角互补，是真命题；B、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题．故选D．【点睛】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的判定与基本事实是解题的关键．例3．命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③同位角相等④相等的角是对顶角；其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】利用对顶角的性质、平行线的性质分别进行判断后即可确定正确的选项．①对顶角相等，正确，是真命题；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题；③同位角相等，错误，是假命题；④相等的角是对顶角，错误，是假命题，故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等基础知识，难度较小．例4．把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）A ．如果两个角互余，那么这两个角相等B ．如果两个角相等．那么这两个角互为余角C ．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等D ．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等【答案】C【解析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，从而得出答案．解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等．故选择：C.【点睛】此题考查了命题与定理，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论，此题比较简单．例5．如图，1∠，2∠，3∠中是ABC 外角的是（）A ．1∠，2∠B ．2∠，3∠C ．1∠，3∠D ．1∠，2∠，3∠【答案】C【解析】根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断．属于ABC 外角的有13∠∠、．故选C ．【点睛】本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．例6．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，80A ∠=︒，延长BC 至点D ，则ACD ∠的大小为（）A ．140︒B ．150︒C ．160︒D ．170︒【答案】A【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．由三角形的外角性质可知，∠ACD=∠B+∠A=140°，故选：A ．【点睛】此题考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例7．如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70°，∠C ＝40°，则∠E 等于()A ．30°B ．40°C ．60°D ．70°【答案】A∵AB ∥CD ，∠A=70°，∴∠1=∠A=70°，∵∠1=∠C+∠E ，∠C=40°，∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．故选A ．例8．下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目；④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题的有__________（只填序号）．【答案】③④⑤【解析】直接根据命题的定义进行判断．①是疑问句，没有判断；②没有对事情作出判断；⑥是祈使句，不含判断的意思；只有③④⑤是对某一件事情作出判断的语句．故答案为：③④⑤．【点睛】本题考查命题的判断，熟练掌握命题是对一件事情作出判断的语句是解题的关键．例9．请写出命题“互为相反数的两个数和为零”的逆命题：____________________【答案】和为零的两个数是互为相反数．【解析】两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是:和是0的两个数互为相反数；故答案为和是0的两个数互为相反数．【点睛】本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．例10．把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角真【解析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假．命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角，则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真．【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键．一、单选题4．能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）A ．191,250︒︒∠=∠=B ．189,21︒︒∠=∠=C ．1120,240∠=︒∠=︒D ．1102,22︒︒∠=∠=【答案】D【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．【解析】解：A 、915041-︒︒=︒是锐角，不符合题意；B 、89︒与1︒是两个锐角，不符合题意；C 、1204080-︒︒=︒是锐角，不符合题意；D 、1022100︒︒-=︒是钝角，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．5．如图，BCD ∠为ABC 的外角，64A ∠=︒，142BCD ∠=︒，那么B ∠=（）A ．60°B ．82°C ．78°D ．80°【答案】C 【分析】根据外角的性质进行求解即可．【解析】解：∵64A ∠=︒，142BCD ∠=︒，∴78B BCD A ∠=∠-∠=︒；故选C ．【点睛】本题考查三角形的外角．熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．6．如图，直线m n ∥，A ∠的两边分别与直线m ，n 相交．若60A ∠=︒，1140∠=︒，则2∠的度数是（）A ．140︒B ．120︒C ．100︒D ．80︒【答案】D【分析】利用三角形外角的性质与平行线的性质求解．【解析】解：如图所示．60A ∠=︒，1140∠=︒，∴3180A ∠=∠-∠=︒，又 m n ∥，∴2380∠=∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7．如图，点D 在ABC 的边AB 的延长线上，且DE BC ∥，若32A ∠=︒，58D ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．25︒B ．26︒C ．28︒D ．32︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出DBC ∠，根据三角形外角性质得出即可．【解析】解：∵DE BC ∥，58D ∠=︒，∴58DBC ∠=︒，∵32A ∠=︒，∴583226C ︒︒︒∠=-=，故选：B ．【点睛】此题考查三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．8．如图，123∠∠∠，，的大小关系正确的是（）A ．123∠=∠+∠B ．2213∠=∠+∠C ．321∠>∠>∠D ．123∠>∠>∠【答案】D 【分析】根据三角形的外角的性质进行解题．【解析】由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得123∠∠∠、、的大小关系为：123∠>∠>∠．故选D ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．9．如图，已知AB DE ∥，130B ∠=︒，110D ∠=︒，则C ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B 【分析】利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得出110DFG CDE ∠=∠=︒，再利用三角形外角的性质即可求出答案．【解析】如图所示，延长AB ，CD 交于点F ，∵AB DE ∥，110CDE ∠=︒，∴110DFG CDE ∠=∠=︒，∴18070BFC DFG ∠=︒-∠=︒，∵130ABC ∠=︒，∴60C ABC BFC ∠=∠-∠=︒．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键．二、填空题11．下列语句：①整数一定是有理数；②画直线AB ；③直角都相等；④如果=1x -，那么10x +>；⑤我下次考试能得满分吗？其中是命题的是________．（填序号）【答案】①③④【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可．【解析】解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线AB ，不是命题；③直角都相等，是命题；④如果=1x -，那么10x +>，是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题．综上，是命题的是：①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知识是解题的关键．12．将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式_____．【答案】如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形【分析】判断语句中的条件和结论，将条件放在如果后面，将结论放在那么后面即可．【解析】题中“有一个内角是直角的三角形”是条件，“直角三角形”是结论，所以命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角．故答案为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题主要考查命题的改写，正确找出条件和结论是解决本题的关键．13．判断命题“若24a =，则2a =”是假命题，需要举出的反例是______．【答案】当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可．【解析】解：∵当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠，∴“若24a =，则2a =”是假命题的反例为：当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠，故答案为：当2a =-时，满足24a =，但是2a ≠．【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子是解题的关键．14．指出下列命题的题设和结论：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（2）“两个负数的和是负数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（3）“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．（4）“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论．题设是：_____，结论是：_____．【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线互相平行有两个负数它们的和是负数两条直线相交它们一定不平行有任意两个偶数它们的差是偶数【分析】对每一个命题，根据命题的结构，写出题设、结论即可求解．【解析】解：（1）“平行于同一直线的两条直线互相平行”可以改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”．题设是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线互相平行；（2）“两个负数的和是负数”可以改写成“如果有两个负数，那么它们的和是负数”．题设是：有两个负数，结论是：它们的和是负数；（3）“相交的两条直线一定不平行”可以改写成“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”．题设是：两条直线相交，结论是：它们一定不平行；（4）“任意两个偶数之差是偶数”可以改写成“如果有任意两个偶数，那么它们的差是偶数”．题设是：有任意两个偶数，结论是：它们的差是偶数故答案为两条直线平行于同一条直线，这两条直线互相平行；有两个负数，它们的和是负数；两条直线相交，它们一定不平行；有任意两个偶数，它们的差是偶数．【点睛】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，找题设和结论的关键是会把命题写成“如果…那么…”的形式．15．如图，在ABC 中，D 是延长线上一点，50B ∠=︒，70A ∠=︒，则ACD ∠=______．【答案】120︒/120度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解．【解析】解：∵50B ∠=︒，70A ∠=︒，∴5070120ACD B A ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．如图，已知在ABC 中，CD 是边AB 上的高线，CE 平分ACD ∠，交AB 于点E ，46ACD ∠=︒，则AEC ∠的度数为____________°．【答案】113【分析】由垂直的定义得到90ADC ∠=︒，由角平分线的定义求得23ECD ∠=︒，最后利用三角形的外角性质即可求解．【解析】解：∵CD 是边AB 上的高线，∴90ADC ∠=︒，【答案】40︒/40度【分析】由平行线的性质可得31∠=∠=【解析】解：如图，由题意得：90E ∠=︒，AB CD ∥，∴31130∠=∠=︒，∵3∠是ABE 的外角，∴231309040E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质．解题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．18．已知ABC 中，70A ∠=︒，BD 是∠交点为D ，则D ∠=___________︒．【答案】35三、解答题19．写出下列命题的条件和结论．(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；(2)绝对值等于3的数是3；(3)如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线．【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补(2)条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3(3)条件：∠DOE＝2∠EOF；结论：OF是∠DOE的平分线【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．（1）解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截，结论是同旁内角互补；（2）解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3，结论是这个数是3；（3）解：如果∠DOE＝2∠EOF，那么OF是∠DOE的平分线的题设是∠DOE＝2∠EOF，结论是OF是∠DOE的平分线．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果…那么…”的形式；熟练地掌握命题的组成是解题的关键．20．把下列命题改成“如果…那么…”的形式．(1)不相交的两条直线是平行线(2)相等的两个角是对顶角(3)经过一点有且只有一条垂线(4)直角都相等．【答案】(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角(3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直(4)如果所有的角是直角，那么它们都相等【分析】(1)根据命题及其组成即可写得；(2)根据命题及其组成即可写得；(3)根据命题及其组成即可写得；(4)根据命题及其组成即可写得．（1）解：不相交的两条直线是平行线，∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”，∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”；（2）解：相等的两个角是对顶角，∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”，∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；（3）解：经过一点有且只有一条垂线，∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”，∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”；（4）解：直角都相等．∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”，∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”．【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．21．如图，现有以下三个条件：①//,AB CD ②,B C ∠=∠③E F ∠=∠．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．【答案】（1）可构造如下几个命题：如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠，如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠，如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD ；（2）证明见解析．【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．【解析】解：（1）有：如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠；如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠；如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD ；（2）如图：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠CDF ，∵∠B=∠C ，∴∠C=∠CDF ，∴CE ∥BF ，∴∠E=∠F ，∴如果//,,AB CD B C ∠=∠那么E F ∠=∠为真命题；∵AB ∥CD ，∴∠B=∠CDF ，∵∠E=∠F ，∴CE ∥BF ，∴∠C=∠CDF ，∴∠B=∠C ，∴如果//,,AB CD E F ∠=∠那么B C ∠=∠为真命题；∵∠E=∠F ，∴CE ∥BF ，∴∠C=∠CDF ，∵∠B=∠C ，∴∠B=∠CDF ，∴AB ∥CD ，∴如果B C ∠=∠，,E F ∠=∠那么//AB CD 为真命题．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．22．如图，现有以下3个论断：//BD EC ；D C ∠=∠；A F ∠=∠．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假．【解析】解：（1）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ；故能组成3个命题．（2）由//BD EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠．D C ∠=∠ ，∴ABD D ∠=∠，//AC DF ∴，A F ∴∠=∠．由//BD EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题．理由如下：//BD EC ，ABD C ∴∠=∠．A F ∠=∠ ，//AC DF ∴，,D ABD ∴∠=∠D C ∴∠=∠．由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到//BD EC ，是真命题．理由如下：∵A F ∠=∠，//AC DF ∴，D ABD ∴∠=∠．D C ∠=∠ ，ABD C ∴∠=∠，//BD EC ∴．【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．23．填写推理的理由．已知：如图，CD AB ⊥于点D ，EF AB ⊥于点E ，12∠=∠，DG 交AC 于点G ，EF 交BC 于点F ．求证：ADG B ∠=∠．证明：∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（），∴CD EF （）．∴23∠∠=（）．∵12∠=∠（），∴13∠=∠（）．∴DG BC （）．∴ADG B ∠=∠（）．【答案】（1）已知（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（3）两直线平行，同位角相等（4）已知（5）等量代换（6）内错角相等，两直线平行（6）两直线平行，同位角相等【分析】根据已知条件，先判定CD EF 和DG BC ，然后利用平行线的性质来求证．【解析】∵CD AB ⊥，EF AB ⊥（已知），∴CD EF （如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）．∴23∠∠=（两直线平行，同位角相等）．∵12∠=∠（已知），∴13∠=∠（等量代换）．∴DG BC （内错角相等，两直线平行）．∴ADG B ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.24．点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A=35°，∠D=40°，求∠ACD的度数．【答案】85°【分析】根据三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；及三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180°解答．【解析】解：∵DF⊥AB于点F，∴∠DFB=90°在Rt△DFB中，∠DFB=90°，∴∠B+∠D=90°∵∠D=40°，∴∠B=50°∵∠ACD是△DFB的外角，∠A=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=50°+35°=85°【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系、三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理．25．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD＝30°，CD平分∠ACB．求:(1)∠BDC的度数．(2)∠B的度数．【答案】(1)∠BDC=100°(2)∠B=50°∠=∠+∠【分析】（1）在△ABC中，根据∠A＝70°，∠ACD＝30°，由外角的性质BDC A ACD 代入即可求出．（2）根据角平分线的定义求出∠ACB，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．（1）在△ABC 中，,BDC A ACD ∠=∠+∠ 又∵∠A ＝70°，∠ACD ＝30°，7030100.BDC ∴∠=︒+︒=︒（2）∵∠ACD ＝30°，CD 平分∠ACB ∴∠BCD =30°，∴∠ACB =2×30°=60°在△ABC 中，∵∠A =70°，∠ACB =60°∴∠B =180°－70°－60°=50°【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键．26．如图所示，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ．(1)AD 与EF 平行吗？请说明理由；(2)试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并说明理由．【答案】(1)平行，见解析(2)相等，见解析【分析】（1）由已知条件和三角形外角性质推出∠BDE +∠3＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”即可证明；（2）利用（1）的结论，推出∠ADE ＝∠B ，DE ∥BC ，利用“两直线平行，同位角相等”可得∠AED ＝∠C ．【解析】（1）证明：（1）平行；∵∠1＝∠FDE +∠3，∠1+∠2＝180°，∴∠2+∠FDE +∠3＝180°，∵∠BDE ＝∠2+∠FDE ，∴∠BDE +∠3＝180°，∴AD ∥EF ；（2）解：∠AED ＝∠C ；理由如下：∵AB ∥EF ，∴∠ADE ＝∠3，∵∠3＝∠B ，∴∠ADE ＝∠B ，∴DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠C ．【答案】见解析【分析】延长BP 交AC 于点外角的性质求出BPC x ∠=2BPC A D ∠∠∠=+，进而可得结论．【解析】证明：如图，延长设PBA PBD x ∠∠==，∠∴BPC BEC y x ∠∠=+=+x y BPC A ∠∠∴+=-，同理可得D x y BPC ∠∠=++2BPC A D ∠∠∠∴=+，()12BPC A D ∠∠∠∴=+．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，相邻的两个内角和是解题的关键．28．已知：如图1，点B 在(1)求证AB CD ∥；(2)如图2，BQ 平分ABE ∠，过点C 作CF BE ⊥于点F ．①补全图形；②若PCF DCF ∠=∠，设ABQ x ∠=︒，CPQ y ∠=︒，求x ，y 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②3180y x =-【分析】（1）过点P 作PK AB ∥，得1ABQ ∠=∠，再根据ABQ CPQ PCD ∠+∠=∠，得出PK CD ∥，即可解得．（2）①根据题意补全图形即可．②过点F 作FM AB ∥，得到ABE BFM ∠=∠，根据已知得2ABE x ∠=︒，再由垂直定理得90CFB ∠=︒，再由2902BFM AFB ∠=∠+∠=︒+∠，得到2290x ∠=︒-︒，由（1）AB CD ∥，可得∠2＋∠3＝180°，再根据三角形内角和定理得()2x y ∠=︒+︒，即可解答．【解析】（1）过点P 作PK AB ∥．∴1ABQ ∠=∠，∵ABQ CPQ PCD ∠+∠=∠，∴1CPQ PCD ∠+∠=∠．即CPK PCD ∠=∠，∴PK CD ∥，∴AB CD ∥．（2）①补全图形；②过点F 作FM AB ∥．∴ABE BFM ∠=∠，∵BQ 平分∠ABE ，ABQ x ∠=︒，∴2ABE x ∠=︒．∵CF BE ⊥，∴90CFB ∠=︒，∵2902BFM AFB ∠=∠+∠=︒+∠，∴9022x ︒+∠=︒．∴2290x ∠=︒-︒，由（1）知，AB CD ∥，∵FM AB ∥，∴FM CD ∥，∴∠2＋∠3＝180°，∵3PCF ∠=∠，34360PCF ∠+∠+∠=︒，∴∠3＝180°－∠4，∵14CPQ ∠+∠=∠，1x ∠=︒，CPQ y ∠=︒，∴()3180x y ∠=︒-︒+︒，∵∠2＋∠3＝180°，∴()2x y ∠=︒+︒，∵2290x ∠=︒-︒，∴3180y x =-．【点睛】本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质，垂直定理，三角形外角和定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键．29．如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．一、单选题1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c=【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【解析】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．2．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【解析】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．二、填空题3．（2020·湖南永州·中考真题）已知直线//a b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=_________．【答案】35°【分析】如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，利用平行线的性质证明2,DCA ∠=∠，三角形的外角的性质证明1BDE DCA ∠=∠+∠，从而可得答案．【解析】解：如图，标注字母，延长ED 交a 于C ，由题意得：30,90,B DEB ∠=︒∠=︒60,BDE ∴∠=︒//,a b 2,DCA ∴∠=∠1,125,BDE DCA ∠=∠+∠∠=︒ 602535,DCA ∴∠=︒-︒=︒235.∴∠=︒。
