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成都市2013级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理工类） 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为A. 2B. 4C. 6D. 8 2.命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是A. ()()1,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<B. ()()0001,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<C. ()()1,,ln 1x x x ∀∈-+∞+≥D. ()()0001,,ln 1x x x ∃∈-+∞+≥ 3.已知复数2z i i=-（其中i 为虚数单位），则z =A. 3B.4.已知,αβ是空间中两个不同的平面，m 为平面β内的一条直线，则""αβ⊥是""m α⊥的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知向量,a b满足()2,3a a b a =-=- ，则b 在a 方向上的投影为A. 23B. 23- C. 12D. 12-6. 某工厂用A,B两种配件生产甲乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h.若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为A. 24万元 B.22万元 C. 18万元 D. 16万元7.执行如图所示的程序框图，若依次输入1122210.6,0.6,3m n p-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则输出的结果为A.1213⎛⎫⎪⎝⎭B. 120.6 C. 20.6- D.320.6-8.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有5名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知包子数量不足仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5名同学不同的主食选择方案种数为A.144B. 132C. 96D.489. 定义在()1,+∞上的函数()f x同时满足：①对任意的()1,x∈+∞恒有()()33f x f x=成立；②当(]1,3x∈时，()3.f x x=-记函数()()()1g x f x k x =--，若函数()g x 恰好有两个零点，则实数k 的取值范围是A.()2,3B. [)2,3C. 9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 已知O为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()(),00F c c ->，以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()0AO AF OF +=.关于x 的方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为1x 和2x ，则以12,,2x x 为边长的三角形的形状是A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.计算：sin 65cos35sin 25sin 35-= .12. 一块边长为8cm 的正方形铁板按如图所示的阴 影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O 为底面ABCD 的中心，则侧棱SC 与底面ABCD 所成角的余弦值为13. 已知椭圆()22:101616x y C n n+=<<的两个焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆C 于A,B 两点，若22AF BF +的最大值为10，则n 的值为 .14. 若直线()2101,0ax by a b +-=>->经过曲线()cos 101y x x π=+<<的对称中心，则的121a b++最小值为 . 15.函数()()0,0bf x a b x a=>>-，因其图象像“囧”字，被称为“囧函数”.我们把函数()f x 的图像与y 轴的交点关于原点对称的点称为函数()f x 的“囧点”；以函数()f x 的“囧点”为圆心，与函数()f x 的图象有公共点的圆，皆称为函数()f x 的“囧圆”.当1a b ==时，有以下命题：①对任意()0,x ∈+∞，都有()1f x x>成立；②存在0,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00tan f x x <成立；③函数()f x 的“囧点”与函数ln y x =图象上的点的最短距离为；④函数()f x 的所有“囧圆”中其周长的最小值为.其中正确的命题序号有 .(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分10分）已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，角A 满足()1f A =，若3,sin 2sin a B C ==，求b 的值.17.（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，已知底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，FC⊥底面ABC ，AB=2DE,G,H 分别为AC,BC 的中点. (1)求证：平面ABED//平面GHF; (2))若BC=CF=12AB=1，求二面角A-DE-F 的余弦值.18.（本小题满分12分）某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为2.5(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率； (2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列及其均值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且330,.n n S a n N *+-=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()211log 12n n b S +=-，求12231111n n n T b b b b b b +=+++ ,求使5041009n T ≥成立的n 的最小值.20.（本小题满分13分）已知一动圆经过点()2,0M ，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C. （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0N 任意作相互垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于不同的两点A,B 和不同的两点D,E.设线段AB,DE 的中点分别为P,Q.①求证：直线PQ 过定点R ，并求出定点R 的坐标； ②求PQ 的最小值；21.（本小题满分14分）已知函数()x f x e =，其中 2.71828e = 为自然对数的底数. (1)设函数()()()223,.g x x ax a f x a R =+--∈试讨论函数()g x 的单调性；(2)设函数()()2,.h x f x mx x m R =--∈，若对任意121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x >都有()()()21121221x h x x h x x x x x ->-成立，求实数m 的取值范围.。
2018成都市高三数学第三次诊断考试题(理含答案)
c 成都市F的余弦值
18（本小题满分12分）
某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表
由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
(1) 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；
(2))从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其均值
19（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项式；
(2)设数列满足，求 ,求使成立的的最小值
20（本小题满分13分）
已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线c
（1）求曲线c的方程；
（2）过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线c于不同的两点A,B和不同的两点D,E设线段AB,DE的中点分别为P,Q
①求证直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求的最小值；
21（本小题满分14分）
已知函数，其中为自然对数的底数
(1)设函数试讨论函数的单调性；
(2)设函数，若对任意，且都有成立，求实数的取值范围。
成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集，集合，则集合中元素的个数是（ ）{}=0123U ，，，()(){}130A x x x =∈--≤N U A ðA ． B ．C ．D ．1234【答案】 A【解析】由题意得，所以，故选A.{}1,2,3A ={}0U A =ð考点：集合的基本运算.2．若复数(是虚数单位)为纯虚数，则实数的值为（ ）i1ia z +=-i a A ． B ． C ． D ．2-1-12【答案】 C 【解析】因为是纯虚数，所以，即，故选C.()()()i 1i 11ii 1i 22a a a a z ++-+++===-10a -=1a =考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.3．命题“，”的否定是（ ）()1,x ∀∈+∞1ln x x -≥A ．， B ．， ()1,x ∀∈+∞1ln x x -≤()1,x ∀∈+∞1ln x x -<C ．， D ．，()01,x ∃∈+∞001ln x x -≥()01,x ∃∈+∞001ln x x -<【答案】 D【解析】“，”的否定是“，”，故选D.()1,x ∀∈+∞1ln x x -≥()01,x ∃∈+∞001ln x x -<考点：含一个量词的命题否定.4．定义符号函数则函数的图象大致是（ ）1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()sin sgn f x x x =⋅【答案】 B【解析】用排除法，易知是偶函数，故排除A 选项；当时，，故排除D 选项；()f x 0x <<π()0f x >当时，，故排除C 选项.故选B.2x π<<π()0f x <考点：函数的图象.5．已知实数，，，则的大小关系是（ ）ln 22a =22ln 2b =+()2ln 2c =,,a b c A ． B ．C ．D ．c a b <<c b a <<b a c <<a c b <<【答案】A 【解析】易知，，，所以.故选A.ln 2122<<22ln 22+>()20ln 21<<c a b <<考点：指数与对数运算及单调性.6．当时，若的值为（ ）,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭()()sin cos ααπ--π+=sin cos αα-A B ． C ．D ．4343-【答案】C【解析】由诱导公式得，()()sin cos sin cos ααααπ--π+=+=72sin cos 9αα=-，又，所以所以()()2216sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭sin cos 0αα->.故选C.4sin cos 3αα-=考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．13125929【答案】B【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为，取出红球的总数为112510C C =，所以乙袋中取出红球的概率为.故选B.111113125C C C C +=51102P ==考点：古典概型.8．某企业可生产两种产品.投资生产产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；,A B A 投资生产产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，B 场地900平方米投资生产两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（ ）,A B A ．吨 B ．吨C ．吨D ．吨467450575600【答案】C【解析】设生产产品的产量分别为（单位：100吨），由题意得约束条件,A B ,x y 求目标函数的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中，2003001400,200100900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩z x y =+()4.5,0A ，.()3.25,2.5B 140,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭由可行区域可得目标函数经过时，取最大值，故（100吨）. 故选C.z x y =+()3.25,2.5B z max 5.75z =考点：线性规划问题.9．在正三棱柱 (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值.若111ABC A B C -a正三棱柱的顶点都在球的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值时，该球的表面积111ABC A B C -O 24为（ ）A ． B．C ．D ．323π12π643π【答案】D【解析】设正三棱柱底面边长为，侧棱为，则，三棱柱侧111ABC A B C -x y 63x y a +=111ABC A B C -面积.所以，当且仅当，即时，等号成3S xy =2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭632a x y ==,126a a x y ==立，所以，，.所以正三棱柱的外接球的球心到顶点的距离为24a =2x =4y =111ABC A B C -O A ，所以该球的表面积为.故选D.=643π考点：1、简单几何体；2、基本不等式.10．已知双曲线:的左右焦点分别为，.双曲线上存在一C ()222210,0x y a b a b-=>>()1,0F c -()2,0F cC 点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）P 1221sin sin PF F aPFF c∠=∠C A ．B ．C ．D ．(1,1+(1,1+((【答案】A【解析】不妨设点在双曲线右支上，P 在中，由正弦定理得，12PF F △122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠所以，所以，所以，212211sin sin PF PF F a PF F PF c ∠==∠212PF aPF PF c a=--22PF a a c a =-所以，又，所以，所以，所以，222a PF c a =-2PF c a >-22a c a c a>--2220c ac a --<2210e e --<解得.故选A.11e <<考点：1双曲线的性质.11．已知为所在平面内一点，，，则的面积P ABC △AB PBPC ++=02PC PBAB ===PBC △等于（ ）A ．B ．CD ．【答案】C【解析】分别取边，的中点，则，，BC AC ,D E 2PB PC PD += 2AB ED =因为，所以，所以三点共线，且.AB PB PC ++=0 ED PD =- ,,E D P 1ED PD ==又，所以，所以，所以的面积故选2PC PB == PD BC ⊥ BC = PBC △112S =⨯=C.考点：平面向量线性运算.12．在关于的不等式 (其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有x 2e e 0xxx ax a -->e 2.71828= 两个正整数,则实数的取值范围为（ ）a A ． B ． C ． D ． 4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭42164,5e 3e ⎛⎤⎥⎝⎦3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】易得不等式.2e e 0xxx ax a -->⇔()21e xx a x >+设，，则原不等式等价与.()2f x x =()()1e xg x a x =+()()f x g x >若，则当时，，，所以原不等式的解集中有无数个正整数，所以.0a ≤0x >()0f x >()0g x <0a >因为，，所以.()00f =()00g a =>()()00f g <当，即时，设，()()11f g ≤12ea ≥()()()()2h x f x g x x =-≥则.()()()2e 22e22ex xx h x x a x x +'=-+≤-设，则，()()()2e 222ex x x x x ϕ+=-≥()()()3e 2102ex x x ϕϕ+''=-≤=所以在上为减函数，所以，()x ϕ[)2,+∞()()()222e 0x ϕϕ≤=-<所以当时，，所以在上为减函数，2x ≥()0h x '<()h x [)2,+∞所以，()()23e243e 402h x h a ≤=-≤-<所以当时，不等式恒成立，所以原不等式的解集中没有正整数.2x ≥()()f x g x <所以要使原不等式的解集中有且仅有两个正整数，则所以()()()()()()11,22,33,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩2312e,43e ,94e ,a a a >⎧⎪>⎨⎪≤⎩解得.故选D.32944e 3e a ≤<考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是 .21【答案】1sin1【解析】设半径为，则，所以，弧长.R 12sin1R=12sin1R =12sin1l R R α===考点：弧度制的概念.14．在中，内角所对的边分别为，已知，，，则角的大小ABC △,,A B C ,,a b c a =3b =3A π=C 为 .【答案】2π【解析】由正弦定理得，又，所以，所以.sin sin a b A B =1sin 2B =b a <6B π=2C π=考点：弧度制的概念.15．如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -E 1DD AE 1BD 为 .【解析】如图，连接，取的中点为，连接，则∥.BD BD F ,EF AF EF 1BD 所以（或的补角）是异面直线与所成角.AEF ∠AEF ∠AE 1BD 设正方体棱长为，则,,1111ABCD A B C D -2AE =AF =EF =由余弦定理得.222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅所以异面直线与.AE 1BD 考点：异面直线所成角.16．设二次函数（为实常数）的导函数为，若对任意不等式()2f x ax bx c =++,,a b c ()f x 'x ∈R 恒成立，则的最大值为 .()()f x f x'≤222b a c+【答案】2-【解析】由题意得，所以，()2f x ax b '=+()()()220f x f x ax b a x c b '≤⇔+-+-≤所以二次不等式在上恒成立，()220ax b a x c b +-+-≤R 所以即()()20,240,a b a a c b <⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩220,44.a b ac a <⎧⎨≤-⎩所以，222222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭设，因为所以，所以.c t a =()0,40,a a c a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩c a ≤1t ≥当时，；1t =()24101t t -=+当时，所以，1t >()()2414221121t t t t -=≤=-+-++-当且仅当，即时，取最大值，1t =+)1c a =()2411t t -+故当，时，取最大值为.22b =)1c a =+222b a c+2-考点：1、二次不等式；2、基本不等式.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知为等比数列的前项和，成等差数列，且.n S {}n a n 243,,S S S 23438a a a ++=-（I ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，求数列的前项和.n n b n a ={}n b n n T 【答案】(I)；（Ⅱ）.112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭1242n n n T -+=-【解析】考点：1、等比数列；2、错位相减法.18．（本小题满分12分）某企业统计自2011年到2017年的产品研发费和销售额的数据如下表:x y根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值 (精确到小数点后第二位)和销售额具有z y 线性相关关系.（I ）求销售额关于产品研发费的回归方程 (的计算结果精确到小数点后第二y x ˆˆˆln yb x a =+ˆˆ,a b 位)；（Ⅱ）根据（I ）的结果预则：若2018年的销售额要达到万元，则产品研发费大约需要多少万元？70【答案】(I)；（Ⅱ）.ˆ11.99ln 21.86yx =+55.5【解析】考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.19．（本小题满分12分）如图①,在等腰梯形中，已知∥，，，，点为的ABCD AB CD 60ABC ∠=2CD =4AB =E AB 中点；现将三角形沿线段折起，形成直二面角,如图②，连接得四棱锥BEC EC P EC A --,PA PD ，如图③.P AECD -（I ）求证：；PD EC ⊥（Ⅱ）求四棱锥的体积.P AECD -【答案】(I)见解析；（Ⅱ）.2【解析】考点：1、点线面间的垂直关系；2、简单几何体的体积.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记动点的轨xOy ()1,0A -()1,0B M 4MA MB +=M 迹方程为曲线，直线：与曲线相交于不同的两点.C l 2y kx =+C ,P Q （I ）求曲线的方程；C （Ⅱ）若曲线上存在点，使得，求的取值范围.C N ()OP OQ ON λλ+=∈Rλ【答案】(I)；（Ⅱ）.22143x y +=()()2,00,2- 【解析】考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分12分）已知函数，.若函数图象上任意一点关于直线的对称点恰好()ln f x x =()1g x x =+()f x P y x =Q 在函数的图象上.()h x （I ）证明：；()()g x h x ≤（Ⅱ）若函数在上存在极值，求的最大值.()()()1f x F x g x =+[)()*,k k +∞∈N k 【答案】(I)见解析；（Ⅱ）.()()2,00,2- 【解析】考点：导数在研究函数的极值的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，直线，点C 4cos ρθ=l sin 14θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在直线上.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标,2Q ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭l O x xOy 系取相同的单位长度.（I ）求曲线及直线的直角坐标方程；C l (Ⅱ)若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.l C ,A B QA QB +【答案】(I)，；（Ⅱ）()2224x y -+=10x y +-=【解析】考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.()21f x x x a =++-a ∈R （I ）当时，解不等式；2a =()4f x ≤（Ⅱ）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.()1f x <a 【答案】(I)；（Ⅱ）.[]1,1-31,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】考点：解含绝对值的不等式.。
四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣18．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士12．设集合，C={（x，y）|2|x ﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有种．（用数字作答）16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP的方程．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．四川省成都2018届高三数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的意义即可得出．【解答】解：￢P，表示“甲抛的硬币正面向下”，￢q表示“乙抛的硬币正面向下”．则（￢p）∨（￢q）表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选：A．2．已知集合A={x||x﹣1|＜1}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】1D：并集及其运算．【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣1＜1，解得：0＜x＜2，即A=（0，2）∵B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）∴A∪B=（﹣1，2）故选：B．3．若，则a=（）A．﹣5﹣i B．﹣5+i C．5﹣i D．5+i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵，∴1+ai=（2+i）（1+2i）=5i，∴a===5+i．故选：D．4．设f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则=（）A．B．C．D．【考点】3L：函数奇偶性的性质；31：函数的概念及其构成要素．【分析】根据题意，由函数的周期性以及奇偶性分析可得=﹣f（）=﹣f（），又由函数在解析式可得f（）的值，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，则=﹣f（）=﹣f（），又由当0≤x≤1时，f（x）=x2﹣x，则f（）=（）2﹣（）=﹣，则=，故选：C．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S=π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2=12π+40．故选C．6．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．7．执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A．2016 B．1024 C．D．﹣1【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y=1024时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2，y=0满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1满足条件y＜1024，执行循环体，x=，y=2满足条件y＜1024，执行循环体，x=2，y=3满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=4…观察规律可知，x的取值周期为3，由于1024=341×3+1，可得：满足条件y＜1024，执行循环体，x=﹣1，y=1024不满足条件y＜1024，退出循环，输出x的值为﹣1．故选：D．8．已知M（x0，y0）是函数C： +y2=1上的一点，F1，F2是C上的两个焦点，若•＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出x0的取值范围．【解答】解：椭圆C： +y2=1，的焦点坐标F1（﹣，0），F2（，0），=（﹣﹣x0，﹣y0），=（﹣x0，﹣y0）则•=x02﹣3+y02=﹣2，∵•＜0，∴﹣2＜0，解得：﹣＜x0＜，故答案选：C．9．等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，则log2（a2•a2017•a4032）=（）A．B．4 C．D．【考点】84：等差数列的通项公式；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】先求出f′（x）=x2﹣8x+6，由等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，利用韦达定理得a2+a4032=8，a2•a4032=6，从而=4，由此能求出log2（a2•a2017•a4032）的值．【解答】解：∵，∴f′（x）=x2﹣8x+6，∵等差数列{a n}中的a2、a4032是函数的两个极值点，∴a2+a4032=8，a2•a4032=6，∴=4，∴log2（a2•a2017•a4032）=log2（4×6）==3+log23．故选：C．10．函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A．B． C．πD．2π【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx•（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx•cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．11．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是（）A．男医生B．男护士C．女医生D．女护士【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设男医生人数为a，女医生人数为b，女护士人数为c，男护士人数为d，则有：①a+b≥c+d②c＞a，③a＞b④d≥2得出：c＞a＞b＞d≥2，假设：d=2，仅有：a=5，b=4，c=6，d=2时符合条件，又因为使abcd中一个数减一人符合条件，只有b﹣1符合，即女医生．假设：d＞2则没有能满足条件的情况．综上，这位说话的人是女医生，故选：C12．设集合，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y ﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠ϕ，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】集合A、B是表示以（3，4）点为圆心，半径为和的同心圆；集合C在λ＞0时表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形；结合题意画出图形，利用图形知（A∪B）∩C≠∅，是菱形与A或B圆有交点，从而求得实数λ的取值范围．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心，半径为的圆；集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）点为圆心半径为的圆；集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0时，表示以（3，4）为中心，四条边的斜率为±2的菱形，如下图所示：若（A∪B）∩C≠∅，则菱形与A或B圆有交点，当λ＜时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与小圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=2；当2＜λ＜时，菱形在大圆的内部，与两圆均无交点，不满足答案；当菱形与大圆相切时，圆心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一边的距离等于大于半径，当x＞3，且y＞4时，菱形一边的方程可化为2x+y﹣（10+λ）=0，由d==得：λ=6，故λ＞6时，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足答案；综上实数λ的取值范围是[，2]∪[，6]，即[，2]∪[，6]．故选：A．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13．已知向量||=l，||=，且•（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵•（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．14．二项式（x+y）5的展开式中，含x2y3的项的系数是a，若m，n满足，则u=m﹣2n的取值范围是．【考点】7C：简单线性规划；DB：二项式系数的性质．【分析】首先求出a，然后画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值．【解答】解：二项式（x+y）5的展开式中，x2y3的项的系数是a==10，所以，对应的可行域如图：由目标函数变形为n=，当此直线经过C（）时u最小为，经过B（4，0）时u最大为4，所以u的取值范围为；故答案为：．15．成都七中112岁生日当天在操场开展学生社团活动选课超市，5名远端学生从全部六十多个社团中根据爱好初选了3个不同社团准备参加．若要求这5个远端学生每人选一个社团，而且这3 个社团每个社团都有远端学生参加，则不同的选择方案有150 种．（用数字作答）【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，若分成2、2、1的三组，有=15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有=10种分组方法，则共有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组全排列，对应3 个社团，有A33=6种情况，则不同的选择方案有25×6=150种；故答案为：150．16．已知函数，若函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣} ．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】画出图象f（x）=转化为函数f（x）与y=mx﹣2有且仅有一个公共点，分类讨论，①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点；②当y=mx+2与y=相切，结合导数求解即可，求解相切问题；③y=mx+2过（1，2﹣e）（0，2），动态变化得出此时的m的范围．【解答】解：∵f（x）=∴f（x）=∵函数h（x）=f（x）﹣mx﹣2有且仅有一个零点，∴f（x）与y=mx+2有一个公共点∵直线y=mx+2过（0，2）点①当m=0时，y=2与f（x）有一个交点②当y=mx+2与y=相切即y′=切点（x0，），m=﹣=﹣+2，x0＞1x0=（舍去），x0=3∴m==③y=mx+2过（1，2﹣e），（0，2）m=﹣e当m≤﹣e时，f（x）与y=mx+2有一个公共点故答案为：（﹣∞，﹣e]∪{0}∪{﹣}三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．所以，又，所以．（2）在△ABC中，因为，由余弦定理所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，又b2+c2=a﹣bc+2，所以a2=a+2，所以a=2，又因为，由正弦定理得，所以．18．某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X 的分布列和数学期望．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为20．如图，设抛物线C1：y2=﹣4mx（m＞0）的准线l与x轴交于椭圆C2：的右焦点F2，F1为C2的左焦点．椭圆的离心率为e=，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长其交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动．（1）当取最小值时，求C1和C2的方程；（2）若△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，当△MPQ面积取最大值时，求面积最大值以及此时直线MP 的方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）用m表示出a，b，根据基本不等式得出m的值，从而得出C1和C2的方程；（2）用m表示出椭圆方程，联立方程组得出P点坐标，计算出△PF1F2的三边关于m的式子，从而确定m的值，求出PQ的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出△MPQ面积的最大值．【解答】解：（1）∵，∴，∴=m+≥2，当且仅当m=即m=1时取等号，当m=1时，a=2，b=，∴抛物线C1的方程为：y2=﹣4x，椭圆C2的方程为．（2）因为，则，∴椭圆的标准方程为，设P（x0，y0），Q（x1，y1），由得3x2﹣16mx﹣12m2=0，解得或x0=6m（舍去），代入抛物线方程得，即，于是，又△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，∴m=3．∴抛物线方程为y2=﹣12x，，∴直线PQ的方程为．联立，得或x1=﹣2（舍去），于是．∴，设到直线PQ的距离为d，则，∴当时，，∴△MPQ的面积最大值为．此时M（﹣，﹣），∴直线MP的方程为y=﹣x﹣．21．已知函数f（x）=x﹣a x（a＞0，且a≠1）．（1）当a=e，x取一切非负实数时，若，求b的范围；（2）若函数f（x）存在极大值g（a），求g（a）的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）问题转化为恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，根据函数的单调性求出b的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出g（a）的表达式，根据函数的单调性求出g（a）的最小值即可．【解答】解：（1）当a=e时，f（x）=x﹣e x，原题分离参数得恒成立，令g（x）=x2+x﹣e x，g′（x）=x+1﹣e x，g″（x）=1﹣e x＜0，故g′（x）在22．在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O 和直线l的公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0，直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0．（2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，解得．即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1），转化为极坐标为．23．已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）让绝对值内各因式为0，求得x值，再由求得的x值把函数定义域分段化简求解，取并集得答案；（2）由（1）可得函数f（x）的最小值，把不等式f（x）＜|m﹣1|的解集非空转化为|m﹣2|大于f（x）的最小值求解．【解答】解：（1）原不等式为：|2x+3|+|2x﹣1|≤5，当时，原不等式可转化为﹣4x﹣2≤5，即；当时，原不等式可转化为4≤5恒成立，∴；当时，原不等式可转化为4x+2≤5，即．∴原不等式的解集为．（2）由已知函数，可得函数y=f（x）的最小值为4，∴|m﹣2|＞4，解得m＞6或m＜﹣2．。
四川省成都市2018届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集{}=0123U ，，，，集合()(){}130A x x x =∈--≤N ，则集合U A ð中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 A【解析】由题意得{}1,2,3A =，所以{}0U A =ð，故选A. 考点：集合的基本运算. 2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】 C 【解析】因为()()()i 1i 11ii 1i 22a a a a z ++-+++===-是纯虚数，所以10a -=，即1a =，故选C.考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.3．命题“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是（ ）A ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≤B ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -<C ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -≥D ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -< 【答案】 D【解析】“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是“()01,x ∃∈+∞，001ln x x -<”，故选D. 考点：含一个量词的命题否定.4．定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数()sin sgn f x x x =⋅的图象大致是（ ）【答案】 B【解析】用排除法，易知()f x 是偶函数，故排除A 选项；当0x <<π时，()0f x >，故排除D 选项；当2x π<<π时，()0f x <，故排除C 选项.故选B. 考点：函数的图象. 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】A 【解析】易知ln 2122<<，22ln 22+>，()20ln 21<<，所以c a b <<.故选A.考点：指数与对数运算及单调性. 6．当,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭时，若()()sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为（ ） A．3B．3- C ．43 D ．43-【答案】C【解析】由诱导公式得()()sin cos sin cos ααααπ--π+=+，所以72sin cos 9αα=-，()()2216sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=，又,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα->所以4sin cos 3αα-=.故选C. 考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】B【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为112510C C =，取出红球的总数为111113125C C C C +=，所以乙袋中取出红球的概率为51102P ==.故选B. 考点：古典概型.8．某企业可生产,A B 两种产品.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产,A B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（ ） A ．467吨 B ．450吨 C ．575吨 D ．600吨 【答案】C【解析】设生产,A B 产品的产量分别为,x y （单位：100吨），由题意得约束条件2003001400,200100900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩求目标函数z x y =+的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中()4.5,0A ，()3.25,2.5B ，140,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由可行区域可得目标函数z x y =+经过()3.25,2.5B 时，z 取最大值，故max 5.75z =（100吨）. 故选C.考点：线性规划问题.9．在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ）A ．B ．323πC ．12πD ．643π【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.所以2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A 的=643π.故选D.考点：1、简单几何体；2、基本不等式.10．已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（ ）A B ． C ． D ． 【答案】A【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =，因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==. 又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积112S =⨯=故选A.考点：平面向量线性运算.11.已知,A B 是椭圆C ：221259x y +=上关于坐标原点O 对称的两个点，,,P M N 是椭圆C 异于,A B 的点,且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则MON △的面积为（ ）A ．2B ．32C ．152D ．252【答案】C【解析】方法一：特殊值法，取,A B 为短轴的端点，即()0,3A ,()0,3B -，点P 为左顶点()5,0P -，则直线OM ，ON 的方程分别为35y x =，35y x =-，所以M，N ，所以152MON S =△.故选A. 方法二：若,PA PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点,M N 为椭圆C 长轴和短轴的一个端点，所以1155322MON S =⨯⨯=△；若,PA PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则925PA PB k k ⋅=-，设直线OM ，ON 的方程分别为1y k x =，2y k x =，则12925k k ⋅=-.联立2211,259,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得M ⎛⎫，同理可得N ⎛⎫，所以MON S =△()121222515.2152k k k k ==-==- 故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.12．在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++> (其中e 2.71828=为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数,则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】易得()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>⇔()()22e21e x x a x ->-.设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式等价与()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <，所以原不等式的解集中有无数个大于2的整数，所以0a >.因为()20f =，()22e 0g a =>，所以()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--.设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()()21e 2e 302exx x ϕϕ+''=-≤=，所以()x ϕ在[)4,+∞上为减函数，所以()()()242e2e 0x ϕϕ≤=-<，所以当4x ≥时，()0h x '<，所以()h x 在[)4,+∞上为减函数，所以()()324223e 3e 44e 3e 4e e 4022h x h a ⎛⎫≤=-≤-=-< ⎪⎝⎭， 所以当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立，所以原不等式的解集中没有大于2的整数.所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()33,44,55,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩所以232425e 2e ,4e 3e ,9e 4e ,a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩解得32944e 3ea ≤<.故选D.考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为 .【答案】0【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为()5110-=. 考点：二项式定理.14．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1DD 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 .【解析】以点D 原点，1,,DA DB DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则()2,0,0A ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,0,1AE =-，()12,2,2BD =--，所以11115cos ,5AE BD AE BD AE BD ⋅==AE 与1BD 考点：空间角.15．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，已知a c -=，sin B C =.则cos 26Aπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【答案】8【解析】因为sin sin B C =，所以b =，又6a c -=，所以2a c =，由余弦定理得2222cos 2b c a A bc +-===sin A =sin 2A =1cos 24A =-.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 6668A A A πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 考点：1、正余弦定理；2、三角恒等变换.16.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =的所有3个元素的子集记为123,,,,k A A A A ，*k ∈N .记ia 为集合i A （1,2,3,,i k =）中的最大元素，则12k a a a +++= .【答案】630【解析】集合M 含有3个元素的子集共有3984C =，所以84k =.在集合i A （1,2,3,,i k =）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；最大元素为7的集合有2615C =；最大元素为8的集合有2721C =；最大元素为9的集合有2828C =.所以12314356610715821928630k a a a +++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：1、集合间的基本关系；2、组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，243,,S S S 成等差数列，且23438a a a ++=-. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(I)112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1242n n n T -+=-. 【解析】考点：1、等比数列；2、错位相减法. 18．（本小题满分12分）某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x 和销售额y 的数据如下表:根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y 具有线性相关关系.（I ）求销售额y 关于产品研发费x 的回归方程ˆˆˆln yb x a =+ (ˆˆ,a b 的计算结果精确到小数点后第二位)；（Ⅱ）根据（I ）的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？【答案】(I)ˆ11.99ln 21.86y x =+；（Ⅱ）55.5.【解析】考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.19．（本小题满分12分）如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.（I ）求证：PD EC ⊥；（Ⅱ）求平面PEC 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(I)见解析；. 【解析】考点：1、点线面间的垂直关系；2、向量方法求面面的夹角. 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是1:2.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线l :()0y kx m m =+≠与曲线C 相交于不同的两点,P Q .（I ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求OPQ △面积的最大值.【答案】(I)22143x y +=； 【解析】考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系. 21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1f x k x k x k =--+-，其中,0k k ∈≠R . （I ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()g x .若函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明:12203x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭.【答案】(I)22143x y +=； 【解析】考点：导数在研究函数的单调性中的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4c o s ρθ=，直线l 的极坐标方程是s i n 14θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.【答案】(I)()2224x y -+=，10x y +-=；（Ⅱ）【解析】考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =++-，a ∈R . （I ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若不等式()1f x <的解集为非空集合，求a 的取值范围. 【答案】(I)[]1,1-；（Ⅱ）31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】考点：解含绝对值的不等式.。
成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测数学〔文科〕本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷〔选择题，第Ⅱ卷〔非选择题〕，总分值150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集{}=0123U ，，，，集合()(){}130A x x x =∈--≤N ，则集合UA 中元素的个数是〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】由题意得{}1,2,3A =，所以{}0UA =，故选A.2．假设复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为〔 〕 A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【解析】因为()()()i 1i 11i i 1i22a a a a z ++-+++===-是纯虚数，所以10a -=，即1a =，故选C. 3．命题“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否认是〔 〕A ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≤B ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -<C ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -≥D ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -< 【解析】“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否认是“()01,x ∃∈+∞，001ln x x -<”。
故选D.4．定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数()sin sgn f x x x =⋅的图象大致是〔 〕【解析】用排除法，易知()f x 是偶函数，故排除A 选项；当0x <<π时，()0f x >，故排除D 选项；当2x π<<π时，()0f x <，故排除C 选项.故选B. 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是〔 〕A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b << 【解析】易知ln 2122<<，22ln22+>，()20ln 21<<，所以c a b <<.故选A.6．当,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭时，假设()()2sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为〔 〕 A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-【解析】由诱导公式得()()2sin cos sin cos 3ααααπ--π+=+=，所以72sin cos 9αα=-，()()2216sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=，又,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα->所以4sin cos 3αα-=.故选C.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为〔 〕 A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为112510C C =，取出红球的总数为111113125C C C C +=，所以乙袋中取出红球的概率为51102P ==.故选B. 8．某企业可生产,A B 两种产品.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B 该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产,A B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是〔 〕A ．467吨B ．450吨C ．575吨D ．600吨 【解析】设生产,A B 产品的产量分别为,x y 〔单位：100吨〕，由题意得约束条件2003001400,200100900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩求目标函数z x y =+的最大值.由约束条件得可行区域〔如图〕，其中()4.5,0A ，()3.25,2.5B ，140,3C ⎛⎫⎪⎝⎭.由可行区域可得目标函数z x y =+经过()3.25,2.5B 时，z 取最大值，故max 5.75z =〔100吨〕. 故选C.9．在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .假设正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的外表上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的外表积为〔 〕A． B ．323π C ．12π D ．643π【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.所以2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤=⎪⎝⎭，当且仅当632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A=，所以该球的外表积为643π.故选D. 10．已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c .双曲线C 上存在一点P ，使得1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则双曲线C 的离心率的取值范围是〔 〕A．(1,1+ B．(1,1 C．( D．( 【解析】不妨设点P 在双曲线右支上，在12PF F △中，由正弦定理得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin sin PF PF F a PF F PF c ∠==∠，所以212PF a PF PF c a=--，所以22PF a a c a =-，所以222a PF c a =-，又2PF c a >-，所以22a c a c a>--，所以2220c ac a --<，所以2210e e --<，解得11e <<.故选A.11．已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于〔〕A ．B ．CD ．【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =， 因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==. 又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积112S =⨯=故选C.12．在关于x 的不等式2e e 0xxx ax a --> (其中e 2.71828=为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个正整数,则实数a 的取值范围为〔 〕 A ．4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】易得不等式2e e 0xxx ax a -->⇔()21e x x a x >+. 设()2f x x =，()()1e x g x a x =+，则原不等式等价与()()f x g x >.假设0a ≤，则当0x >时，()0f x >，()0g x <，所以原不等式的解集中有无数个正整数，所以0a >.因为()00f =，()00g a =>，所以()()00f g <. 当()()11f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()2h x f x g x x =-≥， 则()()()2e 22e 22ex xx h x x a x x +'=-+≤-.设()()()2e 222ex x x x x ϕ+=-≥，则()()()3e 2102ex x x ϕϕ+''=-≤=， 所以()x ϕ在[)2,+∞上为减函数，所以()()()222e 0x ϕϕ≤=-<， 所以当2x ≥时，()0h x '<，所以()h x 在[)2,+∞上为减函数，所以()()23e 243e 402h x h a ≤=-≤-<，所以当2x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立，所以有且仅有两个正整数，则()()()()()()11,22,33,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩所以2312e,43e ,94e ,a a a >⎧⎪>⎨⎪≤⎩解得32944e 3e a ≤<.故选D.二、填空题：本大题共5小题,每题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是 .【解析】设半径为R ，则12sin1R=，所以12sin1R =，弧长12sin1l R R α===.14．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知a =，3b =，3A π=，则角C 的大小为 . 【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得1sin 2B =，又b a <，所以6B π=，所以2C π=. 15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 .【解析】如图，连接BD ，取BD 的中点为F ，连接,EF AF ，则EF ∥1BD . 所以AEF ∠〔或AEF ∠的补角〕是异面直线AE 与1BD 所成角. 设正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，则5AE =,2AF =,3EF =,由余弦定理得22215cos 25AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅.所以异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为155. 16．设二次函数()2f x ax bx c =++〔,,a b c 为实常数〕的导函数为()f x '，假设对任意x ∈R 不等式()()f x f x '≤恒成立，则222b a c+的最大值为 .【解析】由题意得()2f x ax b '=+，所以()()()220f x f x ax b a x c b '≤⇔+-+-≤，所以二次不等式()220ax b a x c b +-+-≤在R 上恒成立，所以()()20,240,a b a a c b <⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩即220,44.a b ac a <⎧⎨≤-⎩所以222222241441c b ac a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 设c t a =，因为()0,40,a a c a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩所以c a ≤，所以1t ≥.当1t =时，()24101t t -=+；当1t >时，所以()()2414422221222121t t t t -=≤=-++-++-，当且仅当21t =+，即()21c a =+时，()2411t t -+取最大值， 故当2242b a =，()21c a =+时，222b a c+取最大值为222-.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔本小题总分值12分〕已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，243,,S S S 成等差数列，且23438a a a ++=-.〔I 〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】18．〔本小题总分值12分〕某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x 和销售额y 的数据如下表:根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y 具有线性相关关系.〔I 〕求销售额y 关于产品研发费x 的回归方程ˆˆˆln yb x a =+ (ˆˆ,a b 的计算结果精确到小数点后第二位)；〔Ⅱ〕根据〔I 〕的结果预则：假设2018年的销售额要到达70万元，则产品研发费大约需要多少万元？【解析】19．〔本小题总分值12分〕如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB 的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.〔I 〕求证：PD EC ⊥；〔Ⅱ〕求四棱锥P AECD -的体积. 【解析】20．〔本小题总分值12分〕在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()1,0B ，动点M 满足4MA MB +=.记动点M 的轨迹方程为曲线C ，直线l ：2y kx =+与曲线C 相交于不同的两点,P Q . 〔I 〕求曲线C 的方程；〔Ⅱ〕假设曲线C 上存在点N ，使得()OP OQ ON λλ+=∈R ，求λ的取值范围. 【解析】21．〔本小题总分值12分〕已知函数()ln f x x =，()1g x x =+.假设函数()f x 图象上任意一点P 关于直线y x =的对称点Q 恰好在函数()h x 的图象上.〔I 〕证明：()()g x h x ≤； 〔Ⅱ〕假设函数()()()1f x F x g x =+在[)()*,k k +∞∈N 上存在极值，求k 的最大值. 【解析】请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22．〔本小题总分值10分〕选修4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是2sin 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度. 〔I 〕求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)假设直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.【解析】23．〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =++-，a ∈R . 〔I 〕当2a =时，解不等式()4f x ≤；〔Ⅱ〕假设不等式()1f x <的解集为非空集合，求a 的取值范围. 【解析】。
成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设全集{}=0123U ，，，，集合()(){}130A x x x =∈--≤N ，则集合U A ð中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 A【解析】由题意得{}1,2,3A =，所以{}0U A =ð，故选A. 考点：集合的基本运算. 2．若复数i1ia z +=-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】 C 【解析】因为()()()i 1i 11ii 1i 22a a a a z ++-+++===-是纯虚数，所以10a -=，即1a =，故选C.考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.3．命题“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是（ ）A ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≤B ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -<C ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -≥D ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -< 【答案】 D【解析】“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是“()01,x ∃∈+∞，001ln x x -<”，故选D. 考点：含一个量词的命题否定.4．定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数()sin sgn f x x x =⋅的图象大致是（ ）【答案】 B【解析】用排除法，易知()f x 是偶函数，故排除A 选项；当0x <<π时，()0f x >，故排除D 选项；当2x π<<π时，()0f x <，故排除C 选项.故选B. 考点：函数的图象. 5．已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，()2ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】A 【解析】易知ln 2122<<，22ln 22+>，()20ln 21<<，所以c a b <<.故选A.考点：指数与对数运算及单调性.6．当,2απ⎛⎫∈π⎪⎝⎭时，若()()sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．43D ．43-【答案】C【解析】由诱导公式得()()sin cos sin cos ααααπ--π+=+，所以72sin cos 9αα=-，()()2216sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=，又,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα->所以4sin cos 3αα-=.故选C. 考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．59 D ．29【答案】B【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为112510C C =，取出红球的总数为111113125C C C C +=，所以乙袋中取出红球的概率为51102P ==.故选B. 考点：古典概型.8．某企业可生产,A B 两种产品.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产,A B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（ ） A ．467吨 B ．450吨 C ．575吨 D ．600吨 【答案】C【解析】设生产,A B 产品的产量分别为,x y （单位：100吨），由题意得约束条件2003001400,200100900,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩求目标函数z x y =+的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中()4.5,0A ，()3.25,2.5B ，140,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由可行区域可得目标函数z x y =+经过()3.25,2.5B 时，z 取最大值，故max 5.75z =（100吨）. 故选C.考点：线性规划问题.9．在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ）A ．B ．323πC ．12πD ．643π【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.所以2216336224x y a S xy +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A 的=643π.故选D.考点：1、简单几何体；2、基本不等式.10．已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（ ）A B ． C ． D ． 【答案】A【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =， 因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==.又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积112S =⨯=故选A.考点：平面向量线性运算.11.已知,A B 是椭圆C ：221259x y +=上关于坐标原点O 对称的两个点，,,P M N 是椭圆C 异于,A B 的点,且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则MON △的面积为（ ）A B ．32 C ．152 D ．252【答案】C【解析】方法一：特殊值法，取,A B 为短轴的端点，即()0,3A ,()0,3B -，点P 为左顶点()5,0P -，则直线OM ，ON 的方程分别为35y x =，35y x =-，所以M，N ，所以152MON S =△.故选A. 方法二：若,PA PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点,M N 为椭圆C 长轴和短轴的一个端点，所以1155322MON S =⨯⨯=△；若,PA PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则925PA PB k k ⋅=-，设直线OM ，ON 的方程分别为1y k x =，2y k x =，则12925k k ⋅=-.联立2211,259,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得M ⎛⎫，同理可得N ⎛⎫，所以MON S =△()121222515.2152k k k k ==-==- 故选A.考点：直线与椭圆的位置关系.12．在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++> (其中e 2.71828=为自然对数的底数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数,则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D【解析】易得()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>⇔()()22e21e x x a x ->-.设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式等价与()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <，所以原不等式的解集中有无数个大于2的整数，所以0a >.因为()20f =，()22e 0g a =>，所以()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--.设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()()21e 2e 302exx x ϕϕ+''=-≤=，所以()x ϕ在[)4,+∞上为减函数，所以()()()242e2e 0x ϕϕ≤=-<，所以当4x ≥时，()0h x '<，所以()h x 在[)4,+∞上为减函数，所以()()324223e 3e 44e 3e 4e e 4022h x h a ⎛⎫≤=-≤-=-< ⎪⎝⎭，所以当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立，所以原不等式的解集中没有大于2的整数.所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()33,44,55,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩所以232425e 2e ,4e 3e ,9e 4e ,a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩解得32944e 3ea ≤<.故选D.考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.13．51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为 .【答案】0【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为()5110-=. 考点：二项式定理.14．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1DD 的中点，则异面直线AE 与1BD 所成角的余弦值为 .【答案】5【解析】以点D 原点，1,,DA DB DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则()2,0,0A ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,0,1AE =-，()12,2,2BD =--，所以11115cos ,5AE BD AE BD AE BD⋅==AE 与1BD 所成角的余弦值为5. 考点：空间角.15．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a bc ，已知a c -=，sin B C =.则cos 26A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .【答案】8【解析】因为sin sin B C =，所以b =，又6a c-=，所以2a c =，由余弦定理得2222cos24b c a A bc +-===，所以sin 4A =，所以sin 24A =，1cos 24A =-. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A πππ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭. 考点：1、正余弦定理；2、三角恒等变换.16.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =的所有3个元素的子集记为123,,,,k A A A A ，*k ∈N .记ia 为集合i A （1,2,3,,i k =）中的最大元素，则12k a a a +++= .【答案】630【解析】集合M 含有3个元素的子集共有3984C =，所以84k =.在集合i A （1,2,3,,i k =）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5的集合有246C =；最大元素为6的集合有2510C =；最大元素为7的集合有2615C =；最大元素为8的集合有2721C =；最大元素为9的集合有2828C =.所以12314356610715821928630k a a a +++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.考点：1、集合间的基本关系；2、组合.三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，243,,S S S 成等差数列，且23438a a a ++=-. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(I)112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1242n n n T -+=-. 【解析】考点：1、等比数列；2、错位相减法. 18．（本小题满分12分）某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x 和销售额y 的数据如下表:根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y 具有线性相关关系.（I ）求销售额y 关于产品研发费x 的回归方程ˆˆˆln yb x a =+ (ˆˆ,a b 的计算结果精确到小数点后第二位)；（Ⅱ）根据（I ）的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？【答案】(I)ˆ11.99ln 21.86y x =+；（Ⅱ）55.5.【解析】考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.19．（本小题满分12分）如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.（I ）求证：PD EC ⊥；（Ⅱ）求平面PEC 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】(I)见解析；. 【解析】考点：1、点线面间的垂直关系；2、向量方法求面面的夹角.20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是1:2.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线l :()0y kx m m =+≠与曲线C 相交于不同的两点,P Q .（I ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求OPQ △面积的最大值.【答案】(I)22143x y +=； 【解析】考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系.21．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1f x k x k x k =--+-，其中,0k k ∈≠R .（I ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()g x .若函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明:12203x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】(I)22143x y +=； 【解析】考点：导数在研究函数的单调性中的应用.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4c o s ρθ=，直线l 的极坐标方程是s i n 14θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度.（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.【答案】(I)()2224x y -+=，10x y +-=；（Ⅱ） 【解析】考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x a =++-，a ∈R .（I ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若不等式()1f x <的解集为非空集合，求a 的取值范围.【答案】(I)[]1,1-；（Ⅱ）31,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】考点：解含绝对值的不等式.。
成都七中2018届高三三诊模拟试题(理科)数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则为（ ）{}230A x x x =->{B x y ==A B A ． B ． C ． D ．[)0,3()1,3(]0,1∅2. 已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为（ ）z 1+1zz i=-i z A ． B ．-1 C ． 1 D ．i i-3. 把内的均匀随机数分别转化为和内的均匀随机数，，需实施的变[]0,1x []0,4[]4,11y 2y 换分别为A ．B ． 124,54y x y x =-=-1244,43y x y x =-=+C ．D ． 124,54y x y x ==-124,43y x y x ==+4. 已知命题,，命题，则下列说法中正确的是（:p x R ∃∈20x ->:q x R ∀∈x <）A ．命题是假命题B ．命题是真命题 p q ∨p q ∧C. 命题真命题 D ．命题是假命题()p q ∧⌝()p q ∨⌝5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A ． 4B ．．26+6. 已知为内一点，且，，若,,三点共线，O ABC ∆1()2AO OB OC =+AD t AC = B O D 则的值为（ ）t A ．B ． C. D ．141312237. 已知二项式的展开式中的系数为，则的值为（ ）91()2x ax +3x 212-()1e ax dx x+⎰A ． B ． C. D ．212e +232e -232e +252e -8. 运行下列框图输出的结果为43，则判断框应填入的条件是（ ）A ． B ． C. D ．42z ≤45z ≤50z ≤52z ≤9. 已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（ ）A ． 240种B ．360种 C.480种 D ．600种10.将函数图象上每一点的横坐标伸长为为原来()sin ()0,22f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤<⎪⎝⎭的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度得到的图象，则函数的单56πcos y x =()f x 调递增区间为（ ）A ．B ． 52,21212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C. D ．5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦5,66k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11. 已知双曲线，抛物线222:41(0)x C y a a -=>的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线2:2E y px =C E M 和距离之和的最小值为（ ）1:4360l x y -+=2:1l x =-A ．1 B ． 2 C. 3 D ．412.定义函数,则函数在区间348,12,2()1(222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()()6g x xf x =-内的所有零点的和为（ ）1,2()n n N *⎡⎤∈⎣⎦A ． B ． C.D ．n 2n 3(21)4n -3(21)2n -第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若随机变量，则，2(:)Z N μσ ()0.6826P z μσμσ-<≤+=.已知随机变量，则(22)0.9544P z μσμσ-<≤+=(6,4)X N (28)P X <≤．14. 在锐角中，角、、所对的边分别为，且、、成等差数列，ABC ∆A B C ,,a b c A B C，则面积的取值范围是 ．b =ABC ∆15.已知的三个顶点，，，其外接圆为.对于线段ABC ∆(1,0)A -(1,0)B (3,2)C H 上的任意一点，BH P 若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，则的C ,M N M PN C 半径的取值范围 ．r 16. 四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的S ABCD -ABCD SAD SD等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表S ABCD -83⎤⎥⎦面积的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列.{}n a 37a =1a 4a 13a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）记数列的前项和，求.{}2n n a ⋅n n S n S 18. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为22⨯以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.X X 参考数据：20()P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828，其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d=+++19. 在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，ABCDEF ABCD ADEF //AB DC，，，1AB AD ==2CD =AC EC ==（1）求证：平面平面；EBC ⊥EBD （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.M EC 3EM EC =M BD E --20.设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，1F 2F 222:14x y E b +=P 的最大值为1.12PF PF（1）求椭圆的方程；E （2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为(与不重1x ky =-E ,A B A x A 'A 'B 合)，则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若A B 'x 不是，请说明理由.21.已知函数，其中；1()ln f x a x x=+a R ∈（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值，()f x 1x =a （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，若关于的不等式，当x 22(2)2(1)()32x t x t f x t N x x *+++++>∈++时恒成立，求的值.1x ≥t22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为xOy 1C ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩α极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.x 22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；1C 2C （Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.1C 4πl 2C ,A B AB 23.选修4-5：不等式选讲已知，使不等式成立.x R ∃∈12x x t ---≥（1）求满足条件的实数的集合；t T （2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值.1m >1n >t T ∀∈33log log m n t ⋅≥22m n +成都七中2018届高三三诊模拟数学试题(理答案)一、选择题1-5: CCCCB 6-10: BBACC 11、12：BD 二、填空题13. 0.8185 14. 15.16.28,203ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∴（2）21n a n =+12(12)2n n +--⨯18.解:（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：22⨯45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，2K 2100(3554515) 6.25 3.84150508020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上63=84的概率为，故所求概率.11622837C C C =347374P ==②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.X ，，.262815(0)28C P X C ===116228123(1)287C C P X C ====22281(2)28C P X C ===故随机变量的分布列为：X X 012P152837128所以.311()127282E X =⨯+⨯=19. 解:（1）因为，，1AD =2CD =AC =222AD CD AC +=所以为直角三角形，且ADC ∆AD DC ⊥同理因为，，1,2ED CD ==EC =222ED CD EC +=所以为直角三角形，且，EDC ∆ED DC ⊥又四边形是正方形，所以ADEF AD DE ⊥又因为//AB DC 所以.DA AB ⊥在梯形中，过点作作于，ABCD B BH CD ⊥H故四边形是正方形，所以.ABHD 45ADB ∠=︒在中，，∴.BCH ∆1BH CH ==45BCH ∠=︒BC =∴，∴∴.45BDC ∠=︒90DBC ∠=︒BC BD ⊥∵，,.平面，平面.ED AD ⊥ED DC ⊥AD DC D = AD ⊂ABCD DC ⊂ABCD 所以平面,BD ⊥ABCD 又因为平面，所以BC ⊂ABCD ED BC⊥因为，平面，平面.BD ED D = BD ⊂EBD ED ⊂EBD ∴平面，平面，∴平面平面BC ⊥EBD BC ⊂EBC EBC ⊥EBD（2）以为原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图)则D DA DC DE ,,x y z .令，则，(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)D E B C 00(0,,)M y z 00(0,,1)EM y z -(0,2,1)EC -因为，∴3EM EC =00(0,3,33)(0,2,1)y z a -=-∴.22(0,,)33M =因为平面，∴，取是平面的一个法向量.BC ⊥EBD (1,1,0)BC - (1,1,0)n -EBD设平面的法向量为.MBD (,,)m x y z =则，即即.00m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 022033x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩x y z =-=-令，得，1y =-(1,1,1)m =-∴()cos ,m n m n m n ⋅=== 20.解:（1）易知，，2a =c =24b <所以，，设，则()1F)2F (),P x y ，()12,PF PF x y ⋅=-- )222222222,44(1444b x b x y x y b x b b x b b --=++-=+-+-=-+-+因为，故当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，即[]2,2x ∈-2x =±P 12PF PF ⋅ ，解得221(1444b b b =-⨯+-+1b =故所求的椭圆方程为2214x y +=（2）设，，则，由得()11,A x y ()22,B x y 11(,)A x y '-22114x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，22(4)230k y ky +--=故，.12224k y y k +=+12234y y k -⋅=+经过点，的直线方和为11(,)A x y '-22(,)B x y 112121y y x x y y x x +-=+-令，则，0y =21211121211211121212()()x x x x y y y x x y x y x y x y y y y y y --+++=+==+++又因为，，∴当时，111x ky =-221x ky =-0y =，2221122112121212122262+(1)(1)2()4442244k k x y x y ky y ky y ky y y y k k x k k y y y y k k ---+--+++=====-++++这说明，直线与轴交于定点.A B 'x (4,0)-21.解:（Ⅰ）2211()a ax f x x x x-'=-+=当时，，解得1x =()0f x '=1a =经验证满足条件，1a =（Ⅱ）当时，1a =22(2)21(1)3221x t x t x t f x x x x x ++++++>=+++++整理得(2)ln(1)t x x x<++-令，()(2)ln(1)h x x x x =++-则，21()ln(1)1ln(1)011x h x x x x x +'=++-=++>++(1)x ≥所以，即min ()3ln 21h x =-3ln 21(0,2)t <-∈∴1t =（Ⅲ）[]3()(3)3ln (3)(3)g x g x a x x x x +-=----令,，构造函数(3)(0,2)t x x =-∈3()3ln F t a t t=--即方程在区间上只少有两个解3()3ln 0F t a t t=--=(0,2)又，所以方程在区间上有解(1)0F =3()3ln 0F t a t t =--=(0,1)(1,2)⋃2233()a at F t t t t-'=-=当时，，即函数在上是增函数，且，0a ≤()0F t '>()y F t =(0,2)(1)0F =所以此时方程在区间上无解(0,1)(1,2)⋃当时，，同上方程无解01a <≤()0F t '>当时，函数在上递增，在上递减，且13a <<()F t 3(0,a 3(,2)a 31a>要使方程在区间上有解，则，即()0F t =(0,1)(1,2)⋃(2)0F <33ln 202ln 4a a -<⇒>所以此时3(,3)ln 4a ∈当时，函数在上递增，在上递减，且，3a >()F t 3(0,)a 3(,2)a 31a <此时方程在内必有解，()0F t =3(0,)a当时，函数在上递增，在上递减，且3a =()F t (0,1)(1,2)(1)0F =所以方程在区间内无解()0F t =(0,1)(1,2)⋃综上，实数的范围是a 3(,3)(3,)ln 4⋃+∞22.解:（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩即曲线的普通方程为1C 221204x y +=∵，，222x y ρ=+cos x ρθ=sin y ρ=曲线的方程可化为2C 224240x y x y ++-+=即.222:(2)(1)1C x y ++-=（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，1C (4,0)-l 4πα=sin cos αα==所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得l 4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C ，所以.设对应的参数分别为则所以240t-+=2(4420∆=--⨯=>,A B 12,t t ，.12t t +=124t t =所以12AB t t =-===23.解：（1）令，则，1,1()1223,121,2x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩1()1f x -≤≤由于使不等式成立，有.x R ∃∈12x x t ---≥{}1t T t t ∈=≤（2）由（1）知，，根据基本不等式33log log 1m n⋅≥，33log log 2m n +≥≥从而，当且仅当时取等号，23mn ≥3m n ==再根据基本不等式，当且仅当时取等号.6m n +≥≥3m n ==所以的最小值为18.m n。
2018 年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.设全集 U={0 ， 1， 2， 3} ，集合 A={ x∈N|（ x-1）（ x-3）≤ 0}，则集合 ? U A 中元素的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.若复数（ i 为虚数单位， a∈R）是纯虚数，则实数 a 的值是（）A. -1B. 1C.D.3.命题“ ? x∈（ 1，+∞）， x-1≥ lnx”的否定是（）A. ? x∈（1，+∞），x-1≤lnxB. ? x∈（1，+∞），x-1＜lnxC. ? x0∈（1，+∞），x0-1≥lnx0D. ? x0∈（1，+∞），x0-1＜lnx04.定义符号函数 sgnx=则函数 f（ x） =sinx?sgnx 的图象大致是（）A.B.C.D.5.已知实数 a=2ln2，b=2+2ln2 ， c=（ ln2 ）2，则 a， b， c 的大小关系是（）A. c＜a＜bB. c＜b＜aC. b＜a＜cD. a＜c＜bA. B. C. D.7. 已知甲袋中有 1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有 2 个黄球和 2 个红球，现随机地从甲袋中取出 1 个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出 1 个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率为（）A. B. C. D.8. 某企业可生产A， B 两种产品．投资生产 A 产品时，每生产100 吨需要资金200 万元，场地 200 平方米；投资生产 B 产品时，每生产100 吨需要资金300 万元，场地100 平方米．若该企业现可使用资金1400 万元，场地900 平方米投资生产A，B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（）A. 467吨B. 450吨C. 575吨D.600 吨9.在正三棱柱 ABC-A1B1C1（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的棱柱）中，所有棱长之和为定值 a．若正三棱柱 ABC-A1B1C1的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值 24 时，该球的表面积为（）A. B. C. 12π D.10.已知P ABC所在平面内一点，=，PBC 为△，则△的面积等于（）A. B. C. D.11.已知 A， B 是椭圆 C：上关于坐标原点O 对称的两个点， P， M，N 是椭圆 C 异于 A， B 的点，且 AP∥OM ， BP∥ON，则△MON 的面积为（）A. B. C. D.12.在关于 x 的不等式 e2x2-（ ae x+4e2） x+ae x+4e2＞ 0（其中 e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于 2 的整数，则实数 a 的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.的展开式中各项系数之和为______．14.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点，则异面直线AE 与 BD 1所成角的余弦值为 ______ ．15.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，．则=______．16.已知集合 M={1 ， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8，9} 的所有 3个元素的子集记为A1， A2，三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）17.已知S n为等比数列{ a n}的前n项和，S2，S4，S3成等差数列，且．（I）求数列 { a n} 的通项公式；（Ⅱ）设 b n=n|a n|，求数列 { b n} 的前 n 项和 T n．18. 某企业统计自 2011 年到 2017 年的产品研发费x 和销售额 y 的数据如表：2011 年2012年 2013 年2014 年2015 年2016 年2017 年产品研发费 x（单246111319位：万元）1z=ln x00.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94销售额 y（单位：19324044525354万元）根据上表中的数据作出散点图，得知产品研发费的自然对数值z（精确到小数点后第二位）和销售额y 具有线性相关关系．（ I）求销售额 y关于产品研发费x 的回归方程（的计算结果精确到小数点后第二位）；（Ⅱ）根据（ I ）的结果预则：若 2018 年的销售额要达到 70 万元，则产品研发费大约需要多少万元？参考数据： ln55.5 ≈4.02，ln60.3 ≈4.10， ln127.7 ≈4.85（ x i（ z i（ x i（ z i）2）2）（ y i））（y i）842 1.68240 6.7943481.41参考公式：对于一组数据（x1，y1），（ x2， y2），（ x n，y n），其回归直线= x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=．19. 如图①，在等腰梯形ABCD中，已知AB CD ABC=60° CD=2，AB=4，点E为∥，∠，AB 的中点；现将三角形 BEC 沿线段 EC 折起，形成直二面角P-EC-A，如图②，连（I）求证： PD⊥EC ；（Ⅱ）求平面 PEC 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值．20.在平面直角坐标系xOy 中，动点 M 与定点 F（ 1，0）的距离和它到直线x=4 的距离的比是 1：2．记动点 M 的轨迹为曲线 C，直线 l： y=kx+m（ m≠0）与曲线 C 相交于不同的两点 P， Q．（I）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）求△OPQ 面积的最大值．21.已知函数 f（ x） =（1-k） x-kln x+k-1，其中 k∈R， k≠0．（I）讨论函数 f（ x）的单调性；（Ⅱ）设函数 f（x）的导函数为 g（ x）．若函数 f（ x）恰有两个零点 x1， x2（ x1＜x2），证明：．22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθl的极坐标方程是，直线，点在直线 l 上．以极点为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度．（ I）求曲线 C 及直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点A， B，求 |QA|+|QB |的值．23.已知函数 f（ x） =|2x+1|+|x-a|，a∈R．（ I）当 a=2 时，解不等式 f（ x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，求 a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={1 ，2，3} ；∴?A={0} ．U故选：A．可解出集合 A ，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的概念，以及补集的运算．2.【答案】B【解析】解：∵=是纯虚数，∴，即a=1．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求得 a 值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：“? x∈（1，+∞），x-1≥lnx 的”否定是“?x0∈（1，+∞），x0-1＜lnx 0”，故选：D．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：用排除法，易知f （x）是偶函数，故排除A 选项；当 0＜x＜π时，f（x ）＞0，故排除 D 选项；当π＜x＜2π时，f（x）＜0，故排除 C 选项．故选：B．分析函数的奇偶性，及当 0＜ x＜π时和当π＜x＜2π时，f （x）的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象和性质，难度中档．5.【答案】A【解析】ln2＜ 2，2+2ln2＞2，0＜（ln22解：易知1＜2）＜1，∴c＜a＜b．故选：A．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】诱导公式得，解：由所以；又，且，所以 sin α-cosα＞ 0，所以．故选：C．根据三角函数诱导公式以及同角的三角函数关系，求解即可．本题考查了三角函数诱导公式以及同角的三角函数基本关系应用问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋，再从乙袋出 1 个球的总数为 n=，取出红球的总数为 m=，所以乙袋中取出红球的概率为．故选：B．先从甲袋中取出 1 个球放入乙袋，再从乙袋出 1 个球的总数为，取出红球的总数为，由此能求出乙袋中取出红球的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识查查，考运算求解能力，考函数与方程思想，是基础题．8.【答案】C【解析】解：设生产 A ，B 产品的产量分别为 x，y（单位：100 吨），则两种产品的量之和 z=x+y ．由题意得约束条件，得可行区域如图，其中 A （4.5，0），B（3.25，2.5），．由可行区域可得目标函数 z=x+y 经过 B（3.25，2.5）时，z 取最大值，故z max=5.75（100 吨）．故选：C．设生产 A ，B 产品的产量分别为 x，y（单位：100 吨），则两种产品的量之和z=x+y ，再由已知得到 x，y 所满足的不等式组，作出可行域，数形结合得答案．本题考查简单的数学建模思想方法及数形结合的解题思想方法，属中档题．9.【答案】D【解析】解：设正三棱柱 ABC-A 1B1C1底面边长为 x，侧棱为 y，则 6x+3y=a，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴a=24，x=2，y=4．∴正三棱柱 ABC-A 1B1C1的外接球的球心 O 到顶点 A，2．∴该球的表面积为 4πR=故选：D．设正三棱柱 ABC-A 1B1C1底面边长为 x，侧棱为 y，则的距离为 R=6x+3y=a，三棱柱ABC-A 1B1C1侧面积 S=3xy．当且仅当时，正三棱柱侧面积取得最大值 24，求出正三棱柱 ABC-A 1B1C1的外接球的球心O 到顶点 A 的距离，由此能求出该球的表面积．本题考查三棱柱的外接球的表面积的求法，考查三棱柱、球等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．10.【答案】C【解析】解：分别取边 BC，AC 的中点 D，E，则，，因为，所以，所以 E，D，P 三点共线，且．又，所以，所以，所以△PBC 的面积．分别取边导线，且．从BC，AC 的中点 D，推出 E，D，P 三点共而，，由此能求出△PBC 的面积．本题考查平面向量线性运算，考查三角形面积等基础知识查，考运算求解能查题．力，考函数与方程思想，是中档11.【答案】C【解析】解法一：特殊值法，取 A ，B 为短轴的端点，即 A （0，3），B（0，-3），点 P 为左顶点 P（-5，0），则直线 OM，ON 的方程分别为，，所以，，所以 S△MON=××=．故选 C．解法二：若 PA，PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点 M ，N 为椭圆 C 长轴和短轴的一个端点，所以；若PA，PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则，设直线 OM ，ON 的方程分别为 y=k1x，y=k2x，则联，．立解得，同理可得，所以= | |= | |=||=．故选：C ．方法一、取特殊点，A （0，3），B （0，-3），点P 为左顶点（-5，0），求得直线 OM ，ON 的方程，可得 M ，N 的坐标，由三角形的面积公式计算可得所求；方法二、讨论若 PA ，PB 与坐标轴平行或垂直 时，若PA ，PB 与坐标轴不平行或不垂直 时，联立椭圆方程和直 线方程，求得 M ，N 的坐标，即可得到所求三角形的面 积．本题考查椭圆方程的运用，考查直线的斜率公式和直 线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】 D【解析】解：由e 2x 2-（ae x +4e 2）x+ae x +4e 2＞0，2 2化简得 e （x-2 ）＞ a （x-1），e 设22xf x =e（x-2），g （x ）=a （x-1）e ，则原不等式即 为 f （）＞xg （）．x（）若 a ≤0，则当 x ＞ 2 时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，∴原不等式的解集中有无数个大于 2 的整数，∴a ＞0．∵f （2）=0，g （2）=ae 2＞0，∴f （2）＜g （2）．当 f （3）≤g（3），即 时 设h （x ）=f （x ）-g （x ）（x ≥4），， 则．设则 ，，∴φ（x ）在[4，+∞）上为减函数，∴φ（x ）≤φ（4）=2e 2（2-e ）＜0，∴当 x ≥4时，h'（x ）＜0，∴h （x ）在[4，+∞）上为减函数，∴当 x ≥4时，不等式 f （x）＜g（x）恒成立，∴原不等式的解集中没有大于 2 的整数．∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于 2 的整数，则，即，解得．则实数 a的取值范围为 [，）．故选：D．2222x化简不等式可得 e（x-2）＞a（x-1），e设 f（x）=e （x-2），g（）x=a（x-1）e ，则原不等式即为单调性分类讨论，得出不等式的解集f （x）＞g（x），根据两函数的中有且仅有两个大于 2 的整数的不等式组解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调查问题，属于中性，考了不等式恒成立档题．13.【答案】0【解析】5解：令x=1，得展开式中各项系数之和为（1-1）=0．故答案为：0．直接在二项式中取 x=1 即可求得的展开式中各项系数之和．本题考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．14.【答案】【解析】解：以点D 原点，DA ，DC，DD 1分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，设棱长为 2，则 A（2，0，0），E（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2），∴，，∴cos＜＞ ==，∴异面直线 AE 与 BD 1所成角的余弦值为．故答案为：．以点 D 原点，DA ，DC，DD 1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标设长为系，棱2，求出的坐标夹值，可得异面直线AE 与 BD1所成角的，求其角余弦余弦值．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，是基础的计算题．【答案】15.【解析】为，解：因所以，又，所以 a=2c，由余弦定理得：，所以，所以，．所以．故答案为：．由已知利用正弦定理可得，进而可求 a=2c，由余弦定理可求 cosA 的值，利用三角函数恒等变换的应用可求 sinA ，sin2A，cos2A 的值进，而可求的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】630【解析】解：集合M 含有 3 个元素的子集共有，所以 k=84．在集合 A i（i=1，2，3，，k）中：最大元素为 3的集合有个；最大元素为 4 的集合有；最大元素为 5 的集合有；最大元素为 6 的集合有；最大元素为 7的集合有；最大元素为 8的集合有；最大元素为 9的集合有．所以 a1+a2++a k=3×1+4×3+5×6+6×10+7×15+8×21+9×28=630．故答案为：630．集合 M 含有 3 个元素的子集共有，所以k=84．由此利用分类讨论思想能求出 a1+a2++a k的值．本题考查集合中 k 个元素的和的求法，考查集合的子集等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）设等比数列{ a n}的公比为q，∵S2、 S4、 S3成等差数列，∴2S4=S2+S3，即 a3+2a4=0，又 a2+a3+a4=- ，∴a1q2+2a1q3=0，a1q+a1q2+a1q3=- ，解得 q=- ， a1=1 ，∴a n=a1 ?q n-1=（ - ）n-1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， n|a n|=n?（）n-1，设 T n=1×（）0+2×（）1+3×（）2++n?（）n-1，①T n=1×（）1+2×（）2+3×（）3+ +n?（）n，②① -②得，T n=（）0+（）1 +（）2 ++（）n-1 -n?（）n=-n?（）n=2-（ n+2） ?（）n，∴T n=4- （ n+2 ） ?（）n-1．【解析】（Ⅰ）设等比数列 {a n} 的公比为 q，由题意和等差中项的性质列出方程并化简，由等比数列的通项公式和条件列出方程组，求出 q 和 a1的值，代入通项公式求出 a n；（Ⅱ）由（Ⅰ）简化n|a n|，利用错位相减法、等比数列的前 n 项和公式求出数列{na n} 的前 n 项和．本题考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式，等差中项的性质，以及错位相减法求数列的和，考查了方程思想，化简、变形能力．18.【答案】解：（ I）求产品研发费的自然对数值z和销售额 y 的回归直线方程，∵ ==≈ 11.99，∴==42- 11.99 × 1.68 ≈ 21，.86∴=11.99z+21.86 ，∴y 关于 x 的回归方程为=11.99ln x+21.86；（Ⅱ）根据（ I ）的回归方程=11.99ln x+21.86，令 =11.99ln x+21.86=70 ，得 lnx≈4.02，解得 x≈55.5，∴2018 年的销售额要达到70 万元，则产品研发费大约需要55.5 万元．【解析】（I）求产品研发费的自然对数值 z 和销售额 y 的回归直线方程，从而得到 y 关于 x 的回归方程；（Ⅱ）根据I（）的回归方程，令=70 求得 x 的值即可．本题考查了用线性回归方程系数公式求 线性方程以及用 样本估计总体解决简单实际问题 ，是中档题．19.【答案】 （ Ⅰ）证明：如图，连接 DE ，连接 DB 与 EC 相交于 Q ，∵AB=4， E 为 AB 的中点， ∴BE=AE =2，则 BE ∥CD ， BE=CD ， CD ∥AE ， CD =AE ． ∴四边形 AECD ，四边形 BEDC 是平行四边形． ∴AD =CE ，又 AD=BC ， ∴CE=BC ，又 ∠ABC=60°， ∴CB=BE ，则四边形 EBCD 为菱形．∴BD ⊥EC ，即 BQ ⊥EC 且 DQ ⊥EC ．在四棱锥 P-AECD 中，∵PQ ⊥EC 且 DQ ⊥EC ，DQ ∩BQ=Q ， ∴EC ⊥平面 PDQ ，而 PD? 平面 PDQ ，则 PD ⊥EC ； （ Ⅱ ）解：在直二面角 P-EC -A 中， ∵PQ ⊥EC ，且平面 PEC ⊥平面 AECD ，平面 PEC ∩平面 AECD =EC ， ∴PQ ⊥平面 AEC ，又 DQ ⊥EC ，故以 Q 为为坐标原点， QC ， QD ， QP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 Q-xyz ．∴C （ 1， 0，0），E （ -1，0，0）， D （0， ，0），P （ 0，0， ）， A （-2， ，0）．∴．设平面 ADP 的一个法向量为，由，取 z=1，可得 ；又平面 PEC 的一个法向量．∴cos ＜＞= ．∴平面 PEC 与平面 PAD 所成锐角的余弦值是．【解析】（Ⅰ）连接 DE ，连接 DB 与 EC 相交于 Q ，由已知可得四边形 AECD ，四边形BEDC 是平行四 边形，则 AD=CE ，再由已知进一步证明四边形 EBCD 为菱形，可得 BD ⊥EC ，即BQ ⊥EC ，又DQ ⊥EC ，由线面垂直的判定可得EC ⊥平面 PDQ ，则 PD ⊥EC ；（Ⅱ）在直二面角P-EC-A 中，由 PQ ⊥EC ，且平面 PEC ⊥平面 AECD ，可得 PQ ⊥平面 AEC ，又DQ ⊥EC ，故以Q 为为坐标原点，QC ，QD ，QP 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 Q-xyz ．分别求出平面 PEC 与平面 PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得平面 PEC 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值．本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力与思 维能力，训练了利用空 间向量求解二面角的大小，是中档 题．20.【答案】 解：（ I ）设动点 M （ x ， y ），可得，化简得，∴曲线 C 的方程：得．（ Ⅱ ）设 P （ x 1， y 1）， Q （ x 2， y 2）， PQ 的中点为（ x 0，y 0）将直线 y=kx+m 与联立，222得（ 3+4k ） x +8 kmx+4 m -12=0 ，=16 12k 22）＞ 0，即 4k 2 2①（ +9-3m +3＞ m △|PQ |= ? ∴∵坐标原点 O 到直线 l 的距离 d=，∴△OPQ 面积 S △OPQ =?=2 × ．设 4k 22， ∴S △××= ．+3= t ， t ≥3且 t ＞ mOPQ =2当且仅当 t=2m 2，即 4k 2 +3=2m 2 时，等号成立． ∴△OPQ 面积的最大值为 ．【解析】（Ⅰ）设动点 M （x ，y ），可得，化简得 ，（Ⅱ）设 P （x ，y ），Q （x 2 ，y ），直线 y=kx+m 与联立，得（3+4k 2）1 1 2x 2+8kmx+4m 2-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式， 弦长公式，结合已知条件能求出 △OPQ 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查△OPQ 面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，弦长公式的合理运用．21.【答案】 （ Ⅰ）解：由 （ ） （1-k ） x-klnx+k-1 ，得′（） （ ）- ，f x =fx = 1-k（1）当 1-k≤0，即 k≥1时， f′（ x）=（ 1-k） - ＜ 0，∴f（x）在（ 0，+∞）上单调递减；（ 2）当 1-k＞ 0，即 k＜1 时， f′（ x） =．①当 k＜ 0 时， -k＞ 0 且（ 1-k） x＞ 0，∴f′（ x）=＞ 0，∴f（x）在（ 0，+∞）上单调递增；②当 0＜ k＜ 1 时， f′（ x）==，∵＞ 0，当 x 变化时， f（ x）， f′（ x）的变化情况如下表：x（ 0，）（， +∞）f′（ x） -0+f（ x）单调递减极小值单调递增综上，当 k＜ 0 时， f（ x）在（ 0， +∞）上单调递增，当 0＜ k＜1 时， f（ x）在（ 0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当 k≥1时， f（x）在（ 0，+∞）上单调递增，（Ⅱ）证明：由（ I ）知，当0＜ k＜ 1 时，函数f（ x）在（ 0，）上单调递减，在（， +∞）上单调递增，又 f（ 1） =0，∵函数 f（ x）恰有两个零点x1，x2（ x1＜ x2），∴或．①当，即时，+令 x2=1，∵当 x→0时， f（ x）→+∞，且，∴有唯一的 x1∈（ 0， 1），使得 f（ x1） =0 ，则不等式等价于，又∵（ 1-k） x1-klnx1 +k-1=0 ，即，∴只需证明，即当 0＜ x1＜1 时，证明成立，令 h（ x）=，则，∴h（ x）在（ 0， 1]上单调递增，即当0＜ x＜1 时，有 h（ x）＜ h（1） =0．∴原不等式成立．②当，即时，令 x1=1，∵当x→，+∞f x）→ +∞，时，（，且∴有唯一的 x2∈（ 1， +∞），使得f（ x2） =0，则不等式等价于，又∵（ 1-k） x2-klnx2 +k-1=0 ，即，只需证明，即当 x2＞ 1 时，证明成立，令 H（ x） =，则=．∴H （ x）在区间 [1，+∞）上单调递增，即当x＞ 1时，有 H （x）＞ H（ 1） =0．∴原不等式成立．综上，当函数f（ x）恰有两个零点x1， x2（ x1＜ x2），原不等式成立．【解析】本题考查了导数的综合应用，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，同时考查了放缩法证明不等式的方法，属于难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对 k 分类分析，当 0＜ k＜ 1 时，求出导函数的零点，由导函数在各区间段内的符号，可得原函数的单调性；（Ⅱ）由I（）知，当0＜k＜1 时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，结合 f （1）=0，且函数 f（x）恰有两个零点 x1，x2（x1＜x2），可得或．当，即时，把不等式转化为，结合（1-k）x1-klnx 1+k-1=0，即，转化为当 0＜x1＜1时证成立，构造函数证明；当，明，即时，把不等式转化为结，合（1-k）x2-klnx 2+k-1=0，即，转化为当 x2＞1时证，明成立，再构造函数证明．22.【答案】解：（I）曲线C的极坐标方程是ρ=4cos，θ转化为直角坐标方程为：（ x-2）2+y2=4，直线 l 的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：x+y-1=0．（Ⅱ）点的直角坐标为（0， 1）且点 Q 在直线 l 上．设直线的参数方程为：（ t 为参数），把直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程为：，整理得：，（ t1和 t2为 A 和 B 对应的参数），所以：， t1?t2=1所以： |QA|+|QB|=．考点： 1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义．【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系，整理成一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．23.【答案】解：（I）原不等式即|2x+1|+|x-2|≤4，①当 x≤- 时，原不等式即-2x-1-x+2≤4，解得： -1≤x≤- ，②当 - ＜ x≤2时，原不等式即2x+1- x+2≤4，解得： - ＜ x≤1，③当 x＞ 2 时，原不等式即2x+1+x-2≤4，解得： x∈?，综上，原不等式的解集是[-1，1]；（Ⅱ）∵f（ x） =|2x+1|+|x-a|．a∈R．①当 a=- 时， f（ x） = |2x+1| ≥0，显然不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，②当 a＞ - 时，易知当x=- 时， f（ x）取得最小值a+ ，即 f（ x） =|2x+1|+|x-a| ≥a+ ，欲使不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，必需a+ ＜ 1，故 - ＜a＜；③当 a＜ - 时，易知当x=- 时， f（ x）取最小值 -a- ，即 f（ x） =|2x+1|+|x-a| ≥-a- ，欲使不等式f（ x）＜ 1 的解集为非空集合，必需 -a- ＜ 1，∴＜a＜ - ；综上，当 - ＜ a＜时，不等式 f （x）＜ 1 的解集是非空集合．【解析】（Ⅰ）通过讨论 x 的范围，求出各个区间的不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）通过讨论 a的范围，求出 f （x）的最小值，得到关于 a 的不等式，从而确定a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．第21 页，共 21页。
