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高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x xx x x x f sin sin 1sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞→.解: 22sin 1()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222222sin 1sin .sin sin ,,lim sup sin 11x x x x x x x x x x x x x x →+∞-≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以令2,2x k k ππ=+→+∞这么一个子列得到.2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()0.sin sin x x x x x x f x f x x x x x→+∞→+∞→+∞===--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续.证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微12,(,),x x a b ∀∈对于由,Lagrange 中值定理存在12121212(,),()()()x x f x f x f x x M x x ξξ'∈-=-≤-使得.这显然就是12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛 (2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的12()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.显然此12121()(1)(0,1).().2(1)f x x f x x -'=-=-在上是可微的而121()(0,1).2(1)f x x -'=-在上是无界的3．设)1(sin )(22+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
北京大学数学考研题目1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。
121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。
证明：多项式在有理数域上不可约。
20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。
（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。
20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。
证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
1984年 数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。
10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。
试证：向量不共面。
15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。
（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。
{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。
习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。
（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。
又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。
证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。
证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。
现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。
北京大学2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。
1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。
其中B 是常数 解：可以验证点1212,0,,,0,5555l π⎛⎫⎛⎫∈∉ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而l π∉ 把l 写成参数方程：1325x k y k z k =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，任取其上一点:P (13,25,)k k k -+-，设该点到π上的投影为点':P (,,)x y z'1331031x k z kPP x z π+--⊥⇒=⇒-+= 30P x By z π∈⇒++=整理即知，l 到π上的正交投影轨迹满足方程31030x z x By z -+=⎧⎨++=⎩由于1131≠，上述方程表示一条直线，而2*310B +-=和320B ++=不同时成立，因此l 到π上的正交投影轨迹是一条直线从而l 到π上的正交投影轨迹的方程就是31030x z x By z -+=⎧⎨++=⎩2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：记T ⎤⎥⎥=，容易验证'TT E =，因此直角坐标变换**x x T y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是一个正交变换在这个变换下，曲线方程变为22**(1)(1)x y λλλ++-=-1) 1λ<-时，10,10,0λλλ+<->->，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1λ=-时，曲线方程为2*12y =，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0y =，即y x =3) 10λ-<<时，10,10,0λλλ+>->->，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)4) 0λ=时，曲线方程为22**0x y +=，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01λ<<时，10,10,0λλλ+>->-<，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0)6)1λ=-时，曲线方程为2*12x =-，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为*0x =，即y x =-7)1λ>时，10,10,0λλλ+>-<-<，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为j i b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。
解： (1)若1n =，11||A a b =-若2n =，111221212122||()()a b a b A a a b b a b a b --==----若2n >，1112131212223211121123||n nn n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b A a b a b a b a b a b a b a b -----------=-------1121112131212223212121211110n n n n n R R nR R n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a a a a a a a a a -----------------------==-------(2)若2n =，则111221212122||()()0a b a b A a a b b a b a b --==--≠--，方程组0=AX 只有零解，其解空间维数为0 若3n >=，则由(1)知道A 的任意一个3级子式的行列式为0，而A 的一个2级子式11122122a b a b a b a b --⎛⎫ ⎪--⎝⎭的行列式为2121()()0a a b b --≠，从而2rankA = 于是方程组0=AX 解空间的维数是2n -，取向量组122,,...,n βββ-，其中12i i i in c c c β⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212121,1,21,0,n in i ij b b j b b b bj c b b j n i ---⎧=⎪-⎪-⎪==⎨-⎪⎪=-⎪⎩其他，1,2,...,2i n =-可知1222[,,...,]n n C E βββ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中2n E -是2n -阶单位矩阵，C 是一个2*(2)n -的矩阵，从而122(,,...,)2n rank n βββ-=-并且对任意的1,2,...,2i n =-，有212112112211221()(1)()0nn i n i n i n i i k ik i n i k b b b b b b b ba b c a b b b b b b b b b b b -----=-----=++-++=----∑因此122,,...,n βββ-都属于方程组0=AX 解空间，从而是方程组0=AX 解空间的一组基4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC[C 是什么？]（2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。
数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。
用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。
证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。
证：对任意的1231212341n n n a a a a a a a a A U a a a a -=∈，以及k K ∈，有,(1,2,...,)i i a K ka K i n ∈⇒∈=因此12312312112123412341n n n n n n a a a a ka ka ka ka a a a a ka ka ka ka kA kU a a a a ka ka ka ka --==∈对任意的1231212341n n n a a a a a a a a A U a a a a -=∈，和1231212341n n n b b b b b b b b B U b b b b -=∈，有,,i i i i a K b K a b K ∈∈⇒+∈因此1231231122331211211122112341234122334411n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b A B Ua a a ab b b b a b a b a b a b ----+++++++++=+=∈++++可知U 是)(K M n 的一个子空间。
记12312(1)2341i i i in in i i i n i i i i i c c c c c c c c C c c c c -=，其中0,1,ij j ic j i ≠⎧=⎨=⎩，1,2,...,i n =，对任意的1231212341n n n a a a a a a a a A U a a a a -=∈，有1nk k k A a C ==∑，即U 所有向量都能用向量组12(,,...,)n C C C 线性表出设一组数,1,2,...,i k K i n ∈=，满足1ni i n i k C O ==∑，亦即1231212341n n n n k k k k k k k k O k k k k -=可得0,1,2,...,i k i n ==，向量组12(,,...,)n C C C 线性无关 综上向量组12(,,...,)n C C C 是U 的一组基5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。
在实数域上n 维线性空间nR 中，对于n R ∈βα,，令βαβαH f '=),(。
试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。
（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。
令αα'=A B ，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基 解： (1) f 是nR 上的一个内积，证明如下：容易验证f 是nR 上的一个双线性函数对nR 中任意的非零向量12n a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11(,)1n n i ji j a a f H i j αααα=='==+-∑∑令11()ni i i g x a x-==∑，是R 上的一个多项式函数，有22110()n ni j i ji j g x a a x+-==≤=∑∑可得1122111100()(,)1n nn ni ji j i ji j i j a a g x dx a a xdx f i j αα+-====≤===+-∑∑∑∑⎰⎰若12()0g x dx =⎰，由于2()g x 在[01]，上连续，则必有2()0g x ≡，()0g x ≡则0,1,2,...,i a i n ==，即0α=，与α是nR 中非零向量矛盾。
所以12()0g x dx >⎰，(,)0f αα>所以f 是nR 上的一个内积(2) 由于A 正定，0α≠，可得'0A λαα=>，0A α≠，'1rankB rank αα==，由1rankB = 知方程组0BX =解空间0W 的维数为1n -，0W 同时也是B 的属于0特征值的特征子空间由0λ>，0A α≠和''()BA A A A A A αααααααλα===，知λ是B 的特征值，A α是B 的属于特征值λ的特征向量设B 的属于这个特征值的特征子空间为W λ，由0λ≠，00W W λ⋂=，所以00dim dim dim()W W W W n λλ+=+≤即dim 1W λ≤，而0,A A W λαα≠∈，dim 1W λ=，W λ的一组基为A α0dim 1dim dim W W W n λλ=⇒+=，因此B 没有其他特征值，0λ>是B 的唯一非零特征值，也是B 最大的特征向量6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n rank rank =+++-⇔=)()(23A A I A I I A 证明： 记32()1,()1,()1f x x g x x h x x x =-=-=++ 其中((),())1g x h x =，()()()f x g x h x =因此()()()Kerf Kerg Kerh =⊕A A A ，()()0Kerg Kerh ⋂=A A于是2()0()()()dim dim ()dim ()()()()()f Kerf VV Kerg Kerh V Kerg Kerh n n rankg n rankh n rank rank =⇔=⇔=⇔=⊕⇔=+⇔=-+-⇔=-+++3A IA A A A A A A A I A I A A。
