成都市2020级高中毕业班第三诊数学检测试卷(文科)

成都2020届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则AB =（ ）A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ） A ．3144BO AB AC =-+ B ． 1144BO AB AC =-+ C. 3144BO AB AC =- D ．1124BO AB AC =-- 7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652,65⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．25⎤⎥⎣⎦ C. []2524,6⎤⎥⎣⎦D ．{}652,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==，且()21b a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直径交椭圆于,A B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 21. 已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（,0a R a ∈≠且）． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线)2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. 4-14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},0426m e ∈-∞--三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 1234C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得3c =，所以1sin 123ABC S ac B ∆==-．18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==．由OH AD OD OA =，且4AD ==，得14OH =．又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G kk ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022aa a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sinρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。

2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A ．0或2 B ．0或4C ．2或4D ．0或2或4【答案】C【解析】利用子集的概念即可求解. 【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在， 则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4， 故选：C 【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2．若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ） A ．()2,5 B ．()2,5-C ．()5,2-D ．()5,2-【答案】D【解析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-.故选：D. 【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3．命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+> B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．0x R ∃∈，20010x x -+≥D ．x R ∀∈，210x x -+>【答案】D【解析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围. 【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D. 【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果. 【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能， 故选：A 【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5．已知函数()22x x f x -=-，则()2log 3f =（ ） A ．2B ．83C ．3D ．103【答案】B【解析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x x f x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B 【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6．已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ． 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A ．4002mB ． 24002mC ．6002mD ．8002m【答案】D【解析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202sin CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯=因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D 【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8．在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A ．－3B ．3C ．3±D ．9【答案】B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===， 所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B 【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9．已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立， 所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y ab a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．5,7⎡⎤⎣⎦B ．5,13⎡⎤⎣⎦C ．3,13⎡⎤⎣⎦D ．7,3⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案． 【详解】 如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =， 则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab， 即223ba． 21()[5,13]c be a a∴=+． 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π；④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE + 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】C 【解析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=，又PA sin2PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则(1)h ±=0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒=+④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12．已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ）A ．34π B ．23π C ．712π D ．2π 【答案】A【解析】将点20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =+ 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min 1122f x ≥=， 所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.二、填空题13．已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23-【解析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得；【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23- 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______. 【答案】0.54【解析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______.【答案】792【解析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得； 【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ，所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a <所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.16．已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2【解析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2pF ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ， 由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--， 令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==， 故答案为：2 【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题17．某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率. 【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元， 分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种， 故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题. 19．如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可. 【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON .在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF . 又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD .连接OB ，OC .在ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ， ∴122OB AD ==. 同理2OC=.∵2BC =，∴等边OBC 的高为3，即3CH =. 连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+1111124323233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯△ 103=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即0201ln ln x ex -=.化简，得002ln x x -=-. ∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】（Ⅰ）把点Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =，即可求得椭圆的标准方程.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果; （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得ABMN，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆C 的左焦点()1F ，∴c =将Q ⎛ ⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+. 由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则212214y k k x -=-. 又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k xk y k x x y k x ++-+--=.()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=. ∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=.∴直线AB 的方程为0014x xy y +=.由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]200,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； （Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为83243x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得26409t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得12t t +=，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23．已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac--+的最小值. 【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36. 【解析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集； （Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立. ∴3M =，即491a b c ++=. ∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。

成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学（文科）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A. {}0,1,2B. {}0,1,4C.1,0,1,2D. {}1,0,1,4-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据集合A 求得集合B ，由此求得AB .【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数11iz =+，则z =（ ） A.22B. 1C. 2D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模.【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3. 设函数()f x 为奇函数，当0x >时，22f xx ，则()()1f f =（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题. 4. 已知单位向量1e ，2e 的夹角为23π，则122e e -=（ ） A. 3B. 7C. 3D. 7【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -. 【详解】依题意，()222121211212244e e e e e e e e -=-=-⋅+214cos473π=-⨯+=. 故★答案★为：D【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A. 10B.103C. 10D.109【★答案★】A 【解析】 【分析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭求得★答案★. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：b y x a=± 又该双曲线的渐近线方程为3y x =±， ∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6. 已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7. 如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤【★答案★】C 【解析】 【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出★答案★. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A. 99 B. 131C. 139D. 141【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．10. 已知2log πa e =，ln ,πb e =2ln e c π=，则( )A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详解】解：e eπ<，12b ∴<， 又1b c +=．c b ∴>．22πe 2log e ln (2)2220π2a c ln ln ln ln ππππ-=-=--=+->-=．a c ∴>．b c a ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11. 已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.11π4B.112πC. 11πD. 22π【★答案★】C 【解析】 【分析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3,3,2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的表面积.【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2，如图：则四面体的外接球即为长方体的外接球，因为229a b +=，229b c +=，224c a +=，所以22211a b c ++=， 所以，长方体的外接球直径211R =， 故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选：C.【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos ,PA PB 的最大值是（ ） A.624- B.1717C.1776- D.1414【★答案★】A 【解析】 【分析】记,PA PB θ=，考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4ABAPθ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BPAP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=，若θ90>，则cos 0θ<；若90θ=，则cos =0θ；考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点， 此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，444tan 234448433883t t t t θ==≥=+<⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即233t =时取等号， 则()()222111cos 1tan 12366242θθ=≤==++-++. 综上所述，cos ,PA PB 的最大值是624-. 故选：A【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡上.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【★答案★】8 【解析】 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故★答案★为：8【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______.【★答案★】15 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故★答案★为：15【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【★答案★】322π【解析】 【分析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒ 该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112212222BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故★答案★为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题.16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_________. 【★答案★】1(1,)e e 【解析】 【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >，设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.故★答案★为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =，2b =，求ABC 的面积.【★答案★】（1）3A π=（2）332【解析】 【分析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B=和2tan sin a b A B =，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据7a =，2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABCSbc A =求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =， 所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC 的面积为1133sin 23sin 2232ABCSbc A π==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【★答案★】（1）70分；（2）1415. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．（2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【详解】（1）得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示，其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分（不含i j =对角线上的点），于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥A CEM -的体积.【★答案★】（1）证明见解析；（2）239. 【解析】 【分析】（1）推导出AB AM ⊥，AB AD ⊥，由此能证明AB ⊥平面ADM ．（2）推导出13C AEM C ABM V V --=，111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====，由此能求出三棱锥A CEM -的体积．【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB =， 所以222AM AB MB +=，于是AB AM ⊥又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ，AD ⊂平面ADM ， 所以AB ⊥平面ADM（2）因为2,23AM AD MD ===，所以3ADM S =△ 因为2BE EM =，所以13C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====1111232333339ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为239. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞.（1）证明：当(e,)x ∈+∞时，3ln x ex x e->+； （2）证明：()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.（其中e 2.71828=是自然对数的底数）.【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）构造函数3()ln x eg x x x e-=-+，利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；（2）求出函数()f x 的导数，利用（1）中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号，从而确定()f x 的单调性.【详解】（1）令3()ln ,(,)x eg x x x e x e-=-∈+∞+，则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于是()g x 在(,)e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln ,(,)x ex x e x e->∈+∞+ （2）22222222(21)ln ()(ln 1)()ln ()()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'==令2222()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时，由（1）知3ln x ex x e->+ 则2222231()()()2(41)2[(2)]2x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1[2,)2x e ∈++∞时，()0h x >，从而()0f x '> 故()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，属于中档题. 21. 已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【★答案★】（1）255AB =（2）233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M 的坐标，由两点间距离公式表示出420020'1121x x F M x -+=+，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围.【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l 的距离为25d =. 于是22225212155d AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则3012201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得20222222x -<<+又200x ≥，于是200222x ≤<+.于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故()()223200220'0122121F x x x x M ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()642000222001112141x x x x x +-+==++. 令21t x =+，则1322t ≤<+.于是2'13313322F t t t t tM -+==+-.因为3t t +在)1,3⎡⎣单调递减，在()3,322+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当3t =时，'2332F M =-； 当322t =+时，'221122F M -=>. 所以'F M 的取值范围为233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【★答案★】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值.【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得22310ρρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 选修45-：不等式选讲23. 己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【★答案★】（1）2（2）最大值为22. 【解析】 【分析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2ax =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值；(2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为22，即22t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2ax =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 由（1）知2m =，于是2222a mb a mb m b a b a+≥⋅==， 当且仅当2a bb a=时等号成立即()4210a =->，()2220b =->，所以22t ≤，故实数t 的最大值为22.【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

成都第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =U （ ） A ． ()1,1- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ）A ．3144BO AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ． 1144BO AB AC =-+u u u r u u ur u u u rC. 3144BO AB AC =-u u u r u u u r u u u r D ．1124BO AB AC =--u u u r u u ur u u u r7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-g 的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <u u u r u u u u r g ，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠U I ，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652⎤⎤⎥⎥⎣⎦⎣⎦U B ．25⎤⎥⎣⎦C. []2524,6⎤⎥⎣⎦U D ．{}652⎤⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==r r ，且()21b a b +=r r r g ，则向量,a b r r的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x ya ba b+=>>的左焦点为F，过点F的直径交椭圆于,A B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于,D E两点．记GFD∆的面积为1S，OED∆（O为原点）的面积为2S，求12SS的取值范围．21. 已知函数()1lnf x x axa⎛⎫=+-⎪⎝⎭（,0a R a∈≠且）．（1）讨论()f x的单调区间；（2）若直线y ax=的图象恒在函数()y f x=图象的上方，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sinOρθθ=+和直线)2:sin0,0242lπρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤⎪⎝⎭．（1）求圆O与直线l的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O和直线l的公共点的极坐标．23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x=++-．（1）求不等式()5f x≤的解集；（2）若关于x的不等式()1f x m<-的解集非空，求实数m的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. -14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},06m e ∈-∞-U U 三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 12344C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得c =，所以1sin 12ABC S ac B ∆==g ． 18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得4OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==． 由OH AD OD OA =g g，且4AD ==，得14OH =． 又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC故三棱柱111ABC A B C -． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ckx k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆:，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数．（2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022a a a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。

四川省成都市2020届高中毕业班第三次诊断性检测数学试题（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分为150分，完成时间120分钟.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P A B P A P B ++（）=（）（） 24S R =π 如果事件A 、B 独立，那么 其中R 表示球的半径 P A B P A P B ⋅⋅（）=（）（） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 343V R =π 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径n k k n kn P k PP -（）=C （1-）第I 卷（选择题，共60分）注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上. 1．已知向量m =（a ，1），n = （1，－2），若m ∥n ，则实数a 的值为 （ ）A ．－2B ．－12C ．12D ．2 2．计算212sin8π-的值为（ ）A ．lB ．12C D ．23．若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-+（*N n ∈），则当n S 取最大值时，n 的值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．设}{|01A x x =<<，}{|1B x x =<，则“x A ∈”是“x B ∈”的 （ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 5．6)1(xx -的二项展开式中常数项为（ ）A ．20B ．－20C ．120D ．－1206．在国务院办公厅下发《关于限制生产销售使用塑料购物袋的通知》后，为了让同学们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某校环保小组的五名同学记录了自己家中某一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：31、25、28、26、25.已知该班有45名学生，根据提供的数据，估计该班所有同学的家庭在这周内共丢弃的塑料袋个数为 （ ） A ．1169 B ．1175 C ．1215 D ．1299 7．若函数y g =（x ）与21y x =+0x ≤（）互为反函数，则函数y g x =（-）大致图象为（ ）A B C D 8．已知直线1x ya b+=（a >0，b >0）过点（1，4），则a b +最小值是 （ ）A ．16B ．9C ．8D ．39．某炮兵旅接到上级命令，要派出5个连队急赴某市遭受冻雨灾情较重的A 、B 、C 三地执行抢险救灾任务（每地至少派1个连队），则恰有2个连队被派往受灾最重的A 地，则不同的派遣方法的总数为 （ ） A ．360 B ．80 C ．60 D ．50 10．如图，已知二面角βα--PQ 的大小为60°，点C为棱PQ 一点，A ∈β，AC =2，则点A 到平面α的距离为 （ ） A ．1 B ．12C ．32D ．3211．过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为k （k >0）的直线交抛物线于A 、B 两点，若4AF FB =u u u r u u u r，则斜率k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．23D ．4312．设计一个计算机自动运算程序：112⊗=，11m n m n +⊗=⊗-（），12m n m n ⊗+=⊗+（）（m 、*N n ∈）.则2020⊗2020的输出结果为（ ）A ．2020B ．2020C ．2020D ．22008第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上. 13．函数3sin sin 2f x x x π-+（）=（）的最大值为___________. 14．已知关于x 的不等式210mx nx +-<（m 、n ∈R ）的解集为{11|32x x ⎫-<<⎬⎭， 则m n +_________.15．已知圆C 以双曲线2213x y -=的右焦点为圆心，并经过双曲线的左准线与渐近线的交点，则圆C 的标准方程为_______________________. 16．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中， 1A AD ∠=1A AB ∠=BAD ∠=60°，1AA AB AD ==，E 为11A D 的中点.给出下列四个命题：①1BCC ∠为异面直线AD 与1CC 所成的角；②三棱锥1A ABD -是正三棱锥；③CE ⊥平面11BB D D ；④112CE AD AB AA =--+u u u r u u ur u u u r u u u r .其中正确的命题有___________.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若直线1l ：22()20a c ac x by +-++=与2l :10bx y ++=互相平行（2b ≠）.（1）求角B 的大小；（2）若a ＝4，b ＝43当向量14CB CA +u u ur u u u r 与向量mCB CA +u u u r u u u r 垂直时,求实数m 的值.18．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，1AB =，2BD =ABD ∠=90°，E 是BD 上的一个动点.现将该平行四边形沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，如图2所示. （1）若F 、G 分别是AD 、BC 的中点，且AB ∥平面EFG ，求证：CD ∥平面EFG ； （2）当图1中AE +EC 最小时，求图2中二面角A EC B --的大小.图1 图219．（本小题满分12分） 某中学开展“创建文明城市知识竞赛”活动，竞赛题由20道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且只有1个选项是正确的，要求学生在规定时间内通过笔试完成，且每道题必须选出一个选项（不得多选和不选），每道题选择正确得6分，选择错误得0分.已知学生甲对任一道题选择正确的概率是34；学生乙由于未作准备，因此只能从每道题的4个选项中随机地选择1个.（1）比较甲得66分的概率与乙得54分的概率的大小；（2）就前两道题而言，求甲、乙两人得分之和不得低于18分的概率. 20．（本小题满分12分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42n a -n S =1，数列{}n b 满足132log n b =n a ，*N n ∈（1）求数列{}n a 的通项n a 与{}n b 的前n 项和n T .（2）设数列n n b a ⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭的前n 项和为n U ，求证：04n U <≤.21．（本小题满分12分）设奇函数32f x ax bx cx d +++（）=的图像在P （1，f （1））处的切线的斜率为－6.且x =2时，)(x f 取得极值.（1）求实数a b c 、、、d 的值；（2）设函数)(x f 的导函数为)(x f '，函数)(x g 的导函数434)(21)(2--+'-='mx mx x f x g ，m ∈（0，1），求函数)(x g 的单调区间；（3）在（2）的条件下，当x ∈[]12m m ++，时，m x g ≤'|)(|恒成立，试确定m 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，点E 、F的坐标分别为（，0）、，0），点A 、N 满足AE =u u u r 12ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r（），过点N 且垂直于AF 的直线交线段AE 于点M ，设点M 的轨迹为C . （1）求轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上存在两点P 和Q 关于直线l ：(1)y k x =+（0k ≠）对称，求k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设直线l 与轨迹C 交于不同的两点R 、S ，对点B （1，0）和向量a =（3k ），求2||a -⋅取最大值时直线l 的方程.参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1—5BDAAB 6—10CDBCC 11—12DB第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）13214．5；15．13)2(22=+-y x ； 16．②④ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分）17．解：（1）∵1l ∥2l ，∴222a c acb +-=. ………………2分由余弦定理，得1cos 2B =. ∴B =60°. ………………2分（2）在△ABC 中，由正弦定理，得443sin A = ∴1sin 2A =. ∵a b <，∴A B <.∴30A =o.………………2分 ∴C =90°.∴CA u u u r ·CB u u u r0=.………………2分 又14CB CA +u u ur u u u r 与mCB CA +u u u r u u u r 垂直, ∴（14CB CA +u u ur u u u r ）·（mCB CA +u u u r u u u r ）0=.∴2214mCB CA +u u u u r u u u u r mCA +u u u r ·CB u u u r 14CA +u u u r ·CB u u u r 0=.………………2分即1164804m ⨯⨯+=,∴12m =-.2分 18．（1）证明: ∵AB ∥平面EFG ，平面ABD ∩平面EFG EF =,∴AB ∥EF . …2分 ∵F 是AD 的中点.∴E 是BD 中点. 又∵G 是BC 的中点.∴GE ∥CD .∵CD ⊄平面EFG ，∴CD ∥平面EFG .………………2分 （2）解：由图1可知，当AE EC +最小时，E 是BD 的中点. ∵平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥BD ，AB ⊥平面BCD .故以B 为坐标原点，平行于CD 的直线为x 轴，BD 所在的直线为y 轴，AB 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.则A （0,0,1）,C （2,0）,D （2,0）,E （0,22,0）；EA u u u r =（0,2,0），EC uuu r =（2,0）. ………………2分设平面AEC 的法向量为1n =（1x ，1y ，1z ），则110n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r⇒1111110102100.2x y z x y z ⎧⋅-+⋅=⎪⎪⎨⎪⋅++⋅=⎪⎩，解得1111x z y =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴平面ACE 的一个法向量为1n =（－,1）. ………………2分 而平面BCE 的一个法向量为2n ＝（0，0，1）. ∵1212121cos 2n n n n n n ⋅⋅==⋅，………………2分显然，二面角A EC B --为锐角，∴二面角A EC B --的大小为60°.………………2分19．（1）依题意，甲得66分，即答对11道题的概率为111203144P C =119（）（）；………2分 ∵乙答对每一道题的概率都是14，∴乙得54分，即答对9道题的概率为 92201344P C =911（）（） ………………2分∵1192020C C =，∴12P P =，即甲得66分的概率于乙得54分的概率一样大. ………2分（2）依题意，前两道题甲、乙得分之和不低于18分，即前两道题中甲乙两人一共最多错l 道，所求概率为2221123222222313133116944444444256P C C C C C C =+⋅+⋅⋅=2222（）（）（）（）（）………………6分 20．解：（Ⅰ）易得112a =.………………2分当2n ≥时，421n n a S -=，……① 11421n n a S ---=……②①－②,得n n n a a a 2441---12n n a a -⇒=.∴12n n a a -=（2n ≥）. ∴数列{}n a 是以112a =为首项，2为公比的等比数列.∴22n n a -=.………………2分从而42n b n =-，其前n 项和n n T n 32+-=………………2分（2）∵{}n a 为等比数列、{}n b 为等差数列，2422n n n b n a --=，∴332026242 (112222)n n n n nU -----=+++++......③ 21112026242 (212222)n n n n nU -----=+++++……④ ③－④，得12222422222212421---------=n n n nU Λ∴142n n nU -= ………………4分易知124U U ==，当3n ≥时，13202n n n nU U ----=<.∴当3n ≥时，数列{U n }是递减数列.∴303n U U <≤=.故04n U <≤.………………2分21．解：（Ⅰ）∵y f x =（）是奇函数， 由f x f x （-）=-（）恒成立，有0b d ==. 从而3f x ax cx =+（）.c ax x f +='23)( ………………2分又0)2(,6)1(='-='f f ，36120a c a c +=-⎧⎨+=⎩⇒238a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩故23a =，0b =，8c =-，0d =. （2）依题意，).1,0(,34)(22∈-+-='m m mx x x g 令034)(22=-+-='m mx x x g ，得x m =或3x m =.当x 变化时，)(x g '、)(x g 的变化情况如下表：由表可知：当x ∈（∞-，m ）时，函数g x （）为减函数；当x ∈（3m ，+∞）时， 函数g x （）也为减函数；当x ∈（m ，3m ），函数g x （）为增函数. ∴函数g x （）的单调递增区间为（m ，3m ），单调递减区间为（∞-，m ），（3m ，+∞）.………………………………………………………………………………………………2分（3）由m x g ≤'|)(|，得.3422m m mx x m ≤-+≤-. ∵01m <<，∴12m m +>.2234)(m mx x x g -+-='在[]12m m ++，上为减函数.∴12)1()]([max -=+'='m m g x g ；44)2()]([min -=+'='m m g x g .…………………………2分于是，问题转化为求不等式214m mm m -≤⎧⎨-≥-⎩4的解.解此不等式组，得1m ≤≤45.又01m <<，∴所求m 的取值范围是415⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.…2分 22．解：（Ⅰ）∵12ON OA OF =u u u r u u u r u u u r（+），∴N 为AF 中点.∴MN 垂直平分AF .∴MA MF u u u r u u u r =.∴ME MF MA ME AE EF =>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r+=+=.∴点M 的轨迹C 是以正E 、F 为焦点的椭圆. …………………………2分∴长半轴a =c =∴2221b a c =-=.∴点M 的轨迹方程为2213x y +=.…………………………2分（2）设11()P x y ，，22()Q x y ，，PQ 的中点00()T x y ，.由221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩012120121201111333x y y y y kx x x x x k y -+⇒=-⋅⇒-=-⋅=-+.又00y k x =（+1），∴032x =-，02ky =-.…………………………2分 ∵中点00()T x y ，在椭圆内部，∴222003111344x k y k +<⇒+<⇒<∴k ∈（－1，0）∪（0，1）.（3）将y k x =（+1）0k ≠（）代入椭圆2213x y +=C:中，整理得 2222136330k x k x k +++-=（）.设R （3x ，3y ），S （4x ，4y ）.则3x +4x =22613k k -+，3x 4x =223313k k -+.∴3y 4y =234k x x （+1)(+1）=23434k x x x x （+++1）=22213k k -+ ……………………2分∴22343439BR BS a x x y y k ⋅-=--u u u r u u u r （-1)(-1)+=34x x 2343439x x y y k ---(+)+1+=22222223362139131313k k k k k k k-++---+++ )]31(331316[310933121022222k k k k k +++-=--+-=143≤-=-103.当且仅当2216331313k k=++（），即219k =∈（0，1）时等号成立.此时，直线l的方程为y=（x+1）. …………………………2分。