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成都石室中学2017届“三诊”模拟考试数学试题（理科）（考试时间120分钟，总分150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为80的样本，则样本中A 型产品的件数为 （ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．21 2．设集合{|2,0},{|xM y y x N x y ==<==，则“x M ∈”是“x N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数12()log (1),(),{}n n f x x a f n a -=-=数列的前n 项和为,lim n n x nS nS a →∞-则等于（ ）A ．0B ．12C ．1D ．24．已知函数2()log (1)f x x x =>，若1114()()2,f a f b a b--⋅=+则的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．9 5．已知锐角α满足cos 2cos()4παα=-，则sin 2α等于（ ）A ．12B ．12-C．2D．2-6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且1111,33AM AB BN BC ==，则下列结论①1AA MN ⊥；②11//AC MN ；③MN//平面A 1B 1C 1D 1；④11B D MN ⊥中，正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知二项式n 的展开式中第4项为常数项，则2321(1)(1)(1)n x x x x +-+-++- 中项的系数为（ ） A ．-19B ．19C ．20D ．-208．已知平面向量(1,2),(2,1),(,)a b c x y === ，且满足0,0x y ≥≥。
若1,1,()a c b c z a b c⋅≥⋅≥=-+⋅，则（ ）A ．z 有最大值-2B ．z 有最小值-2C ．z 有最大值-3D ．z 有最小值-3 9．在2011年高考规定每一个考场30名学生，编成“五行六列．．．．”就坐，若来自同一学校的甲、乙两名学生将同时排在“××考点××考场”，要求这两名学生前后左右．．．．不能相邻，则甲、乙两名学生不同坐法种数为（ ）A ．772B ．820C ．822D ．87010．已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为（ ）A ．1B C ．2D 11．如图，过双曲线上左支一点A 作两条相互垂直的直线分别过两焦点，其中一条与双曲线交于点B ，若三角形ABF 2是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 （ ）A BC D 12．如图、在直角梯形ABCD 中，,1,3,AB AD AD DC AB ⊥===动点P在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动．．．．，设(,),AP AD AB R αβαβαβ=+∈+则的取值范围是（ ）A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．4(1,)3D ．5(1,)3二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足1212iiz+=-，则复数z= 14．正项．．数列2*22{},3,()4n n n n a a p a a S n N ++==∈中且，则实数p = 15．已知ABC ∆的三个顶点均在球O 的球面上，且AB=AC=1，120BAC ∠=︒，直线OA 与平面ABC 所成的角的正弦值为3B 、C 两点间的球面距离为 。
2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣9．（5分）已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．（5分）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A （1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2•2m﹣1，∴m=10，故选：B．4．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为67，故选D．5．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；6．（5分）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．7．（5分）已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，8．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．（5分）已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，k FD=，k FD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC 是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵S m=13，S m=0，S m+1=﹣15，﹣1∴a m=S m﹣S m﹣1=0﹣13=﹣13，a m+1=S m+1﹣S m=﹣15﹣0=﹣15，又∵数列{a n}为等差数列，﹣a m=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，∴公差d=a m+1∴，解得a1=13∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n≥0时，即n≤7.5，当a n≤0时，即n≥6.5，+1∴数列的前7项为正数，∴==（﹣）∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为5040．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C64•A55=3600种情况；若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，则不同的安排种数为3600+1440=5040种，故答案为：5040．16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为3．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S′=4（cosθ+cos2θ﹣sin2θ）=4（2cos2θ+cosθ﹣1）=4（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．∵θ∈，∴cosθ∈（0，1）．∴当cosθ=即θ=时，S取得最大值，S=3．故最大值为：3．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，∴ON⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，OA=OC=，∵四边形BDEF是矩形，DE=2，∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），设BM=h，则M（0，1，h），∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），∵DM⊥平面ACE，∴，∴﹣2+2h=0，解得h=1，∴BM=1．（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=得=（，3，﹣6），又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，∴cos＜＞===，∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K 2=≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X ，则X 的可能取值为2，3，4；所以P（X=2）=•=，P（X=3）=•+•=，P（X=4）=•=；∴随机变量X的分布列为：数学期望为EX=2×+3×+4×=．20．（12分）已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=﹣，∴S==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．△MON又m≠0，=．≤∴据基本不等式，得S△MON=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，∴a≤，∴a的取值范围是（﹣∞，]；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，∴，解得：a≤1；综上：a≤1或a≥5．。
2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．46．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i （i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知A={（x ，y ）|x 2+y 2≤π2}，B 是曲线y=sinx 与x 轴围成的封闭区域，若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB=BC=CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣9．已知抛物线C ：y 2=mx （m ＞0）的焦点为F ，点A （0，﹣），若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |：|MD |=1：2，则点M 的纵坐标为（ ）A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣10．已知函数f （x ）=2cos 22x ﹣2，给出下列命题： ①∃β∈R ，f （x +β）为奇函数；②∃α∈（0，），f （x ）=f （x +2α）对x ∈R 恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为（用数字作答）．14．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c ﹣a=2bcosA ． （1）求角B 的大小； （2）若b=2，求a +c 的最大值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE=2，M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE ． （1）求BM 的长；（2）求二面角A ﹣DM ﹣B 的余弦值的大小．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ．20．已知圆C ：（x +1）2+y 2=8，点A （1，0），P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E的方程；（2）若直线l ：y=kx +m 与曲线E 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△MON 面积的最大值．21．已知函数f （x ）=lnx +﹣1，a ∈R ．（1）若关于x 的不等式f （x ）≤x ﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数g （x ）=，若g （x ）在[1，e 2]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M （x ，y ）为曲线C′上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}【考点】1D：并集及其运算．【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．【解答】解：∵集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故选：B．2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【考点】A8：复数求模．【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】把a1和q代入a m=a1a2a3a4，求得a m=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，∴m=11，故选：A．4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，故选D．5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．7．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx 与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，故选：D．8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（）A．﹣ B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MD|确定|KD|：|KM|的值，进而列方程求得m，再求出M的坐标【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，∵|FM|：|MD|=1：2：则|KD|：|KM|=：1，k FD=，k FD==∴=，求得m=4∴直线FM的方程为y=（x﹣1），与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，∴y2=，解y=﹣或y=（舍去），故M的坐标为（，﹣），故选：D10．已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．【分析】化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，）的解，判断②正确；由|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为=，判断③正确；当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=，判断④错误．【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故①错误；对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），∴取α=或时，∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；综上，真命题是②③．故选：C．11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．【解答】解：∵S m﹣1=13，S m=0，S m+1=﹣15，∴a m=S m﹣S m﹣1=0﹣13=﹣13，a m+1=S m+1﹣S m=﹣15﹣0=﹣15，又∵数列{a n}为等差数列，∴公差d=a m+1﹣a m=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，∴，解得a1=13∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n≥0时，即n≤7.5，≤0时，即n≥6.5，当a n+1∴数列的前7项为正数，∴==（﹣）∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2x﹣）6展开式中常数项为60（用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=令得r=4故展开式中的常数项．故答案为6014．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为5040．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C21•C64•A55=3600种情况；若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，则不同的安排种数为3600+1440=5040种，故答案为：5040．16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，∴梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）令cosθ=t∈（0，1）．则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．因此S的最大值为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求a+c的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，化简得（2cosB﹣1）sinA=0∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，∵B∈（0，π），∴B=；（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）∴a+c≤4，∴a+c的最大值为4．18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM ⊥平面ACE．（1）求BM的长；（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出和的坐标，令=0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，∴ON⊥平面ABCD，以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴OB=OD=1，OA=OC=，∵四边形BDEF是矩形，DE=2，∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），设BM=h，则M（0，1，h），∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），∵DM⊥平面ACE，∴，∴﹣2+2h=0，解得h=1，∴BM=1．（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=得=（，3，﹣6），又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，∴cos＜＞===，∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】（1）根据表中数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表即可得出结论；（2）根据题意知X的可能取值，求出对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，计算K2=≈2.381＜2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X，则X的可能取值为2，3，4；所以P（X=2）=•=，P（X=3）=•+•=，P（X=4）=•=；∴随机变量X的分布列为：数学期望为EX=2×+3×+4×=．20．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题；J3：轨迹方程．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=﹣，==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．∴S△MON又m≠0，=．≤∴据基本不等式，得S△MON=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，∴a≤，∴a的取值范围是（﹣∞，]；（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，当1＜a＜时，g（x）在[1，e2]上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），相减消去参数t化为普通方程．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==，即可得出最小值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，∴，解得：a≤1；综上：a≤1或a≥5．2017年6月8日。
成都市2017级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它★答案★标号.3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将★答案★书写在答题卡规定的位置上.4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5. 考试结束后，只将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A. 0或2 B. 0或4C. 2或4D. 0或2或4【★答案★】C 【解析】 【分析】利用子集的概念即可求解.【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在， 则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4， 故选：C【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2.若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A. ()2,5B. ()2,5-C. ()5,2-D. ()5,2-【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3.命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，20010x x -+> B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. 0x R ∃∈，20010x x -+≥D. x R ∀∈，210x x -+>【★答案★】D 【解析】 【分析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围.【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D.【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4.如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C.D.【★答案★】A 【解析】 【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱， 当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能， 故选：A【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5.已知函数()22x xf x -=-，则()2log 3f =（ ）A. 2B. 83C. 3D.103【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x xf x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6.已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【★答案★】C 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为2m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A. 4002mB. 24002mC. 6002mD. 8002m【★答案★】D 【解析】 【分析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯= 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8.在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A. －3B. 3C. 3±D. 9【★答案★】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===， 所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9.已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件.【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y ab a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. 5,7⎡⎤⎣⎦B. 5,13⎡⎤⎣⎦C. 3,13⎡⎤⎣⎦D. 7,3⎡⎤⎣⎦【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得★答案★． 【详解】如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =， 则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab， 即223ba． 21()[5,13]c be a a∴==+． 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等；②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭；③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +的最小值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②④D. ①③④【★答案★】C 【解析】 【分析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=，又PA =sin PM PAB PA ∴∠=>=4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则(1)h ±=0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+，故④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12.已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ） A.34πB.23π C.712π D.2π 【★答案★】A 【解析】 【分析】将点20,2⎛ ⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min 1122f x ≥=， 所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡上.13.已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【★答案★】23- 【解析】 【分析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得； 【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故★答案★为：23-【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14.某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【★答案★】0.54 【解析】 【分析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故★答案★为：0.54.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【★答案★】792【解析】 【分析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得；【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ， 所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故★答案★为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题. 16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______.【★答案★】2 【解析】 【分析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果.【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ， 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--，令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==， 故★答案★为：2【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【★答案★】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可； （Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种，故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【★答案★】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19.如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【★答案★】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可.【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON . 在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF .又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD . 连接OB ，OC .ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ，∴122OB AD ==. 同理2OC =.∵2BC =，∴等边OBC，即CH =连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+11111242233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯△3=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20.已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【★答案★】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即0201ln ln x ex -=.化简，得002ln x x -=-. ∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点1,2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-； （ii ）求ABMN的取值范围.【★答案★】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把点2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =即可求得椭圆的标准方程. （Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得AB MN ，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点()1F，∴c =将2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+.由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=. ()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则2122014y k k x -=-.又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=. ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦. 令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x x y y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x x y y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x x y y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x x y y +=. ∴直线AB 的方程为0014x x y y +=. 由00221444x x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=. ∴01220835x x x y +=+，201220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为83432x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【★答案★】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】【分析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得264039t t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得123t t +=-，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac--+的最小值. 【★答案★】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36.【解析】【分析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立.∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。
成都七中高2017届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次,设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”,q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为( ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =（ )A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,13.若1122ai i i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x xx =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ） A ．14- B ． 12- C 。
14 D ．125。
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3612π+B ．3616π+ C.4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则( ）A ．3144BO AB AC =-+ B ． 1144BO AB AC =-+C. 3144BO AB AC =- D ．1124BO AB AC =-- 7。
执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C. 12D ．—1 8. 函数()()2sin 4cos1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．23π B ．43π C 。
π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点,则()22016log a =( ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点,若120PF PF <，则0x 的取值范围是(） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭D．,33⎛- ⎝⎭11。
